高等代数

4

矩阵

第四章 矩阵 学时：

18 学时。 教学手段：

讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的：

基本内容： 矩阵的运算，可逆矩阵，初等矩阵及其性质和意义，分块矩阵。

教学目的： 1 ．使学生理解和掌握矩阵等价的相关理论 2 ．能熟练地进行矩阵的各种运算 ( 包括求逆，分块等 )

本章的重点和难点：掌握矩阵的运算以及它们的运算规律；伴随矩阵的概念及其在矩

阵求逆中的应用；基本关系式的应用；初等方阵的概念，性质和应用；矩阵的分块及意义。

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矩阵

4.2 矩阵的运算

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矩阵

一、 矩阵的加法11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 ,

( ) , ( )

( )

n n

n nij nn ij sn

s s sn s s sn

n n

n nij sn ij ij sn

P s n A B

a a a b b b

a a a b b bA a B b

a a a b b b

a b a b a b

a b a b a bC c a b

定义 设数域 上的 矩阵 为

，则

矩阵 （ ）

1 1 2 2s s s s sn sna b a b a b

A B C A B

称为矩阵

和 的和，记为

矩阵加法 ： 1. 具有相同行、列数的矩阵 ( 即同型矩阵 ) 方可相加； 2. 同型矩阵 A, B 的对应元素相加组成同型矩阵 A ＋ B.

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矩阵

1. ( ) ( )

2.

( )

(

3. (0) ,

0

4.

)

)

( )

( 0

i

sn sn

i j snj sn

A B C A B C

A B B A

O O

A A

A a

A B A

a A

A

B

A

性质 ；；

元素全为零的矩阵称为 ，记为 简记为

；矩阵 称为 ，记为

零矩阵

矩阵 的负矩阵

矩阵减法运算：；

* 由此引入

例 . 由产地 A1 ， A2 调运大米和面粉到销地 B1 ， B2 ， B3

的数量（吨）分别如 A ， B 矩阵所示，则调运粮食总量可以由矩阵如下 A ＋ B 给出 . （见下页）

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矩阵

1 2 3 1 2 3

1 1

2 2

1 2 3

1

2

3 7 2 1 2 4

2 1 3 3 1 2

3 7 2 1 2 4

2 1 3 3 1 2

3 1 7 2 2 4 4 9 6

2 3 1 1 3 2 5 2 5

A B

A B

B B B B B B

A A

A A

B B B

A

A

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矩阵

11 12 1

21 22 21 2

1 2

11 12 1

21 22 21 2

1 2

( ) 1 2 1 2

11 12 1

21 22 2

( , , , ) ,

( , , , ) ,

( , ) ( , , , , , , , )

n

nsn n

s s sn

m

msm m

s s sm

s m n sn sm n m

n

n

a a a

a a aA

a a a

b b b

b b bB

b b b

C A B

a a a

a a a

设矩阵

定 矩

补

义 阵

充：

11 12 1

21 22 2

1 2 1 2

m

m

s s sn s s sm

b b b

b b b

a a a b b b

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矩阵

性质 5 max{r(A), r(B)}≤r(A, B)≤r(A) ＋ r(B).

特别： r(A)≤r(A,β)≤r(A) ＋ 1 ， β为非零列向量 .

证明：矩阵 A 的最高阶非零子式总是 (A, B) 的非零子式 → r(A)≤r(A, B). 同理可以推出 r(B)≤r(A, B) →

max(r(A), r(B))≤r(A, B). 设 r(A) = r, r(B) = t, 把 A ， B 分别作列变换化成列阶

梯形矩阵 A， B , 则 A ， B 分别含 r 个和 t 个非零列，可设

A→A = (α1,···,αr,0, ···, 0) ； B→B = (β1, ···,βt, 0, ···, 0),

即矩阵 (A, B) 经过列变换化成为 (A ， B) ，而 (A ， B) 中只含有 r + t 个非零列 → r(A ， B)≤ r + t → r(A, B) =

r(A ， B)≤ r + t ，即 r(A,B) ≤ r + t .

