3. Magnetizam

8/17/2019 3. Magnetizam

1/12

142 10 MAGNETIZAM

10. MAGNETIZAM

Pojava magnetizma, odnosno pojava da tamni kamen (magnetit-Fe3O

4) nevidljivom silom

privlači gvožđe, je otkrivena u Gr čkoj 600 godina pre nove ere. Taj prirodni magnet Grci su

pronašli u pokrajini Magneziji i po tome su mu dali ime.

Izvor magnetizma je u atomu. Oko atomskog jezgra nalazi se ogromni prazan prostor po kojem

kruže elektroni. Naelektrisanja, koja se kreću, stvaraju magnetsko polje i na taj način predstavljaju elementarni magnet. Ako su ti elementarni magneti proizvoljno orjentisani, onda je

krajnji rezultat izostanak namagnetisanosti, kao što je to slučaj za većinu stvari. Međutim, u

nekim metalima kao što je gvožđe skupovi atoma slažu svoje polove u istom smeru i obrazuju

takozvane domene. Svi severni polovi skupe se na jednoj, a južni na drugoj strani, i na taj način

se dobije magnet.

Danski naučnik Ersted je 1819. god. uočio vezu između elektriciteta i magnetizma. On je

postavio kompas blizu žice koju je spojio na bateriju. Kad je struja potekla žicom, igla se

pomakla i tako je prvi pokazao da električna struja proizvodi magnetsko polje.

Francuski naučnik Amper je 1820. god. otkrio postojanje elektromagnetskih sila među

provodnicima kroz koje protiče struja.

Engleski naučnik Faradej je nastavio Amperov rad i 1831. god. otkrio da pomicanje magnetaunutar zavojnice indukuje električnu energiju u njoj. Bio je to početak razvitka električnih

generatora. Dakle, sada se mehanička energija mogla pretvoriti u električnu i obratno.

10.1 Magnetsko polje

Naelektrisana čestica koja se kreće u okolnom prostoru stvara magnetsko polje. Glavna

karakteristična fizička veličina za magnetsko polje je indukcija magnetskog polja Br

, koja je

vektorska veličina. Magnetsku indukciju određujemo preko Laplasovog zakona. Posmatrajmo

strujni element, beskonačno male dužine , koji je orijentisan u smeru proticanja struje kroz

njega (vidi sliku 10.1). Po Laplasovom zakonu vektor elementarne magnetske indukcije u tački

čiji je položaj u prostoru određen vektorom položaja

dl

r

r

u odnosu na strujnu konturu, dat jeizrazom:

3

0

4 r

r dl I Bd

r

r ×⋅=

π

μ . (10.1)

Magnetska permeabilnost μ je specifična

magnetska provodljivost i formalno je

analogna električnoj provodnosti. Određeni

električni materijali, kao čto su izolatori,

mogu imati zanemarljivu provodnost. S

druge strane ne postoji materijal za koji se

može reći da je magnetski izolator, tj. da je μ=0. Magnetsko polje prolazi i kroz vazduh,

odnosno vakuum, pa se kao referenca uzima

konstanta:

70 104

−⋅= π μ Vs/Am. (10.2)

koja predstavlja permeabilnost slobodnog prostora (vakuuma), a približnu vrednost ima i u

vazduhu. Vrednost kojom se iskazuje koliko je puta permeabilnost neke sredine veća od

permeabilnosti vazduha (vakuuma) je relativna permeabilnost μr , pa je:

0

⋅=r

. (10.3)

dl I ⋅

Bd r

⊗

r r

Slika 10.1 Magnetska idukcija

elementarne strujne konture


2/12

10.1 Magnetsko polje 143

Za većinu sredina (paramagnetske i dijamagnetske) permeabilnost je približno jednaka μ0

( μr ≈1),

a za feromagnetske koje iskazuju izrazita magnetska svojstva je μr >>1.

