要点梳理1. 直线与圆的位置关系 位置关系有三种： 、 、 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：

（ 1 ）代数法： （ 2 ）几何法 : 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 :d ＜ r 相交 ,d=r 相切 ,d ＞ r 相

离 .

§9.4 直线、圆的位置关系

基础知识 自主学习

相离 相交相切

判别式 Δ=b2-4ac

.

0

0

0

相离相切相交

2. 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 （ 1 ）几何方法 运用弦心距 ( 即圆心到直线的距离 ) 、弦长的一 半及半径构成直角三角形计算 . （ 2 ）代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB|= |xA-xB|=

说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法 .

21 k

.]4))[(1( 22BABA xxxxk

3. 求过点 P （ x0,y0 ）的圆 x2+y2=r2 的切线方程

（ 1 ）若 P （ x0 ， y0 ）在圆 x2+y2=r2 上，

则以 P 为切点的圆的切线方程为： . （ 2 ）若 P （ x0 ， y0 ）在圆 x2+y2=r2 外，则过 P

的切 线方程可设为： y-y0=k （ x-x0 ），利用待定系数

法求解 . 说明： k 为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的 情况 .

x0x+y0y=r2

4. 圆与圆的位置关系的判定 设⊙ C1 ：（ x-a1 ） 2+ （ y-b1 ） 2=r （ r1 ＞

0 ） , ⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r (r2 ＞ 0), 则有 :

|C1C2| ＞ r1+r2 ⊙ C1 与⊙ C2 ;

|C1C2|=r1+r2 ⊙ C1 与⊙ C2 ;

|r1-r2| ＜ |C1C2| ＜ r1+r2 ⊙ C1 与⊙ C2 ；

|C1C2|=|r1-r2| （ r1≠r2 ） ⊙ C1 与⊙ C2 ；

|C1C2| ＜ |r1-r2| ⊙ C1 与⊙ C2 .

21

22

相离外切

相交内切

内含

基础自测1. （ 2008· 陕西）直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2- 2x-2=0 相切 , 则实数 m 等于 （ ）

A. 或 - B.- 或 3

C.-3 或 D.-3 或 3 解析 将圆 x2+y2-2x-2=0 化为标准方程得 +y2=3, 直线与圆相切说明圆心到直线的距离等

于半径 , 则有 ∴m=-3 或 .

3

3 3 3 3

3 3 3 3

C

(x-1)2

.323,313

13

mm

即

3 3

2. 圆 x2+y2-4x=0 在点 P （ 1, ）处的切线方程为（ ） A.x+ y-2=0 B.x+ y-4=0 C.x- y+4=0 D.x- y+2=0 解析 圆方程为（ x-2 ） 2+y2=4 ，圆心（ 2 ， 0 ）， 半径为 2 ，点 P 在圆上，设切线方程为 y- =k(x-1),

即 kx-y-k+ =0,∴ 解得 k=

∴ 切线方程为 y- (x-1), 即 x- y+2=0.

D

3

3 ,21

322

k

kk.

33

33

3

3

3

3

3

3

3

3. （ 2009· 陕西理， 4 ）过原点且倾斜角为 60° 的 直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为 （ ） A. B.2 C. D.2 解析 过原点且倾斜角为 60° 的直线方程为 x-y=0,

圆 x2+(y-2)2=4 的圆心（ 0 ， 2 ）到直线的距离为 d=

因此弦长为

33 6

D

,113

203

.321422 22 dR

3

4. 圆 C1 ： x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2 ： x2+y2-4x-2y+1

=0 的公切线有且仅有 （ ） A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析 ⊙ C1 ：（ x+1 ） 2+ （ y+1 ） 2=4 ，

圆心 C1 （ -1 ， -1 ），半径 r1=2.

⊙C2 ：（ x-2 ） 2+ （ y-1 ） 2=4 ，圆心 C2 （ 2 ，

1 ），

半径 r2=2.

