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정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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2. 구조해석의 기본원리
2.1. 개설
■ 구조해석이란
■ 안전하고 경제적인 구조물을 설계를 위하여 예상되는 하중(설계하중)에 대한 구
조물 전체 및 각 부재의 거동을 분석
■ 구조물의 거동은 구조물을 구성하고 있는 부재들의 내부에 발생하는 힘(부재력
또는 단면력) 또는 응력 및 각 부재의 변형과 이에 의한 구조물 전체 변형 등
■ 구조해석을 통하여 얻은 결과는 사용되는 구조재료의 특성을 고려하여 정해진 방
법(철근 콘크리트 설계, 강구조 설계, 목구조설계 등)에 따른 설계에 사용
2.2. 구조해석을 위한 구조 모델화
2.2.1 모델화, 이상화
■ 부재(Member): 모든 부재는 체적을 갖는 체적부재이나 부재의 기하형태 및
dimension (길이, 폭, 높이)에 따라 구조설계자가 다루기 용이한 형태로 이상화
; 선형부재, 판부재(Plate, Wall), 쉘부재, 체적부재(구체)
■ 부재의 접합(Connection):
- 강(fixed)접합: 모든 변형(회전, 이동)을 구속
- 힌지(Hinge, Pin)접합: 모멘트힌지, 전단힌지, 축힌지, 해당 부재력을 발생시키
는 변형에 대한 구속을 해제, 마찰무시
■ 지점(Support): 고정 지점, 모멘트힌지 지점, 로울러 지점, 전단힌지 지점
고정 지점
수평, 수직변위
및 회전구속
자유단
구속
없음
모멘트힌지 지점
수평, 수직변위
구속
로울러 지점
수직변위구속
전단힌지 지점
수평변위,
회전 구속
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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2.2.2 지점 반력의 모델화
■ 지점반력
■ 지점 반력은 지점에서 구조물의 변위 (이동 및 회전)을 구속함으로 발생
■ 해석하고자 하는 구조부재 또는 이들로 구성된 구조물 전체를 지지하는 부재 또
는 지반을 지점으로 이상화
예) 슬래브-보, 슬래브+보-기둥(벽체), 슬래브+보+기둥(벽체)-기초,
슬래브+보+기둥(벽체)+기초-지반
■ 지점 반력은 지점에서 구속되는 변위(이동, 회전)로 인하여 발생하는 반작용력,
따라서 한 지점에서 구속된 변위수는 반력수와 동일
■ 보의 지점 형태에 따른 반력수
■ 롤러: 힌지: 수직․수평이동 구속
미지반력 1+2
■ 고정단: 수직, 수평, 회전 구속 자유단: 구속 없음
미지반력 3+0
■ 전단힌지: 수평, 회전 구속
미지반력 2+3
■ 경사진 로울러: 경사면 수직이동 구속
미지반력 1+2
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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■ 응력과 단면력
■ 부재 내에 작용하는 실제 힘은 부재의 체적 내에서 압축력과 인장력만으로 작용.
이 힘에 부재의 단면적을 고려하여 응력( )으로 표현: 주응력- 주인장응력,
과 압축응력
■ 엔지니어는 이를 다루기 용이한 직교좌표계로 변환 ; 휨응력, 전단응력, 축응력,
비틀림 응력
■ 선형부재에서 단면에 작용하는 응력을 적분함으로 더 이상 단면적을 해석과정에
서 고려하지 않도록 휨 모멘트, 전단력, 축력, 비틀림 모멘트로 변환사용
■ 주응력도
■ 전단응력 - 전단력
=
■ 휨응력 - 휨모멘트
=
・
■ 축응력 - 축력
=
■ 비틀림응력 - 비틀림 모멘트
r=
・
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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2.3. 자유 물체도와 평형 조건
2.3.1 외력과 지점
■ 구조물에 작용하는 하중의 합 = 지점반력의 합 → 외적 평형상태 유지
외적평형
하중 = 반력
2.3.2. 자유물체도(Free-Body Diagram)
■ 자유물체도란 하나의 강체 또는 여러개의 강체가 연결되어 구성된 구조물의 전체
또는 (분리된) 특정부분에 작용하는 모든 힘(외력, 내부력)을 나타낸 Diagram.
