3B09P57 課堂探討

3B09P57 課堂探討

AC = _____ 單位

BC = _____ 單位

根據畢氏定理，可得

AB = _____ 單位 (準確至三位有效數字 )

A(2 , 1)

B(7 , 5)

在圖中所示的直角坐標平面上放了一幅三角形圖畫 ABC 。已知 ACB 是直角。

C(2 , 5)

4

5

6.40

y

xO

3B09P62 課堂練習

(d) ABC 是一個等邊三角形。

(a) 85AB

(b) 85BC

(c) 85AC

(e) ABC 是一個等腰三角形。

A(3 , 10) ， B(12 , 12) 和 C(14 , 3) 分別是 ABC 的頂點。對於下列有關 ABC 的句子，試在正確的句子旁框內加上「」號，不正確的加上「」號。

3B09P65 課堂討論

宇傑到了水上樂園玩滑水梯。他分別試玩了 A 、 B 和 C 三條不同斜度的滑水梯。(a) 你認為他玩哪一條滑水梯時下滑的速度最快？

(b) 試用直觀方法，根據三條滑梯的傾斜程度，由大至小將滑梯排列出來。

C

C ， B ， A

A B C


A 的斜率 =

B 的斜率 =

C 的斜率 =

4

1

2

1

1

試比較這三個斜率的大小。試比較這三個斜率的大小。

當斜率越小，傾斜程度便越 ( 大 / 小 ) 。當斜率越小，傾斜程度便越 ( 大 / 小 ) 。

B

C

A

4 單位

1 單位

4 單位

2 單位

3 單位

3 單位

根據所學的公式，計算下圖三條滑梯的斜率。根據所學的公式，計算下圖三條滑梯的斜率。

C 的斜率 > B 的斜率 > A 的斜率C 的斜率 > B 的斜率 > A 的斜率

x

x

x

y

y

y

3B09P67a 課堂練習

參看附圖，選出正確答案。

(1) AB 的斜率 =

(2) BC 的斜率 =

(3) CD 的斜率 =

(4) AD 的斜率 =

(5) BD 的斜率 =

(5) AC 的斜率 =

y

x

A (4 , 4)

B (–3 , 2)

C (0 , –4)

D (6 , –2)O

7

2

–2

3

1

–3

9

4

2

7

2

3

1

9

4

7

2

3

1

9

4

–1 1 –2 2 –3 3

3B09P67b 課堂練習

在右圖中，直線 l1 、 l2 、 l3 和 l4 的斜率分別為 m1 、 m2 、m3 和 m4 。

1. 根據此圖，在方格中上「 > 」或「 < 」。(a) m1 0

(b) m3 0

(c) m1 m2 m3 m4

2. 如果四條直線的斜率分別是 2 、 3 、– 3 和 – 4 ( 不依次序排列 ) 。試將這 4 個數值與 4 條直線的斜率配對起來。l1 的斜率 =

l2 的斜率 =

l3 的斜率 =

l4 的斜率 =

3

2

–3

–4

><

> > >

y

x

l1 l2

l3

l4

O


直線 l1 、 l2 、 l3 和 l5 的斜率分別是 3 、 1 、 0.5 和 – 0.5 。

直線 l1 、 l2 、 l3 和 l5 的斜率分別是 3 、 1 、 0.5 和 – 0.5 。試估計 l4 ( 一條平行 x 軸的線 ) 的斜率。

試估計 l4 ( 一條平行 x 軸的線 ) 的斜率。

l4 的斜率是 0 。

一條平行 x 軸的線的斜率是零。一條平行 x 軸的線的斜率是零。


直線 l1 、 l2 、 l3 和 l5 的斜率分別是 1 、 10 、 3 972 和 –3 972 。

直線 l1 、 l2 、 l3 和 l5 的斜率分別是 1 、 10 、 3 972 和 –3 972 。試估計 l4 ( 一條平行 y 軸的線 ) 的斜率。

試估計 l4 ( 一條平行 y 軸的線 ) 的斜率。

l4 的斜率是沒有意義的。

一條平行 y 軸的線的斜率是沒有意義的。一條平行 y 軸的線的斜率是沒有意義的。

1. 參閱下圖，完成下表。 (答案須準確至最接近的度。 )

斜率斜率傾角傾角

AB

CD

BC 2

7

2

3

1

16°

18°

63°

y

x

B(4 , 4)A(–3 , 2)

C(0 , –4)

D(6 , –2)O

2. 求下列各圖中直線 L 的斜率。 (答案須準確至一位小數。 )

y

xO

120º

L(a) y

x40º

L(b)

