7-1 7 7-2 7 บทที่ 7 7.1 สมการเชิงเส ...pioneer.netserv.chula.ac.th/.../312ch07_2555_2nd.pdfบทท 7 สมการเช งเส ม ส นท

บทที่ 7สมการเชิงเสนที่มีสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร

7-1


Linear Equations with Variable Coefficients

ภาคฤดูรอน ปการศึกษา 2550


7-2

7.1 สมการโคชี-ออยเลอร (The Cauchy-Euler Equation)คือสมการในรูปแบบ

)x(fyayxa yxayxa n1n)1n(1n

1)n(n

0 =+′+++ −−− L

ตัวอยาง 2xyyx =+′

แทนคา zex =

zxln = dx

dzx1 =

เพราะวา x1

dzdy

dxdz

dzdy dx

dy y ===′

dzdyyx =′

เพราะฉะนั้น 2xyyx =+′

z2eydzdy =+

z2ey)1D( =+ เมื่อ dzdD =

เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ

3eece1D

1ecyyyz2z

1z2z

1pc +=+

+=+= −−

3eec)z(y

z2z1 += −

3xxc)x(y

211 += −


7-3

สมการโคชี-ออยเลอรเอกพันธุอันดับสองอันดับ n)x(fyayxa yxayxa n1n

)1n(1n1

)n(n0 =+′+++ −

−− L

แทนคา zex = และกําหนดสัญลักษณ dzdD =

เพราะฉะนั้น zxln =

dxdz

x1 =

Dyx1

dxdz

dzdy

dxdyy ===′

Dydxdyx =

)DyyD(x1

dzdy

dzyd

x1

dxydy 2

22

2

22

2−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==′′

y)1D(Ddx

ydx2

22 −=

กรณีทั่วไปจะไดวา y)1nD()1D(Ddx

ydxn

nn +−−= L

เพราะฉะนั้นสมการโคชี-ออยเลอรเอกพันธุอันดับ n0yayxa yxayxa n1n

)1n(1n1

)n(n0 =+′+++ −

−− L

จะเขียนในรูปตัวดําเนินการไดเปน 0yaDya y)1nD()1D(Da n1n0 =++++−− −LL

มีสมการชวยคือ0ama )1nm()1m(ma n1n0 =++++−− −LL


7-4

ทฤษฎีบทถา iy เปนผลเฉลยของ

0yayxa yxayxa n1n)1n(1n

1)n(n

0 =+′+++ −−− L

ซึ่งสมนัยกับราก im ของสมการชวย0ama )1nm()1m(ma n1n0 =++++−− −LL

และถารากนี้เปนรากซ้ํา k ครั้งแลว 1k

iii )x(lny , ,xlny ,y −K เปนผลเฉลย

ผลเฉลยทั่วไปของสมการ0yayxa yxayxa n1n

)1n(1n1

)n(n0 =+′+++ −

−− L

คือผลรวมเชิงเสนของผลเฉลยเหลานี้ที่ไดมาจากรากที่ตางกันทั้งหมดของสมการ

2301312 Differential equations 2555 2nd Page 1 of 19


7-5

สมการโคชี-ออยเลอรเอกพันธุอันดับสองอันดับ 2 0cyybxyax2 =+′+′′

สมการชวยคือ 0cbm)1m(am =++−

0cm)ab(am2 =+−+

ผลเฉลยจําแนกเปน 3 กรณีคือกรณีที่ 1 ราก 2 รากเปนจํานวนจริงที่ตางกันคือ 1m และ 2m

ผลเฉลยทั่วไปคือ z2m2

z1m1 ecec )z(y +=

2m21m

1 xcxc )x(y +=

กรณีที่ 2 ราก 2 รากเปนจํานวนจริง 1m ที่ซ้ํากันผลเฉลยทั่วไปคือ z1m

2z1m

1 zecec )z(y +=

xlnxcxc )x(y 1m21m

1 +=

กรณีที่ 3 ราก 2 รากเปนจํานวนเชิงซอน iqp + และ iqp −

โดยที่ p และ q เปนจํานวนจริงซึ่ง 0q ≠

ผลเฉลยทั่วไปคือ )qzsincqzcosc(e)z(y 21pz +=

)]xlnqsin(c)xlnqcos(c[x )x(y 21p +=


7-6

ตัวอยางที่ 7.1.1 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 0y3yx3yx2 =+′−′′

วิธีทาํ สมการชวยคือ 03m3)1m(m =+−−

03m4m2 =+−มีราก 2 รากคือ 3,1m =

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ 321 xcxc)x(y +=

ตัวอยางที่ 7.1.2 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ0y4yx5yx2 =+′+′′

วิธีทาํ สมการชวยคือ 04m5)1m(m =++−

04m4m2 =++มีรากซ้ําคือ 2,2m −−=

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ xlnxcxc)x(y 22

21

−− +=

ตัวอยางที่ 7.1.3 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ0yyx6yx3 2 =+′+′′

วิธีทาํ สมการชวยคือ 01m6)1m(m3 =++−

01m3m3 2 =++รากคือ i

321

21m ±−=

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ

] )xln32

1sin(c)xln32

1cos(c[x)x(y 2121 += −


7-7

ตัวอยางที่ 7.1.4 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ0y8yx2yx2yx 23 =+′−′′−′′′

วิธีทาํ สมการชวยคือ08m2)1m(m2)2m)(1m(m =+−−−−−

08m2m5m 23 =++− 0)2m)(4m)(1m( =−−+

มีรากคือ 4,2,1m −=

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ 43

22

11 xcxcxc)x(y ++= −

ตัวอยางที่ 7.1.5 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ0y8yx19yx9yx 23 =+′+′′+′′′

วิธีทาํ สมการชวยคือ08m19)1m(m9)2m)(1m(m =++−+−−

08m12m6m 23 =+++ 0)2m( 3 =+

มีราก 2m −= ซ้ํา 3 ครั้งเพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ

223

22

21 )x(lnxcxlnxcxc)x(y −−− ++=


7-8

ตัวอยางที่ 7.1.6 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ4

2

22

3

33 xy15

dxdyx5

dxydx4

dxydx =−−+

วิธีทาํ แทนคา zex = และ dzdD =

จะไดสมการใหมเปนz4ey15Dy5y)1D(D4y)2D)(1D(D =−−−+−−

z423 ey)15D7DD( =−−+สมการชวยคือ 015m7mm 23 =−−+

0)5m4m)(3m( 2 =++−รากคือ i2 ,3m ±−=

เพราะฉะนั้น )zsinczcosc(eec)z(y 32z2z3

1c ++= −

และ z423p e

15D7DD1)z(y

−−+=

37ee

15)4(7441 z4z4

23 =−−+

=

เพราะฉะนั้น )z(y)z(y)z(y pc +=

z432

z2z31 e

371)zsinczcosc(eec +++= −

และ37x)]xsin(lnc)xcos(lnc[xxc)x(y

432

231 +++= −



7-9

ตัวอยางที่ 7.1.7 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ

)xsin(lnx)xcos(lny4dxdyx

dxydx2

22 +=+−

วิธีทาํ ให zex = หรือ zxln = และ dzdD =

เพราะฉะนั้น zsinezcosy4Dyy)1D(D z+=+−−

zsinezcosy)4D2D( z2 +=+−สมการชวยคือ 04m2m2 =+−

มีรากคือ i 31m ±=

เพราะฉะนั้น )]z3sin(c)z3cos(c[e)z(y 21z

c +=

และ zsinze4D22D

1zcos4D22D

1)z(py+−

++−

=

zsin4)1D(22)1D(

1zezcos4D221

1++−+

++−−

=

zsin32D

1zezcos2D491)D23(

++

−+=

zsin3)21(

1zezcos)21(49

1)D23(+−

+−−

+=

zsinze21)zsin2zcos3(

131 +−=


)]z3sin(2c)z3cos(1c[ze += zsinze21)zsin2zcos3(

131 +−+

)]xln3sin(c)xln3cos(c[x)x(y 21 +=

)xsin(lnx21)]xsin(ln2)xcos(ln3[13

1 +−+


7-10

สมการเชิงอนุพันธในรูปแบบ y)bax(ay)bax(a )1n(1n

1)n(n

0 L++++ −−

)x(fyay)bax(a n1n =+′++ −L

แทนคา zebax =+ หรือ z)baxln( =+ (สําหรับ abx −> )

และ dzdD =

จะไดวา y)1nD()1D(Dadx

yd)bax( nn

nn +−−=+ L

แทนในสมการ y)bax(ay)bax(a )1n(1n

1)n(n

0 L++++ −−

)x(fyay)bax(a n1n =+′++ −L

จะเปลี่ยนเปน y)1nD()1D(Daa n

0 LL ++−−

)abe(fyaaDya

zn1n

−=++ −L

เปนสมการที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว


7-11

ตัวอยางที่ 7.1.8 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ1x4x3y36y)2x3(3y)2x3( 22 ++=−′++′′+