10.1.1 Magnetska indukcija naelektrisane č estice u kretanju

Na slici 10.2 prikazana ječestica, naelektrisanaelementarnom količinom naelektrisanja dq , koja se kreće

duž pravca x-ose, brzinom intenziteta v. Vektor

elementarne magnetske indukcije, koju ona stvara u tački

prostora čiji je položaj određen vektorom položaja r r

,

prikazan je na slici. Za vreme čestica u pozitivnom

smeru x-ose pređe put:

dt

dqir

dt dl ⋅= v , (10.4)

koji možemo smatrati strujnim elementom:

idl dl

r

⋅= . (10.5)Ubacivanjem (10.4) i (10.5) u (10.1) dobijamo:

3

0 v

4 r

r i Idt Bd

rr

r ×⋅⋅=

π

μ . (10.6)

Kako su: , Idt dq = ir

r

⋅= vv i ir r r

r

⋅= 0 , izraz u (10.6) postaje:

r r

dq Bd

rr

r

×⋅= v4 3

0

π

. (10.6a)

Ukoliko se radi o naelektrisanju q i ako vektor položaja izrazimo preko jediničnog vektorausmerenog duž pravca od naelektrisanja do posmatrane tačke u prostoru, dobijamo izraz:

02

0 v4

r r

q B

rr

r

×⋅=π

. (10.7)

Usvojene oznake na slikama su sledeće: krstić unutar kružića (slika 10.1)-vektor ulazi u ravan

lista, a tačka unutar kružića (slika 10.2)-vektor izlazi iz ravni lista.

10.1.2 Magnetska indukcija provodnika ogranič ene i neogranič ene dužine. Bio-Savarov zakon

Strujni provodnik, čiju magnetsku indukciju tražimo u tački prostora određenoj vektorom

položaja r r

, postavili smo duž pravca y-ose (vidi sliku 10.3.a)). Krajevi provodnika se iz date

tačke prostora vide pod uglovima 1α − i 2α . Pravac x-ose je normalan na pravac provodnika i

prolazi kroz tačku u prostoru u kojoj tražimo magnetsku indukciju. Uočeni strujni element dl I ⋅ je na rastojanju y od pravca x-ose. Sa slike 10.3.a) uočavamo sledeće relacije:

jdydl r

⋅= i j yi xr rr

r

⋅−⋅= ( )k xdyr dl r

r

−=×⇒ , (10.8)

gde su k jir

rr

,, jedinični vektori osa x, y , z , respektivno. Iz (10.1) i (10.8) sledi:

( )k r

dy

r

x

r

I Bd

rr

−⋅⋅⋅=

π

μ

4

0 . (10.9)

Sa slike 10.3.b) uočavamo da je:

r r

vr

Bd r

Slika 10.2 Magnetska idukcija

naelektrisane č estice


3/12

144 10 MAGNETIZAM

α α

α α d

cos

d cos

r

dy

r

x=⋅=⋅ . (10.10)

y

Na osnovu (10.9) i (10.10) sledi:

( )k d cos x

I Bd

rr

−⋅⋅⋅= α α π 4

0 . (10.11)

Integracijom izraza u (10.11) dobijamo vektor magnetske indukcije u obliku:

( ) ( ) ( )k sin sin x

I k d cos

x

I B

rrr

−⋅+⋅=−⋅∫ ⋅⋅=−

1200

44

2

1

α α π

μ α α

π

μ α

α

. (10.12)

Intenzitet vektora magnetske indukcije zavisi samo od rastojanja posmatrane tačke u prostoru od

strujnog provodnika i ima istu vrednost ma gde da je tačka na kružnici poluprečnika r . Pravacvektora magnetske indukcije je po pravcu tangente na kružnicu, a smer je određen pravilom

desne zavojnice. Za dati smer struje (od dole na gore) vektor magnetske indukcije vrši

cirkulaciju po kružnici u smeru suprotnom od smera obrtanja kazaljke na časovniku.

Ukoliko je strujni provodnik beskonačne dužine, u tom slučaju 21 π α → i 22 π α → , vektor

magnetske indukcije postaje:

( ) ( ) ( ) ( k x

I k sin sin

x

I k d cos

x

I B

r

)rrr

−⋅=−⋅+⋅=−⋅∫ ⋅⋅=− π

μ π π

π

μ α α

π

μ π

π 222

44

002

2

0 (10.12a)

Izraz u (10.12a) predstavlja matematičku formulaciju Bio-Savarovog zakona.

