2D i 3D Primitivni Elementi i Matematicki Transformacii Vo 2-D

7/27/2019 2D i 3D Primitivni Elementi i Matematicki Transformacii Vo 2-D

http://slidepdf.com/reader/full/2d-i-3d-primitivni-elementi-i-matematicki-transformacii-vo-2-d 1/10

CAD/CAM 28

5. 2-Д и 3-Д примитивни елементи во CAD/CAM

Во претходната глава видовме дека основа на CAD/CAM техниката е т.н. векторска

компјутерска графика која има поголем број на предности во однос на растерската(точкастата) компјутерска графика. Основа на векторската графика се едноставни 2-Д или 3-Д

геометриски елементи кои уште ги нарекуваме примитивни елементи.

Заради тоа, најпрво треба да се запознаме со овие примитивни елементи и нивните основникарактеристики. Ќе видиме како истите се создаваат и како со помош на едноставниматематички операции истите можат да се манипулираат во работниот простор накомпјутерот без разлика дали станува збор за 2-Д или 3-Д графички работен простор.

5.1.

2-Д примитивни графички елементи

Во 2-Д и 3-Д графички работен простор постојат неколку основни и едноставни графичкиелементи кои вообичаено ги нарекуваме примитивни графички елементи. На Сл. 9претставени се овие примитивни елементи кои се користат во 2-Д векторска графика. Какошто може да забележиме, постојат неколку примитивни 2-Д графички елементи и тоа:

точка - бездименизонален елемент кој е дефиниран со координати на неговатапозиција во графичкиот простор во 2-Д, или во 3-Д,

отсечка - права линија која спојува две точки во просторот, дефинирана со почетнатаи крајната точка,

отворен полигон - составен е од низа на отсечки кои се поврзани помеѓу себе , пришто две отсечки имаат само по една заедничка точка,

затворен полигон - еквивалентно со отворениот полигон - низа од меѓусебноповрзани отсечки при што крајната точка на последната отсечка едновремено епочетната точка на првата отсечка. Постојат два вида на полигони:

o прости (конвексни) полигони, се полигони кои немаат пресек помеѓу било коидве отсечки, и

o сложени (конкавни) полигони, се полигони кои имат барем еден пресекпомеѓу било кои две отсечки (види Сл. 10),

триаголник - затворен полигон составен од три отсечки, квадрат - специјален облик на затворен полигон составен од четири отсечки кои

дополнително ги задоволуваат следните услови: o

сите отсечки се со иста должина, иo аголот помеѓу било кои две соседни отсечки е секогаш еднаков на ,

правоаголник - специјален облик на затворен полигон составен од четири отсечкикои дополнително ги задоволуваат следните услови:

o две по две спротивни отсечки имаат иста должина, и

o аголот помеѓу било кои две соседни отсечки е секогаш еднаков на .



CAD/CAM 29

Сл. 9: Примитивни графички елементи во 2-Д векторска графика.

Сл. 10: Пример на конвексен (прост) и конкавен (сложен) затворен полигон.

Постојат уште три други 2-Д примитивни елементи кои често се користат во векторскатаграфика, но за разлика од претходно наведените имаат криволинска структура:

круг (кружница) - примитивен елемент кој се добива со цртање на затворена линијакај која сите точки од елементот се подеднакво оддалечени од една заедничка точкакоја се вика центар на кругот или центар на кружницата (кружната линија) (Сл. 11(а)),

елипса - (дистрозирана кружница) примитивен елемент кој се добива со различноскалирање на кружна линија по една или друга насока (Сл. 11(б)),

Сплајн ( Spline function) линија - крива линија кај која параметрите на линијата седефинираат според специјално утврдени математички равенки и т.н. контролни

точки (Сл.11(в)).

(а) круг (кружница)

(б) добивање на елипса преку кружница



CAD/CAM 30

(в) Сплајн (Spline Function) крива со контролни точки

Сл. 11: Останати криволиниски 2-Д примитивни елементи во векторската графика.

Имајќи предвид дека влезно-излезните графички елементи(екран, принтер, плотер) сепак имаат точкеста (Pixel-на)

структура, често пати при графичко прикажување накриволински примитивни елементи (особено кај помалитерезолуции) значително се намалува визуелниот квалитет.За подобрување на визуелниот квалитет на добиенатаграфика се користи метод наречен антиалајзинг (anti-

aliasing). Со примена на оваа метода се вришимеѓупикселно усреднување на параметрите на една точка(pixel) со користење на соодветните вредности напараметрите од соседните точки (pixels). На Сл. 12, даденa

е споредба на две графички слики, без и со користење наантиалајзинг техника. Заради тоа, често пати наместоегзактно генерирани кружни линии се користатапроксимации на истата со употреба на затворениполигони со поголем број на отсечки (страници) Сл. 13.

Сл. 12: Антиалајзинг.

Сл. 13: Графичко претставување на круг со користење на затворен полигон.