■ 강체란 작용력에 대하여 형태가 고정되어 모양이나 크기가 변하지 않는 물체, 실
제 모든 물체는 외력이 가해지면 그 물성에 따라 변형되나 변형되는 정도가 무시
할 수 있을 만큼 작은 경우 강체로 가정
■ 자유물체도에 힘의 평형조건을 적용하면 반력이 기지력인 경우 내부력을, 내부력
이 기지력인 경우 반력을 구할 수 있음
⟹ ⟹
2.3.3. 평형 및 평형조건
■ 구조물의 평형상태 : 정지, 등속운동 상태
■ 평면 직교좌표에서의 평형조건 : 3개의 정역학적 평형방정식
∑F x=0, ∑F y=0, ∑M z=0
(2-1)
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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(2-2)
(2-3)
; Q는 평면상의 임의의 점 (2-4)
■ 3개의 외적평형조건(방정식)으로 3개의 미지반력을 구할 수 있다.
■ 반력이 4개 이상인 경우 3개의 외적평형조건만으로는 구할 수 없으므로 추가 방
정식이 필요: 정정 구조물의 경우 부재 내부에 해제조건(예, 힌지)이 존재해야 하
며, 부정정 구조물의 경우 변위-변형율 관계(적합조건)를 이용
■ 3개의 평형방정식 선택의 조건은 그들이 서로 독립;
예) ∑F x=0, ∑ , ∑M z, a=0,
∑F x=0, ∑M z,a=0, ∑M z, b=0
2.4. 지점반력의 계산
1) 반력표시 2) 3개의 평형방정식 이용 3) 독립된 다른 조건식을 통한 검산
예제 2.1
다음 단순보의 반력을 구하시오.
1 2
A B
P =200kN P =300kN
10m 10m 10m
12
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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예제 2.2
다음 켄틸레버보의 반력을 구하시오.
1
2
A
P =100kN
4m 2m
P =50kNㆍm
예제 2.3
다음 라멘의 반력을 구하시오.
1
2
1
2m4m
A
B C
D
E
2m
2m
2m
q =20kN/mq =30kN/m
P =60kN
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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예제 2.4
다음 연속보의 반력을 구하시오.
q=5kN/m
A
P =10kN
D E
H
P =20kN·m
B C F G
1m
60°
1m 2m 6m 1m1m2m
1
2
§ 자유물체도 A-C
AB C
1m 1m
§ 자유물체도 F-H
HG
F
1m 1m
·
§ 자유물체도 C-F
D EC F
2m 6m 2m
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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2.5. 구조물의 정정성
■ 구조물을 이루는 구조형식(구성 부재들의 접합형식, 지점형식)이 붕괴를 방지하
는데 꼭 필요한 만큼의 부재수 및 그들의 접합부(절점)와 지점에 의한 구속조건
을 갖고 있을 경우, 이때의 구조형식은 정역학적 정정, 정정구조물
■ 이때 반력 및 부재의 내부에 작용하는 힘들(부재 단면력)은 힘의 평형조건식을
적용함으로 결정
∑ ∑ ∑
■ 부재수 및 그들의 접합부(절점)와 지점의 구속조건이 부족하거나 불합리 하여 구
조물의 부분 혹은 전체가 강체운동(이동 및 회전)이 가능한 경우(붕괴)의 구조형
식은 정역학적 불안정(구조)
■ 부재수 및 그들의 접합부(절점)와 지점에 의한 구속조건이 붕괴의 방지를 위해
필요 수보다 많은 경우 정역학적 부정정(구조) - 구조해석 II
§ 정역학적 불안정
statically
underdeterminate,
unstable
§ 정역학적 정정
statically determinate
§ 정역학적 부정정
statically
indeterminate