O

斜率 = – 0.8

斜率 = 1.7


O

y

x

D

CA

B4

3

–1

–2

–2–4

1 2

2

1

2

3B09P75 課堂探討

在右圖中，已知 AB // CD 。設 1 和 2 分別為 AB 和 CD 的傾角， m1 及 m2 分別為 AB 和 CD 的斜率。

(a) 在下表寫出 A 、 B 、 C 和 D 各點的坐標。

(b) 求 m1 和 m2 。

(c) 問 m1 和 m2 有什麼關係？

(d) 問 1 和 2 有什麼關係？

A B C D

坐標 (–4 , –1) (–2 , 3) (0 , –2 )

21 m 22 m

m1 = m2

1 = 2

(3 , 4)


試找出圖中哪些直線是互相平行。

l1、 l4 和 l5 是互相平行。

x

y

O

14

148

7

2

(– 8 , 8)

45°

l1

l2l3l4

l5

(7 , – 8)

Q(– b, a)

(d) 若 l1 和 l2 並不是相交於 O ，你認為 (c) 部的結果仍然成立嗎？

(b) 求 Q 的坐標。

3B09P78a 課堂討論

在右圖中，已知 l1 l2 並相交於 O ，P(a, b) 是 l1 上的一點，而 Q 則是 l2 上的一點且 OQ = OP 。

(a) OPR 與 OQS 是否全等？是

(c) 求 l1 和 l2 的斜率，由此求它們的積。

成立。考慮圖中的 L1 和 L2 ， L1 L2 。我們可以繪畫對應的 l1 及 l2 ，使 l1 // L1 及 l2 // L2 ，且 l1 及 l2 相交於 O 。由此可以推論 l1 的斜率 = L1 的斜率，以及 l2 的斜率 = L2

的斜率。l1 與 l2 的交角 = l1 與 L2 的交角 = L1 與 L2 的交角 ( 同位角 ) ，所以 l1 l2 。根據以上課堂討論，我們便有

L1 的斜率 × L2 的斜率 = – 1 。

成立。考慮圖中的 L1 和 L2 ， L1 L2 。我們可以繪畫對應的 l1 及 l2 ，使 l1 // L1 及 l2 // L2 ，且 l1 及 l2 相交於 O 。由此可以推論 l1 的斜率 = L1 的斜率，以及 l2 的斜率 = L2

的斜率。l1 與 l2 的交角 = l1 與 L2 的交角 = L1 與 L2 的交角 ( 同位角 ) ，所以 l1 l2 。根據以上課堂討論，我們便有

L1 的斜率 × L2 的斜率 = – 1 。

ba

ba

lab

ab

l

00

00

21 的斜率，的斜率

1 )( 21 ba

ab

ll 的斜率的斜率

(– b, a)

y

x

QP (a , b)

O

S

R

l2l1

L2 L1

證明： POR + SOP = 90 定義　 QOS + SOP = 90 已知 POR = QOS PRO = QSO = 90 定義 OP = OQ 己知

OPR OQS AAS

證明： POR + SOP = 90 定義　 QOS + SOP = 90 已知 POR = QOS PRO = QSO = 90 定義 OP = OQ 己知

OPR OQS AAS

說明： QS = PR = b 全等的對應邊 OS = OR = a 全等的對應邊

Q 的坐標是 (– b, a) 。

說明： QS = PR = b 全等的對應邊 OS = OR = a 全等的對應邊

Q 的坐標是 (– b, a) 。，的斜率，的斜率

b

al

a

bl 21

1 21 的斜率的斜率 ll

y

x

Q (– d , c)

P (a , b)

O

S

R

l2

l1

(c) 利用 (a) 部和 (b) 部的結果，你可以判定 OPR 和 OQS 相似嗎？可以

3B09P78b 課堂討論在右圖中，已知 l1 和 l2 的斜率之積為 – 1 ， l1 和 l2 相交於 O ， P(a, b) 和 Q(– d, c) 分別是 l1 和 l2 上的一點。(a) 試以 a 、 b 、 c 或 d 分別

表示 OR 、 PR 、 OS 和 QS 。OR = a ， PR = b ， OS = c ， QS = d(b) 試寫出 a 、 b 、 c 和 d 之間的關係。 d

b

c

a

(e) 若 l1 和 l2 並不是相交於 O ，你認為 (d) 部的結論依然成立嗎？

(d) 根據 (c) 部的結果， QOP 是多少？由此你有什麼結論？QOP = 90º ，可知 l1 l2 。

成立。考慮圖中的 L1 和 L2 ， L1 的斜率 × L2 的斜率 = – 1 。我們可以繪畫對應的 l1 及 l2 ，使 l1 // L1 及 l2 // L2 ，且 l1 及 l2 相交於 O 。由此可以推論 l1 的斜率 = L1 的斜率， l2