∴|C1C2|= ，∴ 0 ＜ |C1C2| ＜ r1+r2=4,

∴ 两圆相交，有两条公切线 .

B

13

5. 若圆 x2+y2=4 上仅有一个点到直线 x-y-b=0 的距离

为 1 ，则实数 b= .

解析 由已知可得，圆心到直线 x-y-b=0 的距离

为 3 ，

∴ =3 ，∴ b=±3 .

23

2

b 2

题型一 直线与圆的位置关系【例 1 】已知圆 x2+y2-6mx-2 （ m-1 ） y+10m2-2m- 24=0 （ m∈R ） . （ 1 ）求证：不论 m 为何值，圆心在同一直线 l 上； （ 2 ）与 l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、 相离； （ 3 ）求证：任何一条平行于 l 且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等 .

题型分类 深度剖析

用配方法将圆的一般方程配成标准方程，

求出圆心坐标，消去 m就得关于圆心的坐标间的关

系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、

相切、相离，只需比较圆心到直线的距离 d与圆半

径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计

算弦长 .

思维启迪

（ 1 ）证明 配方得： (x-3m)2+ ［ y- （ m-1 ）］ 2

=25 ，设圆心为（ x ， y ）， 消去 m 得x-3y-3=0 ，则圆心恒在直线 l ： x-3y-3=0 上 .（ 2 ）解 设与 l 平行的直线是 l1 ： x-3y+b=0 ，

则圆心到直线 l1 的距离为

∵ 圆的半径为 r=5 ，∴ 当 d＜ r ，即 -5 -3<b<5 -3 时，直线与圆相交；当 d=r, 即 b=±5 -3 时，直线与圆相切；当 d ＞ r ，即 b ＜ -5 -3 或 b ＞ 5 -3 时，直线与圆相离 .

,1

3

my

mx则

.10

3

10

)1(33 bbmmd

10 10

10

10 10

（ 3 ）证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直

线 l1 ： x-3y+b=0 ，由于圆心到直线 l1 的距离

d=

且 r 和 d 均为常量 .

∴ 任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截

得的弦长相等 .

,10

3 b

222 dr 弦长

探究提高 判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断 .求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为 k，直线与圆联立消去 y后所得方程两根为 x1 、 x2, 则弦长 d= ·|x1-x2|;

三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求 .对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷 .本题所用方法就是第三种方法 .

21 k

知能迁移 1 m 为何值时，直线 2x-y+m=0 与圆 x2+y2=5.（ 1 ）无公共点；（ 2 ）截得的弦长为 2 ；（ 3 ）交点处两条半径互相垂直 . 解 （ 1 ）由已知，圆心为 O （ 0 ， 0 ），半径 r= , 圆心到直线 2x-y+m=0 的距离

∵ 直线与圆无公共点，∴ d ＞ r, 即 ∴m ＞ 5 或 m ＜ -5. 故当 m ＞ 5 或 m ＜ -5 时，直线与圆无公共点 .

5

,5)1(2 22

mmd

,55

m

（ 2 ）如图所示，由平面几何垂径定理知

r2-d2=12 ，即 5- =1.得 m=±2 ,∴ 当 m=±2 时，直线被圆截得的弦长为 2.（ 3 ）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，∴ 弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，

∴d= ，即

解得 m=±

故当 m=± 时，直线与圆在两交

点处的两条半径互相垂直 .

5

2m

5

5

r22

,522

5

m

.225

225

题型二 圆的切线及弦长问题【例 2 】已知点 M （ 3 ， 1 ），直线 ax-y+4=0 及圆 (x-1)2+(y-2)2=4.（ 1 ）求过 M 点的圆的切线方程；（ 2 ）若直线 ax-y+4=0 与圆相切，求 a 的值；（ 3 ）若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A ， B 两点，且 弦 AB 的长为 2 ，求 a 的值 .3

思维启迪

解 （ 1 ）圆心 C （ 1 ， 2 ），半径为 r=2,当直线的斜率不存在时，方程为 x=3.由圆心 C （ 1 ， 2 ）到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r知，此时，直线与圆相切 .当直线的斜率存在时，设方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0.

