§4-5 §4-5 机械波的产生与传播 机械波的产生与传播

天线发射

天线发射

出电磁波

出电磁波

水波水波

地震波造成的损害地震波造成的损害

声波声波

机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程

电磁波：交变电磁场在空间的传播过程

波动的共同特征

反射 折射 干涉 衍射

4-5-1 机械波的产生条件

机械波是机械振动状态在弹性介质中的传播过程

由无穷多的质元通过相互之间的弹性力组合在一起的连续介质。

弹性介质：

u

x

y

（ 1 ） 波源；

（ 2 ） 能够传播机械振动的弹性介质。

产生机械波的两个条件：

两种类型的机械波：

横波：质点的振动方向和波动的传播方向垂直。

波形特征：

x

波峰

波谷

u

存在波峰和波谷。

纵波：质点的振动方向与波动的传播方向平行

波形特征： 存在相间的稀疏和稠密区域。

4-30

稠密 稀疏声波是一种纵波

4-5-2 波动过程的描述波线：表示波的传播途径和方向的有向线段。波面：振动相位相同的点所构成的面。波阵面（波前）：在最前面的那个波面。

球面波

波线

波前

波面

平面波

波线波面

波前

在各向同性的均匀介质中，波线总是与波面垂直。

描述波动的物理量：

波长：同一波线上两个相邻的、相位差为 2π 的质点之间的距离。

周期 T ：波前进一个波长的距离所需的时间。

频率 ：单位时间内波动前进距离中完整波长的个数。 T

1

波速：振动状态（或相位）在空间的传播速度。

Tu

1. 液体和气体

B

u B 为容变弹性模量，为质量密度。

p

u 理想气体： 液体和气体内只能传播纵波，不能传播横波。

2. 固体

横波：G

u G 为切变弹性模量。

纵波：Y

u Y 为杨氏弹性模量。

3. 绳索中的波速

F

u F 为张力，为线密度。

结论：波速由弹性介质性质决定，频率（或周期）则由波源的振动特性决定。

4-6-1 平面简谐波的波动表达式

y t A t0 0( ) cos( )

1. 一维平面简谐波表达式的建立O 点的振动方程：

P 点的振动状态在时间上落后于 O 点：

u

xt

A tx

ucos[ ( ) ] 0

uO x

y

Px

§ 4-6 § 4-6 平面简谐波平面简谐波

ttytyP 0

0)(cos),(

u

xtAtxy

平面简谐波的波动表达式：

uTTπ2因为

)π2

cos(),( 0

xtAtxy

0π2cos),(

x

T

tAtxy

)π2

cos(),( 0

xtAtxy

坐标为 x 的质元振动相位比原点 O 处质元的振动相位落后了 。xπ2

nx 当 txytxy ,,

结论：波长标志着波在空间上的周期性。

结论：随着 x 值的增大，即在传播方向上，各质点的相位依次落后。这是波动的一个基本特征。

一维平面简谐波表达式的物理意义：

（ 1 ）当 x = x 0 （常数）时

质元的振动表达式 ：

0

0 )(cos)( u

xtAty

（ 2 ）当 t = t 0 （常数）时

各质元的位移分布函数：

y x A tx

u( ) cos[ ( ) ] 0 0

x

y

1t

2t

)cos()(cosu

tuxttA

u

xtAy

左边： t 时刻， x 处质点的振动位移。

右边： t +t 时刻， x + ut 处质点的振动位移。

t 时刻， x 处质点的振动状态经 t 时间传到了 x + ut 处。

结论：

简谐波沿 Ox 轴的负方向传播

y x t A tx

u( , ) cos[ ( ) ] 0

)π2

cos(),( 0

xtAtxy

0π2cos,

x

T

tAtxy

若已知的振动点不在原点，而是在 x0 点，则只要将各波动表达式中的 x 换为（ x- x0 ） 即可。

注：

例 1 已知 t = 0 时的波形曲线为Ⅰ，波沿 Ox 方向传播，经 t =1/2 s 后波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期 T > 1 s ，试根据图中给出的条件求出波的表达式，并求 A点的振动方程。解：

m01.0A

m04.011 sm02.0

21

01.0

t

xxu O波速：

s202.0

04.0

uT

1sππ2 T

y/cm

x/cm1 2 3 4 5 6

ⅠⅡ1cm

AO

方法一：

原点振动方程：

)cos( tAyO

cos0 A

初始条件：

0sin Au

2

π

2

π 0sin

)2

ππcos(01.0 tyO

y/cm

x/cm1 2 3 4 5 6

ⅠⅡ1cm

AO

)2

ππcos(01.0 tyO

]2

π)