วิธีทาํ ให ze2x3 =+ หรือ z)2x3ln( =+ และ dzdD =

เพราะฉะนั้น ]1)2x3[(31y36Dy33y)1D(D3 22 −+=−⋅+−

)1e(31y)4D(9 z22 −=−

)1e(271y)4D( z22 −=−

สมการชวยคือ 04m2 =−

รากคือ 2 ,2m −=

เพราะฉะนั้น z22

z21c ecec)z(y += −

)e4D

1e4D

1(271)z(y z0

2z2

2p −−

−=

)40

ee4z(27

12

z0z2−

−=

)1ze(108

1 z2 +=


)1ze(108

1ecec z2z22

z21 +++= −

เพราะวา ze2x3 =+ หรือ z)2x3ln( =+

เพราะฉะนั้น 22

21 )2x3(c)2x3(c)x(y +++= −

]1)2x3ln()2x3[(1081 2 ++++


7-12

7.2 จุดสามัญและจุดเอกฐานบทนิยามที่ 7.2.1 อนุกรมกาํลัง (power series) ใน 0xx −

คืออนุกรมอนันต ∑∞

=−

0n

n0n )xx(a

∑∞

=−

0n

n0n )xx(a เปนอนุกรมกําลังที่มีจุดศูนยกลางที่ 0x

เมื่อให x มีคาคาหนึ่ง

1. ถา ∑∞

=−

0n

n0n )xx(a มีคาเปนจํานวนจริง

เรากลาววา อนุกรมลูเขา (converge) ที่จุด x

2. ถาอนุกรมไมลูเขาที่จุด xจะกลาววา อนุกรมลูออก (diverge) ที่จุด x

3. ชวงของการลูเขา (interval of convergence)คือเซตของจํานวนจริง x ทั้งหมดที่ทําใหอนุกรมลูเขา

4. ทุกชวงของการลูเขาจะมี รัศมีของการลูเขา (radius of convergence)



7-13

รัศมีของการลูเขา R (radius of convergence R)

การลูเขาของ ∑∞

=−

0n

n0n )xx(a มี 3 แบบ

(1) อนุกรมลูเขาเฉพาะ x = 0x ในกรณีนี้ 0R =

(2) อนุกรมลูเขาทุกคา x ซึ่ง R |xx| 0 <− โดยที่ 0R >

และอนุกรมลูออกทุกคา x ซึ่ง R |xx| 0 >−

(3) อนุกรมลูเขาสําหรับทุกคา x ในกรณีนี้เราเขียน ∞=R

การลูเขาอยางสัมบูรณ

ถาอนุกรม ∑∞

=−

0n

n0n )xx(a ลูเขา

แลว ∑∞

=−

0n

n0n )xx(a ลูเขาอยางสัมบูรณ


7-14

สมบัติของอนุกรมกาํลัง

บนชวงของการลูเขาของอนุกรม ให ∑∞

=−=

0n

n0n )xx(a )x(f

ถาอนุกรมมีรัศมีของการลูเขา 0R >

1. f เปนฟงกชันตอเนื่อง หาอนุพันธได และหาปริพันธไดบนชวง )Rx,Rx( 00 +−

2. L )xx(a3)xx(a2a)x(f 203021 +−+−+=′

∑∞

=

−−=1n

1n0n )xx(na

3. ∫ dx )x(f

L 3)xx(

a2)xx(

a)xx(ac3

02

20

100 +−

+−

+−+=

∑∞

=

+

+−

+=0n

1n0

n 1n)xx(

a c

4. ถา 0)xx(a 0n

n0n =−∑

∞

= )Rx,Rx(x 00 +−∈∀

แลว 0a n = ทุก n


7-15

5. ถา ∑∞

=−=

0n

n0n )xx(a )x(f

และ ∑∞

=−=

0n

n0n )xx(b )x(g )Rx,Rx(x 00 +−∈∀

แลว

(1) ∑∞

=−=

0n

n0n )xx(ca )x(cf , c เปนคาคงตัว

(2) )x(g)x(f +

L )xx)(ba()xx)(ba()ba( 202201100 +−++−+++=

∑∞

=−+=

0n

n0nn )xx)(ba(

(3) )x(g)x(f

+−++= )xx)(baba(ba 0011000L )xx)(bababa( 2

0021120 +−+++

∑ ∑∞

= =− −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0n

n0

n

0mmnm )xx(ba


7-16

บทนิยามที่ 7.2.2 )x(f เปน ฟงกชันวิเคราะห (analyticfunction) ที่จุด 0x ก็ตอเมื่อ เขียนแทน )x(f ไดดวยอนุกรมเทยเลอร (Taylor series) รอบจุด 0x

เพราะฉะนั้น

n0

0n

0)n(

)xx(!n

)x(f)x(f −= ∑

∞

= R |xx|x 0 <−∀

เมื่อ R คือรัศมีของการลูเขาของอนุกรม

ตัวอยาง ∑∞

==

0n

nx !n

x e

∑∞

=

−=

0n

n2n

)!n2(x)1( xcos

∑∞

=

+

+−

=0n

1n2n

)!1n2(x)1( xsin

∑∞

==

− 0n

n x x1

1

เพราะฉะนั้นฟงกชันเหลานี้เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =

ขอควรจาํ 1. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันวิเคราะห4x3x2)x(f 2 ++= ฟงกชันวิเคราะห

2. ฟงกชันตรรกยะซึ่งเปนฟงกชันในรูปผลหารของพหุนามเปนฟงกชันวิเคราะหที่ทุกจุดยกเวนจุดซึ่งทําใหตัวสวนเปนศูนย



7-17

การหาผลเฉลยในรูปอนุกรมของสมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสน 0y)x(cy)x(by)x(a =+′+′′

เขียนในรูปมาตรฐาน 0y)x(Qy)x(Py =+′+′′

บทนิยามที่ 7.2.3 จุด 0x เรียกวา จุดสามัญ (ordinary point)ของสมการ 0y)x(Qy)x(Py =+′+′′

ถาฟงกชันสัมประสิทธิ์ )x(P และ )x(Q

เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x

1. เรียกจุดที่ไมใชจุดสามัญวา จุดเอกฐาน (singular point)

2. เรียกจุดเอกฐาน 0x วาเปน จุดเอกฐานปรกติ (regularsingular point) ถา )x(P)xx( 0− และ )x(Q)xx( 2

0− เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x

ไมเชนนั้นจะเรียก 0x วาเปน จุดเอกฐานไมปรกติ (irregularsingular point)


7-18

ตัวอยางที่ 7.2.3 0y3y)1x(2y)1x(x 33 =+′−+′′−

0y)1x(x

3yx2y

3=

−+′+′′

x2)x(P = และ

3)1x(x3)x(Q−

=

เพราะวา )x(P และ )x(Q เปนฟงกชันตรรกยะเพราะฉะนั้นจะไดวาทุกจุด x เปนจุดสามัญยกเวนจุด 0x = และ 1x = เปนจุดเอกฐาน

ที่ 0x =

2)x(xP = เปนฟงกชันพหุนาม

32

)1x(x3)x(Qx−

= เปนฟงกชันตรรกยะที่ตัวสวนไมเปนศูนย

เพราะฉะนั้น )x(xP , )x(Qx 2 เปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x =

เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ

ที่ 1x =

x)1x(2)x(P)1x( −

=− เปนฟงกชันตรรกยะ

)1x(x3)x(Q)1x( 2−

=− ไมเปนฟงกชันวิเคราะห

เพราะฉะนั้น 1x = เปนจุดเอกฐานไมปรกติ


7-19

ตัวอยางที่ 7.2.4 0y)2x(y)3x(5y)3x(x 22 =++′−+′′−

0y)3x(x

2xy)3x(x

5y222

=−++′

−+′′

)3x(x5)x(P

2 −= และ

22 )3x(x2x)x(Q−+=

ทุกจุด x เปนจุดสามัญยกเวนจุด 0x = และ 3x = เปนจุดเอกฐานที่จุด 0x =

)3x(x5)x(xP−

= ไมเปนฟงกชันวิเคราะห

22

)3x(2x)x(Qx

−+= เปนฟงกชันวิเคราะห

เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานไมปรกติ

ที่จุด 3x =

2x5)x(P)3x( =− เปนฟงกชันวิเคราะห

22

x2x)x(Q)3x( +=− เปนฟงกชันวิเคราะห



7-20

7.3 ผลเฉลยรอบจุดสามัญทฤษฎีบทที่ 7.3.1การมีอยูจริงของผลเฉลยในรูปอนุกรมกาํลังถา 0xx = เปนจุดสามัญของสมการเชิงอนุพันธ

0y)x(Qy)x(Py =+′+′′

แลว มีผลเฉลย 2 ผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุด 0xx = ที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันในรูป )xx(a)xx(aay 2

02010 L+−+−+=

∑∞

=−=

0n

n0n )xx(a

และอนุกรมนี้ลูเขาอยางนอยที่สุดสําหรับทุกคา xบนชวง R|xx| 0 <− โดยที่ R คือรัศมีของการลูเขาของอนุกรมและมีคาเทากับระยะทางจาก 0x ไปยังจุดเอกฐานที่ใกลที่สุด

ผลเฉลยทั่วไป 1cy = [อนุกรมกําลังของ ( 0xx − )]+ 2c [อนุกรมกําลังของ ( 0xx − )]

สูตรของ na ในเทอมของ 1na − , 2na − , ...เรียกวาสูตร สูตรเวียนเกิด (recurrence formula)