由题意知 解得 k= .

∴ 方程为 y-1= (x-3), 即 3x-4y-5=0.

故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.

,21

3122

k

kk

43

43

（ 2 ）由题意有 解得 a=0 或 a= .

（ 3 ）∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为

解得 a=- .

,21

422

a

a34

,1

22

a

a

,4232

1

2 22

2

a

a43

探究提高 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此

点是否在圆上 .若在圆上 ,该点为切点；若不在圆上，

切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数

法求解 .注意，需考虑无斜率的情况 .求弦长问题，

要充分运用圆的几何性质 .

知能迁移 2 已知点 A （ 1 ， a ），圆 x2+y2=4. （ 1 ）若过点 A 的圆的切线只有一条，求 a 的值及 切线方程； （ 2 ）若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线 被圆截得的弦长为 2 ，求 a 的值 . 解（ 1 ）由于过点 A 的圆的切线只有一条，则点 A 在圆上，故 12+a2=4 ，∴ a=± . 当 a= 时 ,A （ 1 ， ） , 切线方程为 x+ y-4=0 ； 当 a=- 时 ,A （ 1,- ） , 切线方程为 x- y-4=0 ， ∴a= 时，切线方程为 x+ y-4=0, a=- 时，切线方程为 x- y-4=0.

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

(2) 设直线方程为 x+y=b,

由于过点 A ，∴ 1+a=b ， a=b-1.

又圆心到直线的距离 d=

∴ +3=4 ，∴ b=± ,∴a=± -1.

,2

b

2

2

b

2 2

题型三 圆与圆的位置关系【例 3 】已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x- 12y+m=0. （ 1 ） m 取何值时两圆外切？ （ 2 ） m 取何值时两圆内切？ （ 3 ）求 m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和 公共弦的长 . 利用两圆的连心线的长与两圆半径之 间的关系判断两圆的位置关系 .

思维启迪

解 两圆的标准方程为（ x-1 ） 2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为 M （ 1 ， 3 ）， N （ 5 ， 6 ），半径分别为 和 .（ 1 ）当两圆外切时，

解得 m=25+10 .（ 2 ）当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心间距离 5 ，故只有 - =5 ，解得 m=25-10 .

11 m61

,6111)36()15( 22 m

11

11

m61 11 11

（ 3 ）两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即 4x+3y-23=0,

∴ 公共弦长为

应注意两圆位置由圆心距和两半径的

和与差来确定，从而确定切线的条数 .求公共弦方

程时，只需将两圆方程相减即可 .

.7234

23334)11(2

2

222

探究提高

知能迁移 3 圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4, 圆 O2 的圆

心 O2 （ 2 ， 1 ） .

（ 1 ）若圆 O2 与圆 O1 外切 , 求圆 O2 的方程 , 并求内

公切线方程； （ 2 ）若圆 O2 与圆 O1 交于 A 、 B 两点，且 |AB|=2 ，

求圆 O2 的方程 .

解 （ 1 ）∵两圆外切， ∴|O1O2|=r1+r2 ， r2=|O1O2|-r1=2 （ -1 ），

故圆 O2 的方程是 (x-2)2+(y-1)2=4( -1)2.

两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程 x+y+1-2 =0.

2

2

2

2

（ 2 ）设圆 O2 的方程为（ x-2 ） 2+(y-1)2=r ,

∵ 圆 O1 的方程为： x2+(y+1)2=4, 此两圆的方程相

减，即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程：4x+4y+r -8=0. ①作 O1H⊥AB ，则 |AH|= |AB|= ， O1H= ，

由圆心（ 0 ， -1 ）到直线①的距离得得 r =4 或 r =20,故圆 O2 的方程为

（ x-2 ） 2+(y-1)2=4 或 (x-2)2+(y-1)2=20.

