APLICACIÓN DE LA DERIVADA

EXTREMOS EN UN EXTREMO, EL TEOREMA DE ROLLE Y EL EXTREMO DEL VALOR MEDIO.

El cálculo se dedica mucho esfuerzo para determinar el comportamiento de una función f sobre un intervalof ¿f tiene un valor máximo en f?, ¿tiene un calor mínimo? ¿Dónde es creciente de la función? ¿Dónde es decreciente de la función?

Definición de los extremos:

Sea f definida sobre un intervalo f que contiene a c.

f (c) es el mínimo de f en l f (c) ≤ f (x) para toda x en l. f (c) es el máximo de f en l f (c) ≥ f (x) para toda x en l.

Los mínimos y máximos de una función en un intervalo son los valores extremos o simplemente extremos, de la función en el intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo también recibe y el máximo absoluto o máximo absoluto en el intervalo.

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Si f es continua en el intervalo cerrado (a, b) entonces f tiene un mínimo como un máximo en el intervalo.

EXTREMOS RELATIVOS Y PUNTOS CRÍTICOS

Definición de extremos relativos:

Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f (c) es un máximo, entonces f (c) recibe el nombre de máximo relativo de f o se podría afirmar que f tiene un máximo relativo en (c, f (c)).

Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f (c) es un máximo, entonces f (c) recibe el nombre de mínimo relativo de f o se podría afirmar que f tiene un mínimo relativo en (c, f (c)).

Teorema de Rolle

Supongamos que la función es continua en el intervalo cerrado [a, b] y es derivable en su interior (a, b). Si f(a) = 0, entonces existe un número C en (a, b) tal que f’(c) = 0.

Demostración del Teorema de Rolle

Como f es continua en [a, b], debe alcanzar sus valores máximos y mínimos en [a, b] (por propiedad de valor máximo). Si f tiene valores positivos, consideremos su valor máximo, f(c).

Ahora C, no es un intervalo extremo de [a, b], pues un punto f(a) = 0 y f (b) = 0. Por lo tanto, C es un punto de (a, b). Pero sabemos que f es diferenciable en C, f(c) = 0.

Si f tiene valores negativos, podemos considerar su valor mínimo f’(c) y concluir que f’(c) = 0.

Si f no tiene valores ni negativos ni positivos, entonces f se anula idénticamente en [a, b], por lo que f’(c) = 0, para toda C en (a, b).

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

Enunciado para una variable

Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b].

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló LaGrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

y así

Como queríamos demostrar.

Forma integral del Teorema del valor medio

Para una función continua f(x) en el intervalo [a,b], existe un valor ξ en dicho intervalo, tal que[1]

Demostración Dado que la función f es continua en [a,b], posee un valor máximo en dicho intervalo para

algún , que llamaremos M = f(V) y también un valor mínimo en el mismo intervalo: m = f(v), para

algún . Es decir y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base b − a y altura M ó m tendremos la siguiente desigualdad:

Lo que implica:

De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función f alcanza el valor de la integral

, es decir:

El teorema no especifica como determinar ξ, pero resulta que f(ξ) coincide con el valor medio (promedio) de la función f en el intervalo [a,b].

[editar] Enunciado para varias variables

Sea un conjunto abierto y convexo y una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:[2]

Donde:

, es la aplicación lineal que representa el jacobiano (gradiente).

Generalizaciones

No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones . En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:

Definición funciones crecientes y decrecientes

Una función es creciente es un intervalo si para cualquier par de números del intervalo.

.Una función es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números del intervalo,

.

Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo . La siguiente es la

representación gráfica de f en el intervalo .

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos

2.) Decreciente en los intervalos

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea una función continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto .

1. Si es creciente en

2. Si es decreciente en

3. Si es constante en

Criterio de la Primera Derivada  Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el comportamiento de ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0) habrá un valor extremo, a continuación se muestran algunos ejemplos:

- A partir de la siguiente función encuentre: a) Los puntos críticos. b) Valores máximos y mínimos. c) La gráfica de la función.

f(x)= 4x2 + 5x - 3

a) PUNTOS CRÍTICOS: - obtener la derivada de la función: 8x + 5 - igualar con cero (0). f'(x)= 8x + 5 = 0 x = -5/8

b)MÁXIMOS Y MÍNIMOS:

- El punto crítico lo podemos obtener igualando con cero (0) la función derivada y despejando "x". - El valor de antes y después lo podemos obtener con un número menor (antes) que el punto crítico y un número mayor (después) que el punto crítico. - La primera derivada la podemos obtener sustituyendo el valor de antes y después en la primera derivada.

