การบา้น

วชิา คณิตศาสตรว์ศิวกรรม 4

เรื่อง คณุสมบติัของเวกเตอรแ์ละเมตรกิซ์(Properties of Vectors and Matrices)

เสนอ

อาจารยส์ชุยั ตนัยอัชฌาวุฒ

จดัทำาโดย

นายรงัสรรค์ จนัทรค์ลาย 49391295

นายปิยะพงษ์ เพง็พุฒ 49391121 นายปิตจุกัขุ ์ คชานนท์ 49391113

3.2 คณุสมบติัของเวกเตอรแ์ละเมตรกิซ์ผลรวมเชงิเสน้ของตัวแปร ท่ีอยูใ่นรูปผลบวก

( 1 ) + + . . . + ซึ่ง เป็นค่าสมัประสทิธิข์อง ที่ k = 1 , 2 , . . . , Nสมการเชงิเสน้ใน สามารถหาได้โดยการกำาหนดผลรวมเชงิเสน้ใน (1) เพื่อหาค่า b นัน่คือ

( 2 ) + + . . . + = ระบบสมการเชงิเสน้เกิดขึ้นบอ่ยมากและถ้าสมการ M ในตัวแปร

N ได้ใหม้า เราเขยีนได้วา่ + + . . . + = + + . . . + =

( 3 ) + + . . . + =

+ + . . . + =

เพื่อท่ีจะเก็บตำาแหน่งของค่าสมัประสทิธิท์ี่แตกต่างกันในแต่ละสมการ จำาเป็นท่ีจะต้องใชตั้วอักษรหอ้ย ท้าย 2 ตัว( k , j ) ตัวแรกบอกถึงสมการที่ k ตัวที่ 2 บอกถึงตัวแปร วธิทีำาใน ( 3 ) คือชุดของค่าตัวเลข ซึ่งเป็นไปตามสมการทัง้หมดใน ( 3 ) อยา่งพรอ้มๆกัน ดังนัน้การแก้สมการสามารถมองเหน็ได้ในรูปของเวกเตอรเ์กี่ยวกับขนาด N

( 4 )

ตัวอยา่ง 3.4 คอนกรตี ( พื้นทางเดิน ) เป็นการผสมจากซเีมนต์ ทราย และกรวดในรา้นขายม ี3 กลุ่มที่ใชง้านได้สำาหรบัชา่งก่อสรา้ง กลุ่ม 1 มซีเีมนต์ ทราย และกรวด ผสมกันในอัตราสว่น 1/8 , 3/8 , 4/8 กลุ่ม 2 ผสมในอัตราสว่น 2/10 , 5/10 , 3/10 กลุ่ม 3 ผสมกันในอัตราสว่น 2/5 , 3/5 , 0/5

ให ้ และ แทนจำานวน ( ในหน่วยลกูบาศก์หลา ) ท่ีจะใชจ้ากแต่ละกลุ่มเพื่อท่ีจะจดัสว่นผสมของ 10 ลกูบาศก์หลา สมมุติวา่สว่นผสมม ี = 2.3 , = 4.8 , = 2.9 ลกูบาศก์หลาของซเีมนต์ ทราย และกรวด ตามลำาดับดังนัน้ระบบสมการเชงิเสน้ของสว่นประกอบทัง้หมด คือ

0.125 + 0.200 + 0.400 = 2.3 ( ซเีมนต์ )

( 5 ) 0.375 + 0.500 + 0.600 = 4.8 ( ทราย )

0.500 + 0.300 + 0.000 = 2.9 ( กรวด )

คำาตอบในระบบเชงิเสน้ ( 5 ) คือ = 4 , = 3 , = 3 ซึ่งสามารถพสิจูน์ได้โดยการแทนเขา้ไปเลยในสมการ