22

22

21

2 2

,224

1222

r

22

22

题型四 直线与圆的综合应用【例 4 】（ 12 分）已知过点 A （ 0 ， 1 ）且斜率为k 的直线 l 与圆 C ：（ x-2 ） 2+(y-3)2=1 相交于 M 、N 两点 . （ 1 ）求实数 k 的取值范围； （ 2 ）求证： · 为定值； （ 3 ）若 O 为坐标原点，且 · =12, 求 k 的值 .

AM

OM ON

AN

（ 1）由于直线与圆 C相交于 M、 N两点，故利用直线与圆相交的条件即可求得 k的范围 .（ 2） · =| |·| |cos 0° =| |·| | ，故而想到切割线定理即可证得结论 .（ 3） · =x1x2+y1y2 ，联想根与系数的关系即

可解决 .

思维启迪

AM AN AM AN

AM AN

OM ON

（ 1 ）解 方法一 ∵直线 l 过点 A （ 0 ， 1 ）且斜率为 k ，∴ 直线 l 的方程为 y=kx+1. 2分将其代入圆 C ：（ x-2 ） 2+(y-3)2=1,得（ 1+k2 ） x2-4(1+k)x+7=0. ①由题意： Δ= ［ -4 （ 1+k ）］ 2-4× （ 1+k2 ） ×7 ＞0 ，

得 4 分

.374

374

k

方法二 同方法一得直线方程为 y=kx+1,即 kx-y+1=0. 2 分

又圆心到直线距离 d=

4 分（ 2 ）证明 设过 A 点的圆的切线为 AT ， T 为切点，则 |AT|2=|AM|·|AN| ，|AT|2= （ 0-2 ） 2+ （ 1-3 ） 2-1=7 ，∴| |·| |=7. 6 分根据向量的运算： · =| |·| |·cos 0°=7 为定值 . 8 分

,1

22

1

13222

k

k

k

k

3

74

3

74,1

1

222

kk

kd 解得

AM AN

AM AN AM AN

（ 3 ）解 设 M （ x1 ， y1 ）， N （ x2 ， y2 ），则由

①得

∴ · =x1x2+y1y2

= （ 1+k2 ） x1x2+k （ x1+x2 ） +1

=∴k=1 （代入①检验符合题意） . 12 分

,

1

71

44

221

221

kxx

k

kxx

10 分

OM ON

1281

)1(42

k

kk

探究提高 本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知识，最后还是很常规的用到点到直线的距离、根与系数的关系等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键 .

已知圆 C ： x2+y2+2x-4y+3=0.（ 1 ）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（ 2 ）从圆 C 外一点 P （ x1,y1 ）向该圆引一条切线，

切点为 M ， O 为坐标原点，且有 |PM|=|PO| ，求使得 |PM| 取得最小值的点 P 的坐标 .

知能迁移 4

解（ 1 ）将圆 C 配方得（ x+1 ） 2+ （ y-2 ） 2=2.① 当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方

程为 y=kx, 由直线与圆相切得 即 k=2± ，从

而切线方程为 y= （ 2± ） x.② 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 x+y-a=0,由直线与圆相切得 x+y+1=0 或 x+y-3=0.（ 2 ）由 |PO|=|PM| 得 x +y =(x1+1)2+(y1-2)2

-2 2x1-4y1+3=0.

21

22

k

k

6 6

21

21

即点 P 在直线 l:2x-4y+3=0 上，当 |PM| 取最小值时即 |OP| 取得最小值，直线 OP⊥l ，∴ 直线 OP 的方程为 2x+y=0.

解方程组

得 P 点坐标为

,0342

,02

yx

yx

.53,

103

方法与技巧1. 过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切，其直线 方程的求法有两种：（ 1 ）用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到 切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率， 进而求得直线方程 .（ 2 ）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与 圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率， 进而求得直线方程 .

思想方法 感悟提高

2. 若两圆相交时，把两圆的方程作差消去 x2 和 y2就

得到两圆的公共弦所在的直线方程 .

3. 求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离

求弦心距，再结合勾股定理求弦长 .