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矩阵

性质 6 r(A ＋ B)≤r(A) ＋ r(B)

证明： 设 A ， B 均为 s×n 矩阵，且 A = (α1, α2, ···, αn), B = (β1, β2, ···, βn).对矩阵 (A ＋ B, B) = (α1 +β1, α2+ β2, ···, αn+ βn, β1, β2, ···, βn)

作列变换： ( － 1)×cn+i ＋ ci 上，则将矩阵 (A ＋ B, B) 化成矩阵 (A, B), 于是据性质 6 ，就有 r(A ＋ B)≤r(A ＋ B, B) = r(A, B)≤r(A) ＋ r(B).

矩阵加法满足结合律，交换律；减法作为加法的逆运算，不是一个独立的运算；矩阵加 ( 减 ) 法中有关秩的性质 5 ， 6 是不同于我们以往所学代数运算性质研究的两个独特的性质，应特别予以重视 .

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矩阵

二 矩阵乘法

定义 2 前提： ( ) , ( )ik sn kj nmA a B b ；

法则： AB = C ( )ij smc ，其中 1 1 2 21

n

ij i j i j in nj ik kjk

c a b a b a b a b

称 C为 A，B的乘积.

矩阵乘法的意义： 1 1 2 21

n

ij ik kj i j i j in njk

c a b a b a b a b

；

11 12 111 1 1

21 2 2

1 2

1

1 2

nj n

j n

i i in ij

s sj sn

s s sn

a a ab b b

b b bAB a a ai c i

b b ba a a

j j

.

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矩阵

0 3 41 0 1 2

1 2 11 1 3 0 , ,

3 1 10 5 1 4

1 2 1

0 3 41 0 1 2

1 2 11 1 3 0

3 1 10 5 1 4

1 2 1

1 0 0 1 ( 1) 3 2 ( 1) 6 7

( 1) 0 1 1 3 3 0 1 2 6 .

0 0 5 1 ( 1) 3 4 1 17 10

A B

C AB

例1

矩阵乘法： 两矩阵 A = (aik) ， B = (bkj) 相乘为 AB = (cij)1. A 的列数 = B 的行数，两矩阵 A ， B 方可相乘；2. AB 的第 i 行、第 j 列元素 cij 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和 .

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矩阵

实例： 设

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

4 41 1 42 2 43 3

x a y a y a y

x a y a y a y

x a y a y a y

x a y a y a y

(1) 3

1

( 1,2,3,4)i ik kk

x a y i

；

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

3 31 1 32 2

y b z b z

y b z b z

y b z b z

(2) 2

1

( 1,2,3)k kj jj

y b z k

→ 问题：确定 1 2 3 4, , ,x x x x 与 1 2,z z 的关系.

解： 3 3 2 3 2 2 3

1 1 1 1 1 1 1

( )i ik k ik kj j ik kj j ik kj jk k j k j j k

x a y a b z a b z a b z

2 3

1 1

( )ik kj jj k

a b z

2

1ij j

j

c z

（ 1,2,3,4i ） → 即

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矩阵

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

3 31 1 32 2

4 41 1 42 2

x c z c z

x c z c z

x c z c z

x c z c z

(3) , 其中1

n

ij ik kjk

c a b

（ 1,2,3,4i ； 1,2j ）.

换一个角度认识问题：

设

1

2

3

4

x

xX

x

x

，

11 12 13

21 22 23

31 32 33

41 42 43

a a a

a a aA

a a a

a a a

，1

2

3

y

Y y

y

, 11 12

21 22

31 32

b b

B b b

b b

, 1

2

zZ

z

→ (1) X AY ； (2) Y BZ （验证）

→ ( ) ( )X AY A BZ AB Z CZ ，即

1

2

3

4

x

xX

x

x

11 12 1311 12

21 22 23 121 22

31 32 33 231 32

41 42 43

( )

a a ab b

a a a zb b

a a a zb b

a a a

11 12

21 22 1

31 32 2

41 42

c c

c c z

c c z

c c

(3) .