02.0(πcos[01.0

xty波动方程：

A 点振动方程： ]2

π)

02.0

01.0(πcos[01.0 tyA

tyA πcos01.0

y/cm

x/cm1 2 3 4 5 6

ⅠⅡ1cm

AO

A 点振动表达式： )cos( tAyA

cosAA初始条件： 0 ttAyA πcos01.0cos

)02.0

01.0πcos(01.0

x

ty波动表达式：

]2

π)

02.0(πcos[01.0

xty

方法二：y/cm

x/cm1 2 3 4 5 6

ⅠⅡ1cm

AO

例 2 有一平面简谐波沿 x 轴方向传播，在距反射面B 为 L 处的振动规律为 y =Acost ，设波速为 u ，反射时无半波损失，求入射波和反射波的波动方程。解： 入射波方程：

)(cosu

xtAy

)(cosu

LtAyB

反射波方程： )(cosu

L

u

LxtAy

)2

(cosu

L

u

xtA

xO B xL

uu

4-6-2 波动方程将平面简谐波的波动表达式对 t 和 x 求导

02

2

2

cos u

xtA

t

y

02

2

2

2

cos u

xt

u

A

x

y

比较上述两个二阶偏导数

2

2

22

2 1

t

y

ux

y

波动方程：

4-6-3 波的能量

)(cosu

xtAy

波动的过程是能量传播的过程

平面简谐纵波在直棒中传播：

1. 　动能

xSV dd

xSm dd

22k d

2

1d

2

1d vv VmE

O x xd x

S

CB

md

质元的振动速度：

u

xtA sinv

质元的振动动能：

1. 　势能应力与应变成正比：

x

yY

S

F

d

dd

胡克定律： ykF dd

Vu

xtAE dsin

2

1d 222

k

O x

yO

xd x

x

S

CB

yy d

x

SYk

d

弹性势能：

22p )d(

d2

1d

2

1d y

x

SYykE

2

d

dd

2

1

x

yxSY

xSV dd 2

p d

dd

2

1d

x

yVYE

u

xt

u

A

x

y sin

Vu

xt

u

AYE dsin

2

1d 2

2

22

p

Yu 2uY 又

Vu

xtAE dsin

2

1d 222

p

比较动能 Vu

xtAE dsin

2

1d 222

k

结论： 在波动过程中，任一质元的动能和势能相等，且同相位变化。

质元的机械能：

Vu

xtAEEE dsinddd 222

pk

能量密度：单位体积介质中的波动能量。

u

xtA

V

E 222 sind

dw

平均能量密度：

22

0

222

2

1sin

1d

1ωA

u

xtωωA

Tt

T

TT

0 ww

平均能量密度： 22

2

1 Aw

结论：机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及介质的密度成正比。

平均能流：

能流：单位时间内通过介质中某面积的波动能量。

uSP w

单位：瓦特（ W ）

Su

u

能流密度（波的强度）：

垂直通过单位面积的平均能流。

uAuS

PI 22

2

1 单位： W·m-2

能流密度的矢量式：

uAI

22

2

1

例 3 在截面积为 S 的圆管中，有一列平面简谐波，其波动的表达式为 y = Acos( t -2x/) 。管中波的平均能量密度为 w ，则通过截面 S 的平均能流是多少？解：

Tu

π2

Tπ2

u

SP wπ2

uSP w

§4-7 §4-7 声波、超声波和次声波 声波、超声波和次声波 4-7-1 声波

声波：频率在 20 Hz ~ 2×104 Hz 波段的机械波。

次声波：频率低于 20 Hz 的声波。

超声波：频率高于 2×104 Hz 的声波。

1. 声速

声波在理想气体中的传播速度：

p

u

M

RT

一些弹性媒质中的声速

介质 温度 /℃ 声速 /(m· s-

1)