0.125( 4 ) + 0.200( 3 ) + 0.400( 3 ) = 2.3

0.375( 4 ) + 0.500( 3 ) + 0.600( 3 ) = 4.8

0.500( 4 ) + 0.300( 3 ) + 0.000( 3 ) = 2.9

การคณูเมตรกิซ์นิยาม 3.1 ถ้า = และ = เป็นเมตรกิซ ์2 เมตรกิซท่ี์มคีณุสมบติัวา่ มหีลายคอลัมน์ ในขณะที่ มหีลายแถว ดังนัน้ผลคณูเมตรกิซ ์ จงึถกูนิยามเป็นเมตรกิซ ์ ในมติิของ

( 6 ) = = ท่ีซึ่งสมาชกิ ของ ได้ใหไ้วแ้ล้วโดยผลคณูของแถวท่ี i ของ

และคอลัมน์ลำาดับท่ี j ของ

( 7 ) =

ท่ี i = 1 , 2 , . . . , และ j = 1 , 2 , . . . ,

ตัวอยา่ง 3.5 จงหาวา่ = ในเมตรกิซต่์อๆไป และอธบิายวา่ทำาไม จงึไมถ่กูนิยาม

= , = เมตรกิซ ์ ม ี2 คอลัมน์ และ ม ี2 แถว ดังนัน้ผลคณูเมตรกิซ ์ จงึถกูนิยาม ผลคณูของเมตรกิซ ์ และเมตรกิซ ์ คือเมตรกิซ ์ จากการคำานวณแสดงใหเ้หน็วา่

=

= =

=

เมื่อลองทำาในรูปแบบของผลคณู เราพบวา่มติิต่างๆไม่สามารถอยูร่ว่มกันในลำาดับแบบน้ีได้เพราะวา่แถวของ เป็นเวกเตอร ์3 มติิ และคอลัมน์ของ เป็นเวกเตอร ์2 มติิ ดังนัน้ผลคณูจุดของแถวที่ j ของ และคอลัมน์ท่ี k ของจงึไมถ่งูนิยาม

ถ้าเกิดวา่ = , เรากล่าววา่ และ สบัเปล่ียนกันได้ เป็นประจำาโดยสว่นใหญ่ แมว้า่ และ จะถกูนิยามทัง้คู่ แต่ผลคณูก็ไมเ่หมอืนกันแน่นอน

ถึงตอนน้ีเราจะพูดถึงการใชเ้มตรกิซอ์ธบิายระบบสมการเชงิสน้ สมการเชงิเสน้ใน ( 3 )สามารถเขยีนใหอ้ยูใ่นรูปของผลคณูเมตรกิซไ์ด้ ค่าสมัประสทิธ ์ จะถกูเก็บไวใ้นเมตรกิซ ์ ( เรยีกวา่เมตรกิซส์มัประสทิธ ์) ของมติิ และตัวแปร จะถกูเก็วไวใ้นเมตรกิซ ์ ของมติิ ค่าคงที่ จะถกูเก็บไวใ้น

เมตรกิซ ์ ของมติิ มนัเป็นเรื่องธรรมดาที่จะใชเ้มตรกิซ์คอลัมน์สำาหรบั และ และเขยีนได้วา่

( 8 )

การคณูเมตรกิซ ์ ใน ( 8 ) เป็นการเตือนใหนึ้กถึงผลคณูจุดสำาหรบัเวกเตอรธ์รรมดา เพราะวา่สมาชกิ แต่ละตัวใน คือผลลัพธท่ี์ถกูเก็บไวโ้ดยการนำาผลคณูจุดของแถว ในเมตรกิซ ์ กับคอลัมน์เมตรกิซ ์

ตัวอยา่ง 3.6 จงอธบิายระบบสมการเชงิเสน้ ( 5 ) ในตัวอยา่ง 3.4 ในรูปของผลคณูเม

รติกซ ์ใชก้ารคณูเมตรกิซเ์พื่อเพื่อยนืยนัวา่ เป็นคำาตอบของ ( 5 )

( 9 )

เพื่อยนืยนัวา่ เป็นคำาตอบของ ( 5 ) เราต้องแสดงวา่ =

เมตรกิซพ์เิศษ

เมตรกิซ ์ ซึ่งสมาชกิเป็นศูนยทั์ง้หมด จะถกูเรยีกวา่เมตรกิซศู์นยข์องมติิ และนัน่หมายความวา่