11 12 13 11 1 12 2 13 311

21 22 23 21 1 22 2 23 322

31 32 33 31 1 32 2 33 333

41 42 43 41 1 42 2 43 34

a a a a y a y a yxy

a a a a y a y a yxy

a a a a y a y a yxy

a a a a y a y a yx

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矩阵

例2 一般线性方程组

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

s s sn n s

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(1)

若取列向量为

11 12 1 1

21 22 2 21 2

1 2

, , , ,

n

nn

s s sn s

a a a b

a a a b

a a a b

，则(1)可表为

1 1 2 2 n nx x x （向量表达式） (2)

若取

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

s s sn

a a a

a a aA

a a a

，

1

2

n

x

xX

x

，

1

2

s

b

bB

b

，则(1)可表为

AX B （矩阵表达式） (3)

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

s s sn n s

a a a x b

a a a x bAX B

a a a x b

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矩阵

例3 空间中，设由坐标系 1 1 1( , , )x y z 到坐标系 2 2 2( , , )x y z 的坐标旋转公式：

1 11 2 12 2 13 2

1 21 2 22 2 23 2

1 31 2 32 2 33 2

x a x a y a z

y a x a y a z

z a x a y a z

，则它与矩阵表达式 1 2X AX 是一致的.其中

1

1 1

1

x

X y

z

， 2

2 2

2

x

X y

z

， 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

→ 若再作一次坐标轴的旋转， 设

由第二个坐标系 2 2 2( , , )x y z 到第三个坐标系 3 3 3( , , )x y z 的坐标旋转公式为

2 3X BX ，则由 1 1 1( , , )x y z 到坐标系 3 3 3( , , )x y z 的坐标变换公式为 1 3( )X AB X .

1 11 12 13 2

1 1 21 22 23 2 2

1 31 32 33 2

x a a a x

X y a a a y AX

z a a a z

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矩阵

x ·M y1 y2 x2

x1

θ φ x Y

实例：将直角坐标系 xoy 旋转 θ 度到 x1oy1, 再旋转 φ 度到x2oy2 . 设 M 点在三个坐标系下的坐标依次为 (x,y),

(x1,y1),(x2,y2) ，利用平面解析几何的坐标旋转公式有

1 1 1

1 1 1

1 2 2 1 2

1 2 2 1 2

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

x x y xxA

y x y yy

x x y x xB

y x y y y

A

B

其中

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矩阵

2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

( cos sin )cos ( sin cos )sin

(cos cos sin sin ) (sin cos cos sin )

cos( ) sin( ).

sin( ) cos( )

cos( ) sin( )

sin( ) o (

,

c s )

x x y

y x y

x x y x y

x y

x y

y x y

x

y

于是

类似可得即

若用矩阵表示，则有 1 2 2

1 2 2

( ) ( ) ,

cos sin cos sin

sin cos sin cos

cos cos sin sin cos sin sin cos

sin cos cos sin sin sin cos cos

cos( ) sin( )

sin(

x x xA A B AB

y y y

AB

其中

2

2

cos( ) sin( )

s

,) cos(

in( ) cos( )

)

.xx

yy

即

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矩阵

性质 1 ( ) ( )AB C A BC （矩阵的乘法满足结合律）

证明： 设 ( ) ,ij snA a ( ) ,jk nmB b ( )kl mrC c → 分两步进行：

① 左，右运算所得矩阵同类型（行，列对应相同）.

( ) , ( ) ,ik smAB C VC V AB v VC s r 其 进而 是 矩阵 .

( ) , ( ) ,jl nrA BC AW W BC w AW s r 其 进而 是 矩阵 .

→ 故左，右两矩阵均为 s r 矩阵.

② 1 1 1 1 1

( )m m n m n

ik kl ij jk kl ij jk klk k j k j

VC i l v c a b c a b c

中第 行第 列元素 (7)

1 1 1 1 1

( )n n m n m

ij jl ij jk kl ij jk klj j k j k

AW i l a w a b c a b c

中第 行第 列元素 (8)

→ 由 符号的交换性可知 (7) = (8) , 故有结合律成立.

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矩阵

性质 2 一般讲 AB BA （矩阵乘法一般不满足交换律）.