7-21

ตัวอยางที่ 7.3.1 จงหาผลเฉลยแบบอนุกรมกําลังรอบจุดกําเนิดของสมการ 0xyyy =+′+′′

วิธีทาํเพราะวา 1)x(P = , x)x(Q = เปนฟงกชันวิเคราะหที่ 0x =

เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดสามัญ

สมมติ ∑∞

==++++=

0n

nn

33

2210 xa xaxaxaay L

เพราะฉะนั้น ∑∞

=

−=+++=′1n

1nn

2321 xna xa3xa2ay L

∑∞

=

−−=+⋅+⋅=′′2n

2nn32 xa)1n(n xa23a12y L

แทน y ,y ′ และ y ′′ ลงใน 0xyyy =+′+′′

0xa xna xa)1n(n 0n

1nn

1n

1nn

2n

2nn =++− ∑∑∑

∞

=

+∞

=

−∞

=

−

ทําทุกพจนใหเปน nx

∑∞

=+++∑

∞

=+++

0n

nx1na)1n( 0n

nx2na)1n)(2n( 01n

nx1na =∑∞

=−+

เปลี่ยนจุดเริ่มตนเปน n = 1

∑∑∞

=+

∞

=+ ++++++

1n

n1n1

1n

n2n2 xa)1n( axa)1n)(2n( a2

0xa 1n

n1n =+ ∑

∞

=−


7-22

รวมอนุกรมเขาดวยกันจะได )aa2( 12 +

0x)aa)1n(a)1n)(2n((1n

n1n1n2n =++++++ ∑

∞

=−++

เพราะฉะนั้น 0aa2 12 =+

และ 0aa)1n(a)1n)(2n( 1n1n2n =+++++ −++ , 1n ≥

เพราะฉะนั้น 2

aa 1

2 −=

สูตรเวียนเกิด )1n)(2n(

aa)1n(a 1n1n

2n ++

++−= −+

+

;1n = 23aa2

a 023 ⋅

+−= หรือ

6a

6a

a 013 −=

;2n = 34aa3

a 134 ⋅

+−= หรือ

24a

8a

a 014 +−=

;3n = 45aa4

a 245 ⋅

+−= หรือ

120a

40a

a 015 −=

เพราะฉะนั้น L xaxaxaxaay 44

33

2210 +++++=

3012110 x)6

a6a

(x2a

xaa −+−+=

L x)120a

40a

(x)24a

8a

( 501401 +−++−+

) x1201x24

1x611(a 543

0 L+−+−=

+ ) x81x6

1x21x(a 432

1 L+−+−

เมื่อ 0a , 1a เปนคาคงตัวไมเจาะจง


7-23

ตัวอยางที่ 7.3.2 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุด 0x = ของสมการ 0yyxy =+′+′′

วิธีทาํ x)x(P = และ 1)x(Q = เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =

เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดสามัญ


==

0n

nn xa y

แทน y,y ,y ′′′ ลงในสมการ 0yyxy =+′+′′

0xa xna xxa)1n(n 0n

nn

1n

1nn

2n

2nn =++− ∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

=

−

เขียนพจนในเทอม nx

0xa xna xa)1n)(2n( 0n

nn

1n

nn

0n

n2n =++++ ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=+

เปลี่ยนจุดเริ่มตนเปน n = 1

∑∞

=++++⋅⋅

1n

n2n2 xa)1n)(2n( a12

0xa axna 1n

nn0

1n

nn =+++ ∑∑

∞

=

∞

=รวมพจนอนุกรม

0x)anaa)1n)(2n(( )aa2(1n

nnn2n02 =++++++ ∑

∞

=+

เพราะฉะนั้น 0aa2 02 =+ หรือ 2

aa 0

2 −=


7-24

สูตรเวียนเกิด 0a)1n(a)1n)(2n( n2n =++++ +

n2n a2n

1a+

−=+

;1n = 13 a31a −=

;2n = 024 a42

1a41a

⋅=−=

;3n = 135 a53

1a51a

⋅=−=

;4n = 046 a642

1a61a

⋅⋅−=−=

;5n = 157 a753

1a71a

⋅⋅−=−=

;6n = 068 a8642

1a81a

⋅⋅⋅=−=

ผลเฉลยคือ ∑∞

==

0n

nn xa y

L++++++= 55

44

33

2210 xaxaxaxaxaa

31

2010 x)a3

1(x)a21(xaa −+−++=

L+⋅

+⋅

+ 51

40 x)a53

1(x)a421(

]x53

1x31x[a]x

421x

211[a 53

142

0 LL −⋅

+−+−⋅

+−=

โดยที่ 0a และ 1a เปนคาคงตัวไมเจาะจง



7-25

การหาผลเฉลยแบบที่ 2.จากสูตรเวียนเกิด n2n a

2n1a+

−=+

n2n aa)2n( −=+ +จะไดสูตรผลเฉลยจาก ,...a,a,a 420 และ ,...a,a,a 531n = 0, 2, 4, 6, ...

02 aa2 −=

22 aa4 −=

46 aa6 −=

: 2n2n2 ana2 −−=

................................................................................2n2420

nn2642 a...aaa)1(a...aaa)n2)...(6)(4)(2( −−=

0n

n2n a)1(a)n...3.2.1(2 −=

0n

nn2 a

!n2)1(a −=

เพราะฉะนั้น n20n

n

0n1 xa

!n2)1()x(y −= ∑

∞

=

n2n

n

0n0 x

!n2)1(a −= ∑

∞

=


7-26

สูตรผลเฉลยจาก ,...a,a,a 531n = 1, 3, 5, 7, ... 13 aa3 −=

35 aa5 −=

5a7a7 −=

:

1n21n2 aa)1n2( −+ −=+

................................................................................1n2531

n1n2753 a...aaa)1(a...aaa)1n2)...(7)(5)(3( −+ −=+

1n

1n2 a)1(a)1n2)...(7)(5)(3( −=+ +

1n

1n2 a)1(a)n2....(6.4.2)1n2)(n2)...(7(6)5(4)3(2 −=+

+

1n

1n2n a)1(a!n2)!1n2( −=+

+

1nn

1n2 a)!1n2(!n2)1(a

+−=+

เพราะฉะนั้น n21

nn

0n2 xa)!1n2(

!n2)1()x(y+

−= ∑∞

=

n2nn

0n1 x)!1n2(

!n2)1(a+

−= ∑∞

=ผลเฉลยทั่วไปคือ

y(x) = n2n

n

0n0 x

!n2)1(a −∑

∞

=

n2nn

0n1 x)!1n2(

!n2)1(a+

−+ ∑∞

=


7-27

ตัวอยางที่ 7.3.3 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุดกําเนิดของสมการ 0y)x1(yxy =−+′+′′

เมื่อ 2)0(y,3)0(y −=′=

วิธีทาํ x)x(P = , x1)x(Q −= เปนฟงกชันวิเคราะห 0x =



==

0n

nn xa y

แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0y)x1(yxy =−+′+′′

∑∑∞

=

−∞

=

− +−1n

1nn

2n

2nn xna xxa)1n(n 0xa )x1(

0n

nn =−+ ∑

∞

=

∑∑∞

=

∞

=

− +−1n

nn

2n

2nn xna xa)1n(n

0xa xa 0n

1nn

0n

nn =−+ ∑∑

∞

=

+∞

=

จัดรูปเปน nx

∑∑∞

=

∞

=+ +++

1n

nn

0n

n2n xna xa)1n)(2n(

0xa xa 1n

n1n

0n

nn =−+ ∑∑

∞

=−

∞

=

จัดผลบวก ∑ ใหเริ่มตนที่ n = 1


7-28

∑∑∞

=

∞

=+ ++++⋅⋅

1n

nn

1n

n2n2 xna xa)1n)(2n( a12

0xa xa a1n

n1n

1n

nn0 =−++ ∑∑

∞

=−

∞

=รวมอนุกรม

0x)aa)1n(a)1n)(2n(()aa2(1n

n1nn2n02 =−++++++ ∑

∞

=−+

เพราะฉะนั้น 0aa2 02 =+

02 a21a −=

n = 1, 2, 3, ...สูตรเวียนเกิด

0aa)1n(a)1n)(2n( 1nn2n =−++++ −+

n1n2n a2n

1a)1n)(2n(

1a+

−++

= −+

;1n = 10103 a31a

61a

31a

231a −=−⋅

=

;2n =

1001214 a121a

81)a

21(

41a

121a

41a

341a +=−−=−⋅

=

;3n =

)a31a6

1(51)a2

1(201a5

1a451a 100325 −−−=−⋅

=

10 a151a120

7 +−=



7-29

แทนคา na ที่หาคาได จะไดผลเฉลยทั่วไปคือ

∑∞

==

0n

nn xa y

L++++++= 55

44

33

2210 xaxaxaxaxaa

310

2010 x)a3

1a61(x)a2

1(xaa −+−++=

L++−+++ 510

410 x)a15

1a1207(x)a12

1a81(

]x1207x8

1x61x2

11[a 54320 L+−++−=

]x151x12

1x31x[a 543

1 L+++−+

โดยที่ 0a และ 1a เปนคาคงตัวไมเจาะจงและหาอนุพันธจะได

]x247x2

1x21x[ay 432

0 L+−++−=′

]x31x3

1x1[a 4321 L+++−+

เพราะวา 3)0(y = และ 2)0(y −=′

เพราะฉะนั้น 0a3 = และ 1a2 =−

เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ)x120

7x81x6

1x211(3)x(y 5432 L+−++−=

)x151x12

1x31x(2 543 L+++−−


7-30

ตัวอยางที่ 7.3.4 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุด 0x = ของสมการ 0yyxy)x1( =−′+′′−

วิธีทาํ

x1x)x(P−

= , x11)x(Q−

−= เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =



==

0n

nn xa y

แทน y ,y ,y ′′′ ลงใน 0yyxy)x1( =−′+′′−

0xa xna xxa)1n(n )x1(0n

nn

1n

1nn

2n

2nn =−+−− ∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

=

−

∑∑∞

=

−∞

=

− −−−2n

1nn

2n

2nn xa)1n(n xa)1n(n

0xa xna 0n

nn

1n

nn =−+ ∑∑

∞

=

∞

=

เขียนในเทอม nx

∑∑∞

=+

∞

=+ +−++

1n

n1n

0n

n2n xna)1n( xa)1n)(2n(

0xa xna 0n

nn

1n

nn =−+ ∑∑

∞

=

∞

=

จัดผลบวก ∑ ใหเริ่มตนที่ n = 1


7-31

∑∞

=++++⋅⋅

1n

n2n2 xa)1n)(2n( a12

0xa axna xna)1n( 1n

nn0

1n

nn

1n

n1n =−−++− ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=+

รวมกลุม)aa2( 02 − +

0x}a)1n(na)1n(a)1n)(2n{( 1n

nn1n2n =−++−++∑

∞

=++

เพราะฉะนั้น 0aa2 02 =− หรือ 02 a21a =

สําหรับ 1n ≥ จะไดสูตรเวียนเกิด0a)1n(na)1n(a)1n)(2n( n1n2n =−++−++ ++

n1n2n a)1n)(2n(

1na2n

na++

−−+

= ++

;1n = 00123 a!3

1a23

1a0a31a =

⋅=⋅−=

;2n =

00000234 a!4

1a!4

1a!4

2a234

1a!34

2a34

1a42a =−=

⋅⋅−

⋅=

⋅−=

;3n =

000345 a!5

1a!345

2a!45

3a45

2a53a =

⋅⋅−

⋅=

⋅−=


7-32


==

0n

nn xa y

L++++++= 55

44

33

2210 xaxaxaxaxaa

L++++++= 50

40

30

2010 xa

!51xa

!41xa

!31xa

!21xaa

xaxa]x!5

1x!4

1x!3

1x!2

1x1[a 105432

0 +−++++++= L

x)aa(ea 01x

0 −+=

xcec 2x

1 +=

โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจง



7-33

7.4 ผลเฉลยรอบจุดเอกฐานปรกติ โดยวิธีของโฟรเบนิอุสสมการ 0y)2x(yx9 2 =++′′

มีผลเฉลยเปน L 7643x

43xx)x(y

38

35

32

1 −⋅⋅⋅

+⋅

−=

L 6532x

32x1)x(y

37

34

2 −⋅⋅⋅

+⋅

−=

เพราะฉะนั้น

ถาเราเริ่มตนหาผลเฉลยในรูป ∑∞

=−=

0n

n0n )xx(a y

อาจไปไมถึงผลเฉลยที่แทจริงได

เพ่ือใหไดผลเฉลยที่ตองการ

ตองสมมติ ∑∞

=

+−=0n

rn0n )xx(a y แลวหาคา r

การหาคําตอบในลักษณะนี้เรียกวาวิธีของโฟรเบนิอุส (method of Frobenius)


7-34

ทฤษฎีบทที่ 7.4.1ทฤษฎีบทของโฟรเบนิอุส (Frobenius' Theorem)ถา 0xx = เปนจุดเอกฐานปรกติของสมการเชิงอนุพันธ 0y)x(Qy)x(Py =+′+′′

แลว อยางนอยผลเฉลยหนึ่งของสมการจะอยูในรูป] )xx(a)xx(aa[)xx(y 2

02010r

0 L+−+−+−=

0a ,)xx(a 00n

rn0n ≠−= ∑

∞

=

+

โดยที่ r เปนจํานวนจริงที่จะตองหาและอนุกรมนี้ลูเขาอยางนอยที่สุดสําหรับ Rxx0 0 <−<

โดยที่ R คือรัศมีของการลูเขาของอนุกรมและมีคาเทากับระยะทางจาก 0x ไปยังจุดเอกฐานอื่นที่ใกลที่สุด


7-35

สมมติ 0a ], xaxaa[xy 02

210r ≠+++= L

∑∞

=

+=0n

rnn xa

เปนผลเฉลยของสมการ 0y)x(Qy)x(Py =+′+′′

ที่มีจุด 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติเพราะวา )x(xP และ )x(Qx 2 เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =

เพราะฉะนั้นให L xpxpp)x(xP 2210 +++=

L xqxqq)x(Qx 2210

2 +++=

คาํแนะนาํ )x(Qxq 20 = และ )x(xPp0 = เมื่อ x = 0

เพราะวา 0y)x(Qxy))x(xP(xyx 22 =+′+′′

เพราะฉะนัน้y] xpxpp[xyx 2

2102 ′++++′′ L

0 y] xqxqq[ 2210 =++++ L

เพราะวา ∑∞

=

+=0n

rnnxa y

เพราะฉะนั้น ∑∞

=

−++=′0n

1rnnxa)rn( y

∑∞

=

−+−++=′′0n

2rnnxa)1rn)(rn( y


7-36

แทน y ,y ′ และ y ′′ ลงในy] xpxpp[xyx 2

2102 ′++++′′ L

0 y] xqxqq[ 2210 =++++ L

0 = ∑∞

=

−+−++0n

2rnn

2 xa)1rn)(rn( x

) xpxpp(x 2210 L++++ ∑

∞

=

−++0n

1rnnxa)rn(

) xqxqq( 2210 L++++ ∑

∞

=

+

0n

rnn

2 xa x

พจนที่ x มีกําลังต่ําท่ีสุดคือ rx มีสัมประสิทธิ์เปนr

000 xa)qrp)1r(r( ++−

เพราะฉะนั้น 0a)qrp)1r(r( 000 =++−

เพราะวา 0a0 ≠

เพราะฉะนั้น0 0qrp)1r(r 00 =++−

0qr)1p(r 002 =+−+

สมการนี้ชื่อเรียกวา สมการดัชนี (indicial equation)และราก 1r และ 2r เรียกวา เลขชี้กาํลัง (exponents)



7-37

เงื่อนไขของสูตรผลเฉลยขึ้นอยูกับคารากของสมการดัชนี0y)x(Qy)x(Py =+′+′′ มี 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ

)x(Qxq 20 = และ )x(xPp0 = เมื่อ x = 0

0qr)1p(r 002 =+−+

21 r,rr =

ให ∑∞

=

+=0n

1rnn1 xa y และ ∑

∞

=

+=0n

2rnn2 xb y

ผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=


7-38

ตัวอยางที่ 7.4.1 จงใชวิธีของโฟรเบนิอุสหาผลเฉลย 2ผลเฉลยที่เปนอิสระเชิงเสนตอกันรอบจุด 0x =

ของสมการ 0y)2x(yx9 2 =++′′

วิธีทาํ0)x(P = ,

2x92x)x(Q += ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =

เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐาน0)x(xP = และ )2x(

91

x92xx)x(Qx

222 +=+=

เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =


สมมติ 0a ,xa y 00n

rnn ≠= ∑

∞

=

+

แทน y และ y ′′ ลงใน 0y)2x(yx9 2 =++′′

0xa )2x(xa)1rn)(rn( x90n

rnn

0n

2rnn

2 =++−++ ∑∑∞

=

+∞

=

−+

∑∞

=

+−++0n

rnnxa)1rn)(rn(9

0xa2 xa 0n

rnn

0n

1rnn =++ ∑∑

∞

=

+∞

=

++


7-39

∑∑∞

=

++∞

=

+ +−+++−0n

1rnn

1n

rnn

r0 xa xa)1rn)(rn(9 xa)1r(r9

0xa2 xa21n

rnn

r0 =++ ∑

∞

=

+

ทํากําลังของ x ในอนุกรมเปนกําลัง n + r +1

∑∞

=

++++++++−

0n

1rn1n

r0 xa)rn)(1rn(9 xa}2)1r(r9{

∑∞

=

+++0n

1rnnxa 0xa2

0n

1rn1n =+ ∑

∞

=

+++

รวมพจนของอนุกรมเขาดวยกันไดเปนr

0xa}2)1r(r9{ +−

0x)aa )2)rn)(1rn(9(( 0n

1rnn1n =++++++ ∑

∞

=

+++

สมการดัชนีคือ 02)1r(r9 =+−

0)2r3)(1r3( =−−

เลขชี้กําลังคือ 32 ,

31r =

สูตรเวียนเกิดคือ 2)nr)(1nr(9

aa n

1n ++++−=+

}2)nr(3}{1)nr(3{

a n++++

−= , K,2,1 ,0n =


7-40

การหาผลเฉลย 1y เมื่อ 31rr 1 ==

เพราะฉะนั้นสูตรเวียนเกิด )3n3)(2n3(

aa n

1n ++−=+

;0n = 32

aa 0

1 ⋅−=

;1n = 6532

a65

aa 01

2 ⋅⋅⋅=

⋅−=

;2n = 986532

a98

aa 02

3 ⋅⋅⋅⋅⋅−=

⋅−=

แทนคา 31rr 1 == และ na

จะไดผลเฉลย )xaxaxaa(x)x(y 3

32

2101r L++++=

] x986532

ax

6532a

x32

aa[x 30200

031

L+⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

+⋅

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

+⋅

−= L 986532

x6532

x32

x1xa32

31

0

เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะคือ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

