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Complexidade AssintticaACH2002 - Introduo Cincia da Computao II

Delano M. Beder

Escola de Artes, Cincias e Humanidades (EACH)Universidade de So Paulo

[email protected]

08/2008

Material baseado em slides dos professores Marcos Chaim, Cid de Souza e Cndida da Silva

Delano M. Beder (EACH - USP) Complexidade Assinttica ACH2002 1 / 23


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Crescimento Assinttico de Funes

Custo da soluo aumenta com o tamanho ndo problemaO tamanhonfornece uma medida da dificuldade para resolver oproblema

Tempo necessrio para resolver o problema aumenta quando ncresce

Exemplo: nmero de comparaes para achar o maior elementode um vetor(array) ou para orden-lo aumenta com o tamanho daentradan.

Escolha do algoritmo no um problema crtico quando n

pequeno.O problema quandoncresce.

Por isso, usual analisar o comportamento das funes de custoquando n bastante grande.



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Comportamento Assinttico

Vamos comparar funes assintoticamente, ou seja, para valoresgrandes, desprezando constantes multiplicativas e termos demenor ordem.



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Comportamente Assinttico

1 milho (106) de operaes por segundo

Funo de custo 10 20 30 40 50 60

n 0,00001s 0,00002s 0,00003s 0,00004s 0,00005s 0,00006s

n2 0,0001s 0,0004s 0,0009s 0,0016s 0,0025s 0,0036s

n3 0,001s 0,008s 0,027s 0,064s 0,125s 0,216s

n5 0,1s 3,2s 24,3s 1,7min 5,2min 12,96min

2

n

0,001s 1,04s 17,9min 12,7dias 35,7 anos 366 sc.3n 0,059s 58min 6,5anos 3855sc. 108sc. 1013sc.



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Comportamente Assinttico

Influncia do aumento de velocidade dos computadores no tamanhoxdo problema

Funo de custo Computador Atual (C) Computador 100C Computador 1000C

n x 100x 1000x

n2 x 10x 31.6x

n3 x 4, 6x 10x

2n x x+ 6, 6 x+ 10

(Tabela 1.4 Pgina 18) Nvio Ziviani. Projeto de Algoritmos com implementaes em C e Pascal.Editora Thomson, 2a. Edio, 2004.



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Comportamento Assinttico

Sef(n) a funo de complexidade de um algoritmo A

Ocomportamento assintticodef(n) representa olimitedocomportamento do custo (complexidade) deAquandoncresce.

A anlise de um algoritmo (funo de complexidade)Geralmente considera apenas algumas operaes elementares oumesmo uma operao elementar (e.g., o nmero de comparaes).

A complexidade assinttica relata crescimento assinttico dasoperaes elementares.



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Relacionamento assinttico

Definio

Uma funo g(n) domina assintoticamente outra funo f(n) seexistem duas constantes positivas c e m tais que, para n m, tem-se|f(n)| c|g(n)|.



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Relacionamento assinttico

Exemplo:

g(n) = n e f(n) = n2

|n| |n2| para todo n N.Para c= 1e m= 0 |g(n)| |f(n)|.Portanto, f(n) domina assintoticamente g(n).



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NotaoO

Knuth criou a notaoO(O grande) para expressar queg(n)domina assintoticamentef(n), escreve-sef(n) = O(g(n)) e l-se:"f(n) da ordem no mximo g(n)".

Para que serve isto para o bacharel em Sistemas de Informao?Muitas vezes calcular a funo de complexidade g(n) de umalgoritmo A complicado.

mais fcil determinar quef(n) O(g(n)), isto , queassintoticamentef(n) cresce no mximo comog(n).



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NotaoO

Definio

O(g (n)) = { f (n): existem constantes positivas c e n0

tais que

0 f(n) cg(n), para todo n n0 }.

Informalmente, dizemos que, se f(n) O(g(n)), ento f(n) cresce nomximo to rapidamente quanto g(n).



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NotaoO

Definio

O(g (n)) = { f (n): existem constantes positivas c e n0 tais que

0 f(n) cg(n), para todo n n0 }.