( 10 )

เมื่อมติิวา่งเปล่า เราใช ้ ในการแสดงถึงเมตรกิซศู์นย์เมตรกิซเ์อกลักษณ์อันดับ เป็นเมตรกิซจ์ตรุสัที่ถกูกำาหนด

โดย

( 11 ) เมื่อ =

มนัเป็นเอกลักษณ์การคณู ซึ่งจะแสดงใหเ้หน็ในตัวอยา่งต่อไปตัวอยา่ง 3.7 ให ้ เป็นเมตรกิซ ์ แล้ว การคณูกันของ ทางด้านซา้ย

โดย ทำาใหเ้กิด

การคณูกันของ ทางด้านขวาโดย ทำาใหเ้กิด

คณุสมบติับางประการของการคณูเมตรกิซไ์ด้ถกูกำาหนดในทฤษฏีบทถัดไป

ทฤษฏีบท 3.3 ( การคณูเมตรกิซ ์) สมมุติวา่ เป็นสเกลาร ์และ A ,B และ C เป็นเมตรกิซ ์ท่ีระบุวา่ผลบวกและผลคณูถกูนิยาม ดังน้ี

( 12 ) เป็นการเชื่อมโยงของการคณูเมตรกิซ์ ( 13 ) เมตรกิซเ์อกลักษณ์ ( 14 ) คณุสมบติัการกระจายทางซา้ย ( 15 ) คณุสมบติัการกระจายทางซา้ย ( 16 ) คณุสมบติัการเชื่อมโยงสเกลาร์

อินเวริส์ของเมตรกิซไ์มเ่อกฐานแนวความคิดของอินเวริส์ที่นำามาใชก้ับเมตรกิซ ์แต่คำาสัง่

พเิศษดังกล่าวนัน้ต้องถกูกำาหนดมา เมตรกิซ ์ จะถกูเรยีกวา่ไมเ่อกฐานหรอืสามารถสบัที่กันได้ถ้ามอียูใ่น เมตรกิซ ์

เชน่

( 17 )

ถ้าไมม่เีมตรกิซ ์ ดังกล่าว จะถกูเรยีกวา่เป็นเอกฐาน เมื่อพบวา่ เป็นไปตาม ( 17 ) เรากล่าววา่ เป็นอินเวริส์ของ และมกัจะเขยีนวา่ และใชแ้บบที่เหน็เสมอๆ คือ

( 18 ) ถ้า ไมเ่อกฐาน

มนัง่ายท่ีจะทำาใหเ้หน็วา่เมตรกิซ ์ สามถเป็นไปตาม( 17 )ได้ สมมุติวา่ C เป็นอินเวริส์ของ ด้วย ( เชน่ ) ดังนัน้คณุสมบติั ( 12 ) และ ( 13 ) สามารถนำามาใชไ้ด้

ดีเทอรม์แินนท์ดีเทอรม์แินนท์ของเมตรกิซ ์ จตรุสัเป็นปรมิาณสเกลาร(์

จำานวนจรงิ )และถกูแสดงใหเ้หน็โดย det(A) หรอื |A| ถ้า เป็นเมตรกิซ ์

ดังนัน้ปกติจะเขยีนวา่

ถึงแมว้า่สญัลักษณ์ของดีเทอรม์แินนท์อาจดเูหมอืนกับเมตรกิซ ์แต่คณุสมบติัของมนันัน้แตกต่างกันโดยสิน้เชงิ ขอ้แรก ดีเทอร์มแินนท์เป็นปรมิาณสเกลาร(์ จำานวนจรงิ ) คำาจำากัดความของ det(A) ท่ีพบในตำาราพชีตณิตเชงิเสน้สว่นมากนัน้เป็นเรื่องทีควบคมุได้ยากสำาหรบัการคำานวณ เมื่อ N > 3 เราจะทำาใหเ้หน็ถึงวธิกีารคำานวณดีเทอรม์แินนท์โดยใชว้ธิกีารขยายโคแฟคเตอร ์การประเมณิผลของดีเทอรม์แินนท์อันดับสงูจะทำาโดยใช ้