Генерирањето на примитивните графички елементи се остварува преку две активности:движење и меѓусебно спојување на едни со други примитивни елементи. На пример, акоимаме една точка и од неа направиме определно движење по права линија во работниотпростор до некоја друга точка, ќе ја добиеме следниот примитивен елемент - отсечка. Соспојување на неколку отсечки се добива отворен или затворен полигон итн. Со користењетона истиот принцип можат да се добијат (генерираат) и 3-Д примитивни елементи (Сл. 14(а)).



CAD/CAM 31

Основни 3-Д примитивни елементи се (Сл.14(б)):

квадар,

коцка - како специјален вид на паралелопипед, пирамида,

цилиндер, конус,

топка, и

елипсоид.

(а) Формирање на едни примитивни елементи со користење на други.

(б) Неколку примери на примитивни 3-Д графички елементи

Сл. 14: Основни 3-Д примитивни елементи.

Трет начин за генерирање на тридимензионални форми и облици е со користење наспецијална графичка техника која се нарекува триангулација. Кај оваа метода, најпрвоповршината на било кој 3-Д облик се препокрива (мапира) со едноставни 2-Д елементи.

Потоа, сите активности кои се применуваат врз овој објект се реализираат на ниво на тој

примитивен 2-Д елемент.Со оглед дека од едноставните 2-Д елементи најприфатливи се правоаголникот и особенотриаголникот за препокривање на било каква површина, најчесто се користат овие двапримитивни елементи. Бидејќи најпрво се користеле само триаголници, пред масовно давлезат во употреба правиаголниците составени од сплајн функции, т.н. печови (patch), оваатехнологија го добила името триангулација. Неколку примери на триангулација се даденина долните слики Сл. 15 и Сл. 16.



CAD/CAM 32

Сл. 15: Неколку примери за триангулација кај 3-Д сложени форми и облици.

(а) Споредба помеѓу триангулација со триаголници и правоаголни печови (patch).

(б) од триангулација до конечен графички 3-Д модел

Сл. 16: Користење на четвороаголници и триаголници за обликување на 3-Д форми.



CAD/CAM 33

6. Математички трансформации во CAD/CAM

Трансформациите се основен дел од компјутерска графика. Тие не се користат само за

позиционирање на објекти, туку исто така се користат за промена на постојните и креирањена нови објекти, за промена на позицијата на гледање, па дури и за промена на начинот на

гледање на нештата (на пример, типот на перспектива кој се користи и сл.).

Откако се запознавме со основните примитивни елементи во 2-Д и 3-Д работен простор,потребно е да се запознаеме со методите и процедурите за нивна трансформација воработниот простор. Бидејќи методологијата за реализација на трансформациите во 2-Д и 3-Дпростор е речиси идентична, без разлика дали станува збор за 2-Д или 3-Д простор,основите на трансформацијата ќе ги објасниме со користење на 2-Д работен простор, апотоа истите принципи ќе ги прошириме и надградиме во 3-Д простор.

6.1.

Трансформации во 2-Д простор

Постојат четири (4) главни вида на трансформации што може да се извршат во 2-Д работенпростор:

транслација (translation) - поместување во просторот за цртање, скалирање (scaling) - промена на димензиите на објектите (зголемување или

намалување на димензиите) ротација (rotation) - ротација на објектите околу некоја точка или некоја права, и

извртување (shearing) - извртување на објектите околу х- или у-оската.

Овие четири основни трансформации, може меѓусебно да се комбинираат со што седобиваат т.н. сложени или комбинирани трансформации. Заради полесно разбирање наваквите сложени трансформации, се воведува посебен термин на т.н. хомогени

координати, а трансформациите стануваат хомогени трансформации. Како се дефинираатхомогените координати и како се реализираат хомогените трансформации подоцна вотекстот посебно и детално ќе се запознаме.

Пред да се запознаеме со секоја од овие трансформации засебно, ќе воведеме уште неколкупоими и дефиниции кои ќе ни овозможат полесно да ја разбереме нивната суштината:

(1) трансформациите се делат на два основни вида: a. изометриски трансформации - тоа се трансформации кај кои се запазуваат

должините на елементите, и

b. конформални трансформации - тоа се трансформации кај кои се запазуваатаглите помеѓу елементите.

(2) секоја точка во 2-Д простор еднозначно е дефинирана со своите координати азаради полесна математичка репрезентација, секоја точка се означува со векторсканотација, односно точката Т може да се прикаже со вектор .

(3) запишувањето на примитивните елементи се остварува преку формирање насоодветни вектори на поедноставни примитивни елементи. На пример, на долниот

цртеж даден е начин на запишување на примитивен 2-Д елемент (затворен полигон)со користење на поедноставни примитивни елементи (точки и отсечки).