4. 求圆外一点 P 到圆 O 上任意一点距离的最小值为

|PO|-r, 最大值为 |PO|+r （其中 r 为圆 O 的半径） .

失误与防范

1. 求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用

圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股

定理或斜率之积为 -1列方程来简化运算 .

2.注意利用圆的性质解题，可以简化计算 . 例如，

求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大

距离利用两点的距离减去或加圆半径就很简便 .

一、选择题1. （ 2009·重庆理， 1 ）直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1

的 位置关系是 （ ） A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 解析 圆心到直线的距离 d= ∵d ＜ r 且 d≠0, ∴ 直线与圆相交但不过圆心 .

定时检测

B

,122

21

2. （ 2008·辽宁理 ， 3 ）圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2

没有公共点的充要条件是 （ ） A.k∈(- , ) B.k∈(-∞,- )∪( ,+∞) C.k∈(- , ) D.k∈(-∞,- )∪( ,+∞) 解析 圆 x2+y2=1 的圆心为 O （ 0 ， 0 ），则 O 到

直线 y-kx-2=0 的距离为

由于直线和圆没有公共点，因此

∴1+k2 ＜ 4,∴ ＜ k ＜ .

2 2

2 2

33

33

C

.1

22k

,11

22

k

3 3

3. 设 O 为坐标原点， C 为圆（ x-2 ） 2+y2=3 的圆心， 且圆上有一点 M （ x,y ）满足 · =0 ， 则 等于 （ ）

A. B.

C. D. 解析 ∵ · =0 ，∴ OM⊥CM ，∴ OM 是 圆的切线 . 设 OM 的方程为 y=kx, 由

得 k=± ，即 =± .

xy

CM

33

33

33 或

3 33 或

D

CMOM

,31

22

k

k

3 xy

3

OM

4. 已知点 P （ x ， y ）是直线 kx+y+4=0 (k＞ 0) 上一动

点， PA 、 PB 是圆 C ： x2+y2-2y=0 的两条切线， A 、 B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2 ，则 k 的 值为 （ ） A. B. C.2 D.2

22

21 2

解析 圆 C 的标准方程为 x2+(y-1)2=1,圆心 C （ 0 ， 1 ），半径为 1 ，∴ |PC|2=|PA|2+1.又 S 四边形 PACB=2× ×|PA|×1=|PA| ，

∴ 当 |PA| 最小时，面积最小，而此时 |PC| 最小 .又 |PC| 最小为 C 到直线 kx+y+4=0 的距离

∴ 面积最小为 2 时，有 22=

解得 k=2 （ k＞ 0 ） .

21

,1

52

k

d

,11

52

2

k

答案 D

5. 过点（ 0 ， -1 ）作直线 l 与圆 x2+y2-2x-4y-20=0 交于

A 、 B 两点，如果 |AB|=8 ，则直线 l 的方程为（ ） A.3x+4y+4=0 B.3x-4y-4=0 C.3x+4y+4=0 或 y+1=0 D.3x-4y-4=0 或 y+1=0

解析 圆： (x-1)2+(y-2)2=25,易知直线斜率存在，设 l:y+1=k(x-0) ，即 kx-y-1=0 ，

圆心（ 1 ， 2 ）到 l 的距离 d=

由 +42=52, 得 4k2+3k=0,

∴k=0 或 k=- ，当 k=0 时， l:y=-1;

当 k=- 时， l:3x+4y+4=0.

答案 C

.1

32

k

k

2

2)1

3(

k

k

4

3

4

3

6. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A 、 B 两点 , 且 | + |=| - |, 其中 O 为坐标原点，则实数 a 的值为 （ ） A.2 B.±2 C.-2 D.± 解析 如图，作平行四边形 OADB ， 则 + = ， - = ， ∴| |=| |. 又 | |=| | ， ∴ 四边形 OADB 为正方形， 易知 | | 为直线在 y 轴上的截距的绝对值，∴ a=±

2.

2

B

OA OB OA OB

OA OB OD

OD

OA OB BA

BA

OA OB

OA

二、填空题

7. 若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相切，则实数 ab 的

取

值范围是 .

解析 圆心（ 0,0 ）到直线的距离

∴a2+b2=1.∴|ab|≤

,11

22

bad

.2

1

2

22

ba

.21

21 ab

2

1,2

1

8. （ 2009· 四川理， 14 ）若⊙ O ： x2+y2=5 与⊙O1:

(x-m)2+y2=20(m∈R) 相交于 A 、 B 两点，且两圆 在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 .

解析 如图所示，在 Rt△OO1A 中，

OA= ， O1A=2 ，∴ OO1=5 ，

∴AC=

∴AB=4.

4

5 5

,25

525

9. （ 2009·天津理， 14 ）若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+

2ay-6=0(a ＞ 0) 的公共弦的长为 2 , 则 a= .

解析 x2+y2+2ay=6,x2+y2=4 ，两式相减得 y= .

联立 消去 y 得 x2= (a ＞ 0).

∴ 解得 a=1.

13

a

1

,4

,1

22 yx

ay

2

2 14

a

a

,3214

22

a

a

三、解答题10. 自点 A （ -3 ， 3 ）发出的光线 l射到 x 轴上，

被 x 轴 反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切，求光线 l 所在直线的方程 . 解 已知圆（ x-2 ） 2+(y-2)2=1 关 于 x 轴的对称圆 C′的方程为 （ x-2 ） 2+(y+2)2=1, 如图所示 . 可设光线 l 所在直线方程为 y-3=k(x+3) ，

∵ 直线 l 与圆 C′相切，

∴ 圆心 C′（ 2 ， -2 ）到直线 l 的距离

解得 k=- 或 k=- .

∴光线 l 所在直线的方程为

3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.

,11

552

k

kd

4

33

4

11. 设圆上的点 A （ 2 ， 3 ）关于直线 x+2y=0 的对称点

仍在圆上 , 且与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 ， 求圆的方程 . 解 用待定系数法求圆的方程， 设圆的方程为（ x-a ） 2+ （ y-b ） 2=r2. 则所求圆的圆心为（ a ， b ），半径为 r. ∵ 点 A （ 2 ， 3 ）关于直线 x+2y=0 的对称点 A′ 仍 在这个圆上，∴圆心（ a,b ）在直线 x+2y=0 上， ∴a+2b=0 ， ① （ 2-a ） 2+(3-b)2=r2. ② 又直线 x-y+1=0 截圆所得的弦长为 2 ，

∴r2- ③

2

2

.)2(2

1 2

2

ba

解由方程①、②、③组成的方程组得：

∴ 所求圆的方程为（ x-6)2+(y+3)2=52 或（ x-14 ） 2+(y+7)2=244.

.244

,7

,14

,52

,3

,6

22 r

b

a

r

b

a

或

12. 如右图所示，已知圆 C1:x2+y2-2mx-2ny+m2-1

=0 和圆 C2 ： x2+y2+2x+2y

-2=0 交于 A 、 B 两点且这 两点平分圆 C2 的圆周 .

求圆 C1 的圆心 C1 的轨迹方程，并求出当圆 C1 的

半径最小时圆 C1 的方程 .

解 圆 C1 ：（ x-m ） 2+ （ y-n ） 2=n2+1 ，

圆 C2 ：（ x+1 ） 2+ （ y+1 ） 2=4 ，

而 C1C2⊥AB 且 AB 为圆 C2 直径 .

∴|AC2|= =2 ，又 |AC1|2= =1+n2 ，

|AC2|2=4 ， |C1C2|2= （ m+1 ） 2+ （ n+1 ） 2.

∴ （ m+1 ） 2=-2 （ n+2 ）即为点 C1 的轨迹方程 .

又 -2 （ n+2 ）≥ 0 ， n≤-2 ，当 n=-2 时， m=-1 ， = ，此时圆 C1 的方程为（ x+1 ） 2+(y+2)2=5.

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