+⋅

−= L 986532

x6532

x32

x1x)x(y32

31

1



7-41

การหาผลเฉลย 2y เมื่อ 32rr 2 ==

สูตรเวียนเกิดคือ )4n3)(3n3(

aa n

1n ++−=+ , K ,2 ,1 ,0n =

;0n = 43

aa 0

1 ⋅−=

;1n = 7643

a76

aa 01

2 ⋅⋅⋅=

⋅−=

;2n = 1097643

a109

aa 02

3 ⋅⋅⋅⋅⋅−=

⋅−=

แทนคา 32rr 2 == และ na ที่หาไดใน (7.4.5)

จะใหผลเฉลยคือ)xaxaxaa(x)x(y 3

32

2102r L++++=

] x1097643

ax

7643a

x43

aa[x 30200

032

L+⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

+⋅

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

+⋅

−= L 1097643

x7643

x43

x1xa32

32

0

เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะคือ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

+⋅

−= L 1097643

x7643

x43

x1x)x(y32

32

2

)x(y1 และ )x(y2 เปนอิสระเชิงเสนตอกันผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=


7-42

ตัวอยางที่ 7.4.2 จงใชวิธีของโฟรเบนิอุสหาผลเฉลยรอบจุด 0x = ของสมการ 0yy)1x3(y)1x(x =+′−+′′−

วิธีทาํ )1x(x

1x3)x(P−−= และ

)1x(x1)x(Q−

= ไมเปนฟงกชัน

วิเคราะหที่จุด 0x = เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานเพราะวา

1x1x3)x(xP

−−= และ

1xx)x(Qx 2−

=




rnn ≠= ∑

∞

=

+

แทน y, y′ และ y ′′ ลงใน 0yy)1x3(y)1x(x =+′−+′′−

∑∞

=

−+−++−0n

2rnnxa)1rn)(rn( )1x(x

0xa xa)rn( )1x3(0n

rnn

0n

1rnn =++−+ ∑∑

∞

=

+∞

=

−+

∑∞

=

+−++0n

rnnxa)1rn)(rn(

∑∞

=

−+−++−0n

1rnnxa)1rn)(rn(

∑∑∞

=

−+∞

=

+ +−++0n

1rnn

0n

rnn xa)rn( xa)rn(3

0xa 0n

rnn =+ ∑

∞

=

+


7-43

รวมกลุมอนุกรมที่เหมือนกันจะได

[ ]∑∞

=

++++−++0n

rnnxa 1)rn(3)1rn)(rn(

[ ] 0 xa )rn()1rn)(rn( 0n

1rnn =++−++− ∑

∞

=

−+

เขียนพจนแรกของอนุกรมหลังออกมาเปน

[ ]∑∞

=

++++−++0n

rnn xa 1)rn(3)1rn)(rn(

1r0xa)r)1r(r( −+−−

[ ] 0 xa )rn()1rn)(rn( 1n

1rnn =++−++− ∑

∞

=

−+

เขียนอนุกรมหลังใหมใหกําลังของ x เปน rn + จะได

[ ]∑∞

=

++++−++0n

rnn xa 1)rn(3)1rn)(rn(

1r0

2 xar −−

[ ] 0 xa )1rn()rn)(1rn( 0n

rn1n =++++++− ∑

∞

=

++

รวมอนุกรมเขาดวยกันจะได1r

02 xar −−

{ }[ ] 0 xa)1rn(a1)2rn)(rn( 0n

rn1n

2n =++−++++− ∑

∞

=

++


7-44

เพราะฉะนั้น 0r2 =

มีเลขชี้กําลังคือ 0rr 21 ==

สูตรเวียนเกิดคือ0a)1nr(a)1)2nr)(nr(( 1n

2n =++−++++ +

2n

1n )1nr(

a}1)2nr)(nr{(a

++

++++=+

เมื่อ 0rr 1 == จะไดสูตรเวียนเกิดเปน

2n

21n )1n(

a)1n2n(a

+

++=+ , K ,2 ,1 ,0n =

n1n aa =+ , K ,2 ,1 ,0n =

เพราะฉะนั้น LL a aaa n210 =====

เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ ) xaxaa(x )x(y 2000

0 L+++=

∑∞

==

0n

n0 x a

x1

a 0−

=

เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะ x1

1)x(y1 −=



7-45

เลือก dx )x(y

e )x(y)x(y21

dx )x(P 12 ∫

∫=

−

เพราะวา )1x(x

1x3)x(P−−=

เพราะฉะนั้น ∫=∫ −

−−− dx )1x(x1x3 dx )x(P e e

∫= −+− dx )1x

2x1(

e )1xln(2xlne −−−=

2)1x(x1 −

=

เพราะฉะนั้น xlnx1

1 dx )1x(x

)1x( x1

1 )x(y2

22 −

=−

−−

= ∫

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไป )x(yc)x(yc )x(y 2211 +=

xlnx1

cx1

c 21

−+

−=


7-46

ตัวอยางที่ 7.4.3 จงหาผลเฉลยรอบจุด 0x =

ของสมการ 0y2y)4x(yx =+′+−′′ โดยวิธีของโฟรเบนิอุสวิธีทาํ

x4x)x(P +−= และ

x2)x(Q =

ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =

เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐานเพราะวา )4x()x(xP +−=

และ 2)x(Qx 2 = เปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 0x =



rnn ≠= ∑

∞

=

+

เมื่อแทน y, y′ และ y ′′ ลงใน 0y2y)4x(yx =+′+−′′

∑∞

=

−+−++0n

2rnnxa)1rn)(rn( x

0xa 2xa)rn( )4x(0n

rnn

0n

1rnn =+++− ∑∑

∞

=

+∞

=

−+

หรือ ∑∑∞

=

+∞

=

−+ +−−++0n

rnn

0n

1rnn xa)rn( xa)1rn)(rn(

0xa2 xa)rn(4 0n

rnn

0n

1rnn =++− ∑∑

∞

=

+∞

=

−+



7-47

∑∞

=

−++−−++0n

1rnnxa)}rn(4)1rn)(rn({

0xa}2)rn{( 0n

rnn =−+− ∑

∞

=

+

∑∞

=

−+−++0n

1rnnxa)5rn)(rn(

0xa)2rn( 0n

rnn =−+− ∑

∞

=

+

เขียนพจนที่หนึ่งของอนุกรมแรกแยกออกมาได

∑∞

=

−+− −+++−1n

1rnn

1r0 xa)5rn)(rn( xa)5r(r

0xa)2rn( 0n

rnn =−+− ∑

∞

=

+

เขียนใหมใหอนุกรมหลังเริ่มตนที่ 1n = ไดเปน

∑∞

=

−+− −+++−1n

1rnn

1r0 xa)5rn)(rn( xa)5r(r

0xa)3rn( 1n

1rn1n =−+− ∑

∞

=

−+−

รวมพจนของอนุกรมเขาดวยกันจะได1r

0xa)5r(r −−

0x}a)3rn(a)5rn)(rn({ 1n

1rn1nn =−+−−+++ ∑

∞

=

−+−


7-48

เพราะฉะนั้นสมการดัชนี 0)5r(r =−

เลขชี้กําลังคือ 5r ,0r 21 ==

สูตรเวียนเกิดคือ 0a)3nr(a)5nr)(nr( 1nn =−+−−++ − , K ,3 ,2 ,1n =

เพราะวา 21 rr − เปนจํานวนเต็มและ 1r เปนคานอยเพราะฉะนั้นใช 1r ในการหาผลเฉลยกอนแทนคา 0rr 1 == ลงในสูตรเวียนเกิด จะได

0a)3n(a)5n(n 1nn =−−− − , K ,3 ,2 ,1n =

แทนคา 4 ,3 ,2 ,1n = ตามลําดับในสูตรเวียนเกิดจะได

0a ,0a ,a121a

61a ,a

21a 4301201 =====

เมื่อ 5n = จะได 0a0 5 =⋅ ไมวา 5a จะมีคาเปนเทาใดเพราะฉะนั้นเลือก 5a เปนคาคงตัวใดๆแทนคา K ,8 ,7 ,6n = ในสูตรเวียนเกิดจะได

L ,a8735a83

5a ,a71a7

2a ,a21a 57856756 ⋅⋅

=⋅

====

เพราะฉะนั้นผลเฉลย ) xaxaa(x )x(y 2

2101r L+++=

] x7a

x2a

xax12a

x2a

a[x 756555

2000

0 L++++++=

) x71x2

1x(a )x121x2

11(a 7655

20 L++++++=

เปนผลเฉลยทั่วไป เมื่อ 0a และ 5a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใด2301312 Differential equations 2555 2nd Page 12 of 19


