Κ37-Θεώρημα Rolle (5)

Δηµήτρης Αντ. ΜοσχόπουλοςΚαθηγητ'ς Μαθηµατικ,ν

Πτυχιο2χος Αριστοτελε8ου Πανεπιστηµ8ου Θεσσαλον8κης

ΜαθηματικάΓ΄ Λυκείου

Διαφορικός Λογισμός

Νέα Μουδανιά - Ιούνιος 2015 - 2η έκδοση

Θεώρημα του Rolle

10αναλυτικ( λυµ)νες ασκ-σεις

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ)37Ασκήσεις(με(συμπέρασμα(για(την(δεύτερη(παράγωγο(μιας(

συνάρτησης.

Βασίλης Παπαδάκης (ασκήσεις 1 - 4)

Μαθηµατικά Γ' Λυκείου Γ2.

Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Εκδόσεις «Σαββάλας», Αθήνα.

4η ανατύπωση, 2010.

Άγνωστη πηγή (ασκήσεις 5 - 10)

Θέμα ασκήσεων φυλλαδίου:

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 37Ασκήσεις με συμπέρασμα για την δεύτερη παράγωγο

μιας συνάρτησης .

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Θεώρηµα του Rolle.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 1 -

1. Δίνεται συνάρτηση f :!→ ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x'x στα σημεία με τετμημένες 1, 2, 3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (1,3) τέτοιο, ώστε ′′f (ξ) = 0 .

2. Δίνεται συνάρτηση f :!→ ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύουν f (0) =−1 , f (1) = e και f (2) = e2 . Θεωρούμε, επίσης, την συνάρτηση g(x) = f (x)−ex + x 2−3x .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο, τουλάχιστον, σημεία της C

g με τετμημένες

στο διάστημα (0,2) , στα οποία η C

g δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (0,2) , ώστε ′′f (ξ)+ 2 = eξ .

3. Δίνεται συνάρτηση f :!→ ! , τρεις φορές παραγωγίσιμη. Η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στον άξονα x'x στα σημεία x1

και x2, με x1

< x2. Να αποδείξετε

ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ ! τέτοιο, ώστε f(3)(ξ) = 0 .

4. Δίνεται συνάρτηση f : [1,3]→ ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, με f (1) = 2 , f (2) = ℓn(2e3) και f (3) = ℓn(3e 4) . Να αποδείξετε ότι:

α) η γραφική παράσταση της g(x) = f (x)− ℓnx −x έχει δύο οριζόντιες εφαπτομέ- νες στο [1,3] .

β) υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (1,3) τέτοιο, ώστε ξ2 ⋅ ′′f (ξ) =−1 .

5. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] , με f (0) = 0 . Να δείξετε ότι: α) για την συνάρτηση g(x) = f (x)−x ⋅ ′f (0)−[f (1)− ′f (0)]⋅x 2 εφαρμόζεται το θεώ- ρημα του Rolle στο διάστημα [0,1] .

β) υπάρχει, τουλάχιστον ένα, ξ ∈ (0,1) τέτοιο, ώστε f (1)− f (0) =

12⋅ ′′f (ξ) .

6. Θεωρούμε συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] , με

f (α) = f (β) = ′f (α) = ′f (β) = 0 .

Να δείξετε ότι: α) για την συνάρτηση g(x) = ex ⋅[ ′f (x)− f (x)] εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο [α,β] .

β) υπάρχει, τουλάχιστον ένα, γ ∈ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει ′′f (γ) = f (γ) .

7. Θεωρούμε την συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο [α,β] και δύο φορές πα-

ραγωγίσιμη στο (α,β) , με

f (α)′f (α)

=f (β)′f (β)

και f (x)≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε

ότι υπάρχει x0∈ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει f (x0

) ⋅ ′′f (x0) = [ ′f (x

0)]2 .

8. Μία συνάρτηση, f, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με

f (1) = 1 , f (2) = 4− ℓn2 , f (e) = e2−1 .

Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1,e) , ώστε ′′f (ξ) =

1ξ2

+ 2 .

