VJEROJATNOST I STATISTIKA Rjesenje kolokvij (A)

19. 11. 2011.

1.(20)

Oznacimo s |A| broj studenata koji slusa algebru, sa |S| broj studenata koji slusastatistiku i s |F | broj studenata koji slusa fiziku. Buduci da svi studenti slusajubarem jedan od predmeta, a ukupno ih ima 500, onda vrijedi formula ukljucivanjai iskljucivanja (nacrtati Vennov dijagram)

500 = |A|+ |S|+ |F | |A S| |A F | |S F |+ |A S F |.

Iz prethodne relacije, uvrstavanjem podataka da je ukupno 500 studenata, dobivamoda je broj onih koji slusaju sva tri predmeta jednak 55. Prema tome, broj studenatakoji slusaju algebru, ali pritom ne slusaju ni statistiku ni fiziku (oznaka |X| je

|X| = |A| |A S| |A F |+ |A S F | = 88.

Posljednji clan moramo dodati, jer smo studente koji slusaju sva tri predmeta dvaputa oduzeli. Prema tome

Pr(X) =88

500= 0.176.

2.(20)

X je binomna slucajna varijabla kojoj je vjerojatnost uspjeha

p =3

12=

1

4.

Vjerojatnost neuspjeha je p = 1 q = 34. Broj bacanja je n = 7. Buduci da je

slucajna varijabla binomna, imamo

E(X) = np = 7 14=

7

4

V (X) = npq = 7 14 34=

21

16.

3.(20)

Dva su osnovna svojstva funcije gustoce f ,

f(x) 0,

f(x) dx = 1.

Pogledajno sto vrijedi za zadanu funkciju

f(x) =

ax, 1 < x 1,bx2, 1 < x 2,0, inace.

Prvo, mora vrijediti ax 0 na [1, 1]. Buduci da je ax pravac koji prolazi krozishodiste, onda njegova vrijednost na [1, 1] ce biti veca ili jednaka 0 samo ako jea = 0.

Nadalje mora biti bx2 0 na 1, 2]. Buduci da je x2 0, onda b mora bitimanji ili jednak 0.

Konacno mora biti

b2

1

x2 dx = bx3

3

2

1

= b(8

3 1

3

)= b7

3= 1,

sto znaci da je

b = 37.

Dakle, funkcija f jest gustoca slucajne varijable ako je

a = 0, b = 37.

4.(20)

Ocekivanje zivota zenke komaraca je normalna slucajna varijabla za zadanim para-metrima N( = 195, = 5). Trazi se

Pr{X 204.5} = 1 Pr{X 204.5} = 1 Pr{X 195

5 204.5 195

5

}

= 1 Pr{Z 1.9} = 1 (0.5 + 0(1.9))= 0.5 0.47128 = 0.02872,

pri cemu je Z oznaka jedinicne normalne slucajne varijable.

5.(20)

Greska za pouzdanosti treba biti

kn 1

6,

pri cemu je k koeficijent pouzdanosti, standardna devijacija, a n velicina uzorka.

Iz prethodne relacije odmah slijedi da mora bitin 6k, odnosno

n (6k)2.Ostaje jos odrediti koeficijent pouzdanosti za 91%. Vrijedi

0.91 = 20(k),

pa je k 1.7. Prema tome jen (6 1.7)2 = 104.04,

odnosno n 105.