Gaussian elimination และถกูกล่าวถึงในสว่นประกอบของ Program 3.3

ถ้า เป็นเมตรกิซ ์ เรานิยามวา่ det(A) = ถ้า เมื่อ N ดังนัน้ ให ้ เป็นดีเทอรม์แินนท์ของเมตรกิซย์อ่ย ของ ที่ได้มาจากการลบแถวที่ I และคอลัมน์ท่ี j ของ ดีเทอรม์แินนท์ ถกูอ้างเป็นตัวรองของ โคแฟคเตอร ์ ของ ถกูนิยามในรูปของ

ดังนัน้ดีเทอรม์แินนท์ของเมตรกิซ ์ ถกูกำาหนดโดย

( 19 ) ( การขยายแถวที่ i )หรอื

( 20 ) ( การขยายคอลัมน์ที่ j )

การประยุกต์ใชส้ตูร ( 19 ) ท่ี i = 1 ไปเป็นเมตรกิซ ์

เราเหน็วา่ ในตัวอยา่งถัดไปจะแสดงวธิีการใชส้ตูร ( 19 ) และ ( 20)เพื่อลดการคำานวณที่ใหผ้ลล์แบบยอ้นกลับของดีเทอรม์แินนท์เมตรกิซ ์ ไปเป็นการคำานวณของดีเทอรม์แินนท์

ตัวอยา่ง 3.8 ใชส้ตูร ( 19 )ท่ี i = 1 และสตูร ( 20 ) ท่ี j = 2 เพื่อคำานวณหาดีเทอรม์แินนท์ของ

เมตรกิซ์

การใชส้ตูร ( 19 ) ท่ี i = 1 เราได้วา่

การใชส้ตูร ( 20 ) ท่ี j = 2 เราได้วา่

ในทฤษฏีบทถัดไปจะใหเ้ง่ือนไขอยา่งเพยีงพอสำาหรบัการมีอยูแ่ละความเป็นหน่ึงเดียวกันของคำาตอบของระบบเชงิเสน้

สำาหรบัเมตรกิซส์มัประสทิธิจ์ตรุสัทฤษฏีบท 3.4 สมมุติวา่ เป็นเมตรกิซ ์ ขอ้ความต่อไปน้ีมีค่าเท่ากัน ( 21 ) กำาหนดเมตรกิ ใดๆ ระบบเชงิเสน้ มคีำาตอบเพยีงหน่ึงเดียว ( 22 ) เมตรกิซเ์ป็นเมตรกิซไ์มเ่อกฐาน ( เชน่ ยงัคงอยู ่) ( 23 ) ระบบสมการ มคีำาตอบเดียวคือ ( 24 )

ทฤษฏีบท 3.3 และ 3.4 ชว่ยเชื่อมโยงพชีคณิตเมตรกิซใ์หเ้ป็นพชีคณิตธรรมดา ถ้าขอ้ความ( 21)เป็นจรงิ แล้วขอ้ความ( 22 )เป็นจรงิเชน่กันด้วยคณุสมบติั( 12 )และ( 13 )ใหค้วามเป็นเหตเุป็นผลในบรรทัดต่อไป ( 25 ) มคีวามหมายวา่ ซึ่งมคีวามหมายวา่

ตัวอยา่ง 3.9 จงใชก้ารอินเวริส์ของเมตรกิซ์

และเหตผุลใน ( 25 ) ในการแก้ระบบเชงิเสน้

การใช ้( 25 ) เราได้วา่

ขอ้สงัเกต ถ้าเป็นไปได้ ในแบบฝึกหดัเราควรหลีกเล่ียงการคำานวณเกี่ยวกับตัวเลขโดยตรงของอินเวริส์ เมตรกิซไ์มเ่อกฐานหรอืดีเทอรม์แินนท์ของเมตรกิซจ์ตรุสั แนวความคิดเหล่าน้ีถกูใชเ้ป็นเครื่องมอืตามทฤษฏีบท เพื่อพสิจูน์การมอียูแ่ละความเป็นหน่ึงเดียวของคำาตอบหรอือีกความหมายก็เพื่ออธบิายคำาตอบของระบบพชีคณิตชงิเสน้ใหเ้รว็ที่สดุ (เชน่ในตัวอยา่ง 3.9)