的斜率 = L2 的斜率。根據以上課堂討論，可知 l1 l2 。 L1 與 L2 的交角 = L1 與 l2

的交角 = l1 與 l2 的交角（同位角），因而可以推論 L1 L2 。

成立。考慮圖中的 L1 和 L2 ， L1 的斜率 × L2 的斜率 = – 1 。我們可以繪畫對應的 l1 及 l2 ，使 l1 // L1 及 l2 // L2 ，且 l1 及 l2 相交於 O 。由此可以推論 l1 的斜率 = L1 的斜率， l2

的斜率 = L2 的斜率。根據以上課堂討論，可知 l1 l2 。 L1 與 L2 的交角 = L1 與 l2

的交角 = l1 與 l2 的交角（同位角），因而可以推論 L1 L2 。兩邊成比例且夾角相等定義

部的結果

部的結果，證明：

90

(b)

(a)

OQS~OPROSQORP

QS

PR

OS

ORd

b

QS

PR

c

a

OS

OR

d

b

c

aadbc

d

c

a

b

1 0

0

0

0

1 l l 21

或

的斜率的斜率說明：

L2L1

說明： POR = QOS 相似的對應角 POR + SOP = 90º 定義

QOS + SOP = 90º QOP = 90º

說明： POR = QOS 相似的對應角 POR + SOP = 90º 定義

QOS + SOP = 90º QOP = 90º


參看下圖，指出所有互相垂直的直線。

l1 l3 l2 l3 l1 l4 l2 l4

x

y

O

A (0 , 2)

D (8 , –1)

C (5 , –9)

B (–3 , –6)

l1

l2

l3

l4

0y1

y2


在以下的數線上，在以下的數線上，

0 x1 x2

221 xx

x1 和 x2 的中點y1 和 y2

的中點221 yy

0 x1 x2

221 xx

0y1

y2

221 yy

O x1 x2

221 xx

y1

y2

221 yy

y1

y2

221 yy

y

X

Y

求 XY 的中點 M 的坐標。

M )2

, 2

( 2121 yyxx

O x1 x2

221 xx

x

。的坐標是 )2

, 2

( 2121 yyxxM

？

？


已知 AP : PB = r : s ，求 P 的坐標。

。的坐標是 ) , ( 2121

sr

rysy

sr

rxsxP

y

x

A (x1 , y1)

B (x2 , y2)

P

O

r : s

x1

y1

x2 21

sr

rxsx

sr

rysy

21

y2

3B09P91 課堂活動

隨意畫一條線段 AB ，並作出 AB 的垂直平分線 L 。在直線 L 上隨意標出一點 P 。

用直尺分別量度 P 點與 A 、 B 兩點的距離。你有甚麼發現？

PA = ______ cm ， PB = ______ cm

L

1010

A B

P

PA = PB

⑤ 根據以上試驗的結果，我們可以斷定一條線段的垂直平分線上任何一點必定與該線段的兩個端點等距嗎？不可以。因為我們只進行了一次試驗。⑥ 根據以上試驗的結果，我們可以否定一條線段的垂直平分線上任何一點必定不會與該線段的兩個端點等距嗎？可以。要否定一個命題，一個反例就足夠了。

3B09P275a 增潤課題

P 點在 AB 的延線上，且 AP : PB = r : s 。

設 B 點為 AP 的內分點，則 AB : BP = (r – s) : s 。

(a) 利用分點公式，以 x1、 x2、 r 和 s 表示 x 。

(b) 用相同原理，以 y1、 y2、 r 和 s 表示 y 。

r

xsrsx

srs

xsrsxx

112 sr

sxrxx

12

sr

syryy

12

O

y

x

P(x , y)

B(x2 , y2)

A(x1 , y1)

s : r

已知 A(14 , 6) 及 B(4 , 11) 兩點。求下列情況下 C 點的坐標：(a) C 點在 AB 的延線上，且 AC : CB = 8 : 3 。

(b) C 點在 BA 的延線上，且 AC : CB = 3 : 8 。

(–2 , 14)

(20 , 3)

O

y

x

B(4 , 11)

A(14, 6)

3B09P275b 增潤課題

Documents

3B09P57 課堂探討