- El comportamiento lo podemos deducir de la siguiente manera: Si el número de la primera derivada es positivo "sube", si el número es negativo "baja". - El resultado lo deducimos de la siguiente manera: Si primero "baja y luego sube" su resultado es Mínimo. Si el comportamiento es "Sube y luego baja" el resultado Máximo.

c) GRÁFICA: La gráfica la podemos obtener sustituyendo en la función original el punto crítico y así obteniendo los puntos del mínimo absoluto de la gráfica.

Criterio de la Segunda Derivada para la Obtención de los Puntos de Inflexión

Cómo pudiste observar en la gráfica anterior, el punto de inflexión se presenta cuando la derivada de la función tiene un mínimo, aunque puede ser un máximo, como ya se dijo.Entonces, se aplicará el criterio de la primera derivada sobre la función derivada, S’ (t), para hallar el máximo o el mínimo valor de dicha función derivada (consulta el criterio de la primera derivada).Como el criterio de la primera derivada indica que se debe derivar la función en estudio, y dicha función es ya una función derivada, entonces, se tiene la derivada de una Derivada, y de aquí que se le llame como: ‘criterio de la segunda derivada’. De este modo, al derivar la función derivadaS’ (t) = 3 t ² – 24t + 3Se obtiene queS’’ (t) = 6t – 24Al igualar a cero esta última derivada, resulta que6 t – 24 = 0y al despejar ‘t ‘ quedat = 6 24o sea t = 4 que es justamente el valor de ‘t’ en donde la derivada S’ (t) tiene un valor extremo (mínimo), es decir, es el valor de ‘t’ en donde se presenta el punto de inflexión (o puntos de inflexión si ‘t’ tomara varios valores).Para hallar la abscisa del punto de inflexión, se sustituye t = 4 en la función originalS ( t ) = t 3 – 12t² + 36t – 20 asíS (4) = (4)3 – 12 (4)² + 36 (4) – 20o bienS ( 4 ) = –4107Por lo que el punto de inflexión se encuentra en PI (4,–4)Como puedes apreciar, la concavidad de la curva antes del punto de inflexión es negativa y después del punto de inflexión es positiva.DEFINICIÓNPUNTO DE INFLEXIÓN. Es un punto sobre la curva f (x), en donde la curva cambia la concavidad.b) Concavidad y ConvexidadA partir de la segunda derivada de la función del problema anterior,S’’ ( t ) = 6t – 24,Como puedes observar, la segunda derivada de la función antes del punto de inflexión,(t = 4), es negativa, lo que quiere decir, que la concavidad de la curva es negativa en ese intervalo (– ∞ < t < 4). Así también, la segunda derivada de la función después del punto de inflexión, es positiva, lo que quiere decir, que la concavidad de la curva es positiva en ese intervalo ( 4 < t < ∞).DefinicionesCONCAVIDAD. Se dice que una función es cóncava cuando su concavidad es positiva, es decir, cuando la segunda derivada de la función es positiva.CONVEXIDAD. Se dice que una función es convexa cuando su concavidad es negativa, es decir, cuando la segunda derivada de la función es negativa

Segunda Derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba debe de tener un mínimo relativo. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo debe de tener un máximo

relativo de. La segunda derivada se escribe como la doble prima de f

Teorema

Sea una función tal que y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c.

Si , entonces es un mínimo relativo.

Si , entonces es un máximo relativo.

Si , este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada.

Ejemplo 1

Hallar los extremos relativos de .Solución: Para empezar, hallamos los números críticos de f.

Puntos criticos

Usando , podemos aplicar el criterio de la segunda derivada como sigue.

Para el punto (-1, -2) tenemos que entonces el punto es un mínimo relativo.

Para el punto (1, 2) tenemos que entonces el punto es un máximo relativo.