10.1.3 Magnetska indukcija na osi kružnog provodnika

Zadatak nam je da nađemo vektor magnetske indukcije na osi kružno tankog, savijenog

provodnika, poluprečnika kružnice R, kroz koji protiče struja intenziteta I u smeru kao što je

prikazano na slici 10.4. Ravan provodnika, leži u ravni x0 y odabranog pravouglog Dekartovog

koordinantnog sistema i normalna je na ravan papira, a osa, koja prolazi kroz centar provodnika i

leži u ravni papira, postavljena je tako da se poklapa sa pravcem z -ose. Sa slike 10.4 uočavamo

sledeće relacije:

Rk z r rr

r

−⋅= , (10.13a)

j sin Ricos R Rrrr

⋅+⋅= α α , (10.13b)

jcosdl i sindl dl rr

⋅+⋅−= α α , (10.13c)

1α −

2α

α

x x

r r

dl I ⋅

⊗ Bd r

y

ir

jr

k r

α

dy α d r ⋅

b)α

r α d

a)

Slika 10.3 Magnetska indukcija strujnog provodnika

konač ne dužine


4/12

10.1 Magnetsko polje 145

α d Rdl ⋅= . (10.13d)Iz izraza u (10.13a)-(10.13d)

sledi:

k d R

jd sin zRid cos zRr dl r

rrr

⋅+

⋅−⋅−=×

α

α α α α

2 1

(10.14)

Na osnovu Laplasovog zakona

(10.1) i (10.14) projekcije

elementarnog vektora

magnetske indukciju su:

α α π

d cosr

IRz Bd x ⋅−= 3

0

4,

(10.15a)

α α

π

d sin

r

IRz Bd y ⋅−= 3

0

4

,

(10.15b)

α π

μ d

r

IR Bd z ⋅−= 3

20

4. (10.15a)

Da bi uzeli u obzir doprinose svih elementarnih delova provodnika duž cele konture izvr đšimo

integraciju po uglu α , pri čemu on uzima sve vrednosti od nulte do π 2 :

04

2

03

0 =∫ ⋅−= π

α α π

d cosr

IRz B x , 0

4

2

03

0 =∫ ⋅−= π

α α π

d sinr

IRz B y ,

r

IRd

r

IR B z 3

20

2

03

20

24

μ α

π

μ π

=∫= .

(10.16)

Intenzitet vektora položaja uočenog elementarnog dela provodnika u odnosu na tačku koja se

nalazi na osi provodnika, na rastojanju z od njegove ravni, a u kojoj tražimo vektor magnetske

indukcije, iznosi:

( ) 2122 z Rr r +== r . (10.17)

Dakle, za pretpostavljeni smer struje u provodniku vektor magnetske indukcije leži na osi

provodnika-pravac z -ose, usmeren je u njenom pozitivnom smeru, a intenzitet je na osnovu

(10.16) i (10.17):

( ) 23222

0

2 z R

R I

B z +⋅=

μ

. (10.18)

U centru kružnog provodnika, , ta vrednost iznosi:0= z

R

I B z

2

0= . (10.18a)

Ukoliko kroz provodnik struja protiče u suprotnom smeru vektor magnetske indukcije je

usmeren ka negativnom delu z -ose.

α

dl

r r

Rr

y

x

y

Br

α d

Slika 10.4 Uz magnetsku indukciju kružnog provodnika

k r

jr

ir

α


5/12

146 10 MAGNETIZAM

10.2 Amperov zakon

Posebni slučaj Laplasovog zakona je Amperov zakon, koji omogućuje jednostavnu primenu u

praktičnim proračunima intenziteta magnetskoga polja. Vektor magnetskog polja u homogenim i

izotropnim sredinama može se definisati kao:

0μ μ μ r

B B H

rr

r

== , (10.19)

gde je kao što smo ranije napomenuli 1≈r μ , osim u slučaju feromagnetskih sredina.