7-49

ตัวอยางที่ 7.4.4 จงใชวิธีของโฟรเบนิอุสหาผลเฉลยรอบจุด 0x = ของสมการ

0y)1x(y)1x(xy)1x(x 2222 =++′+−′′−

วิธีทาํ )1x(x

1x)x(P2

2

−+−= และ

)1x(x1x)x(Q

222

−+=


เพราะฉะนั้น 0x = เปนจุดเอกฐาน

1x1x)x(xP

22

−+−= และ

1x1x)x(Qx

222−+=




rnn ≠= ∑

∞

=

+

แทน y, y′ และ y ′′ ลงใน0y)1x(y)1x(xy)1x(x 2222 =++′+−′′−

จะได

∑∞

=

−+−++−0n

2rnn

22 xa)1rn)(rn( )1x(x

0xa )1x(xa)rn( )1x(x0n

rnn

2

0n

1rnn

2 =++++− ∑∑∞

=

+∞

=

−+


7-50

∑∞

=

++−++0n

2rnnxa)1rn)(rn(

∑∞

=

+−++−0n

rnnxa)1rn)(rn(

∑∑∞

=

+∞

=

++ +−+−0n

rnn

0n

2rnn xa)rn( xa)rn(

0xa xa 0n

rnn

0n

2rnn =++ ∑∑

∞

=

+∞

=

++

รวมพจนอนุกรมที่เหมือนกันเขาดวยกันไดเปน

∑∞

=

++++−−++0n

2rnnxa)1)rn()1rn)(rn((

0xa)1)rn()1rn)(rn(( 0n

rnn =−++−++− ∑

∞

=

+

∑∞

=

++−+0n

2rnn

2 xa)1rn(

0xa)1rn)(1rn( 0n

rnn =++−+− ∑

∞

=

+

เขียนอนุกรมแรกเริ่มที่ 2n = และ 2 พจนแรกของอนุกรมหลัง

∑∞

=

+−−+

2n

rn2n

2 xa)3rn(

1r1

r0 xa)2r(rxa)1r)(1r( ++−+−−

0xa)1rn)(1rn( 2n

rnn =++−+− ∑

∞

=

+


7-51


1r

0 xa)2r(rxa)1r)(1r( ++−+−−

0x)a)1rn)(1rn(a)3rn(( 2n

rnn2n =++−+−−++ ∑

∞

=

+−

สมการดัชนีคือ 0)1r)(1r( =+−

มีเลขชี้กําลัง 1r ,1r 21 =−=

จากพจนที่สองของสมการจะได 0a)2r(r 1 =+−

เพราะฉะนั้น ไมวา 1rr 1 −== หรือ 1rr 2 == จะได 0a1 =

สูตรเวียนเกิดคือ0a)1rn)(1rn(a)3rn( n2n

2 =−+++−−+ −เนื่องจาก 2rr 21 −=− เปนจํานวนเต็มและ 21 rr <

การหาสูตรผลเฉลยเมื่อ 1rr 1 −==

แทนคา 1rr 1 −== ลงในสูตรเวียนเกิดจะได0a)2n(na)4n( n2n

2 =−−− − , K ,4,3,2n =

แทนคา 2n =

ในสูตรเวียนเกิดจะได 0a4 0 =

0a 0 = ซึ่งคานกับที่สมมติไวเพราะฉะนั้นเราไมสามารถหาผลเฉลยจากรากคานอยไดจึงจําเปนตองใชรากคามาก


7-52

การหาสูตรผลเฉลยเมื่อ 1rr 2 ==

สูตรเวียนเกิดคือ 2n2

n a)2n(n

)2n(a −+−

= , K ,4 ,3 ,2n =

แทนคา K ,4 ,3 ,2n = ตามลําดับสําหรับ n ที่เปนเลขคู L ,0a ,0a ,0a0a 6402 ===⋅=

สําหรับ n ที่เปนเลขคี่ L ,0a ,0a ,0a151a 7513 ====

เพราะฉะนั้น 0 a a a a a 54321 ====== L

แทนคา 1rr 2 == และ na

ผลเฉลยคือ ) xaxaa(x )x(y 2210

1 L+++= xa0=

เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะคือ x )x(y1 =

เลือก dx )x(y

e )x(y)x(y21

dx )x(P 12 ∫

∫=

−

เนื่องจาก )1x(x

)1x(x)x(P22

2

−

+−= ดังนั้น

x1xe e e

2x

12xlndx 1x1

1x1

x1 dx )x(P −==

∫=∫

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+

++−−−

เพราะฉะนั้น dx x

1x x )x(y3

22 ∫ −= )

x21xln(x

2+=

x2

1xlnx +=

ผลเฉลยทั่วไปคือ)

x21xlnx(cxc )x(yc)x(yc)x(y 212211 ++=+=



7-53

ตัวอยางที่ 7.4.5 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมรอบจุด 0x = ของสมการ 0yy3yx2 =−′+′′

วิธีทาํ x23)x(P = และ

x21)x(Q −=


เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน

23)x(xP = และ

2x)x(Qx 2 −=




rnn ≠= ∑

∞

=

+

แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0yy3yx2 =−′+′′

∑∞

=

−+−++0n

2rnnxa)1rn)(rn( x2

0xa xa)rn( 30n

rnn

0n

1rnn =−++ ∑∑

∞

=

+∞

=

−+

∑∞

=

−+−++0n

1rnnxa)1rn)(rn2(

0xa xa)rn3( 0n

rnn

0n

1rnn =−++ ∑∑

∞

=

+∞

=

−+

เขียนอนุกรมที่สามใหกําลังของ x เปน 1rn −+ จะได


7-54

∑∞

=

−+−++0n

1rnnxa)1rn)(rn2(

0xa xa)rn(3 1n

1rn1n

0n

1rnn =−++ ∑∑

∞

=

−+−

∞

=

−+

เขียนพจนแรกของอนุกรมแรกและอนุกรมที่สองออกมาเปน

∑∞

=

−+− −+++−1n

1rnn

1r0 xa)1rn)(rn2( xa)1r(r2

0xa xa)rn(3 xra31n

1rn1n

1n

1rnn

1r0 =−+++ ∑∑

∞

=

−+−

∞

=

−+−


0xa]r3)1r(r2[ −+−

0x]aa)rn(3a)1rn)(rn[2( 1n

1rn1nnn =−++−+++ ∑

∞

=

−+−

1r0xa)]1r2(r[ −+

0x]aa)1r2n2)(rn[( 1n

1rn1nn =−++++ ∑

∞

=

−+−

สมการดัชนีคือ 0)1r2(r =+

เลขชี้กําลังคือ 0 ,21r −=

สูตรเวียนเกิดคือ 0aa)1r2n2)(rn( 1nn =−+++ − , 1n ≥

1nn a)1r2n2)(rn(

1a −+++= , 1n ≥


7-55

การหาผลเฉลยเมื่อ 21r −=

สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)1n2(n

1a −−= , 1n ≥

;1n = 001 aa11a ==

;2n = 012 a61a

321a =⋅

=

;3n = 0023 a901a

6151a

531a =

⋅=

⋅=


∑∞

=

+=0n

1rnn xa )x(y

]xaxaxaa[x 33

22101r L++++=

]xa901xa

61xaa[x 3

02

00021

L++++=−

]x901x

61x1[xa 322

1 0 L++++=

−

โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะเปน

]x901x

61x1[x)x(y 322

1 1 L++++=

−


7-56

การหาผลเฉลยเมื่อ 0r =

สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)1n2(n

1a −+= , 1n ≥

;1n = 001 a31a

311a =⋅

=

;2n = 0012 a301a

3101a

521a =

⋅=

⋅=

;3n = 0023 a6301a

30211a

731a =

⋅=

⋅=


=

+=0n

2rnn xa )x(y

]xaxaxaa[x 33

22102r L++++=

]xa6301xa

301xa

31a[x 3

02

0000 L++++=

]x6301x

301x

311[a 32

0 L++++=

โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยที่สองเปน

]x6301x

301x

311[)x(y 32

2 L++++=

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ )x(yc)x(yc)x(y 2211 +=

]x901x6

1x1[xc 3221

1 L++++=−

]x6301x30

1x311[c 32

2 L+++++

โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ2301312 Differential equations 2555 2nd Page 14 of 19


7-57

ตัวอยางที่ 7.4.6 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมกําลังรอบจุด 0x = ของสมการ 0y3y)5x(yx =+′+−′′

วิธีทาํ x51

x5x)x(P −−=+−= และ

x3)x(Q =


เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน5x)x(xP −−= และ x3)x(Qx 2 =


เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐานปรกติ


rnn ≠= ∑

∞

=

+

แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0y3y)5x(yx =+′+−′′

∑∞

=

−+−++0n

2rnnxa)1rn)(rn( x

0xa 3xa)rn( )5x(0n

rnn

0n

1rnn =+++− ∑∑

∞

=

+∞

=

−+

∑∑∞

=

+∞

=

−+ +−−++0n

rnn

0n

1rnn xa)rn( xa)1rn)(rn(

0xa3 xa)rn(5 0n

rnn

0n

1rnn =++− ∑∑

∞

=

+∞

=

−+



7-58

∑∞

=

−++−−++0n

1rnnxa)]rn(5)1rn)(rn[(

0xa]3)rn([ 0n

rnn =−+− ∑

∞

=

+

0xa)3rn( xa)6rn)(rn( 0n

rnn

0n

1rnn =−+−−++ ∑∑

∞

=

+∞

=

−+

เปลี่ยนกําลังของ x ในอนุกรมหลังเปน 1rn −+ จะได

0xa)4rn( xa)6rn)(rn( 1n

1rn1n

0n

1rnn =−+−−++ ∑∑

∞

=

−+−

∞

=

−+

เขียนพจนแรกของอนุกรม และอนุกรมที่เหลือเร่ิมตนที่ 1n =

1r0xa)6r(r −− ∑

∞

=

−+−+++1n

1rnnxa)6rn)(rn(

0xa)4rn( 1n

1rn1n =−+− ∑

∞

=

−+−

รวมอนุกรมเขาดวยกันจะได 1r0xa)6r(r −−

0x]a)4rn(a)6rn)(rn[( 1n

1rn1nn =−+−−+++ ∑

∞

=

−+−

สมการดัชนีคือ 0)6r(r =−

มีรากหรือเลขชี้กําลัง 6r ,0r 21 ==

สูตรเวียนเกิดคือ0a)4rn(a)6rn)(rn( 1nn =−+−−++ − , 1n ≥

1nn a)4rn(a)6rn)(rn( −−+=−++ , 1n ≥


7-59

การหาผลเฉลยเมื่อ 0rr 1 ==

สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)4n(a)6n(n −−=− , 1n ≥

;1n = 01 a)3(a)5)(1( −=− หรือ 01 a53a =

;2n = 12 a)2(a)4)(2( −=− หรือ 012 a203a

41a ==

;3n = 23 a)1(a)3)(3( −=− หรือ 022 a601a

91a ==

;4n = 34 a)0(a)2)(4( =− หรือ 0a 4 =

;5n = 45 a)1(a)1)(5( =− หรือ 0a51a 45 =−=

;6n = 0a)2(a)0)(6( 56 == หรือ 0a0 6 =⋅

เพราะวาไมวา 6a จะมีคาเปนเทาใด 0a0 6 =⋅ เปนจริงเสมอเพราะฉะนั้นให 6a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ ตัวใหมเพราะฉะนั้นจะไดสูตรเวียนเกิดสําหรับ 7n ≥ เปน

1nn a)6n(n

4na −−−=

เพราะฉะนั้น ;7n = 67 a17

3a⋅

=

;8n = 78 a28

4a⋅

= หรือ 68 a283a =


7-60


∑∞

=

+=0n

1rnn xa )x(y

]xaxaxaa[x 33

22101r L++++=

++++= 30

2000

0 xa601xa20

3xa53a[x

]xa283xa7

3xa 86

76

66 L++++

]x601x20

3x531[a 32

0 +++=

]x283x7

3x[a 8766 L++++

]x283x

731[xa]x

601x

203x

531[a 26

632

0 L+++++++=

เมื่อ 0a และ 6a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ ซึ่งเปนผลเฉลยทั่วไปของสมการที่กําหนดให โดยที่

321 x

601x

203x

531)x(y +++=

และ ]x283x

731[x)x(y 26

2 L+++=

หมายเหตุถาหากเราจะหาผลเฉลยโดยใชรากคามากคือ 6rr 2 ==

จะพบวา ]x283x

731[xa)x(y 26

0 L+++= ที่หาไดจะไปซ้ํากับ )x(y2



7-61

ตัวอยางที่ 7.4.7 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมรอบจุด 0x = ของสมการ 0xyyx2yx4 2 =−′+′′


1)x(P = และ x4

1)x(Q −=


เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน

21)x(xP = และ x

41)x(Qx 2 −=



สมมติผลเฉลย 0a ,xa y 00n

rnn ≠= ∑

∞

=

+

แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0xyyx2yx4 2 =−′+′′

∑∞

=

−+−++0n

2rnn

2 xa)1rn)(rn( x4

0xa xxa)rn( x20n

rnn

0n

1rnn =−++ ∑∑

∞

=

+∞

=

−+

∑∞

=

+−++0n

rnnxa)1rn)(rn4(

0xa xa)rn(2 0n

1rnn

0n

rnn =−++ ∑∑

∞

=

++∞

=

+

เขียนใหมใหอนุกรมหลังมีกําลังของ x เปน rn + จะได


7-62

∑∞

=

+−++0n

rnnxa)1rn)(rn4(

0xa xa)rn(2 1n

rn1n

0n

rnn =−++ ∑∑

∞

=

+−

∞

=

+

เขียนพจนแรกของสองอนุกรมแรกออกมาเปน

∑∞

=

+−+++−1n

rnn

r0 xa)1rn)(rn4( xa)1r(r4

0xa xa)rn(2 xra21n

rn1n

0n

rnn

r0 =−+++ ∑∑

∞

=

+−

∞

=

+

รวมกลุมของพจนที่เหมือนกันเขาดวยกันจะไดr

0xa]r2)1r(r4[ +−

0x]aa)rn(2a)1rn)(rn[4( 1n

rn1nnn =−++−+++ ∑

∞

=

+−

r0

2 xa]r2r4[ −

0x]aa)1r2n2)(rn(2[ 1n

rn1nn =−−+++ ∑

∞

=

+−

สมการดัชนีคือ 0r2r4 2 =−

เลขชี้กําลังคือ 21r ,0r 21 ==

สูตรเวียนเกิดคือ 0aa)1r2n2)(rn(2 1nn =−−++ − , 1n ≥

1nn a)1r2n2)(rn(2

1a −−++= , 1n ≥


7-63


สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)1n2(n2

1a −−= , 1n ≥

;1n = 001 a!2

1a112

1a =⋅⋅

=

;2n = 0012 a!4

1a!234

1a322

1a =⋅⋅

=⋅⋅

=

;3n = 0023 a!6

1a!456

1a532

1a =⋅⋅

=⋅⋅

=


∑∞

=

+=0n

1rnn xa )x(y

]xaxaxaa[x 33

22101r L++++=

]xa!6

1xa!4

1xa!2

1a[x 30

2000

0 L++++=

]x!6

1x!4

1x!2

11[a 320 L++++=

∑∞

==

0n

n0 )!n2(

x a

โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 =

จะไดผลเฉลยเฉพาะ ∑∞

==

0n

n1 )!n2(

x )x(y


7-64


สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a)1n2(n2

1a −+= , 1n ≥

;1n = 001 a!3

1a312

1a =⋅⋅

=

;2n = 0012 a!5

1a!345

1a522

1a =⋅⋅

=⋅⋅

=

เพราะฉะนั้นผลเฉลยคือ ∑∞

=

+=0n

2rnn xa )x(y

]xaxaxaa[x 33

22102r L++++=

]xa!7

1xa!5

1xa!3

1a[x 30

20002

1L++++=

]x!7

1x!5

1x!3

11[xa 3221

0 L++++=

∑∞

= +=

0n

n21

0 )!1n2(x xa ∑

∞

=

+

+=

0n

21n

0 )!1n2(x a

โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ

เลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะ ∑∞

=

+

+=

0n

21n

2 )!1n2(x )x(y


∑∑∞

=

+∞

= ++=

0n

21n

20n

n1 )!1n2(

x c)!n2(

x c

โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ2301312 Differential equations 2555 2nd Page 16 of 19


7-65

ตัวอยางที่ 7.4.8 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมรอบจุด 0x = ของสมการ 0yy)xx(yx 22 =+′+−′′

วิธีทาํ )x11(

xxx)x(P

22

+−=+−= และ 2x

1)x(Q =


เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน)1x()x(xP +−= และ 1)x(Qx 2 =



สมมติผลเฉลยคือ 0a ,xa y 00n

rnn ≠= ∑

∞

=

+

แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0yy)xx(yx 22 =+′+−′′

∑∞

=

−+−++0n

2rnn

2 xa)1rn)(rn( x

0xa xa)rn( )xx(0n

rnn

0n

1rnn

2 =+++− ∑∑∞

=

+∞

=

−+

∑∑∞

=

++∞

=

+ +−−++0n

1rnn

0n

rnn xa)rn( xa)1rn)(rn(

0xa xa)rn( 0n

rnn

0n

rnn =++− ∑∑

∞

=

+∞

=

+

เขียนอนุกรมที่สองใหมีกําลังของ x เปน rn +


7-66

∑∑∞

=

+−

∞

=

+ −+−−++1n

rn1n

0n

rnn xa)1rn( xa)1rn)(rn(

0xa xa)rn( 0n

rnn

0n

rnn =++− ∑∑

∞

=

+∞

=

+

เขียนพจนแรกของแตละอนุกรมออกมา ยกเวนอนุกรมที่สอง

∑∞

=

+−+++−1n

rnn

r0 xa)1rn)(rn( xa)1r(r

∑∞

=

+−−+−

1n

rn1n xa)1rn(

0xa xaxa)rn( xra1n

rnn

r0

1n

rnn

r0 =+++−− ∑∑

∞

=

+∞

=

+

รวมกลุมพจนที่เหมือนกันเขาดวยกันจะไดr

0xa]1r)1r(r[ +−−

01n

rnx]1na)1rn(nana)rn(na)1rn)(rn[( =∑∞

=

+−−+−++−−+++

r0

2 xa]1r2r[ +−

0x]a)1rn(a)1rn[( 1n

rn1nn

2 =−+−−++ ∑∞

=

+−

สมการดัชนีคือ 01r2r2 =+− หรือ 0)1r( 2 =−

เลขชี้กําลังคือ 1 ,1r = ซึ่งเปนรากซ้ํา และสูตรเวียนเกิดคือ0a)1rn(a)1rn( 1nn

2 =−+−−+ − , 1n ≥

1nn a)1rn(

1a −−+= , 1n ≥


7-67

การหาผลเฉลยเมื่อ 1r =

สูตรเวียนเกิดคือ 1nn an1a −= , 1n ≥

;1n = 001 a!1

1a11a ==

;2n = 0012 a!2

1a!12

1a21a =

⋅==

;3n = 0023 a!3

1a!23

1a31a =

⋅==


=

+=0n

rnn xa )x(y

]xaxaxaa[x 33

2210

r L++++=

]xa!3

1xa!2

1xa!1

1a[x 30

2000 L++++=

]x!3

1x!2

1x!1

11[xa 320 L++++=

∑∞

==

0n

n0 n!