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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2.6. 정정판별 및 조건 방정식
■ 구조물의 정정성
■ 외적 및 내적으로 구분되며 , 일반적으로 한 구조물이 차 부정정이라 함은 외적
부정정차수( )와 내적부정정차수()를 합한 것이며, 내적 혹은 외적부정성의
구분은 일반적으로 구조물의 해석에는 큰 의미를 갖지 않음
(2-5)
■ 외적 정정: 지점 반력수 가 3개이며 3개의 평형방정식으로부터 계산가능
■ 반력수 에 대하여,
: 외적부정정, : 외적 정정, : (외적)불안정 (2-6a,b,c)
■ 외적부정정 차수
(2-7)
■ 정정 판별
각 부재들의 연결이 고리(loop)를 형성하지 않는 열린 구조물의 경우, 부재 내
에 해제조건(내적이완, release, 예, 힌지)이 존재하면, 해제조건에 의해 추가적으
로 조건방정식이 만들어지므로(예, 모멘트힌지에서 모멘트는 ‘0’) 3개 이상의 반
력을 갖는 외적 부정정 구조물이 “정정”일 수 있음.
■ 반력수(), 평형방정식수(3), 조건식수()에 대하여,
: 정정, : 부정정, : 불안정 (2-8a,b,c)
■ 부정정 차수
(2-9)
■ 외적, 내적 부정정차수
, (2-10a,b)
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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예) 정정판별
구 조 형 식 3+ n(판별)
■ 구조 시스템의 적절한 위치에 구속이 추가되면 불안정한 구조는 정정으로, 정정
구조는 부정정 구조로 변화
■ 아래 우측의 닫힌 구조물의 경우 위의 정정 판별식을 적용할 수 없음.
n=-1, 1차 불안정 축부재에 의해 구속이 한 개 추가되어 정정
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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■ 기하학적 불안정
■ 정정 혹은 부정정 구조물의 경우 불합리한 부재 및 지점의 배치로 인해 불안정한
구조형식을 취할 수 있음.
-반력의 연장선이 한 점에서 만나는 경우, 작용하중으로 인하여 그 점에 대한 모
멘트합≠0⇒평형조건(안정)이 만족되지 않고 회전(강체운동)
- 기하학적 불안정은 과다변위를 유발시키고 휨부재를 축력부재로 변환시킬 수
있음.
·
≠
■ Cut-Tree법에 의한 정정판별
■ 구조물의 종류에 무관하게 일반적으로 적용가능
■ 구조물을 구성하고 있는 부재들을 절단하여 절점을 정의하고, 각각의 절단된 부
재(강체)의 양단 절점에 미지 내부력을 표시하여 자유물체도를 구성
■ 절단된 부재는 강체이어야 하므로 힌지를 포함 할 수 없음: 힌지가 있다면 힌지
에서 절단
■ 각 자유물체도는 평형을 이루므로 각 각 세 개의 평형조건식이 주어지며 반력과
절점에 나타나는 미지 내부력 수는 구하여야 할 미지력의 수
부정정차수=반력수 +절점 미지내부력수-3*자유물체도수 (2-11)
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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예) 절점과 강체수의 관계
⇒ 절점의 개수 및 위치에 관계없이 항상 동일한 판별결과를 얻음
: 절점증가(3개의 미지수 추가) = 강체수 추가(3개의 평형조건식 추가)
■ 절점에서의 미지 내부력
보 절단
모멘트힌지 절단
모멘트힌지+축력힌지 절단
■ (모멘트)힌지에서의 미지력 수
미지력 수 = 2·(n-1), n: 힌지에 결합 된 부재의 수 (2-12)
정정구조해석 2. 구조해석의 기본원리
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예) Cut-Tree 방법에 의한 정정 판별
1)
2)
3)
4)