Karakteristike magnetskog polja u vazduhu zavise od oblika provodnika kroz koji teče struja.

Iako oblik provodnika i slika stvorenog polja mogu biti vrlo složeni, za odnos intenziteta

magnetskog polja i struje u provodniku važi jednostavni zakon koji glasi:

Linijski integral tangencijalne komponente vektora magnetskog polja H r

duž zatvorene krive

linije c, jednak je ukupnoj struji I uk

obuhvaćenoj tom konturom , tj.:

uk c

I dl H =∫ ⋅r

. (10.20)

ili cirkulacija vektora H r

po zatvorenoj krivoj liniji jednaka je ukupno obuhvaćenoj struji.

Skalarni proizvod α cos Hdl dl H =⋅r

definiše tangencijalnu komponentu polja. Smer polja H r

u

odnosu na smer struje I određuje se pravilom desne zavojnice.

10.2.1 Primena Amperovog zakona. Magnetsko polje strujnih namotaja na solenoidu i torusu

Posmatramo telo od neferomagnetskog materijala sa ravnomerno gusto namotanih (u jednom ili

u više slojeva) N provodnika (namotaja) u kojima teče struja I . Tako dobijeni solenoid dužine l,

poluprečnika R, prikazan je na slici 10.5. Magnetska polja pojedinih namotaja sabiraju se unutar

solenoida. Linije magnetskog polja unutar solenoida su ravne i približno ravnomerno gusto

raspoređene (ekvidistantne). Izvan solenoida linije polja se šire i oblikuju se u petlje manje

gustine. Magnetska indukcija, pa time i magnetsko polje, u solenoidu je stoga puno veća negoizvan solenoida. Nadalje, ako je solenoid dug i tanak (l/R≥10), magnetsko polje u solenoidu

može se, u dobroj aproksimaciji, smatrati homogenim. Magnetsko polje stvoreno u solenoidu

slično je polju štapićastog magneta. Ravni solenoid je elektromagnet s izraženim polovima. Kraj

solenoida na kojem linije polja izlaze je severni pol, a kraj na kojem ulaze južni pol.

H r

Slika 10.5 Magnetsko polje solenoida,

Malešević , 2004

U cilju određivanja intenziteta magnetskog polja prema Amperovom zakonu, postavimo

zatvorenu krivu liniju 1-2-3-4, kao na slici 10.6. Krivom linijom su obuhvaćene struje svih

namotaja. Kako u svima teče jedna te ista struja, ukupna obuhvaćena struja iznosi I uk =NI , pa je:

NI dl H =∫ ⋅−−− 4321

r

. (10.21)


6/12

10.2 Amperov zakon 147

Slika.10.6 Primena Amperovog zakona za prorač un polja sol

Malešević , 2004

enoida,

Integraciju po zatvorenoj krivoj liniji sprovešćemo po segmentima 1-2, 2-3, 3-4, 4-1. Uz

pretpostavku zanemarivanja spoljašnjeg polja:

0144332

=∫ ⋅=∫ ⋅=∫ ⋅−−−

dl H dl H dl H rrr

. (10.22)

Unutar solenoida vektori H r

i dl rsu kolinearni , pa je njihov skalarni proizvod u podintegralnoj

funkciji jednaki:

Hdl dl H =⋅r

. (10.23)

Uzimajući u obzir da je intenzitet polja je konstantan, jer je polje homogeno, H se može izvući

ispred integrala:

NI dl H dl H =∫=∫ ⋅−− 2121

r

. (10.24)

Integracijom elemenata segmenta 1-2 dobije se ukupna dužina solenoida (l ). Intenzitet

magnetskog polja dugog ravnog solenoida je:

l

NI H = , (10.25)

intenzitet vektora magnetske indukcije, u neferomagnetnim sredinama, prema (10.19) je:

l

NI B μ 0= . (10.26)