CAD/CAM 34

6.1.1. Транслација (поместување)

Наједноставна трансформација е транслацијата ( поместување ). Транслацијата(поместувањето), всушност како што и самиот збор кажува, претставува поместување наелементите од едно место од работниот простор на друго место во работниот простор. Некана пример, е даден еден примитивен елемент (во облик на куќа) со своите координати во 2 -

Д работен простор како што е прикажано на Сл. 17. Дополнително, дадена е и еднаконтролна точка

во внатрешноста на примитивниот елемент. Потребно е да се

направи поместување на овој објект (а со тоа и на точката A) за 5 единици во правец на x-

оската, и за 3 единици во правец на y-оската. Според тоа, оваа трансформација можеме да јаприкажеме во математичка форма како збир на два вектори, односно:

;

каде што:

- вектор на позиција на точката B кој се добива со трансформацијата

која се остварува со транслација (поместување) на точката A,

- векторот на позиција на точката A пред реализација на

трансформацијата, т.е. пред нејзиното поместување,

- вектор на транслација (вектор на поместување) кој покажува за

колку треба да се помести било која точка од оригиналниот објект (во нашиот случај,точката A), за да се добие новиот објект B.

Сл. 17: Транслација (поместување) во 2-Д простор.

Очигледно она што важи за една точка од оригиналниот објект, важи и за сите други точкикои припаѓаат на тој објект. Значи, за да се реализира 2-Д трансформација од обликтранслација (поместување), на сите контурни точки на елементот треба да му се додаде



CAD/CAM 35

векторот на транслација и на тој начин да се добијат новите координати на транслираниот(поместениот) објект кој потоа се црта во 2-Д работен простор.

6.1.2. Скалирање (зголемување и намалување)

Често пати се јавува потреба од намалување на димензиите на некој објект во една или водруга насока, или во двете насоки едновремено. Оваа трансформација се нарекуваскалирање, што укажува на фактот дека потребно е да се искористи некој скаларен фактор

(скаларна функција) за намалување (или зголемување) на димензиите на оригиналниотобјект. На Сл. 18 претставен е еден едноставен пример за скалирање на еден примитивенобјект - триаголник.

Сл. 17: Пример на 2-Д трансформација - скалирање (зголемување).

Во овој случај (Сл. 17) станува збор за скалирање во двете насоки (x- и y- правец) за иставредност, ист скаларен фактор - зголемување за 2 пати, што укажува на фактот дека имамет.н. конформална трансформација бидејќи аглите кај оригиналниот и кај скалираниотелемент остануваат исти.

Математичката интерпретација на оваа трансформација би била:

Матрицата , се нарекува матрица на скалирање и всушност означува за колку треба да се

зголемат димензиите на оригиналните координати во x- и во y- правец. Доколку,скалирањето во двата правци е еднаков, тогаш нема дисторзија на елементот. Воспротивно, доколу на пример скалирањето во x-правец е 3, додека во y-правец е 2, тогаш ќенастапи дисторзија на оригиналниот елемент (Сл. 18). Како што може да се забележи, пред ипосле транформацијата, генералната претстава за објектот е иста, но неговите димензии сепроменети и не е запазен соодност помеѓу димензиите кај оригиналниот и кај новиот, сегавеќе скалиран објект.

Според тоа, математичката интерпретација (за точката покажана со стрелка) би била:



CAD/CAM 36

Истата равенка важи и се применува и за секоја друга типична (контролна точка) одоригиналниот елемент.

Сл. 18: Скалирање на примитивен елемент различно во x- и во y- насока.

6.1.3. Ротација

Една од многу често користените графички трансформации е ротацијата. Ротацијата можеда се направи околу некоја точка во работниот простор (најчесто координатниот почеток во2Д) или околу некоја оска (најчесто координатните оски во 3-Д). На Сл. 19, даден е еденпример на ротација каде што точката P1(40,20) треба да се заротира околу координатиотпочеток за агол од 45°.

Сл. 19: Ротација на точка P1(40,20) за агол од 45° спротивно од стрелките на часовникот.

Оваа трансформација исто така може да се прикаже со помош на продукт на матрица на

трансформација и координатите на оригиналната точка P1 на следниот начин:



CAD/CAM 37

Доколку центарот на ротација не е еднаков со координатниот почеток, потребно е да сенаправи сложена трансформација. При оваа сложена или комбинирана трансформација,

најпрво треба да се помести центарот околу кој треба да се прави ротацијата во

координатниот почеток. Потоа треба да се изврши ротацијата на објектот околу такатранслираната ротациона точка во координатниот почеток, за на крај да се направи уштееднаш транслација на веќе ротираниот објект преку т.н. инверзна транслација

(поместување) за истото растојание за кое првобитно беше транслиран центарот на ротацијаи донесен во координатниот почеток, но во обратна насока.

6.1.4. Развлекување (Shearing)

Развлекувањето (shearing) претставува графичка трансформација при која во зависност од

факторот на развлекување, настанува деформација на оригиналниот елемент во насока наедната (х-оска) или во насока на другата (у-оска). Соодветно разликуваме два вида наразвлекување, по x-насока и по y-насока. При тоа важат следните математички равенки:

развлекување по y-оска

развлекување по х-оска

при што , и , се викаат коефициенти на развлекување по у -оска и по х -оска

соодветно.

Пример за развлекување по х- и по у-оската дадени се на Сл. 20.

(а) (б)

Сл. 20: Трансформација од облик развлекување (а) по х-оска, и (б) по у-оска.

Documents

2D i 3D Primitivni Elementi i Matematicki Transformacii Vo 2-D