空气 0 331

氢 0 1270

水 20 1400

冰 0 5100

黄铜 20 3500

玻璃 0 5500

花岗岩 0 3950

铝 20 5100

2. 声压

声压：某一时刻，在介质中的某处，有声波传播时的压强 p 与无声波传播时的压强 p0 之差。

u

xd

Spp 0 Sppp 0d

介质质量密度： ρ

无声波时的压强： p0

有声波时左侧声压： p

由牛顿第二定律：

axSSpppSpp dd 00

有声波时右侧声压： p+dp

xap dd 简化后

设声波的波动表达式： y A tx

u cos ( )

质元的振动速度：

u

xtA

t

y sinv

质元的振动加速度： )(cos22

2

u

xtA

t

ya

xu

xtAp d)(cosd 2

两边积分：

u

xtuAp sin vu

结论：声压随空间位置和时间作周期性变化，并且与振动速度同相位。

声阻抗 ： uZ

声阻抗较大的介质称为波密介质；

声阻抗较小的介质称为波疏介质。

声波在两种不同介质分界面上反射和折射时的能量分配由该两种介质的声阻抗来决定。

3. 声强和声强级

声强： 声波的能流密度。 I A u1

22 2

声压的幅值： uAp m

u

pI

2m

2

1声强与声压之间的关系：

人对声强的感受范围（ 1000 Hz ）：2212 mW1mW10

响度：人耳对声音强弱的主观感觉。

标准声强（ I0 ）： 212 mW10

声强级：

dBlg100I

IL

0

lgI

IL B

闻阈

痛感阈dBL

Hz纯音的等响度曲线 310 410

4102

4-6-2 超声波和次声波超声波： Hz105Hz102 84

超声波的特性：• 频率高，声强大； • 定向传播性能很好；• 遇障碍物时易形成反射；• 在水等一些介质中的衰减系数较小，穿透本领好。

B 超检查

垂钓 —— 超声波探测

次声波： Hz20Hz10 4

次声波的特性：频率低、波长甚长、衰减极小。

海上风暴、火山爆发、地震、海啸、大陨石落地、电闪雷鸣、波浪击岸、水中漩涡、空中湍流、龙卷风、磁暴、极光等等。

次声波的产生：

人体承受次声的安全极限： 150 dB 声压级

例 4 对于 1000 Hz 的频率，人耳能听到的最弱的声强为 1.0×10-12 W·m-2; 而人能承受的最大的声强为1.0 W·m-2 。试确定在以上两种情况下声波的声压幅值和位移振幅。解： 设空气密度为 ρ=1.20 kg·m-3 声速为 u = 343 m·s-1

uIp 2m 212 mN100.134320.12 25 mN109.2

u

pA

m m101.1m

3431000220.1

109.2 115

同理可得： 2m mN29 p m101.1 5A

可见，人耳对声音的感知极其灵敏。

例 5 一位工人站在两台相同的机器之间，离两台机器等距离。每一台机器工作时的轰鸣声传播到工人所在处的声强为 2.0×10-7 W·m-2 。求：⑴ 只有一台机器工作时，工人感受到的声强级； ⑵两台机器同时工作时，工人感受到的声强级。（忽略干涉效应）

解： ⑴0

lg10I

IL

dB56dB100.1

100.4lg10

12

7

⑵ 工人所在处的声强为一台机器时的两倍。

dBlg100I

IL

dB53dB100.1

100.2lg10

12

7

讨论结果！

§4-8 §4-8 波的干涉和波的衍射 波的干涉和波的衍射 4-8-1 波的叠加原理

波传播的独立性：

当几列波在空间某相遇后，各列波仍将保持其原有的频率、波长、振动方向等特征继续沿原来的传播方向前进 。

波的叠加原理 ：

各列波在相遇区域内，任一质元的振动是各列波单独存在时对该质元所引起振动的合振动。

4-8-2 波的干涉 干涉：两列波在空间相遇（叠加），以致在空间的某些地方振动始终加强，而在空间的另一些地方振动始终减弱或完全消失的现象。干涉条件： 两列波的频率相同，振动方向相同，有恒定的相位差。相干波：能产生干涉现象的波。

