4.2.1 直线和圆的位置关系

番禺农校数学组 罗永定

一、直线方程的一般形式

二、圆的方程

（ 1 ）圆的标准方程 圆心为 A （ a,b) ，半径为 r 的圆的标准方程为 （ x-a)2+(y-b)2=r2

（ 2 ）圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0

其中圆心为 )2

,2

(ED

FED 42

1 22 半径为

xO

y

AMr

Ax+By+C=0(A,B 不同时为零 )

（ D2+E2-4F>0)

问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为 30km 的圆形区域。已知港口位于台风中心正北 40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响。

问题归结为台风影响的区域与轮船航线有无公共点：即

港口

轮船台风中心 O

直线与圆的位置关系

四、直线与圆的位置关系

直线与圆有三种位置关系：（ 1 ）直线与圆相交，有两个公共点。

（ 2 ）直线与圆相切，只有一个公共点。

（ 3 ）直线与圆相离，没有公共点。

aA B

O

Aa

O

a

O

直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断

相交

相切

相离

直线与圆的公共点的个数

圆心到直线的距离d 与半径 r 的关系

两个交点

一个交点

没有交点

d < r

d = r

d > r

A

O

O

lA B

Od

r

dr

dr

l

l

思考：如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？

题 1 ：已知直线 l ： 3x+4y-5=0 与圆 C ： , 你能判断它们的位置关系吗 ?

422 yx

分析：通过直线与圆的方程求出圆心到直线的距离，以及半径； 然后利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断直线与圆的位置关系

解：圆 C: x2+y2=4 的圆心坐标为 C（ 0， 0），半径为 2，圆心 C （ 0 ， 0 ）到直线 l 的距离

2143

|50403|22

d

所以直线 l 与圆 O 相交题 2：当上题中圆的方程为 x2+y2=1 ，直线与圆的位置关系是什么？

题 3：当上题中圆的方程为 , 直线与圆的位置关系是什么？4

122 yx

巩固练习：

1.直线 x+2y+1=0 和圆 (x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是________

2. 直线 x+2y-1=0 和圆 x2-2x+y2-y+1=0 的位置关系是________

3 、直线 x+y-2=0 与圆 x2+y2-2=0 的位置关系是

【例 1 】判断直线 l ： 3x+y-6=0 与圆 C ： x2+y2-2y-4=0 的位置关系。分析：由直线和圆的方程组成的方程组实数解的个数来判断。解：由直线 l 与圆 C 的方程，得方程组：

消去 y ，得

063

04222

x

yyx

0232 xx

因为 01214)3( 2 所以，直线 l 与圆 C 相交

l

x

y

o

C

A

B

用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系有两种方法

一、判断圆心到直线的距离 d与半径 r关系。主要步骤：1. 把直线方程化为一般式 , 求出圆心和半径2. 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离3. 作判断：当 d>r 时，直线与圆相离；当 d=r 时，直线与圆相切 ;当 d<r 时，直线与圆相交

二、判断方程组解的个数。主要步骤：1. 将直线方程与圆的方程联立成方程组 .2. 利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 ,3. 求出其判别式 Δ 的值4. 比较 Δ 与 0 的大小关系 ,当 Δ<0, 则直线与圆相离；当 Δ=0, 则直线与圆相切 ;当 Δ>0 时 , 直线与圆相交。

变式例 1 ：判断直线 l ： 3x+y-6=0 与圆 C ： x2+y2-2y-4=0 的位置关系，如果相交，求它们交点的坐标以及直线被圆截得的弦长。分析：由例 1 中可知直线与圆相交，要求出它们的两交点的坐

标，只需要求出方程组的解即可。再由两点间距离公式求出弦长。

解：由直线 l 与圆 C 的方程，得方程组：

063

04222

yx

yyx

解方程组得 13

20

xy

xy 或 ，所以直线与圆相交；

它们的交点坐标分别是 A （ 2 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 ）由两点间的距离公式得弦长 10)30()12(|| 22 AB

l

x

y

o

C

A

B

[ 例 2] ：求过点 P （ -2 ， -3 ），且与圆（ x+3 ） 2+ （ y-2 ） 2=26相切的切线方程。

解：由题意可设切线方程为 y+3=k(x+2)

即 kx-y+2k-3=0

由圆心（ -3 ， 2 ）到切线的距离等于半径

点到直线的距离公式 26

k1

|3k22k3|d

2

得

5

1k 解得

所以过点 P （ -2 ， -3 ）的切线方程为

)2(5

13 xy 即 x+5y+17=0

直线的点斜式方程

【例 3 】求过点 P （ -1 ， 3 ），且与圆（ x-2 ） 2+ （ y+1 ）2=9 相切的直线的方程。解：由题意可设所求直线 l 方程为 y-3=k(x+1)

即 kx-y+k+3=0

因为圆（ x-2 ） 2+ （ y+1 ） 2=9 圆心坐标为（ 2 ， -1 ），半径为 3

又因为直线 l 与圆相切，所以圆心到直线 l 的距离

3)1(

|3)1(2|22

k

kkd 解得

24

7k

所以，所求直线方程为 )1(24

73 xy 即 7x+24y-65=0

又因为过点（ -1 ， 3 ）斜率不存在的直线方程为 x=-1, 圆心到其距离为 3 ，与半径相等；所以，直线 x=-1 与圆（ x-2 ） 2+ （ y+1 ） 2=9 相切。

所以所求的切线方程为 x=-1 或 7x+24y-65=0

[ 变式练习 ]求过点 P （ -2 ， -3 ），且与圆（ x+3 ） 2+ （ y-2 ）2=26 相切的切线方程。

[ 变式练习 ] 求过点 P （ -2 ， -3 ），且与圆（ x+3 ） 2+ （ y-2 ） 2=26 相切的切线方程。

解：由题意可设切线方程为 y+3=k(x+2)

即 kx-y+2k-3=0

由圆心（ -3 ， 2 ）到切线的距离等于半径

,26 由点到直线的距离公式得：

261

|3223|2

k

kkd

解得5

1K

所以过点 P （ -2 ， -3 ）的切线方程为

)2(5

13 xy

即 x+5y+17=0

【思考题】已知直线 l:mx-y-m+1=0 被圆 C:x2+ （ y-1 ） 2 = 5所截得的弦长为 ，求直线 l 的斜率。

解：如图，因为圆 C 的半径为 ，直线 l 被圆 C 所截得的弦长是 所以，圆心到直线 l 的距离为 d

5

17

17

2

3)

2

17()5( 22 d

由点到直线的距离公式得，圆心到直线 l 的距离为

2

3

)1(

|110|22

m

mmd

解得 3m

所以直线 l 的斜率为 3mx

y

o

c

A

B

D

r

参照本题自学课本 138 页例 2

小结 如何用直线与圆的方程判断直线与圆的位置

关系； 灵活运用直线与圆的位置关系解题。

作业 课本 140 页 ： 练习 2 、 3 、 4 选做题：课本 144 页 习题 4.2

A 组第 6 题

课后研讨

1. 求过圆 x2+y2 = R2 上定点 P0(x0,y0) 的圆的切线方程；把你的结论推广到一般圆的情况。

2. 求过圆 x2+y2 =R2 外定点 P0(x0,y0) 的圆的切线方程和切线长；把你的结论推广到一般圆的情况。