การหมุนรอบระนาบสมมุติวา่ เป็นเมตรกิซ ์ และ เป็นเมตรกิซ ์

แล้ว ผลคณู เป็นเมตรกิซ ์ อ่ืน น่ีคือตัวอยา่งของการเปล่ียนรูปเชงิเสน้ และมกัจะประยุกต์ในสว่นของคอมพวิเตอรก์ราฟฟกิ เมตรกิซ ์ มค่ีาเท่ากับเวกเตอร ์

ทางการวางตามตำาแหน่ง ซึ่งแสดงใหเ้หน็ถึงการ

สอดคล้องกันของจุดจุดหน่ึงในปรภิมู ิ3 มติิ พจิารณาเมตริกซพ์เิศษทัง้ 3 ต่อไปน้ี

( 26 ) ,

( 27 ) ,

( 28 )

ตาราง 3.1 ความสมัพนัธข์องจุดยอดของลกูบาศก์ภายใต้การหมุนรอบท่ีต่อเน่ืองเป็นลำาดับ

เมตรกิซ ์ และ ใชห้มุนจุดต่างๆรอบแกน และ ผ่านมุม และ ตามลำาดับ อินเวริส์คือ

และ และหมุนปรภิมูริอบแกน และ

ผ่านมุม และ ตามลำาดับ ตัวอยา่งต่อไปจะสาธติสถานการณ์ และการสำารวจท่ีนอกจากน้ีได้ถกูตัดออกสำาหรบัผู้อ่าน

ตัวอยา่ง 3.10 ลกูบาศก์หน่วย อยูใ่นออคแตนท์ท่ี 1 กับ 1 จุดยอดที่จุดกำาเนิดแรก หมุนลกูบาศก์ผ่านมุม รอบแกน

แล้วหมุนรูปน้ีผ่านมุม รอบแกน จงหาจุดยอด 8 จุดทัง้หมดของลกูบาศก์

การหมุนครัง้แรกถกูกำาหนดโดยการเปล่ียนรูป

ดังนัน้การหมุนครัง้ท่ี 2 ถกูกำาหนดโดย

การประกอบขึ้นจากการหมุนทัง้ 2 ครัง้ คือ

รูป 3.2 ( a ) ลกูบาศก์ที่จุดกำาเนิด ( b) การหมุนรอบแกน

( c ) การหมุนรอบแกน

การคำานวณเกี่ยวกับตัวเลขสำาหรบัความสมัพนัธข์องจุดยอดของลกูบาศก์เริม่ต้น นัน้ถกูกำาหนดโดย ตาราง 3.1 ( ในรูปเวกเตอรต์ามตำาแหน่ง ) และรูปภาพของลกูบาศก์เหล่าน้ีถกูแสดงตาม รูป 3.2 ( a ) ถึง ( c )

แมทแลบฟงัก์ชัน่แมทแลบ และ ใชค้ำานวณดีเทอรม์แินนท์และอินเวริส์ ( ถ้า อินเวริส์ได้ ) ของเมตรกิซ ์ จตรุสัตามลำาดับ

ตัวอยา่ง 3.11 จงใชแ้มทแลบแก้ระบบเชงิเสน้ในตัวอยา่ง 3.6 ใช้วธิอิีนเวริส์เมตรกิซอ์ธบิายใน( 25 )

ขัน้แรกเราต้องแน่ใจวา่ ต้องไมเ่อกฐาน โดยการแสดงวา่ ( ทฤษฏีบท 3.4 )

>> A = [ 01.25 0.200 0.400 ; 0.375 0.500 0.600 ; 0.500 0.300 0.000 ] ;>> det(A)ans= - 0.0175