Para el punto (0, 0) tenemos que entonces el criterio no decide.

Puesto que el criterio de la segunda derivada no decide en el punto (0, 0), utilizamos el de la primera derivada. Como f crece a la izquierda y a la derecha de x = 0, (0, 0) no es máximo ni mínimo relativo. Aqui

se puede ver la gráfica del función ..

Ejemplo 2

Video Ejemplo

Ahí podemos observar el proceso de la solución para obtener la segunda derivada, con un ejemplo muy bien explicado.

Ejemplo 4

En este ejemplo se observa cómo se utiliza la segunda derivada en un problema de optimización.

Maximizar

Sujeto a:

Despejamos b en ,

Ahora evaluamos:

Proseguimos con la primera derivada de A ---->

Ahora utilizamos el numerador para despejar h ----> ---->

Finalmente se utiliza la segunda derivada para determinar si efectivamente se a maximizado el Área.

----> sustituimos h y obtenemos que

Como determinamos que efectivamente, es un máximo relativo por lo tanto el Área fue correctamente maximizada.

Ejemplos de la segunda derivada

Ejemplo1

Empezamos definiendo algunas aplicaciones de la segunda derivada como por ejemplo, al encontrar los putos críticos de una función y evaluarlos en la segunda derivada nos podemos dar cuenta sin hacer más procedimientos si es un máximo o un mínimo con el que estamos trabajando.

Por ejemplo:

Entonces tenemos un punto crítico el cual podríamos hacer intervalos y evaluar en la función pero para ahorrarnos paso y ser más prácticos utilizamos la segunda derivada para ver si es máximo o mínimo, entonces:

En este ejemplo como pudimos apreciar la segunda derivada nos queda mayor a 0 por lo tanto es un mínimo, y da la casualidad que no tuvimos que evaluar para poder calcular por eso es que a veces es más fácil utilizar el criterio de la segunda derivada para encontrar máximo o mínimo.

(Solo segunda derivada).

Ejemplo2=

Ejemplo3

Ejemplo4

Ejemplo5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Puntos de inflexiónUn punto de inflexión en una curva es el que separa arcos que tienen una concavidad en sentidos opuestos.Un punto donde una curva cambia su dirección de concavidad se llama punto de inflexiónPara obtener el punto de inflexión de una función se siguen los pasos que a continuación se citan:a).- Obtenga la primera derivadab).- Obtenga la segunda derivadac).- Igualar a cero la segunda derivada y obtener los valores críticos de la segunda derivada, (valores que satisfacen la ecuación).d).- Asigne valores a la variable independiente, primero un poco menor al crítico encontrado en el punto anterior, y substitúyalo en la segunda derivada, observandoSolamente si es (+) o (-). En seguida asigne valores a la variable independiente un poco mayor al crítico y substitúyalo en la segunda derivada, observando solamente es (+) o (-)e).- Si primero es (+) y después (-) o primero es (-) y después (+), entonces existe un punto de inflexión para los valores encontrados en la segunda derivada.

Análisis de graficas

Características de una gráfica

1. Intersecciones-x y y-intercepts: Si y=f(x), encontramos la intersección (o las intersecciones) en x por igualar y=0 y despejar a x. Encontramos la intersección en y por igualar x=0 y despejar ay.

2. Extremos relativos y absolutos: Utilice técnicas para ubicar los extremos relativos y absolutos.

3. Puntos de inflexión: Candidatos para puntos de inflexión son ubicados por igualar a cero la segunda derivada y despejar a x.

4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función:: Si f(x)no está definida a x=a, se considera limx a−f(x) y limx a+f(x) para ver cómo se acerca este punto la gráfica de f.

5. Comportamiento al infinito: Se considera limx − f(x) y limx + f(x) si apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando x se aleja hacia la izquierda y la derecha.

Aquí está una ilustración que muestra estas características:

Nota  A veces puede ser difícil o aún imposible solucionar analíticamente todas las ecuaciones que se encuentra en Pasos 1, 2, y 3. A consecuencia, puede que no podríamos saber exactamente donde están las intersecciones en x, los puntos extremos, o los puntos de inflexión. Cuando sucede eso, podemos utilizar tecnología graficadora para ayudarnos a determinar aproximaciones acuradas numérica mentes.

LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIOPuede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de cambio de la

distancia respecto al tiempo, y si describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en

cualquier instante t, está representada por . De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física, Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que

hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad de un

tiempo t a un tiempo . Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es:

y la razón instantánea:

Es decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se da y en términos de x por una

fórmula podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.

Por razón de cambio de media de y respecto a x, desde hasta , se entiende la relación:

Si el cociente diferencial tiene un límite cuando , este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.

Definición: La razón de cambio instantáneo de respecto a es la derivada siempre que la derivada exista.

Ejemplos:

1). Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuando el lado mide 5 pulgadas.

Solución:

Sea , el área del cuadrado como función de su lado. Entonces:

Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera de las ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse a cualquiera de los ejemplos anteriores.

Supongamos que una variable es función del tiempo de manera que al tiempo está dada por

, donde g es una función derivable. La diferencia entre el valor inicial y el valor final de en el

intervalo de tiempo está dada por . Análogamente a lo que hicimos tratamiento del concepto de velocidad, formulamos la siguiente definición.

DEFINICIÒN

La razón media de cambio de en el intervalo es

La razón de cambio de con respecto a es

Las unidades que deben usarse en la definición (4.29) dependen de la naturaleza de la cantidad

representada por . A veces se llama la razón de cambio instantáneo de con respecto a .

El límite de este cociente cuando tiende a 0 (es decir, ) se llama la razón de cambio de y con

respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras la presión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen

es una función de la temperatura t. La derivada nos da la razón de cambio del volumen con respecto a la temperatura.

Problemas de optimización

Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema.En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar.En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:_ ¿Qué se solicita en el problema?_ ¿Qué restricciones aparecen en el problema?La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada o maximizada.La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos) una ecuación que será auxiliar para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una variable.

Regla de l'Hôpital

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli[1] es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.[1

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el

caso de las indeterminación del tipo ó .

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,

Guillaume de l'Hôpital

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.[2] [4] Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.

Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

Adaptaciones algebraicas

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.

Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.

Tipo

Regla de L'Hôpital

Si f y g son funciones derivables en (a,b) con c (a,b) excepto en c

Para todo x (a,b) excepto en c

Si el es => =

Si y son tales que f(a)=0 , g(a)=0

=

Recordatorio: sean f y g funciones continuas sobre un intervalo cerrado [a,b] y derivable sobre el intervalo

abierto (a,b). Si g(a) g(b) y para x (a,b) c (a,b) talque

Formas indeterminadas y determinadas.

Existen formas indeterminadas y formas determinadas.

Formas indeterminadas:

Todas estas formas indeterminadas se refieren a cuando una variable tienda a ese valor.

1.

2.3.4.5.

1.

2.3.

6.7.

Formas determinadas:

1.2.3.4.

Ejemplos

1)

Aplicando la definición se realiza

2)

Aplicando la definición se realiza

Ejemplo # 2

Valuamos el limite entonces tenemos que y entonces usamos la regla de L`Hospital

Volvemos a evaluar el limite

ya que es sigue siendo indeterminado volvemos a utilizar la regla de L`Hospital.

Ejemplo # 3

Valuamos el Límite.

Aplicamos la regla de L`Hospital

Valuamos el limite Volvemos aplicar la regla.

Ejemplo # 4

Ejemplo # 5

Calcular

y

Ejemplo # 6

Forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

Ejemplo # 7

Forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

Ejemplo # 8

Forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

Ejemplo # 9

Forma indeterminada:

forma:

Ejemplo # 10

Forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

Ejemplo 11

Aplicamos L'Hospital ya que tenemos la forma indeterminada 0/0.

Evaluamos el límite....

Ejemplo 12

Ejemplo 13

Ejemplo #13

Primero sustituimos cot(2x) por 1/tan(2x)

Utilizamos L'Hospital

Ejemplo 14

Forma Indeterminada

Aplicando L'Hospital

Ejemplo 15

Ejemplo #16

Ejemplo #17

Ejemplo #18

Regla de L'Hôpital (más ejemplos)

Aquí se explica de forma sencilla la aplicación de la regla del l´hopital para límites indeterminados. Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Antoine Francois Guillaume, (1661-1704) quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment pettit (1962), el primer texto que se ha escrito de cálculo diferencial. Se dice que probablemente aprendió la regla de su maestro Johann Bernoulli http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli.