x xa

x0xea=

โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะ x

1 xe)x(y =


7-68

การหาผลเฉลยที่สองของสมการ

dx e)x(y

1 )x(y)x(ydx )x

11( 21

12 ∫∫=

+−

∫ += dx eex1 xe xlnx

x22x

∫−

= dx x

e xexx

∫ ∑∞

=

−−= dx

!nx)1( xe

0n

1nnx

∫ ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

∞

=

−dx

!nx)1(

x1 xe

1n

1nnx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅

−+= ∑

∞

=1n

nnx

!nnx)1( xlnxe


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅

−++= ∑

∞

=1n

nnx

2x

1 !nnx)1( xlnxecxec

โดยที่ 1c และ 2c เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ



7-69

ตัวอยางที่ 7.4.9 จงหาผลเฉลยในรูปอนุกรมรอบจุด 0x = ของสมการ 0y)x26(y)x4(xyx 2 =−+′−−′′


x)x4(x)x(P

2−=

−−=

และ x2

x6

xx26)x(Q

22−=−=


เพราะฉะนั้นจุด 0x = เปนจุดเอกฐาน4x)x(xP −= และ x26)x(Qx 2 −=



สมมติคือ 0a ,xa y 00n

rnn ≠= ∑

∞

=

+

แทน y,y ,y ′′′ ลงใน 0y)x26(y)x4(xyx 2 =−+′−−′′

∑∞

=

−+−++0n

2rnn

2 xa)1rn)(rn( x

∑∞

=

−++−−0n

1rnnxa)rn( )x4(x

0xa )x26(0n

rnn =−+ ∑

∞

=

+


7-70

∑∑∞

=

+∞

=

+ +−−++0n

rnn

0n

rnn xa)rn(4 xa)1rn)(rn(

∑∞

=

++++0n

1rnnxa)rn(

0xa2 xa6 0n

1rnn

0n

rnn =−+ ∑∑

∞

=

++∞

=

+

เขียนอนุกรมที่สามและหาใหกําลังของ x เปน rn + จะได

∑∑∞

=

+∞

=

+ +−−++0n

rnn

0n

rnn xa)rn(4 xa)1rn)(rn(

∑∞

=

+−−++

1n

rn1n xa)1rn(

0xa2 xa6 1n

rn1n

0n

rnn =−+ ∑∑

∞

=

+−

∞

=

+

เขียนพจนแรกของอนุกรมที่หนึ่ง สองและส่ีออกมาเปน

∑∞

=

+−+++−1n

rnn

r0 xa)1rn)(rn( xa)1r(r

∑∞

=

++−−1n

rnn

r0 xa)rn(4 xra4

r0

1n

rn1n xa6xa)1rn( +−++ ∑

∞

=

+−

0xa2 xa6 1n

rn1n

1n

rnn =−+ ∑∑

∞

=

+−

∞

=

+


7-71

รวมกลุมของพจนที่เหมือนกันเขาดวยกันจะไดrx0a]6r4)1r(r[ +−−

01n

rnx]1na}2)1rn{(na}6)rn(4)1rn)(rn[{( =∑∞

=

+−−−++++−−+++

หรือrx0a]6r52r[ +−

01n

rnx]1na)3rn(na}6)rn(4)1rn)(rn{([ =∑∞

=

+−−++++−−+++

สมการดัชนีคือ 06r5r2 =+−

0)3r)(2r( =−−มีเลขชี้กําลัง 3r ,2r 21 ==

สูตรเวียนเกิดคือ0a)3rn(a}6)rn(4)1rn)(rn{( 1nn =−++++−−++ −

1nn a6)rn(4)1rn)(rn(

3rna −++−−++−+−= , 1n ≥


7-72


สูตรเวียนเกิดคือ 1nn a6)2n(4)1n)(2n(

1na −++−++−−=

1nn a6)3n)(2n(

1na −+−+−−=

1n2n a66nn

1na −+−−−−=

1nn an1a −−=

;1n = 001 aa11a −=−=

;2n = 0012 a!2

1a21a

21a ==−=

;3n = 0023 a!3

1a!23

1a31a −=

⋅−=−=


=

+=0n

1rnn xa )x(y

]xaxaxaa[x 33

22101r L++++=

]xa!3

1xa!2

1xaa[x 30

2000

2 L+−+−=

]x!3

1x!2

1x1[xa 3220 L+−+−=

∑∞

=

−=

0n

n2

0 !n)x( xa

x20 exa −=

โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 = จะไดผลเฉลยเฉพาะ x2

1 ex)x(y −=



7-73


สูตรเวียนเกิดคือ

1nn a6)3n(4)2n)(3n(

na −++−++−= , 1n ≥

1nn a6)2n)(3n(

na −+−+−=

1n2n a66nn

na −+−+−=

1nn a1n

1a −+−=

;1n = 001 a!2

1a21a −=−=

;2n = 0012 a!3

1a!23

1a31a =

⋅=−=

;3n = 0023 a!4

1a!34

1a41a −=

⋅−=−=


∑∞

=

+=0n

2rnn xa )x(y

]xaxaxaa[x 33

22102r L++++=

]xa!4

1xa!3

1xa!2

1a[x 30

2000

3 L+−+−=

]x!4

1x!3

1x!2

11[xa 3230 L+−+−=

]x!4

1x!3

1x!2

1x[xa 43220 L+−+−=

20

43220 xa]x

!41x

!31x

!21x1[xa ++−+−+−= L

20

43220 xa]x

!41x

!31x

!21x1[xa +−+−+−−= L


7-74

20

0n

n2

0 xa!n)x( xa +

−−= ∑

∞

=2

0x2

0 xaexa +−= −

โดยที่ 0a เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆเลือก 1a0 =

จะไดผลเฉลยเฉพาะ 2x22 xex)x(y +−= −

จากผลเฉลยx2

1 ex)x(y −=2x2

2 xex)x(y +−= −

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ)x(yc)x(yc)x(y 2211 +=

)xex(B)ex(A 2x2x2 +−+= −−

)Bxex)BA( 2x2 +−= −

22

x21 xcexc += −

โดยที่ BAc1 −= และ Bc2 = เปนคาคงตัวไมเจาะจงใดๆ


7-75

สรุปบทที่ 7จุดสามัญ

0y)x(Qy)x(Py =+′+′′

1. ถา P(x), Q(x) เปนฟงกชันวิเคราะหที่ x = 0แลว 0x = เปนจุดสามัญถา 0x = เปนจุดสามัญ

แลว สมมติ ∑∞

==+++=

0n

nn

2210 xa ...xaxaay

หา 1y (x) และ 2y (x)ขอสังเกต

1. 1y (x) หาไดแนนอน2. 2y (x) อาจหาได ระหวางหา 1y (x) เชน

2.1 อนุกรมแบงเปน 2 ชุดไดตามคา na , 2na −

2.2 อนุกรมแบงเปน 2 ชุดชุดแรก เปนพหุนามชุดที่สอง เปนอนุกรมอนันต

3. 2y (x) = 1y (x)∫)x(y

e21

dx)x(P∫− dx



7-76

จุดเอกฐานปกติ

2. ถา 0x = ไมเปนจุดสามัญ ใหตรวจสอบวา 0x = เปนจุดเอกฐานปกติหรือไม

3. ถา )x(Qx2 และ xP(x) เปนฟงกชันวิเคราะหที่ x = 0แลว 0x = เปนจุดเอกฐานปกติ

4. ถา )x(Qx2 และ xP(x) เปนฟงกชันวิเคราะหที่ x = 0แทนคา x = 0จะได )x(Qx2 = 0q และ xP(x) = 0p

5. สมการดัชนีคือ0qr)1p(r 00

2 =+−+

รากดัชนี หรือ คาดัชนีคือ 21 r,rr =

ให ∑∞

=

+=0n

1rnn1 xa y

และ ∑∞

=

+=0n

2rnn2 xb y

ดูแผนผังที่หนา 7-37



Documents

7-1 7 7-2 7 บทที่ 7 7.1 สมการเชิงเส ...pioneer.netserv.chula.ac.th/.../312ch07_2555_2nd.pdfบทท 7 สมการเช งเส ม ส นท