Torus s provodnim namotajima je prikazan na slici 10.11. Potrebno je odrediti intenzitet polja u

torusu. Van njega polje je jednako nuli. Za zatvorenu Amperovu krivu liniju c možemo odabrati

bilo koju kružnicu poluprečnika r tako da je: R sr

-R


7/12

148 10 MAGNETIZAM

Kao i kod solenoida, magnetsko polje u

torusu praktički je homogeno, tj.

magnetska indukcija B i magnetsko polje

H konstantni su po celom preseku S .homogenost polja u torusu postiže se uz

uslov da je R sr

>>R. Naime, ako se

poluprečnik namotaja R smanjuje uodnosu na poluprečnik torusa R

sr ,

intenzitet magnetskg polja postaje isti po

celom preseku i jednak je vrednosti polja

na srednjoj liniji l sr

. Tada se za

intenzitete magnetskog polja i indukcije

uzimaju vrednosti:

sr R

NI H

π 2= i

sr R

NI B

π μ

20

= , (10.29)

respektivno.

R sp

Slika.10.7 Primena Amperovog zakona za prorač un polja torusa, Malešević , 2004

10.3 Kretanje elektrona u homogenom magnetskom polju-Lorencova sila

Geometrija problema je prikazana na slici 10.8.Elektron, naelektrisanja , uleće u homogeno

magnetsko polje indukcije , brzinom

eq −=

Br

= k Br

⋅ vr

,

koja leži u ravni y0 z i sa pravcem magnetske

indukcije gradi ugao α . Pravougli Dekartov

koordinantni sistem smo postavili tako da je

koordinantni početak na mestu ulaska elektrona u

polje, a pravac i smer z -ose se poklapa sa vektorom

magnetske indukcije. magnetsko polje na elektron

deluje Lorencovom silom oblika:

Be Bq F Lr

rr

rr

×−=×= vv . (10.30)

Vektorski proizvod brzine elektrona i magnetske

idukcije je:

) i sin Bk B j sink cos B

x

y

z

Br

vr

α R2

d

Slika 10.8 Kretanje elektrona u

homogenom magnetskom polju

e−

ir j

r

k r

rr

rr rr

⋅=⋅×⋅+⋅=× α α α vvvv . (10.31)

Iz izraza u (10.30) i (10.31) sledi da Lorencova sila:

i sineB F Lr

r

⋅−= α v , (10.32)

deluje na elektron po pravcu x-ose, usmerena ka njenom negativnom delu. Zanemarimo, za

trenutak, postojanje komponente brzine duž z -ose α cos z vv = . Lorencova sila je konstantnog


8/12

10.3 Kretanje elektrona u magnetskom polju 149

intenziteta i deluje pod pravim uglom na komponentu brzine duž y-ose α sin y vv = . To znači da

ona ima ulogu normalne sile koja elektronu, mase , saopštava normalno ubrzanje:em

im

sineB

m

F a

ee

Ln

r

r

r

⋅−== α v

. (10.33)

koje menja pravac kretanja elektrona i tera ga na kretanje po kružnici koja leži u ravni x0 y, a čijise centar nalazi na negativnoj strani x-ose. Kako ne postoji tangencijalna komponenta sile (duž

pravca y-ose) tangencijalno ubrazanje ne postoji, odn. brzina kretanja elektrona po kružnici je

konstantna i iznosi α sin y vv = . Na osnovu definicije normalnog ubrzanja i izraza u (10.33)

dobijamo izraz za poluprečnik kružnice:

( )eB

sinm R

m

sineB

R

sina

e

e

n

α α α vvv2

=⇒== . (10.34)

Ukoliko bi elektron uleteo u polje pod pravim uglom, 2π α = i 0vv == α cos z , elektron bi se

kretao po gore definisanoj kružnici poluprečnika:

eB

m R e

v= , (10.34a)

a period obrtanja elektrona T , vreme koje je potrebno da krećući se konstantnom brzinom v

pređe put koji odgovara obimu kružnice, u tom slučaju je:

eB

m RT T R e

π π π

2

v

2v2 ==⇒= . (10.35)

Kao što vidimo period obrtanja elektrona ne zavisi od brzine kretanja elektrona, nego samo odintenziteta magnetske indukcije.