Definición

Sean f(x) y g(x) dos funciones, c es finito de la forma “c, c-, c+“o infinito en cualquier sentido.

Ejemplo #20

Igualamos la función a un y y aplicamos logaritmo natural a ambos lados.

Ahora quitamos el logaritmo natural haciendo e^().

Por lo tanto:

Ejemplo #21

Ejemplo 20

Aplicando la definición se realiza

Ejemplo 21

Forma Indeterminada

Aplicando L'Hospital

Aplicando L'Hospital de nuevo

Ejemplo 22

Ejemplo 23

Integramos......

Evaluamos..............

Aplicamos L'Hospital al primer término, porque forma infinito * 0.

Aplicamos L'Hostpital al segundo término, porque queda forma infinito*0.

Al tercer término no le aplicamos L'Hospital porque nos da directamente 0

Al cuarto termino no le aplicamos L'Hospital porque nos da un valor que es 2

Ejemplo 24

1)

Aplicando la definición se realiza

2)

Aplicando la definición se realiza

Ejemplos

Ejemplo 1. Un objeto tiene una ecuación de posición dada por . Encuentra la ecuación que da cuenta de su velocidad y la ecuación para su aceleración.

Solución: Como nos piden la velocidad, necesitamos calcular la derivada. Revisando la función observamos que se trata de una función polinomial, por lo que necesitamos utilizar las reglas de derivación 1) y 2) para potencias y constantes. Por lo tanto aplicando las reglas:

Para obtener la aceleración, recordemos que se trata de la razón de cambio de la velocidad por lo que debemos de derivar la ecuación de velocidad obtenida:

 

Ejemplo 2. Una población está creciendo de acuerdo a la ecuación , encuentra la razón de cambio de la población.

Solución: Como se nos pide la razón de cambio, debemos encontrar la derivada utilizando las reglas de la tabla, en este caso la regla 5) para funciones exponenciales en donde debemos de identificar la u que en este caso es el exponente de la función:

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Rapidez de cambio

La expresión

f ( x + Δx) − f ( x )Δx representa el cuociente entre la variación de la variable dependiente

(función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.

v = limΔx → 0

f ( x + Δx ) − f ( x )Δt

= dxdt

Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

Ejemplo: Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

Solución: Si la relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:

V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a 2

Ejemplo: Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

Solución: Llamando h a la altura del nivel de líquido en cualquier momento, se puede expresar el volumen del contenido en función de h de la forma: V = π r2 h despejando h se tiene:

h =

V

π r 2 en que π y r son constantes, luego derivando resulta:

dhdt

= 1

π r2dVdt

Pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:

dhdt

= 112,56

0 ,050 = 0,0 398 m /min

Ejemplo. Velocidad de un pistón

Una varilla de 7 pulgadas está conectada a un cigüeñal de 3 pulgadas de radio, que gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, a 200 revoluciones por minuto. Calcular la velocidad del pistón cuando ѳ = π /3.

La velocidad de un pistón está relacionada con el ángulo del cigüeñal.

Solución Nombrar las distancias. Puesto que una revolución completa equivale a 2/π radianes, se sigue que d ѳ /¿ dt = 200 (2π) = 400πradianes por minuto.

Radio dado: d ѳdt

= 400π (ritmo constante)

Encontrar: dxdt

cuando ѳ = π3

Usar la ley de los cosenos para encontrar una ecuación que relacione a x y a ѳ

Ecuación: 72=32 +x2 – 2 / (3) (x) cos ѳ

0 = 2x dxdt

= - 6 (-x sen ѳ)

Ejemplo. Velocidad de un avión detectado por radar

Un avión una ruta de vuelo que le llevara directamente sobre una estación de radar. Si s está decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando s = 10 millas, ¿Cuál es la velocidad del avión?

