42 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่5_อสมการลอการิทึม

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม (เนอหาตอนท 5) อสมการลอการทม

โดย

รองศาสตราจารย เพญพรรณ ยงคง

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม มจ านวนตอนทงหมดรวม 16

ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม 2. เนอหาตอนท 1 เลขยกก าลง

- เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม - เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านอนตรรกยะ - เขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ

3. เนอหาตอนท 2 ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม - ฟงกชนเลขชก าลง - กราฟของฟงกชนเลขชก าลง - สมการเลขชก าลง

4. เนอหาตอนท 3 ลอการทม - ฟงกชนลอการทม - กราฟของฟงกชนลอการทม - สมการลการทม

5. เนอหาตอนท 4 อสมการเลขชก าลง - ทบทวนสมบตทส าคญของเลขยกก าลง - สมการและอสมการของเลขยกก าลง - ฟงกชนเลขชก าลงในชวตประจ าวน

6. เนอหาตอนท 5 อสมการลอการทม - ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม - สมการและอสมการลอการทม - ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

7. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 8. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม


2

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนท ใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอน วชาคณตศาสตร เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

หมวด เนอหา

ตอนท 5 (5/5)

หวขอยอย 1. ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม 2. สมการและอสมการลอการทม 3. ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม

จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยน

1. สามารถแกสมการลอการทมได

2. สามารถแกอสมการลอการทมได

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายหลกการและแกสมการลอการทมได

2. อธบายหลกการและแกอสมการของลอการทมได


4

เนอหาในสอการสอน


5

1. ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม


6

1. ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม


7

เพอใหนกเรยนไดทบทวนสมบตทส าคญของลอการทมจะไดน าไปใชในการแกสมการและอสมการลอการทม ผสอนใหนกเรยนท าแบบฝกหดยอยตอไปน

แบบฝกหดยอย

1. จงหาคาของลอการทมตอไปน

1.1 5

log 5 5 1.2 3 3

log 36 log 4

1.3 3

7log 49 1.4

81log 3

1.5 2 1010

1log 62500 log

25

1.6 4 2

1log

256

2. ก าหนดให log 2 , log 3a b และ 2 , 3n c n d

จงหาคาของลอการทมตอไปน

2.1 31log log 9 log 0.000264


8

2.2 4 13 5

13

2 3log

10

=

2.3 3243

128n =

2.4 881n =

2.5 2

log 0.00001 =

3. จงหาคาของจ านวนจรง x

3.1 log 729 3x

แลว x

3.2 log (log ) 0x แลว x

3.3 log (log 3) 1x

แลว x

3.4 3 1n x n แลว x

3.5 2( ) ( 6) 0n x n x แลว x

ค าตอบ

1. 1.1 3

2 1.2 2 1.3 2

3 1.4 1

4

1.5 1 1.6 16

5

2. 2.1 27 4

3a b 2.2 4 1

3 5 3

a b

2.3 1(5 7 )3d c 2.4 4

3

d

c

2.5 10

a

3. 3.1 9 3.2 10 3.3 log 3 3.4 3e

3.5 3, 2


9

ผสอนอาจยกตวอยางการเปลยนฐานของลอการทม ในกรณทเรามตารางลอการทมสามญ (ฐานสบ) หรอตารางลอการทมธรรมชาต (ฐาน e ) เพอชวยใหนกเรยนค านวณคาของลอการทมฐานอนๆ ของฐานตางๆ ได ใหผสอนลองใหนกเรยนท าแบบฝกหดยอยตอไปน (ใหนกเรยนใชเครองค านวณได)

แบบฝกหดยอย

ก าหนดให

m 2 3 5 7

log m 0.3010 0.4771 0.6990 0.8451

n m 0.6932 1.0986 1.6094 1.9459

1. จงหาคาของลอการทมตอไปน

1.1 2

log 3

1.2 3

log 7

1.3 15n


10

1.4 3

2n

1.5 0.6

log 3.5

2. จงหาคาโดยประมาณของ x

2.1 ถา 2 53 4x แลว x

2.2 ถา 0.7 0.25x

e แลว x

2.3 ถา 0.310 2.7

x แลว x

2.4 ถา 330 2 7

x แลว x

ค าตอบ

1. 1.1 1.5850 1.2 1.7712 1.3 2.7081 1.4 0.4055

1.5 2.4524

2. 2.1 3.13093 2.2 1.9804 2.3 1.4379 2.4 0.6999


11

2. สมการและอสมการลอการทม


12

2. สมการและอสมการลอการทม

นอกเหนอจากทนกเรยนรวาฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเลขยกก าลงแลว ผสอนอาจเพมเตมความรเกยวกบการเชอมโยงของความสมพนธระหวางลอการทมและเลขยกก าลง ซงจะเปนประโยชนตอนกเรยนมากในการแกสมการและอสมการของลอการทมและเลขยกก าลง


13


14

ผสอนใหนกเรยนตอบค าถามสนๆ ตอไปน

1. 3log3

x = เมอ x

2. 0.5log 1

0.5x

= เมอ x

3. 2(log 3)

2x

= เมอ x

4. 4log2

x = เมอ x

5. 2log4

x = เมอ x

6. 9

log 3x = เมอ x

7. 2

log 2x = เมอ x

8. 4( )x

n e = เมอ x

9. ( )x

n e = เมอ x

10. 2log (3 5)

4x

= เมอ x

ค าตอบ

1. ,x 2. 1 , ( 1, )x 3. ( 3) , (3, )x

4. ,x 5. 2,x 6. ,

2

x

7. ,x 8. 4 ,x 9. ,2

x

10. 54(3 5) , ( , )

3x


15

ในการแกสมการ เราอาศยสมบตทฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนหนงตอหนงอยเสมอ เชน

ถาเราไดวา 3 3

log ( 5) log (2 1)x x

เนองจาก ลอการทมฐาน 3 เปนฟงกชนหนงตอหนง ดงนน

5 2 1x x และมเงอนไขแฝงวา 1. ( 5) 0x

6x และ 2. (2 1) 0x

ผสอนตองย าเตอนนกเรยนวา ตองตรวจสอบจ านวนจรง x ทหาไดวาสอดคลองกบสมบตการเปนเลขหลงลอการทมหรอไม (ตรวจสอบเงอนไขแฝง) เชน จากขางตนตองตรวจสอบวา ( 5) 0x และ (2 1) 0x

เนองจาก 5x เปนเลขหลงลอการทม เมอ 6x ดงนน ( 5) 0x ท าให

6x เปนค าตอบทสอดคลอง และตองตรวจสอบตอไปวา (2 1)x สอดคลองกบการเปนเลข

หลงลอการทมหรอไม กจะเหนวา เมอ 6x จะได (2 1) 0x ดงนนกจะสอดคลองกบสมบตการเปนเลขหลง

ลอการทม สรปไดวา 6x เปนค าตอบของสมการขางตน


16

เพอใหงายตอการพจารณา ผสอนอาจแนะใหนกเรยนดผงตอไปน

ถา log loga a

A B

แลว A B เงอนไขแฝง

1. 0A

และ 2. 0B

(ซงเงอนไขแฝงเกบไวตรวจสอบค าตอบขนสดทาย)

เชน 1. ถา 7 7

log (3 1) log ( 5)x x

ดงนน 3 1 5x x และมเงอนไขแฝงวา 1. (3 1) 0x

และ 2. ( 5) 0x

2. ถา 2( 3 1) ( 2)n x x n x

ดงนน 23 1 2x x x และมเงอนไขแฝงวา

1. 2( 3 1) 0x x

และ 2. ( 2) 0x

จะเหนวาเงอนไขแฝงทงหมดกคอ สมบตการเปนเลขหลงลอการทมนนเอง และเงอนไขแฝงนตองมการตรวจสอบไมวาจะเปนการแกสมการหรออสมการลอการทม

ในการแกสมการหรออสมการลอการทมและเลขยกก าลง ยงมความรเพมเตมทนกเรยนสามารถน าไปอางใชได ดงน

1. 1log

loga

b

ba

2. log logb bc a

a c


17

3. log loga ax a

a x x

ตวอยาง 1. 2log 72 = 2

log 2

7 = 7

2. 3log 59 = 3

log 9

5 = 25 = 25

3. 2log 38 = 2

log 8

3 = 33 = 27

4. log 7x

= 7

1

log x

5. 4log ( 2)3

x = 4log 3

( 2)x

6. 0.2log 59

x = 0.2

log 95x

7. (3)nx = 3

xn

8. 3 2log

2x

= 3 2

log 2

x = 23log 2x =

3x

9. 13

log

81x

= 13

81log

x = 4

133log

x = 3

41log 3

x = 4

x


18


19

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงหาเซตค าตอบของสมการ

2

3log log 2

2xx

วธท ำ จากสมการ สมมตให 2

logA x

จะไดสมการใหมในรป

1

AA

= 3

2

2

2 3 2A A = 0

คณสมการดวย 2 จะได

2

2 3 2 2A A = 0

(2 2 )( 2 )A A = 0

นนคอ 1

2A หรอ 2A

ดงนน 2

1log

2x หรอ

2log 2x

ดงนน 1

2

2x หรอ 2

2x


20

ตรวจค ำตอบ เนองจาก 1

2

2 0x และ 1

2

2 1

ดงนนสอดคลองกบสมการโจทย

และเนองจาก 2

2 0x และ 2

2 1

ดงนนสอดคลองกบสมการโจทย

เซตค าตอบของสมการคอ 1

222 , 2

ตวอยาง จงหาเซตค าตอบของสมการ

2

3 2log ( 4 6) 2

xx x

วธท ำ จากโจทยจะได

24 6x x =

23 2x ( เงอนไขแฝง 1. (3 2 ) 0x

และ (3 2 ) 1x

และ 2. 2( 4 6) 0x x )

24 6x x = 3 2x

22 3x x = 0

22 1 2x x = 0

21 2x = 0

เพราะวา 21 2 0x

ดงนน จะไมมจ านวนจรง x ทท าให 21 2x = 0

นนคอ ไมมจ านวนจรง x ทสอดคลองกบสมการทโจทยก าหนด

ดงนน เซตค าตอบของสมการคอ { }


21

แบบฝกหด 1

จงหาเซตของค าตอบของอสมการตอไปน

1. 1.1 3

7log ( 1) 1x

1.2 3

log 4 0x

1.3 3 3

log (4 ) log ( 4) 1 0x x

1.4 2 2

log ( 2) 2 log ( 1)x x

1.5 1

23

1log 5 log 3 log

4xx


22

1.6 2

3 2log log ( 3 2) 1x x

1.7 2

3 6log log ( ) 0x x

1.8 7log

49x

x

1.9 2( 8)log

7 4 3log log log 4 0

x x

1.10 2( 4 8) 2 0n x x n x

ค าตอบ

1. 1.1 2x 1.2 3x 1.3 2x

1.4 2x 1.5 523x 1.6 5, 2x

1.7 3, 2x 1.8 2 27 , 7x 1.9 9, 1x

1.10 2x


23

ในการแกอสมการลอการทม ผสอนควรเนนใหนกเรยนพจารณา 2 สวนตอไปน

สวนท 1 ฐานของลอการทม

สวนท 2 เลขหลงลอการทม


24

เลขหลงลอการทม log

a

b

0

ฐานของลอการทม

0 1a 1a

ฟงกชนลด ฟงกชนเพม

เครองหมายอสมกำรเปลยนแปลง เครองหมายอสมกำรคงเดม

log loga a

x y x y log loga a

x y x y

เมอ 0x และ 0y เมอ 0x และ 0y

ผสอนลองใหนกเรยนพจารณาแบบฝกหดยอยตอไปน

1. ถา 1 13 3

log logx y แลว x y

2. ถา 3 32 2

log logx y แลว x y

3. ถา 1 1

2log log

e e

x y แลว x 2y

4. ถา log ( 1)( 3) log ( 1)x x x x แลว ( 1)( 3)x x ( 1)x x

5. ถา 22 1

3n n xx

แลว 2

3x (2 1)x

ค าตอบ

1. 2. 3. 4. 5.


25


26


27


28


29


30

ในการหาเซตค าตอบของอสมการบางกรณอาจจะไมมจ านวนจรง ซงสอดคลองตามอสมการทก าหนดให ดงนนเซตค าตอบของอสมการกจะเปนเซตวาง ( ) ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2

log ( 2) log 33 ( 1)

x xx

วธท ำ วธท (1) เพราะวา 2

log ( 2)3 0

x x และ

log 3( 1) 0x

และจากอสมการทก าหนด (ใชลอการทมฐาน 10 ชวยในการพจารณา) จะได

2

log ( 2)log 3

x x <

log 3log ( 1)x

2

log ( 2) log 3x x < log 3 log ( 1)x

2

log ( 2)x x < log ( 1)x ( 0 log 3 1 )


31

ดงนน 2

2x x < 1x

21x < 0 นนคอ ( 1, 1)x

แต ( 1, 1)x จะท าให ( 1) 0x แต ( 1)x เปนฐานของเลขยกก าลงซงตอง

มากกวาศนย ดงนน จงไมมจ านวนจรง x ทสอดคลองตามสมการทก าหนดให นนคอ เซตค าตอบของอสมการนคอ

วธท (2) จากโจทย 2

log ( 2) log 33 ( 1)

x xx

เพราะวา log 3 log ( 1)

( 1) 3x

x

ดงนน 2

log ( 2) log ( 1)3 3

x x x

เพราะฐานของเลขยกก าลงคอ 3 ซงมากกวาศนย ดงนนจะไดวา

2log ( 2)x x < log ( 1)x

ดงนน 22x x < 1x

21x < 0

( 1)( 1)x x < 0

( 1, 1)x ………………....(1)

เนองจาก ( 1)x เปนฐานของเลขยกก าลง ดงนน ( 1) 0x …………(2)

ดงนน จงไมมจ านวนจรง x ทสอดคลองตาม (1) และ (2)

นนคอ เซตค าตอบของอสมการคอ

แบบฝกหด 2

จงหาเซตของค าตอบของอสมการตอไปน

1. 0.35 0.35

log (5 4) log (2 5)x x

2. 2

7 7log ( 9) log (2 1)x x

3. 1 1

log 2 ( 1) log ( 2)e e

x x x

4. 3

log (2 1) 2x


32

5. 4

2

2 2log (1 ) log 1x x

6. 2

5 25log (2 ) log ( 2)x x x

7. 3 33

log (2 3) 2 log ( 2) log 9x x

8. 12

2

5log log ( 4 ) 0x x

9. 235

log log log ( 2) 0x x

10. 2

log 3 4

30 3 2log log log 0

xee

ค าตอบ

1. 4( , 3 ]5

2. (3, 4)

3. 1( 2, ] [ 2, )

2 4. 1

( , 2 ]2

5. (0, 1) 6. ( , 2) ( 2, 1] [ 4, )

7. 3 5( , ]2 2

8. (0, 1)

9. [ 4, 1 3 ) ( 1 3 , 2 ] 10. [ 2, 2 ) ( 2 , 2 ]


33

3. ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลง และฟงกชนลอการทม


34

3. ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลง และฟงกชนลอการทม


35


36

สรปสาระส าคญประจ าตอน


37

สรปสาระส าคญประจ าตอน


38


39


40

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


41

แบบฝกหดระคน

1. เซตค าตอบของสมการ 5 58 8log log log

8 xxx x เปนสบเซตของเซตใด

1. (0, 2) 2. (2, 5)