Međutim, kako u opštem slu

čaju elektron ne ule

će pod pravim uglom, 2π α ≠ , , putanjaelektrona neće biti kružnica u ravni xO y, nego cilindrična zavojnica-helikoida, po omotaču

valjka, poluprečnika bazisa R, kao na slici 10.8. Korak helikoide d dobijamo sledećim

rezonovanjem: za isto vreme koje odgovara periodu kretanja elektrona po kružnici, elektron,

krećući se konstantnom brzinom duž pravca z -ose, mora preći rastojanje koje odgovara

koraku helikoide. Dakle:

0v ≠ z

z v

α π

coseB

T d z v2

v ⋅== . (10.36)

10.4 Magnetska sila kojom beskonačno dugački provodnik deluje na provodni ram

Kroz beskonačno dugački provodnik protiče struja intenziteta I 1, smera kao na slici 10.9.

Provodnik u okolnom prostoru stvara magnetsko polje indukcije 1 Br

, koja je po pravcu normalna

na ravan lista, a smer je takav da u desnoj poluravni ulazi u ravan lista, a u levoj izlazi.

Provodnik ćemo podeliti u četiri segmenta, na svakom od njih izračunavamo magnetsku silukojom beskonačno dugački provodnik deluje na njega i na kraju izračunavamo rezultujuću silu.Prvi segmenat je paralelan beskonačno dugačkom provodniku i na bilo kojem njegovom delu da

se nalazimo vektor magnetske indukcije 1 Br

ima istu vrednost, definisanu u (10.12a):

( k a

I B )

rr

−⋅=π 2

01 . Elementarna sila kojom beskonačno dugački provodnik deluje na elementarni

deo provodnog rama u segmentu 1 iznosi:


9/12

150 10 MAGNETIZAM

Slika 10.9 Dejstvo beskonač no dugač kog provodnika na provodni ram

42 dl I ⋅

32 dl I ⋅

22 dl I ⋅

12 dl I ⋅

y

1 Br

b

⊗

a

i

r

jr

k r

1 I

⊗

⊗

⊗

1 Br

1 Br

1 B

r

11 F d r

12 F d r

13 F d r

14 F d r

l

( ) ( idya

I I k

a

I jdy I Bdl I F d

r

)r

rrr

−⋅=−⋅×⋅=×=π π 22

21010211211 . (10.37)

Integracijom duž segmenta 1 dobijamo silu na prvi segment:

( ) ( )il a I I idya I I F l

rrr

−⋅=−⋅∫= π π 22210

0

21011 . (10.38)

Na trećem segmentu vrednost magnetske indukcije je: ( )k b

I B

rr

−⋅=π 2

01 i ima istu vrednost na

bilo kom delu segmenta. Kako struja kroz dati segment ima suprotni smer u odnosu na segment

1 to će sila kojom beskonačno dugački provodnik deluje na njega biti istog pravca, a suprotnog

smera u odnosu na segment 1:

il b

I I idy

b

I I F

l rr

r

⋅=⋅∫=π π 22

210

0

21013 (10.39)

Duž drugog segmenta vektor magnetske indukcije nema konstantni intenzitet:[ b ,a x∈ ]

( )k x

I B

rr

−⋅=π 2

01 .

Elementarna sila kojom beskonačno dugački provodnik deluje na elementarni deo provodnog

rama u segmentu 2 iznosi:

( ) j x

dx I I k

x

I idx I Bdl I F d

rr

rrr

⋅⋅=−⋅×⋅=×=π

μ

π 22

21010213212 . (10.40)

Integracijom duž segmenta 2 dobijamo silu na prvi segment:

jabln I I j

xdx I I

F b

a

rrr

⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =⋅∫=

π π 22

21021012 . (10.38)


10/12

10.5 Elektromagnetska indukcija 151

Na četvrtom segmentu vrednost magnetske indukcije je istog oblika kao na drugom. Kako strujakroz dati segment ima suprotni smer u odnosu na segment 2 to će sila kojom beskonačno

dugački provodnik deluje na njega biti istog pravca i intenziteta, a suprotnog smera u odnosu nasegment 1:

( ) ( ja

bln

I I j

x

dx I I F

b

a

rrr

−⋅⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ =−⋅∫=

π

)π

μ

22

21021014 . (10.39)

Na osnovu (10.38) i (10.39) zaključujemo da je rezultujuća sila duž pravca beskonačno dugog provodnika (pravac y-ose) jednaka nuli. Rezultujuća sila duž pravca koji je normalan na pravac

beskonačno dugog provodnika (pravac x-ose), na osnovu (10.36) i (10.37), iznosi:

( iab

ab I I F rezx

rr

−⋅−

⋅=π

)μ 2

210 . (10.40)

Na osnovu izraza u (10.40) zaključujemo da je sila u ovom slučaju privlačna. Menjanjem smerastruje bilo u beskonačno dugačkom provodniku ili u provodnom ramu sila bi postala odbojnog

karaktera.

10.5 Elektromagnetska indukcija. Faradejev zakon

Linijama magnetskog polja simbolički se prikazuje distribucija magnetskog polja. Gustina linija

magnetskog polja upućuje na intenzitet magnetskog polja: što je ona veća, veći je intenzitet polja. Pri tome možemo razmatrati i broj linija magnetskog polja na jedinicu površine, što

predstavlja meru gustine fluksa, pa se magnetska indukcija često naziva i gustina magnetskogfluksa. Relacija koja povezuje magnetski fluks Φ kroz proizvoljnu površ površine S u

magnetskom polju i vektor magnetske indukcije Br

(vidi sliku 10.10) sledećeg je oblika:

∫ ⋅=∫ ⋅=S S

dS cos BdS BΦ α r

. (10.41)

Jedinični vektor je po pravcu normalan na

uočeni elementarni deo površi, površine .

U elektrostatičkom polju naelektrisanje jeizvor polja, a linije polja ne moraju imati

zatvorenu putanju. Za razliku od električnih,

magnetske su linije polja uvek zatvorene. To je zbog toga što nije moguće stvoriti

izolovane magnetske polove. Kada bi npr.neki magnet raspolovili, u nameri da

izdvojimo severni i južni pol, kao posledicu

dobili bi dva magneta. Novi polovi suprotnog polariteta formirali bi se na mestu preseka,

gde ih ranije nije bilo. Svaka polovina imala

nr

dS

bi svoj severni i južni pol. Budući da je nemoguće razdvojiti severni pol od južnog pola,

zaključujemo kako ne postoji izololovani magnetski pol. Zbog toga ukupni magnetski fluks kroz

zatvorenu površ mora biti jednak nuli. Nijedna linija magnetskog polja ne može početi ni završitiu prostoru ograničenom zatvorenom površi, tj. sve linije polja koje uđu u tu površ moraju iz nje i

izaći. Dakle, važi zakon održanja magnetskog fluksa:

0=∫ ⋅=S

dS BΦr

. (10.42)

Posmatrajmo jednu zatvorenu provodnu konturu c i proizvoljnu površ, povtršine S , koja senaslanja na nju (vidi sliku 10.11). Ukoliko se magnetski fluks kroz datu površ u toku vremenamenja, u tom slučaju se u provodnoj konturi indukuje elektromotorna sila (EMS):

Br

α

S

Slika 10.10 Uz definiciju magnetskog fluksa


11/12

152 10 MAGNETIZAM

dt

d Φe −= , (10.43)

cS

t

i kroz konturu protiče struja. Indukovana EMS u

bilo kojoj zatvorenoj konturi jednaka je brzini promene magnetskog fluksa kroz nju. Negativni

predznak u (10.43) pokazuje da je indukovaninapon takvog smera da u provodniku izaziva proticanje struje koja svojim smerom indukuje

magnetsko polje koje se opire izvornommagnetskom polju- Lencov zakon.