Solución

Sea x la distancia horizontal al radar. Cuando s = 10 x√102−36=8

Ritmo dado: ds /dt = -400 cuando s = 10

Encontrar: dx /dt cuando s= 10 y x= 8

Encontrar la velocidad del avión de la siguiente manera:

Ecuación: x2 +62 = s2 teorema de Pitágoras

2xdxdt

= 2sdsdt

Derivar con respecto a t.

dxdt

=¿ sx

(dsdt

) Despejar dr /¿ dt .

dsdt

= 108

(-400) Sustituir s, x, y dr /¿ dt .

= -500 millas por hora. Simplificar

Puesto que la velocidad es -500 millas por hora, la rapidez (0 “velocidad” en sentido coloquial) es 500 millas por hora.

Ejemplo 1. El valor de la derivada en los extremos relativos

Encontrar el valor de la derivada en cada uno de los extremos relativos de la siguiente figura.

Solución

A) la derivada de f (x) = 9 (x

Ejemplo. Determinación del ritmo de cambio de instantáneo.

Dos patrullas estacionadas equipas con un radar se encuentran a 5 millas de distancia sobre una autopista. Cuando un camión pasa un camión a lado de la primera patrulla, la velocidad de este se registra en un valor de 55 millas por hora. Cuatro minutos después, cuando el camión pasa a lado de la segunda patrulla, el registro de velocidad corresponde a 50 millas por hora. Demostrar que el camión ha excedido el límite de (velocidad de 55 millas por hora) en algún momento dentro del intervalo de los 4 minutos señalados.

Solución

Sea t=0 o el tiempo (en horas) cuando el camión pasa a lado de la primera patrulla. El tiempo en el que el camión pasa al lado de la segunda patrulla es.

t=460

=115

por hora.

Si s (t) representa la distancia (en millas) recorridas por el camión, se tiene que s (o) = y s (115

) = 5. Por

tanto, la velocidad promedio del camión sobre el trecho de cinco millas de autopista es.

Velocidad promedio =

s ( 15 )−s (0)( 15 )−0

= 51/15

= 75 millas por hora.

Ejemplo. Ondas de un lago.

En un lago en calma se deja caer una piedra, lo que provoca ondas circulares, el radio r del circulo exterior está creciendo a un radio constante de 1pie/s. cuando el radio es 4 pies ¿A qué ritmo está cambiando el área A de la región perturbada?

Solución Las variables r y A están relacionadas por A=π r2.El ritmo o velocidad de cambio del radio res

dr /dt =1

Ecuación A=π r2

Ritmo del radio drdt

=1

Hallar dAdt

cuando r = 4

ddt

[[A ] = ddt

[π r2 ] derivar con respecto a t

d Adt

2π r drdt

regla de la cadena

dAdt

= 2π (4) (1) = 8π sustituir 4 por r y 1 por dr /dt .

Ejemplo. Inflado de un globo

Se bombea aire en el interior de un globo razón de 4.5 pies cúbicos por minuto. Calcular el ritmo de cambio del radio del globo cuando el radio es de 2 pies.

Solución sea V el volumen del globo y r su radio. Puesto que el volumen está creciendo a razón de 4.5 pies cúbicos

por minuto, se sabe que en instante t el ritmo del cambio del volumen es dV / dt= 92

. De tal modo el

problema se puede formular de la siguiente manera:

Ritmo de radio dVdt

= 92

(ritmo constante)

Calcular drdt

cunado r =2

Para encontrar el ritmo de cambio del radio, encontrar una ecuación que relacione el radio r con el volumen V.

Ecuación V= 43

π r24

Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a t, para obtener:

dVdt

4 π r2 drdt

Derivar con respecto a t.

drdt

= 1

4 π r2 (dVdt

) Despejar dr /¿ dt .

Por último, cuando r =2 el ritmo de cambio del radio resulta ser.

drdt

= 1

16π r2 (92

) = 0.09 pies por minuto.

Bibliografía

Funciones crecientes y decrecientes, por WikiMatematica.org http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio

http://www.mitecnologico.com/Main/TeoremaDeRolle

http://profecarlinis.galeon.com/aficiones1608405.html

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Criterio_de_la_segunda_derivada

http://zweigmedia.com/MundoReal/tutorials4/frames5_3.html

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Optimizacion/FTOptimizacion.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital