4_DimenzioniranjeSavijanje

GRAoEVINSKIFAKULTETSARAJEVO

PREDNAPREGNUTI BETONPREDNAPREGNUTI BETON

Dimenzioniranje za naprezanje sa M i N

strana 59

K - 98/99

Zlatar

Slika 1 Raunski dijagram Fc-,c betona parabola-pravac.

2. OSNOVE DIMENZIONIRANJA PRESJEKA U STANJU GRANINE OTPORNOSTI (ULS) ZANAPREZANJE SA MOMENTOM SAVIJANJA I UZDUNOM SILOM (EC2)

Ranije je reeno da je dimenzioniranje za naprezanje sa momentom savijanja i uzdunom silompredhodno napregnutih presjeka na potpuno istim osnovama kao i dimenzioniranje armiranobetonskihpresjeka, to se detaljno izloe u predavanjima "Betonske konstrukcije I i II". Medjutim, zbog cjelovitostii odrepenih specifinosti postupka dimenzioniranja prema EC2 (koncept sigurnosti, oznake i sl.) ovdje ese ponoviti odrepeni stavovi koji su ranije dati.

2.1 Raunske predpostavke za proraun granine otpornosti presjeka

Vrijede slijedee predpostavke:

a) Presjeci i nakon zaokretanja ostaju ravni (Bernoulli-eva hipoteza ravnih presjeka), tj. deformacijesu linearno rasporepene po visini presjeka.

b) Beton ne sudjeluje u preuzimanju sila zatezanja, tj. zanemaruje se vrstoa betona na zatezanje(fct =0). Dakle predpostavka "istog" stadija II.

c) Podrazumjeva se da je ostvaren potpun spoj izmepu betona i armaturnog elika odnosno elikaza prednaprezanje (ako su obavijeni betonom), tj. vlakna betona i elika koja se nalaze na jednakojudaljenosti od neutralne linije imaju jednaku deformaciju, tako da vrijedi ,cs = ,s, pri emu se pod,cs podrazumjeva deformacija betonskog vlakna ukljuujui i otvore naprslina a ,s deformacijaarmaturnog elika. Kod armature za prednaprezanje potrebno je dodatno uzeti u obzirpreddeformaciju ,pm,0 usljed prednaprezanja prije ostvarivanja spoja sa betonom.

d) Pojednostavljene (idealizirane) raunske dijagrame F-, betona, armaturnog elika i elika zaprednaprezanje sa kojima se priblino uzima u obzir i elastoplastino ponaanje materijala.

2.1.1 Raunski dijagram Fc-,c betona

Oblik raunskog dijagrama Fc-,c betona u pravilu je parabola-pravac. Taj dijagram predstavlja idealiziranuraspodjelu napona betona u pritisnutoj zoni presjeka u stanju granine otpornosti. Na osnovu konceptadimenzioniranja sa parcijalnim koeficijentima sigurnosti, maksimalna ordinata (napon betona) je "@fcd (sl.1),




strana 60

K - 98/99

Zlatar

Slika 2 Raunski dijagram Fc-,c betonabilinearnog tipa

(1)

gdje je, "=0,85 koeficijent kojim se obuhvata vrtoa betona za dugotrajno djelovanje optereenja. Vezana sl.1 moe se definisati slijedeom funkcijom:

gdje je,Fc :napon betona,,c :deformacija betona,fck :karakteristina vrijednost vrstoe betona na pritisak odrepena na cilindrinim tjelima,fcd :raunska vrijednost vrstoe betona na pritisak, fcd=fck/(c,(c :parcijalni koeficijent sigurnosti za materijal beton (vidi 1.4);

(c = 1,5 za stalnu i prolaznu proraunsku situaciju 91,3 za iznimnu (incidentnu) proraunsku situaciju A

Klasa betona C(fck/fck,cube)

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fcd = fck/(c[N/mm2]

(c = 1,5 8,0 10,7 13,3 16,7 20,0 23,3 26,7 30,0 33,3

(c = 1,3 9,2 12,3 15,4 19,2 23,1 26,9 30,8 34,6 38,5

Pored dijagrama parabola-pravac, EC2 doputa primjenu bilinearnog dijagrama Fc-,c betona (sl.2) kaoi dijagrama pravokutnog oblika odnosno tzv. naponskog bloka.