9. Δίνεται συνάρτηση f, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με

f (0) = 0 , f (−π) = f (π) = π2 .

Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (−π ,π) τέτοιο, ώστε ′′f (ξ) = 2− ηµξ .

10. Θεωρούμε συνάρτηση f, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με f (−1) = f (1) = 1 , ενώ η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (−1,1) , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ′f , στο σημείο Α(ξ , ′f (ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία ε :y = 2x −3 .

1. Δίνεται συνάρτηση f :!→ ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x'x στα σημεία με τετμημένες 1, 2, 3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (1,3) τέτοιο, ώστε ′′f (ξ) = 0 .

Αφού η C

f τέμνει τον x'x στα σημεία 1, 2, 3, ισχύουν f (1) = f (2) = f (3) = 0 .

Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , υπάρχουν οι ′f , ′′f , οπότε:

• η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο ! .

• η ′f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο ! .

Ι. Η f είναι συνεχής στα [1,2] , [2,3] .

ΙΙ. Η f είναι παραγωγίσιμη στα (1,2) , (2,3) .

ΙΙΙ. Ισχύουν f (1) = f (2) = f (3) = 0 .

Άρα ισχύει το θεώρημα του Rolle στα παραπάνω διαστήματα, οπότε υπάρχει

x1∈ (1,2) , ώστε ′f (x

1) = 0 , και υπάρχει x2

∈ (2,3) , ώστε ′f (x2) = 0 .

Ι. Η ′f είναι συνεχής στο [x1,x

2] .

ΙΙ. Η ′f είναι παραγωγίσιμη στο (x1,x

2) .

ΙΙΙ. Ισχύουν ′f (x1) = ′f (x

2) = 0 .

Άρα ισχύει το θεώρημα του Rolle, οπότε υπάρχει ξ ∈ (x1,x

2) , άρα και ξ ∈ (1,3) , ώστε

′′f (ξ) = 0 .




- 4 -

2. Δίνεται συνάρτηση f :!→ ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύουν f (0) =−1 , f (1) = e και f (2) = e2 . Θεωρούμε, επίσης, την συνάρτηση g(x) = f (x)−ex + x 2−3x .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο, τουλάχιστον, σημεία της C

g με τετμημένες

στο διάστημα (0,2) , στα οποία η C

g δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (0,2) , ώστε ′′f (ξ)+ 2 = eξ .

α) Γενικά, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, f, δέχεται εφάπτομένη σ' ένα ση-μείο της με τετμημένη α, όταν ισχύει ′f (α) = 0 .

Επομένως, αρκεί να δείξω ότι υπάρχουν x1,x

2∈ (0,2) , ώστε ′g (x

1) = ′g (x

2) = 0 .




Ι. Η g είναι συνεχής στα [0,1] , [1,2] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η g είναι παραγωγίσιμη στα (0,1) , (1,2) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων

ΙΙΙ. g(0) = f (0)−e0 + 02−3 ⋅0 =−1−1⇒ g(0) =−2 .

IV. g(1) = f (1)−e1−12−3 ⋅1 = e−e +1−3⇒ g(1) =−2 .

V. g(2) = f (2)−e2 + 22−3 ⋅2 = e2−e2 + 4−6⇒ g(2) =−2 .


x1∈ (1,2) , ώστε ′g (x


∈ (1,2) , ώστε ′g (x2) = 0 .

β) Είναι ′g (x) = ′f (x)−ex + 2x −3 .

Ι. Η ′g είναι συνεχής στο [x1,x

2] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η ′g είναι παραγωγίσιμη στο (x1,x

2) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

ΙΙΙ. Ισχύουν ′g (x1) = ′g (x

2) = 0 από το ερώτημα (α).


2) , άρα και ξ ∈ (0,2) , ώστε

′′g (ξ) = 0 (1)

Είναι ′′g (x) = ′′f (x)−ex + 2 , οπότε από την (1) έχω ότι

′′f (ξ)−eξ + 2 = 0⇒ ′′f (ξ)+ 2 = eξ .