ตามเหตผุลใน ( 25 ) คำาตอบของ คือ >> X = inv(A) * [ 2.3 4.8 2.9 ] , X = 4.0000 3.0000 3.0000

เราสามารถตรวจคำาตอบของเราได้โดยการยนืยนัวา่ >> B = A * XB = 2.3000 4.8000 2.9000

Exercises for Properties of Vectors and Matrices

1. Find and for the following matrices :

Solution

2. Find and for the following matrices :

Solution

3. Let A , B and C be given by

( a ) Find and ( b ) Find and ( c ) Find and ( d ) Find and

Solution( a )

( b )

( c )

( d )

4. We use the notation .Find and for the following matrices :

Solution

\

5. Find the determinant of the following matrices , if it exist.

( a ) ( b )

( c ) ( d )

Solution( a )

( b )

( c ) = This matrix is not exist.

( d )

10. Let and be matrix and matrix( a ) How many multiplications are needed to calculate ( b ) How many additions are needed to calculate

Solution( a )

( b )

13. Find and , where .Note. is the transpose of

Solution

รูป 3.3 ( a ) ลกูบาศก์ที่จุดกำาเนิด ( b) การหมุนรอบแกน

( c ) การหมุนรอบแกน

3.1 มคีู่เสน้ตรงของสีเ่หล่ียมลกูบาศก์ท่ีอยูใ่นตำาแหน่งแรกของ 1/8 ของวงกลมของจุดยอดทึ่จุดกำาเนิดหมายเหตุ แปดตัวเลขสามารถเก็บในเมตตรกิซ ์U จากขนาด 8x3 จากจุดไหนของแต่ละแถวแทนคู่อันดับจากหนึ่งเวกเตอรม์นัเนื่องมาจากรูปแบบของแบบฝึกหดัที่ 14 นัน่ผลคณูจากเวกเตอร ์U และการเปล่ียนตำาแหน่งจาก Rz (

จากขนาด 8x3 (แทนบรรทัดท่ี 2 ของ 3.1 จุดไหนของแต่ละแถวแทนการเปล่ียนรูปเหมอืนแถวใน U ) รวมความคิดจากแบบฝึกหดัท่ี 15 มนัเนื่องมาจากคู่อันดับจากเวคเตอรใ์ต้สีเ่หล่ียมลกูบาศก์ ตัวเลขทัง้หมดจะเป็นลำาดับการหมุน สามารถแทนไปยงัการคณูเมตตรกิซ์

1. มลีกูบาศก์ต้นแบบ 1 รูป เริม่แรกหมุนรูปเป็นมุม

ศก์เริม่ต้น

และนำามาเปรยีบเทียบกับผลลัพธท่ี์ได้ออกมากับตัวอยา่ง 3.10 วา่ผลลัพธ์ทัง้ 2 ค่าต่างกันอยา่งไร โดยไมส่ามารถใชว้ธิกีารคณูเมตตรกิซ ์ใหด้รููป 3.3

ตัง้แต่ a-c ใชว้ธิพีลอท 3 มาพลอทลกูบาศก์ทัง้ 3 รูป2. ลกูบาศก์ 1 รูปในแนวแกนเริม่ต้นหมุนลกูบาศก์เป็นมุม /12 รอบแกน x

จากนัน้หมุนลกูบาศก์ในมุม /6 รอบแกน z แล้วหาจุดยอดทัง้ 8 จุดของ

ลกูบาศก์เริม่ต้น ใชว้ธิพีลอท 3 เพื่อพลอทในแต่ละรูป3. สีเ่หล่ียมจตรุสัที่แกน (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) และ (0,0,1) เริม่แรกหมุนผ่าน

วงกลมรศัมี 0.15 รอบแกน y จากนัน้หมุนผ่านวงกลมรศัมี -1.5 รอบแกน

z และหมุนผ่านวงกลมรศัมี 2.7 รอบแกน x และหาวา่เป็นภาพแบบใดใหใ้ช้วธิพีลอท 3 ในการพลอททัง้ 4 รูป