§4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性

• 序言• H(s) 零、极点与 h(t) 波形特征• H(s) 、 E(s) 的极点分布与自由响

应、强迫响应特性的对应

一．序言 冲激响应 h(t) 与系统函数 H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。 在 s域分析中，借助系统函数在 s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。 主要优点：1 ．可以预言系统的时域特性；

2 ．便于划分系统的各个分量 （自由／强迫，瞬态／稳态）；3 ．可以用来说明系统的正弦稳态特性。

二． H(s)零、极点与 h(t)波形特征的对应

)()())((

)()())((

)(

)()(

21

21

nk

mj

pspspsps

zszszszsK

sB

sAsH

K

系统函数的零点

, 21 nzzz

系统函数的极点

, 21 nppp

在 s 平面上，画出 H(s) 的零极点图： 极点：用×表示，零点：用○表示

m

jjzs

1

)(

n

kkps

1

)(

1 ．系统函数的零、极点

例 4-7-1

)2j)(2j()1(

)1j1)(1j1()(

2

sss

ssssH

极点： ,121 pp

零点： 4z

j

0

j1

j1

2j

2j

1

画出零极点图：

,2j3 p 2j4 p

,01 z ,1j12 z ,1j13 z

2． H(s)极点分布与原函数的对应关系

j

Oα α

0jω

0jω

几种典型情况

一阶极点在原点，0,

1)( 1 ps

sH )()]([)( 1 tusHLth

apas

sH

1,1

)(

,0),(e)(, ,0

),(e)(, ,0

指数增加在右实轴上

指数衰减在左实轴上

atutha

tuthaat

at

在虚轴上,j,)( 122ωp

ωs

ωsH

)(sin)( ，等幅振荡tωtuth

,)(

)(22 ωαs

ωsH

共轭根,j,j 21 αpωαp

当 ，极点在左半平面，衰减振荡当 ，极点在右半平面，增幅振荡

0α0α

二阶极点,,

1)(

2极点在原点

ssH )(,),()( thtttuth

极点在实轴上，,)(

1)(

2assH

0)(,,0),(e)( thtαtutth t

在虚轴上，,)(

2)( 222 ωs

ssH

增幅振荡 )(,),(sin)( thtttutth ,t

)(sH 有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 ， 这表明的极点位于左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴， 均存在，两者可通用，只需 将即可。

)(jFsF 和js

0th

三 .H(s) 、 E(s) 的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应

激励： )()( sEte

v

kk

u

ll

Ps

zssE

1

1

)(

)()(

系统函数： )()( sHth

n

ii

m

jj

Ps

zs

sH

1

1

)(

)(

)(

响应： )()( sRtr

n

ii

m

jj

ps

zs

1

1

)(

)(

v

k k

k

ps

A

1

)()( 1 sRLtr

自由响应分量 ＋强制响应分量

v

kk

u

ll

Ps

zs

1

1

)(

)()(sR

n

i i

i

ps

A

1

)(sR

v

k

tpk tuA k

1

)(e

n

i

tpi tuA i

1

)(e

几点认识

•自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数 　都有关。

sEsHAA ki ,, 与

•响应函数 r(t) 由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强迫响应分量。

•定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称“自然频率”、“自由频率”）。H(s) 的极点都是系统的固有频率；H(s) 零、极点相消时，某些固有频率将丢失。

暂态响应和稳态响应

瞬态响应：是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着 t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。

例 4-7-2 ，教材习题 2-6(1)给定系统微分方程 te

t

tetr

t

tr

t

tr3

d

d2

d

d3

d

d2

2

20,10 / rrtute ，起始状态为激励

试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。

sEessE

sRrssRrsrsRs

30

203002

解：方程两端取拉氏变换

零输入响应／零状态响应

03003232 rrsrsEssRss

则 23

03002zi

ss

rrsrsR

23

32zs

ss

sEssR

0 e3e4)( 2zi ttr tt

:即零状态响应为)0( 5.1e2e5.0)( 2

zs ttr tt

:零输入响应为

稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应

s

sR1

5.12

15.2

1

12

ss

)0( e5.2 e2 2 ttt

极点位于 s左半平面

5.1)( tr

极点位于虚轴

暂态响应稳态响应

s

sR1

5.12

15.2

1

12

ss

)0( e5.2 e2 2 ttt

H(s) 的极点

5.1)( tr

E(s) 的极点

自由响应强迫响应