- 5 -

3. Δίνεται συνάρτηση f :!→ ! , τρεις φορές παραγωγίσιμη. Η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στον άξονα x'x στα σημεία x1

και x2, με x1

< x2. Να αποδείξετε

ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ ! τέτοιο, ώστε f(3)(ξ) = 0 .

Αφού η C

f εφάπτεται στον x'x στα x1

,x2, ισχύουν f (x1

) = ′f (x1) = f (x

2) = ′f (x

2) = 0 .

Αφού η f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο ! , υπάρχουν οι ′f , ′′f , f (3) , οπότε:



• η ′′f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο ! .

Ι. Η f είναι συνεχής στο [x1,x

2] .

ΙΙ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (x1,x

2) .

ΙΙΙ. Ισχύουν f (x1) = f (x

2) = 0 .

Άρα ισχύει το θεώρημα του Rolle, οπότε υπάρχει x0∈ (x

1,x

2) τέτοιο, ώστε ′f (x

0) = 0 .

Ι. Η ′f είναι συνεχής στα [x1,x

0] , [x

0,x

2] .

ΙΙ. Η ′f είναι παραγωγίσιμη στα (x1,x

0) , (x

0,x

2) .

ΙΙΙ. Ισχύουν ′f (x1) = ′f (x

0) = ′f (x

2) = 0 .


ξ1 ∈ (x1,x

0) , ώστε ′′f (ξ

1) = 0 , και υπάρχει ξ2 ∈ (x

0,x

2) , ώστε ′′f (ξ

2) = 0 .

Ι. Η ′′f είναι συνεχής στο [ξ1 ,ξ2 ] .

ΙΙ. Η ′′f είναι παραγωγίσιμη στο (ξ1 ,ξ2) .

ΙΙΙ. Ισχύουν ′′f (ξ1) = ′′f (ξ

2) = 0 .

Άρα ισχύει το θεώρημα του Rolle, οπότε υπάρχει ξ ∈ (ξ1,ξ

2) τέτοιο, ώστε f

(3)(ξ) = 0 .




- 6 -

4. Δίνεται συνάρτηση f : [1,3]→ ! , δύο φορές παραγωγίσιμη, με f (1) = 2 , f (2) = ℓn(2e3) και f (3) = ℓn(3e 4) . Να αποδείξετε ότι:

α) η γραφική παράσταση της g(x) = f (x)− ℓnx −x έχει δύο οριζόντιες εφαπτομέ- νες στο [1,3] .

β) υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ (1,3) τέτοιο, ώστε ξ2 ⋅ ′′f (ξ) =−1 .

α) Γενικά, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, f, δέχεται εφάπτομένη σ' ένα ση-μείο της με τετμημένη α, όταν ισχύει ′f (α) = 0 .

Επομένως, αρκεί να δείξω ότι υπάρχουν x1,x

2∈ (1,3) , ώστε ′g (x

1) = ′g (x

2) = 0 .

Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,3] , υπάρχουν οι ′f , ′′f , οπότε:

• η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο [1,3] .

• η ′f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο [1,3] .

Ι. Η g είναι συνεχής στα [1,2] , [2,3] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η g είναι παραγωγίσιμη στα (1,2) , (2,3) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων

ΙΙΙ. g(1) = f (1)− ℓn1−1 = 2−1⇒ g(1) = 1 .

IV. g(2) = f (2)− ℓn2−2 = ℓn2e3− ℓn2−2 = ℓn2 + ℓne3− ℓn2−2 = 3−2⇒ g(2) = 1 .

V. g(3) = f (3)− ℓn3−3 = ℓn3e 4 − ℓn3−3 = ℓn3 + ℓne 4 −3 = 4−3⇒ g(3) = 1 .


x1∈ (1,2) , ώστε ′g (x


∈ (2,3) , ώστε ′g (x2) = 0 .

β) Είναι ′g (x) = ′f (x)−

1x−1 .


2] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.


2) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων.


2) = 0 , όπως προέκυψε απ' το ερώτημα (α).