证明： 举出反例即可，一般有三类情况：

① sn nmA B s m 乘 （ ）可行，反之则不成，故乘法交换律不成立；

② 23 32 32 23A B B A → 左边为 2阶矩阵，右边为 3阶矩阵；

③ 设1 1

1 1A

，1 1

1 1B

→0 0

00 0

AB

，而

2 20

2 2BA

→ 矩阵乘法一般不满足交换律.

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矩阵

性质 3 0AB 0 0A B 或 ( 两不为 0的矩阵的积可能为 0 ) .

证明： 见性质 2的证明.

性质 4 AB AC B C ( 即 矩阵乘法一般不满足消去律 ) .

证明： 如1 1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0

.

性质 5 ,sn n sn s sn snA E A E A A , 其中

1

1k

kk

E

称为 k阶单位矩阵.

证明： 验证即可.

性质 6 ( ) , ( )A B C AB AC B C A BA CA .

证明略. ( 这里由于乘法不满足交换律，故乘法对加法的分配律分为左，右

分配律加以叙述 ) .

1 0 3 1 2 3 1 2

0 1 2 1 3 2 1 3

1 0 03 1 2 3 1 2

0 1 0 .2 1 3 2 1 3

0 0 1

－ －；

－ －

－ －－ －

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矩阵

三 幂运算

定义 设 A是 n阶矩阵，规定1

1( )

k k

A Ak N

A A A

.

此为归纳定义法，即有 2 1 3 2, , , m

m

A A A AA A A A AAA A AA A 个

；

结合律成立→ 1 2 kA A A 才有确定意义→ m

m

AA A A 才有确定意义，

即可引入幂运算的概念，故没有结合律就没有幂运算.

性质 1-2 ( )k l k l k l klA A A A A ； .

一般讲 ( )k k kAB A B .（事实上， ( )( ) ( ) ( )( )AB AB AB AA A BB B ）.

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矩阵

四 数量乘法

定义 矩阵 ( )ij snka 称为矩阵 ( )ij snA a 与数 k的数量乘积，记为

( ) ( )ij sn ij snkA k a ka .

性质 1. ( )k l A kA lA ； 2. ( )k A B kA kB ；

3. ( ) ( )k lA kl A ； 4. 1A A ；

5. ( ) ( ) ( )k AB kA B A kB .

证明： 仅证 5. 其它类似可证. 设 ( ) ( )ij sn jt nmA a B b ，

→ ( ) ( ) ( )k AB kA B A kB， ， 均为 s m 矩阵,且第 i行、第 t列的元素

依次为 1 1 1

, ( ) ,n n n

ij jt ij jt ij jtj j j

k a b ka b k a b

1 1

( )n n

ij jt ij jtj j

a kb k a b

→ 即有性质 5成立.

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矩阵

五 矩阵转置

定义 11 12 1

1 2

n

s s sn

a a a

A

a a a

，称矩阵

11 1

12 2/

1

s

s

n sn

a a

a aA

a a

为 A的转置矩阵.

/ A s n A n s 是 矩阵 是 矩阵 .

性质 1. // / /A A A （ ） ； 3. / / /AB B A（ ） ；

2. / / /A B A B （ ） ； 4. / /kA kA（ ） .

证明： 仅证 3.其它类似可证.

设

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

s s sn

a a a

a a aA

a a a

，

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

n n nm

b b b

b b bB

b b b

→

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矩阵

① / AB s m AB m s 是 矩阵 （ ）是 矩阵，

/ / / / A n s B m n B A m s 是 矩阵， 是 矩阵 是 矩阵 .

② /

1 1

( , ) ( ) ( , )

ij ji

n n

ik kj jk kik k

c c

AB i j a b AB i j b a

中 元素是 中 元素是 ，

/ / / /( , ) , ( , ) ( , )ki jkB i k b A k j a B A i j 中 元素是 中 元素是 中

元素为 / / ( , )B A i j 中 元素为1 1

n n

ki jk jk kik k

b a a b

.

① ②由 ， 即知命题成立.