Informalmente, dizemos que, se f(n) O(g(n)), ento f(n) cresce no

mximo to rapidamente quanto g(n).

Exemplo:

32 n

2 2n O(n2)

Valores de c e n0 que satisfazem a definio so

c= 32 e n0 = 2



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Notao

Definio

(g (n)) = { f (n): existem constantes positivas c e n0 tais que

0 cg(n) f(n), para todo n n0 }.

Informalmente, dizemos que, se f(n) (g(n)), ento f(n) cresce nomnimo to lentamente quanto g(n).



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Notao

Definio

(g (n)) = { f (n): existem constantes positivas c e n0 tais que0 cg(n) f(n), para todo n n0 }.

Informalmente, dizemos que, se f(n) (g(n)), ento f(n) cresce no

mnimo to lentamente quanto g(n).

Exemplo:

32 n

2 2n (n2)

Valores de c e n0 que satisfazem a definio so

c= 12 e n0 = 2



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Notao

Definio

(g (n)) = { f (n): existem constantes positivas c1, c2 e n0 tais que

0 c1g(n) f(n) c2g(n), para todo n n0 }.

Informalmente, dizemos que, se f(n) (g(n)), ento f(n) cresce torapidamente quanto g(n).


N


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Notao

Definio

(g (n)) = { f (n): existem constantes positivas c1, c2 e n0 tais que0 c1g(n) f(n) c2g(n), para todo n n0 }.

Informalmente, dizemos que, se f(n) (g(n)), ento f(n) cresce to

rapidamente quanto g(n).

Exemplo:

32 n

2 2n (n2)

Valores de c1, c2 e n0 que satisfazem a definio so

c1 = 12 , c2 =

32 e n0 = 2


N t


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Notaoo

Definio

o(g (n)) = { f (n): para toda constante positiva c, existe uma constante

n0 >0 tal que0 f(n)


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Notao

Definio

(g (n)) = { f (n): para toda constante positiva c, existe uma constante

n0 >0 tal que0 cg(n)


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Definies equivalentes

f(n) o(g(n)) se limn

f(n)

g(n)= 0

f(n) O(g(n)) se limn

f(n)

g(n)


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Propriedades das Classes

Reflexividade:

f(n) O(f(n)).f(n) (f(n)).f(n) (f(n)).

Simetria:

f(n) (g(n)) se, e somente se,g(n) (f(n)).

Simetria Transposta:

f(n) O(g(n)) se, e somente se,g(n) (f(n)).f(n) o(g(n)) se, e somente se,g(n) (f(n)).




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Transitividade:

Sef(n) O(g(n)) eg(n) O(h(n)), entof(n) O(h(n)).Sef(n) (g(n)) eg(n) (h(n)), entof(n) (h(n)).Sef(n) (g(n)) eg(n) (h(n)), entof(n) (h(n)).Sef(n) o(g(n)) eg(n) o(h(n)), entof(n) o(h(n)).Sef(n) (g(n)) eg(n) (h(n)), entof(n) (h(n)).


Operaes com a notao O


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Operaes com a notaoO

f(n) = O(f(n))c f(n) = O(f(n)), c uma constante

O(f(n)) + O(f(n)) = O(f(n))O(O(f(n))) = O(f(n))

O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n)))O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n)))

f(n)O(g(n)) = O(f(n)g(n)))


Exerccios


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Exerccios

Quais as relaes de comparao assinttica (O, , ) das funes:

f1(n) = 2

f2(n) = 2n

f3(n) = nlog nf4(n) = lognf5(n) = 100n2 + 150000nf6(n) = n+ lognf7(n) = n

2

f8(n) = n

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8


Referncias


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Referncias

[1] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest &Clifford Stein. Algoritmos - Traduo da 2a. Edio Americana. EditoraCampus, 2002 (Captulo 3).

[2] Michael T. Goodrich & Roberto Tamassia. Estruturas de Dados eAlgoritmos em Java. Editora Bookman, 4a. Ed. 2007 (Captulo 4).

[3] Nvio Ziviani. Projeto de Algoritmos com implementaes em C ePascal. Editora Thomson, 2a. Edio, 2004 (Seo 1.3).


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