2) , άρα και ξ ∈ (1,3) , ώστε

′′g (ξ) = 0 (1)

Είναι ′′g (x) = ′′f (x)+

1x 2

, οπότε από την (1) έχω

′′f (ξ)+

1ξ2

= 0⇒ ξ2 ⋅ ′′f (ξ)+1 = 0⇒ ξ2 ⋅ ′′f (ξ) =−1 .




- 7 -

5. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] , με f (0) = 0 . Να δείξετε ότι: α) για την συνάρτηση g(x) = f (x)−x ⋅ ′f (0)−[f (1)− ′f (0)]⋅x 2 εφαρμόζεται το θεώ- ρημα του Rolle στο διάστημα [0,1] .

β) υπάρχει, τουλάχιστον ένα, ξ ∈ (0,1) τέτοιο, ώστε f (1)− f (0) =

12⋅ ′′f (ξ) .

α) Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,1] , υπάρχουν οι ′f , ′′f , οπότε:

• η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο [0,1] .

• η ′f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο [0,1] .

Ι. Η g είναι συνεχής στο [0,1] ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσε- ων.

ΙΙ. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ παραγωγίσι- μων συναρτήσεων.

ΙΙΙ. g(0) = f (0)−0 ⋅ ′f (0)−[f (1)− ′f (0)]⋅02 = f (0)⇒ g(0) = 0 .

IV. g(1) = f (1)−1 ⋅ ′f (0)−[f (1)− ′f (0)]⋅12 = f (1)− ′f (0)− f (1)+ ′f (0)⇒ g(1) = 0 .

Άρα για την g εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο [0,1] .

β) Αφού για την g εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο [0,1] , υπάρχει x0∈ (0,1) ,

ώστε ′g (x0) = 0 .

Είναι ′g (x) = ′f (x)− ′f (0)−2 ⋅[f (1)− ′f (0)]⋅x .

Παρατηρώ ότι ′g (0) = ′f (0)− ′f (0)−2 ⋅[f (1)− ′f (0)]⋅0⇒ ′g (0) = 0 = ′g (x0) .

Ι. Η ′g είναι συνεχής στο [0,x0] .

ΙΙ. Η ′g είναι παραγωγίσιμη στο (0,x0) .

ΙΙΙ. Ισχύουν ′g (0) = ′g (x0) = 0 .

'Αρα ισχύει το θεώρημα του Rolle, οπότε υπάρχει ξ ∈ (0,x0) , άρα και ξ ∈ (0,1) , ώστε

′′g (ξ) = 0 .

Είναι ′′g (x) = ′′f (x)−2 ⋅[f (1)− ′f (0)] , οπότε από την προηγούμενη σχέση έχω

′′f (ξ)−2 ⋅[f (1)− ′f (0)] = 0⇒ 2 ⋅[f (1)− ′f (0)] = ′′f (ξ)⇒ f (1)− ′f (0) =

12⋅ ′′f (ξ) .




- 8 -

6. Θεωρούμε συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] , με

f (α) = f (β) = ′f (α) = ′f (β) = 0 .

Να δείξετε ότι: α) για την συνάρτηση g(x) = ex ⋅[ ′f (x)− f (x)] εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο [α,β] .

β) υπάρχει, τουλάχιστον ένα, γ ∈ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει ′′f (γ) = f (γ) .

α) Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] , υπάρχουν οι ′f , ′′f , οπότε:

• η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο [α,β] .

• η ′f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο [α,β] .

Ι. Η g είναι συνεχής στο [α,β] ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσε- ων.

ΙΙ. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ παραγωγίσι- μων συναρτήσεων.

ΙΙΙ. g(α) = eα ⋅[ ′f (α)− f (α)] = eα ⋅0⇒ g(α) = 0 .

IV. g(β) = eβ ⋅[ ′f (β)− f (β)] = eβ ⋅0⇒ g(β) = 0 .

Άρα για την g εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο [α,β] .