3. (5, 8) 4. (8, )

2. ผลรวมของค าตอบของสมการ 2 2

1log log 32 2 log

4xx ตรงกบขอใด

1. 24 2. 18

3. 12 4. 6

3. ค าตอบของสมการ 23log

0.53(log 0.25)(log ) 4x อยในเซตใด

1. 3(0, )2

2. 3 5( , )2 2

3. 5( , 3)2

4. (3, 7)

4. เซตค าตอบของสมการ 2

66(1 )2

log 3 log4 3 3

xx x เปนสบเซตของเซตใด

1. ( 5, 1) 2. [1, 3)

3. [ 3, 5) 4. [ 5, ]

5. เซตค าตอบของอสมการ 1193

log 4log 222 ( 4)x x ตรงกบขอใด

1. ( 3 , 2) ( 3, ) 2. ( , 2) ( 2, )

3. ( , 2 ) ( 2 , 3 ) 4. ( 2, 2 ) ( 2, 3)

6. เซตค าตอบของอสมการ 3 2log log ( 2)

2 1x x

ตรงกบขอใด

1. ( , 1 3 ] [1 3 , )

2. [1 3 , 1 2 ) (1 2, 1 3 ]

3. [1 2 , )

4. ( , 1 3 ) (1 2, )


42


log ( 3) log (2 5)2 2sin sin3 3

x x


1. ( , 3 ) (4, ) 2. 5[ , 3 ) ( 3 , 4)2

3. 5( , 2 ] [ 4, )2

4. 5( , ) [ 3 , 4)

2


3

2

5

( 3 5)log log 0

(2 )

x x

x ตรงกบขอใด

1. [ 5, 1 2 2 ] [ 3, 1 2 2 ) 2. ( , 5 ] (1 2 2 , 3 ]

3. (1 2 2, 3 ] (1 2 2, ) 4. [ 5, 2) [ 3, )

9. เซตค าตอบของอสมการ 3loglog 5

5 9xx


1. 12(5 , ) 2.

1 1 12 2 2

(5 , 5 ) (5 , )

3. 1 12 2

(5 , 1) (5 , ) 4. 1 12 2

(0, 5 ) (5 , )


6

log( 2)log1

6

x x

x ตรงกบขอใด

1. ( , 2) (3, ) 2. (1, )

3. ( , 1) (2, ) 4. ( 1, 1)


43

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


44

เฉลยแบบฝกหด

เรอง อสมการลอการทม

แบบฝกหดระคน

1. 2 2. 2 3. 4 4. 1 5. 4 6. 2

7. 3 8. 1 9. 3 10. 2


45

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


46

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร การใหเหตผล ประพจนและการสมมล สจนรนดรและการอางเหตผล ประโยคเปดและวลบงปรมาณ สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง สมบตของจ านวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฏบทตวประกอบ สมการพหนาม อสมการ เทคนคการแกอสมการ คาสมบรณ การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน ความสมพนธ


47

เรอง ตอน ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน ฟงกชนเบองตน พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม เลขยกก าลง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม ลอการทม อสมการเลขชก าลง อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต อตราสวนตรโกณมต เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย ฟงกชนตรโกณมต 1 ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3 กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม ล าดบ การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต ลมตของล าดบ ผลบวกยอย อนกรม ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


48

เรอง ตอน การนบและความนาจะเปน

. บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน การนบเบองตน การเรยงสบเปลยน การจดหม ทฤษฎบททวนาม การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล บทน า เนอหา แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 การกระจายของขอมล การกระจายสมบรณ 1 การกระจายสมบรณ 2 การกระจายสมบรณ 3 การกระจายสมพทธ คะแนนมาตรฐาน ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การถอดรากทสาม เสนตรงลอมเสนโคง กระเบองทยดหดได

Documents

42 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่5_อสมการลอการิทึม