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矩阵

/ / / /

/ /

(1, 1, 2),

2 1 0 2 1 0

1 1 3 , (1, 1, 2) 1 1 3 (9, 2, 1),

4 2 1 4 2 1

1 2 1 4 2 1 4 1

1 , 1 1 2 1 1 2 1

2 0 3 1 0 3 1 2

9

2 (9, 2, 1) ( ) .

1

A

B AB

A B B A

AB

例：设矩阵

则

又 ，故

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矩阵

4.3 矩阵乘积的行列式与秩

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矩阵

1. (定理 1) A, ( )nB M P AB A B .

证明： 见 P94，证明略.

推论 1 1 2 1 2 1 2, , , ( )k n k kA A A M P A A A A A A .

定义 6 ( ( ))nA M P 称为非退化矩阵 0A ；否则称为退化矩阵.

(1) ( ( ))nA M P 非退化 ( )r A n ；

(2) , ( ( ))nA B M P , 则 AB退化 ,A B中至少有一个是退化的.

证明： AB退化 0AB 0A B 0A 或 0B ,A B中至少

有一个是退化的.

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矩阵

P124 1

2. ( ) r r

M

N M N M N

M N r

.

r

等价 线表 等价 线表

线表

推论

证明：设Ⅰ 的一个极大无关组是 ，Ⅱ 的

补充命题 向量组Ⅰ 向量组Ⅱ (Ⅰ )

一个极大无关

组是 Ⅰ Ⅱ

，即

(Ⅱ )

( Ⅰ ) (Ⅱ ).

3. (定理 2) ( )nm msr A B ≤ min[ ( ), ( )]nm msr A r B .

即 乘积的秩≤各因子的秩 .

证明： 只要证明 ( )r AB ≤ ( ), ( )r A r B 即可.

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矩阵

设

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

n n nm

a a a

a a aA

a a a

，

11 12 1

21 22 2

1 2

s

s

m m ms

b b b

b b bB

b b b

1

2

m

B

B

B

，

1 2, , , mB B B 为 B的行向量组， 1 2, , , nC C C 是 AB的行向量组

→ AB

11 12 1 1 11 1 12 2 1

21 22 2 2 21 1 22 2 2

1 2 1 1 2 2

m m m

m m m

n n nm m n n nm m

a a a B a B a B a B

a a a B a B a B a B

a a a B a B a B a B

1

2

n

C

C

C

→

1 1 2 2 1, 2, ,i i i im mC a B a B L a B i n

即 1 2 1 2{ , , , } { , , , }n mC C C B B B 线表 2. ( )r AB ≤ ( )r B .

类似可证 ( )r AB ≤ ( )r A . 故该命题成立.

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矩阵

证明 ( )r AB ≤ ( )r A ：设 1 2, , , mA A A 是矩阵 A的列向量组，

1 2, , , sD D D 是 AB的列向量组 →

1 2( , , , )mAB A A A

11 12 1

21 22 2

1 2

s

s

m m ms

b b b

b b b

b b b

11 1 21 2 1( ,m mb A b A b A

12 1 22 2 2 1 1 2 2, , )m m s s ms mb A b A b A b A b A b A 1 2( , , , )sD D D

→ 1 2 1 2{ , , , } { , , , }s mD D D A A A 线表 2. ( )r AB ≤ ( )r A .

推论 1 2( )tr A A A ≤1min ( )j

j tr A

.

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矩阵

4.4 矩阵的逆

高等代数

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矩阵

一 矩阵逆的概念 设 Mn(P) = {A|A 是数域 P 上的 n 阶矩阵 } ； 矩阵相仿复数，有加、减、乘运算，是否也可以引入除法运算？ → 对任意的 A M∈ n(P) ， AE = EA = A ,而对任意的 x P, ∈ 1x = x1 = x , 即 n 阶单位矩阵 E 与数 1 起的作用是类似的 → 当 x ≠ 0 时， xx － 1 = 1

, 相仿的，可引入以下概念：

定义 7-8 A( M∈ n(P)) 称为可逆矩阵 ，若存在 B M∈ n(P)使得 AB = BA = E (1) 这时称 B 为 A 的逆矩阵 ， 记为 A － 1 = B.