波源振动表达式：)cos(:S 11011 tAy

)cos(:S 22022 tAy S1

S2

P1r

2r

)π2

cos( 1111

rtAy

)π2

cos( 2222

rtAy

P 点振动表达式：

P 点的合振动表达式：

)cos(21 tωAyyy PPP

)](π2

cos[2 12122122

21 rrAAAAA

)π2

sin()π2

cos(

)π2

sin()π2

sin(tan

222

111

222

111

r

Ar

A

rA

rA

)(π2 1212

rr

π12

π2

k

k 加强减弱

I I I I I 1 2 1 22 cos

例 6 AB 为两相干波源，振幅均为 5 cm ，频率为 1

00 Hz ，波速为 10 m/s 。 A 点为波峰时， B 点恰为波谷，试确定两列波在 P 点干涉的结果。

解： m25m1520 22 BP

m1.0

u

设 A 比 B超前

π BA

1.0

1525π2ππ2

APBPAB

π201 反相位 P 点静止

15m

A B

P

20m

0A振幅

例 7 两相干波源 S1 和 S2 的间距为 d = 30 m ，且都在 x 轴上， S1 位于原点 O 。设由两波源分别发出两列波沿 x 轴传播，强度保持不变。 x1 = 9 m 和 x2= 1

2 m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波长和两波源间最小相位差。解：

设 S1 和 S2 的振动相位分别为： 1 2

π)12(]π2

[)](π2

[ 1112 kxxd

x1 点的振动相位差：

O

S1 S2x1 x2

d x

（ 1 ）

π)32(]π2

[)](π2

[ 2122 kxxd

x2 点的振动相位差：

（ 2 ） - （ 1 ） π2)(π4

12 xx

m6m)912(2)(2 12 xx

由（ 1 ）式)]2(

π2π)12( 112 xdk

π)52( k

k = -2 ， -3 时相位差最小 π12

O

S1 S2x1 x2

d x

（ 2 ）

4-8-3 驻波和半波损失

驻波的波形特点：

（ 1 ）没有波形的推进，也没有能量的传播，参与波动的各个质点处于稳定的振动状态。

（ 2 ） 各振动质点的振幅各不相同，但却保持不变，有些点振幅始终最大，有些点振幅始终为零。

2 波腹波节

驻波产生的条件：两列振幅相同的相干波沿相反方向传播叠加而成。

)(π2cos1 x

T

tAy

)(π2cos2 x

T

tAy

)(π2cos)(π2cos21 x

T

tA

x

T

tAyyy

驻波方程：

tT

xAyπ2

cosπ2

cos2

tT

xAyπ2

cosπ2

cos2

讨论：（ 1 ） 为坐标为 x 质点的振幅

xAπ2

cos2

参与波动的每个点振幅恒定不变，不同质元的振幅不同。

结论：

ππ2

kx

1π2

cos x

波腹： 2A 坐标：2

kx

2

波腹间距：

（ 2 ）

0π2

cos x2

π)12(

π2 kx

tT

xAyπ2

cosπ2

cos2

波节： 0 坐标：4

)12(

kx2

波节间距：

（ 3）

4,

2

ππ2,1 1

xxk

4,

2

ππ2,0 0

xxk

4

3,

2

π3π2,1 0

xxk

2

π

2

π:

π2,01 xxx

tT

xAyπ2

cosπ2

osc2

驻波方程：

02

cos x

2

π3

2

π:

π2,10 xxx

0

π2cos x

tT

xAy

2

cos2

osc2驻波方程：

)2

cos(2

osc2

tT

xA

结论：两相邻波节之间的各点振动相位相同，在一个波节的两侧（相邻两段）的各点振动反相位。

L L L

半波损失：

波密媒质：密度与波速 u 的乘积 u 较大的介质。

波疏媒质：密度与波速 u 的乘积 u 较小的介质。

实验表明：当波从波疏介质传播到波密介质而在分界面处垂直入射时，反射点为波节；反之，波由波密介质垂直入射到波疏介质时，则反射点处形成波腹。

弦上形成驻波的条件：2nnl

例 8 在弦线上有一简谐波，其表达式为：

)SI(]3

)2002.0

1(2cos[100.2 2

1

x

y

为了在此弦线上形成驻波，并且在 x = 0 处为一波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。解：

])2002.0

(π2cos[100.2 22 xty反向波

)]3

π

02.0

4(

2

1cos[)]

3

π

20

2(

2

1cos[100.4 2

21 txyyy

因为 x = 0 处为波节

2

π)

3

π(

2

1

3

π4

]3

π4)

2002.0(π2cos[100.2 2

2 xty

)]3

π

02.0

π4(

2

1cos[)]

3

π

20

2(

2

1cos[100.4 2

21 txyyy

衍射： 波在传播的过程中遇到障碍物或小孔时，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象。

4-8-4 惠更斯原理 波的衍射现象

惠更斯原理： 介质中波动传播到达的各点，都可以看做是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波波面的包络决定了原波动的新的波前。

子波波源

波前

子波

1. 波的反射 反射角等于折射角

A B1 B2 B3

A3

utABBA 33

333 BAAABB o90

33 ABAB

B

333 ABBBAA 1 2i i

21 ii

4-8-5 波的反射与折射

2. 波的折射

D

AE1 E2 C

Bt

i

i

tuBC 1

iAC sin

tuAD 2

sinAC

tu

tu

AC

iAC

2

1

sin

sin

212

1

sin

sinn

u

ui

§4-9 §4-9 多普勒效应和超波速运动 多普勒效应和超波速运动

4-9-1 多普勒效应

多普勒效应：波源或观察者或它们两者相对于介质运动时，观察者感觉到的频率和波源的真实频率并不相等，这一现象称为多普勒效应。

u 表示波的传播速度，接近观察者为正，反之为负。

设： 表示观察者相对于介质的运动速度，接近于波源为正，反之为负。

0v

表示波源相对于介质的运动速度，接近于观察者为正，反之为负。

sv

为人感觉到的频率。

波源发出的实际频率

（ 1 ）波源和观察者都相对于介质静止， = 0 ， = 0sv 0v

u

观察者接收到的频率与波源振动的频率相等。

（ 2 ）波源静止，观察者相对介质运动 ，0s v 00 v

波相对于观察者的速度： ou v

波长： u

)1( 00

u

u vv

感觉到的频率：

)1( 0

u

v

（ 3 ）观察者静止，波源以速度 vs 相对介质运动

BS S’

u

Tsv

TuTuT )( ss vv

Tu

uu

)( sv

sv

u

u

svu

u

（ 3 ）观察者和波源同时运动

s

0

vv

uu

结论：波源与观察者相互接近时，感觉到的频率较高，反之波源与观察者相互远离时，感觉到的频率较低。

例 9 火车以 20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为 500 Hz ，问：（ 1 ）一静止观察者在机车前和机车后所听到的声音频率各为多少？（ 2 ）设另有一列火车上有乘客，当该列火车以 10 m/s 的速度驶近或驶离第一列火车，乘客听到的声音频率各为多少？（已知空气中声波的速率为 340 m/s 。）

解： Hz531Hz20340

500340

s

vu

u前

Hz472Hz20340

500340

s

vu

u后

s

0

vv

uu

Hz547Hz50020340

10340

s

0

vv

u

u近

Hz458Hz50020340

10340

s

0

vv

u

u远

4-9-2 艏波与马赫锥

如果 usv

艏波 波源比波前进得更快，在各时刻波源发出波的波前的包络面呈现出一个以波源为顶点的圆锥面。

马赫锥的半顶角：

Ma

u

t

ut 1sin

ss

vv

u

Ma sv （马赫数）

当 usv v时2

π

波源在所有时刻发出的波几乎同时到达接收器，艏波的强度极大，称为“声暴”。