2.1.2 Raunski dijagram Fs-,s obinog elika

Prema EC2, raunski idealizirani dijagram Fs-,s obinog elika moe se uzeti kao bilinearni, koji se sastojiiz tzv. Hooke-ovog pravca (Es=200 000 N/mm2) i pravca u podruju plastinog ponaanja elika (iznadnapona na granici teenja fyk). U pogledu dijela raunskog dijagrama Fs-,s u plastinom podrujudoputaju se dvije mogunosti (sl.3):




strana 61

K - 98/99

Zlatar

Slika 3 Idealizirani dijagram Fs-,s obinog elika (EC2)

a) Predpostavka horizontalne idealno plastine grane, pri emu deformacija elika ,s nije ograniena.Meputim, na osnovu smjernica Njemakog odbora za beton (DAfStb, Heft 400), istezanje elikaogranieno je na 20 (max ,s = 0,020).

b) Predpostavka da linija Fs-,s u plastinom podruju ima uzlazni karakter (od raunske granice teenjafyd=fyk/(s pa do raunske granice kidanja ftd=ftk/(s). Takope, na osnovu navedenih smjernica ovdje seistezanje elika ograniava na 10 (max ,s = 0,010).

Ovdje je,Fs :napon u obinom eliku,,s :deformacija elika,fyk :karakteristina vrijednost napona elika na granici teenja (mjerodavan je napon pri trajnoj

deformaciji od 0,2 %, fyd :raunska vrijednost napona elika na granici teenja, fyd=fyk/(s,ftk :karakteristina vrijednost napona elika na granici kidanja,ftd :raunska vrijednost napona elika na granici kidanja, fyd=ftk/(s,(s :parcijalni koeficijent sigurnosti za materijal elik (vidi 1.4);

(s = 1,15 za stalnu i prolaznu proraunsku situaciju 91,0 za iznimnu (incidentnu) proraunsku situaciju A

2.1.3 Raunski dijagram Fp-,p elika za prednaprezanje

Linija Fp-,p elika za prednaprezanje u principu se dobija na osnovu verifikacionih dokumenata, odnosno,na osnovu ispitivanja (vidi 2.1 u poglavlju: Osnovna svojstva materijala). Analogno obinom eliku, i kodelika za prednaprezanje, idealizacija se moe uraditi sa bilinearnom linijom uz dvije razliite predpostavke(sl.4):

a) Predpostavka horizontalne idealno plastine grane, sa ordinatom 0,9@fpd = 0,9@fpk/(s, pri emudeformacija elika ,p nije ograniena. Meputim, i u ovom sluaju, na osnovu smjernica Njemakogodbora za beton (DAfStb, Heft 400), istezanje elika za prednaprezanje ograniava se na 20 aodnosi se na deformaciju elika ),p kojom se kasnije uveava preddeformacija elika ,pm,0 nakonpoetnog prednaprezanja (max ,p = ,pm,0 + 0,020).

b) Predpostavka da linija Fp-,p u plastinom podruju ima uzlazni karakter od 0,9@fpd pa do fpd. Takope,na osnovu navedenih smjernica istezanje elika se ograniava na 10 a odnosi se na ),p (max ,p= ,pm,0 + 0,010).




strana 62

K - 98/99

Zlatar

Slika 4 Raunski dijagram Fp-,p elika za prednaprezanje (EC2)

Slika 5 Mogui dijagrami deformacija presjeka u stanju granine otpornosti

Ovdje je,Fp :napon u eliku za prednaprezanje,,p :deformacija elika za prednaprezanje,fpk :karakteristina vrijednost vrstoe elika za prednaprezanje na granici kidanja,fpd :raunska vrijednost vrstoe elika za prednaprezanje, fpd=fpk/(s,,pm,0 :poetna deformacija elika za prednaprezanje u trenutku t=0, ,pm,0=Fpm,0/Ep,),p :deformacija elika koja se dobija kasnije nakon poetne deformacije.(s :parcijalni koeficijent sigurnosti za materijal elik (kao kod obinog elika).

2.1.4 Mogui dijagrami deformacija u stanju granine otpornosti

Mogui dijagrami deformacija (sl.5) presjeka u stanju granine otpornosti, za sve sluajeve naprezanja




strana 63

K - 98/99

Zlatar

sa momentom savijanja i udunom silom (pritiska ili zatezanja), direktno proizilaze iz Bernoulli-evehipoteze ravnih presjeka sa graninim vrijednostima deformacija iz dijagrama F-, elika i betona. Zbogpredpostavke potpunog spoja izmepu elika i betona, iz dijagrama moguih deformacija jednostavno seuspostavlja veza deformacija elika (obinog ili elika za prednaprezanje sa preddeformacijom ,pm,0) zabilo koji poloaj u presjeku. Detaljnija objanjenja data su u ranijem kursu (Betonske konstrukcije I) aovdje e se ukratko navesti najosnovniji pojmovi kao osnova za postupak dimenzioniranja.

Na sl.5, sa ,p oznaena je ukupna deformacija elika za prednaprezanje, koja se sastoji od, dijela ,pm,0,koji se ostvaruje poetnim prednaprezanjem (istezanjem) a prije ostvarivanja spoja sa betonom (tzv.preddeformacija prednapregnute armature) i dijela ),p, koji prati deformaciju presjeka nakon ostvarene"potpune" veze sa betonom.