β) Αφού για την g εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle, υπάρχει γ ∈ (α,β) , ώστε

′g (γ) = 0 (1)

Είναι ′g (x) = (ex ′) ⋅[ ′f (x)− f (x)]+ex ⋅[ ′f (x)− f (x) ′] ⇒

⇒ ′g (x) = ex ⋅[ ′f (x)− f (x)]+ex ⋅[ ′′f (x)− ′f (x)] = ex ⋅[ ′f (x)− f (x)+ ′′f (x)− ′f (x)]⇒

⇒ ′g (x) = ex ⋅[ ′′f (x)− f (x)] .

Άρα από την (1) έχω ότι eγ ⋅[ ′′f (γ)− f (γ)] = 0 ⇒

eγ>0

′′f (γ)− f (γ) = 0⇒ ′′f (γ) = f (γ) .




- 9 -

7. Θεωρούμε την συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο [α,β] και δύο φορές πα-

ραγωγίσιμη στο (α,β) , με

f (α)′f (α)

=f (β)′f (β)

και f (x)≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . Να δείξετε

ότι υπάρχει x0∈ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει f (x0

) ⋅ ′′f (x0) = [ ′f (x

0)]2 .

Θέτω x0= x και η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

f (x) ⋅ ′′f (x) = [ ′f (x)]2 ⇔ f (x) ⋅ ′′f (x)−[ ′f (x)]2 = 0⇔ [ ′f (x) ′] ⋅ f (x)− ′f (x) ⋅ ′f (x) = 0 ⇔f (x )≠0

⇔

[ ′f (x) ′] ⋅ f (x)− ′f (x) ⋅ ′f (x)f 2(x)

= 0⇔′f (x)

f (x)

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

′= 0 .

Θεωρώ την συνάρτηση g(x) =

′f (x)f (x)

, x ∈ [α,β] , και θα δείξω ότι υπάρχει x0∈ (α,β) ,

ώστε ′g (x0) = 0 .

Αφού η f είναι συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) , υπάρχουν οι ′f , ′′f , οπότε:

• η f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) .

• η ′f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο (α,β) .

Ι. Η g είναι συνεχής στο [α,β] ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

III. g(α) =

′f (α)f (α)

, g(β) =′f (β)

f (β).

Από την σχέση

f (α)′f (α)

=f (β)′f (β)

, με αντιστροφή των μελών, προκύπτει

′f (α)f (α)

=′f (β)

f (β)⇒ g(α) = g(β) .

Άρα ισχύει το θεώρημα του Rolle, οπότε υπάρχει x0∈ (α,β) , ώστε ′g (x

0) = 0 .




- 10 -

8. Μία συνάρτηση, f, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με

f (1) = 1 , f (2) = 4− ℓn2 , f (e) = e2−1 .

Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1,e) , ώστε ′′f (ξ) =

1ξ2

+ 2 .

Θέτω ξ = x και η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

′′f (x) =

1x 2

+ 2⇔ ′′f (x)−1x 2−2 = 0⇔ ′f (x)+

1x−2x

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

′= 0⇔ [f (x)+ ℓnx −x 2 ′′] = 0 .

Θεωρώ την συνάρτηση g(x) = f (x)+ ℓnx −x 2 και θα δείξω ότι υπάρχει ξ ∈ (1,e) , ώστε

′′g (ξ) = 0 .




Ι. Η g είναι συνεχής στα [1,2] , [2,e] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η g είναι παραγωγίσιμη στα (1,2) , (2,e) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσε- ων.ΙΙΙ. g(1) = f (1)+ ℓn1−12 ⇒ g(1) = 0 .

IV. g(2) = f (2)+ ℓn2−22 = 4− ℓn2 + ℓn2− 4⇒ g(2) = 0 .

V. g(e) = f (e)+ ℓne−e2 = e2−1+1−e2 ⇒ g(e) = 0 .


x1∈ (1,2) , ώστε ′g (x


∈ (2,e) , ώστε ′g (x2) = 0 .

Είναι ′g (x) = ′f (x)+

1x−2x .


2] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.


2) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων.


2) = 0 .


2) , άρα και ξ ∈ (1,e) , ώστε

′′g (ξ) = 0 .




- 11 -

9. Δίνεται συνάρτηση f, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με

f (0) = 0 , f (−π) = f (π) = π2 .

Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (−π ,π) τέτοιο, ώστε ′′f (ξ) = 2− ηµξ .

Θέτω ξ = x και η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γράφεται

′′f (x) = 2− ηµx ⇔ ′′f (x)−2 + ηµx = 0⇔ [ ′f (x)−2x −συνx ′] = 0⇔ [f (x)−x 2− ηµx ′′] = 0 .

Θεωρώ την συνάρτηση g(x) = f (x)−x 2− ηµx και θα δείξω ότι υπάρχει ξ ∈ (−π ,π) , ώσ-τε ′′g (ξ) = 0 .




Ι. Η g είναι συνεχής στα [−π ,0] , [0,π] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η g είναι παραγωγίσιμη στα (−π ,0) , (0,π) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτή- σεων.ΙΙΙ. g(−π) = f (−π)−(−π)2− ηµ(−π) = π2−π2 + ηµπ⇒ g(−π) = 0 .

IV. g(0) = f (0)−02− ηµ0⇒ g(0) = 0 .

V. g(π) = f (π)−π2− ηµπ = π2−π2 ⇒ g(π) = 0 .


ξ1 ∈ (−π ,0) , ώστε ′g (ξ1) = 0 , και υπάρχει ξ2 ∈ (0,π) , ώστε ′′g (ξ

2) = 0 .

Είναι ′g (x) = ′f (x)−2x −συνx .

Ι. Η ′g είναι συνεχής στο [ξ1 ,ξ2 ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η ′g είναι παραγωγίσιμη στο (ξ1 ,ξ2) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

ΙΙΙ. Ισχύουν ′g (ξ1) = ′g (ξ

2) = 0 .


2) , άρα και ξ ∈ (−π ,π) , ώσ-

τε ′′g (ξ) = 0 .




- 12 -

10. Θεωρούμε συνάρτηση f, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! , με f (−1) = f (1) = 1 , ενώ η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (−1,1) , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ′f , στο σημείο Α(ξ , ′f (ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία ε :y = 2x −3 .

Η κλίση της γραφικής παράστασης της ′f στο Α είναι ′′f (ξ) και η εφαπτομένη της στο Α είναι παράλληλη προς την (ε), όταν ισχύει

′′f (ξ) = λ

ε⇔ ′′f (ξ) = 2⇔ ′′f (ξ)−2 = 0 (1)

Άρα θα δείξω ότι υπάρχει ξ ∈ (−1,1) , ώστε να ισχύει η (1).

Θέτω ξ = x και η (1) ισοδύναμα γράφεται

′′f (x)−2 = 0⇔ [ ′f (x)−2x ′] = 0⇔ [f (x)−x 2 ′′] = 0 .

Θεωρώ την συνάρτηση g(x) = f (x)−x 2 και θα δείξω ότι υπάρχει ξ ∈ (−1,1) , ώστε

′′g (ξ) = 0 .




Ι. Η g είναι συνεχής στα [−1,0] , [0,1] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η g είναι παραγωγίσιμη στα (−1,0) , (0,1) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσε- ων.ΙΙΙ. g(−1) = f (−1)−(−1)2 = 1−1⇒ g(−1) = 0 .

IV. g(0) = f (0)−02 ⇒ g(0) = 0 .

V. g(1) = f (1)−12 = 1−1⇒ g(1) = 0 .


ξ1 ∈ (−1,0) , ώστε ′g (ξ1) = 0 , και υπάρχει ξ2 ∈ (0,1) , ώστε ′g (ξ

2) = 0 .

Είναι ′g (x) = ′f (x)−2x .

Ι. Η ′g είναι συνεχής στο [ξ1 ,ξ2 ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.

ΙΙ. Η ′g είναι παραγωγίσιμη στο (ξ1 ,ξ2) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

ΙΙΙ. Ισχύουν ′g (ξ1) = ′g (ξ

2) = 0 .


2) , άρα και ξ ∈ (−1,1) , ώστε

′′g (ξ) = 0 .




- 13 -

Documents

Κ37-Θεώρημα Rolle (5)