Na osnovu (10.41) i (10.43) dobijamo izraz:

( )dS t

BdS t

BdS B

dt

d e

S S S

∫∂

∂⋅−∫ ⋅

∂

∂−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∫ ⋅−=

r

r

r

. (10.44)

Ukoliko se provodna kontura kreće kao što je na slici 10.11 prikazano, onda takvo kretanje vodi

smanjenju površine S , odn.:

dl l d l d dl dS ×′=′×−= . (10.45)

Ubacivanjem (10.45) u (10.44) dobijamo:

( ) ∫ ⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ×

∂

′⋅−∫ ⋅

∂

∂−=∫ ×′

∂

∂⋅−∫ ⋅

∂

∂−=

cS cS

dl t

l d BdS

t

Bdl l d

t BdS

t

Be

r

r

r

r

. (10.46)

Kako je brzina kretanja konture:dt

l d ′=v

r

, gornji izraz postaje:

( ) ( )∫ ⋅×+∫ ⋅∂∂

−=∫ ×⋅−∫ ⋅∂

∂−=

cS cS dl BdS

t

Bdl BdS

t

Be

r

r

r

r

r

vv

r

. (10.47)

Na osnovu finalnog izraza u (10.47) zaključujemo da u najopštijem slučaju do indukovanja

EMS u zatvorenoj provodnoj konturi dolazi usled vremenski promenljivog vektora magnetske

indukcije (prvi član) i usled kretanja konture (drugi član).

10.5.1 Indukovana EMS u provodniku koji se translatorno kreće u homogenom stacionarnom

magnetskom polju

Primer provodnika dužine l koji klizi brzinom vr

po paralelnim stranicama provodnog okvira u

homogenom i stacionarnom magnetskom polju indukcije Br

, dat je na slici 10.12 . Kako je polje

stacionarno to je prvi član s desne strane u izrazu u (10.47) jednak nuli. Smer obilaska konture(isprekidana kriva na slici) pri inegraciji u drugom članu mora biti usaglašen sa odabranim

smerom normale na površ konture (logično je izabrati ga u smeru vektora magnetske indukcije

ako su kolinearni). Kako su vektori uzajamno normalni i konstantni u vremenu, njihov vektorski

proizvod izlazi ispred integrala. Prema geometriji problema taj vektorski proizvod gradi ugao π

sa elementarnim vektorom dl , tako da imamo:

Bl dl Bel

vv0

−=∫−= . (10.48)

t+dt

dl

l d ′l d dl ′×

v

r

Slika 10.11 Uz objašnjenje elektromagnetske

indukcije


12/12

10.5 Elektromagnetska indukcija 153

Pokretni provodnik se ponaša kao izvor EMS. Kroz njega indukovana struja protiče od

negativnog pola ka pozitivnom, a u u ostatku kola od pozitivnog ka negativnom. na slici jetakođe naznačen pravac i smer indukcije indukovanog magnetskog polja.

10.5.2 Indukovana EMS u provodniku koji se nalazi nestacionarnom homogenom magnetskom polju

Zatvoreni krivolinijski provodnik, dat na slici 10.13, nalazi se u homogenom nestacionarnommagnetskom polju indukcije:

( ) nt cos B B r

r

⋅= ω . (10.49)

kako se provodnik ne kreće u izrazuza indukovanu EMS ne egzistira

drugi ćlan s desne strane u izrazu u

(10.47). Kako je i:

ndS dS r

⋅= , (10.50)

to na osnovu izraza u (10.47), (10.48)i (10.49) dobijamo:

( ) ( )t sinS BdS t sin BeS

ω =∫= .

(10.51)

Smerovi indukovane struje u

provodniku i indukovanog

magnetskog polja prikazani su naslici.

ind i

Br

ind Br

S

nr

Slika 10.13 Indukcija EMS u provodniku koji se nalazi unestacionarnom homogenom magnetskom polju

Slika 10.12 Indukcija EMS u provodniku koji vrši translatorno kretanje u

stacionarnom homogenom magnetskom polju, Malešević , 2004

vr

l Br

Br

r

×v

dl

ind B

r

ind i

Documents

3. Magnetizam