U graninom stanju otpornosti presjeka, u zavisnosti od veliine vanjskih raunskih sila koje napadajupresjek Msd i Nsd, kao i sile prednaprezanja Pm, razlikuju se slijedea podruja (sl.5):

Centrino zatezanje ili zatezanje sa malim ekscentricitetom (cijeli presjek je zategnut),

Savijanje (sa uzdunom silom), sluaj punog iskoritavanja zategnute armature,

Savijanje (sa uzdunom silom), sluaj istovremenog punog iskoritavanja zategnute armature ipritisnutog betona,

Savijanje (sa uzdunom silom), sluaj punog iskoritavanja pritisnutog betona ali sa naprezanjemzategnute armature manjim od fyd (podruje prelaska sa preovaladavajueg savijanja kapreovladajuoj uzdunoj sili pritiska),

Pritisak sa malim ekscentricitetom ili centrian priisak (cijeli presjek je pritisnut).

Potrebno je napomenuti da taka A na sl.5 proizilazi na osnovu smjernica Njemakog odbora za beton(DAfStb, Heft 400), koji je ograniio deformacije elika na 10 odnosno 20 (vidi sl.3 predpostavka aili b). Openito u EC2 deformacija elika nije ograniena, tako da bi se ta taka nalazila praktino ubeskonanosti. U tom sluaju i kod opadajue vrijednosti momenta savijanja deformacija elika biistovremeno rasla a deformacija pritisnutog betonskog vlakna ostala bi nepromjenjena ,c2 =-3,5 .Meputim kada se ograniava deformacija elika, tada za opadajuu vrijednost momenat savijanja,deformacija elika ,s1 ostaje nepromjenjena a deformacija betona ,c2 istovremeno opada (podruje ).Inae u praktine svrhe ove razlike i nemaju bitnog uticaja na rezultate dimenzioniranja.

2.2 Napomene za dimenzioniranje prednapregnutih elemenata

Kod dimenzioniranja elemenata od prednapregnutog betona u osnovi treba razlikovati:

L Prednaprezanje bez spoja sa betonom, to podrazumjeva i strukturne elemente u fazi izvedbeprije ostvarivanja spoja sa betonom (kod postupka prednaprezanja sa naknadnim spojem).

L Prednaprezanje sa trenutnim spojem, odnosno stanje elemenata nakon ostvarivanja spoja (kodpostupka prednaprezanja sa naknadnim spojem).

Ovo proizilazi iz toga, to uslovi kompatibilnosti deformacija betona i elika, u prvom sluaju moraju seformulisati na cjelokupnoj nosivoj strukturi, dok u drugom sluaju, zbog predpostavke potpunog spojaelika i betona, ti uslovi se odnose na popreni presjek.




strana 64

K - 98/99

Zlatar

(2)

(3)

U sluaju kada je obezbjepen spoj prednapregnute armature sa betonom, postupak dimenzioniranja uosnovi se ne razlikuje od postupka dimenzioniranja armiranobetonskih elemenata. Na strani dejstava,treba voditi rauna o dodatnim presjenim silama od statiki neodrepenog djelovanja prednaprezanja (vidiprethodno poglavlje). Na strani otpornost presjeka uzima se statiki odrepeno djelovanje prednaprezanjau formi preddeformacije (iako je mogue i drugaije rjeenje), poto je prednapregnuta armaturapostupkom prednaprezanja prije ostvarivanja spoja ve predhodno istegnuta.

Za odrepivanje unutarnjeg stanja naprezanja u presjeku, za odrepeni dijagram deformacija presjeka, ana osnovu linije Fp-,p elika za prednaprezanje, uzima se ukupna deformacija elika za prednaprezanje,p, koja se sastoji od preddeformacije ,pm,0 i dodatne deformacije ),p usljed vanjskog napreznja, tj.

Nakon ostvarivanja spoja elika i betona i na osnovu predpostavke potpunog spoja, vlakna betona u visiniarmature za prednaprezanje imaju istu deformaciju kao i elik za prednaprezanje, pri emu neelastinedeformacije usljed puzanja i stezanja betona i relaksacije elika se zanemaruju (kao i kodarmiranobetonskih presjeka) tako da je ),=,cp, pa jednapba (2) je:

u gornjim jednapbama je,,pm,0 :raunska veliina preddeformacije (predistezanja) armature za prednaprezanje,),p :raunska vrijednost dodatne deformacije armature za prednaprezanje usljed vanjskog

optereenja (Msd i Nsd),,cp :raunska vrijednost deformacije betonskog vlakna u visini armature za prednaprezanje.

Napomena: U poglavlju "Proraun presjenih sila od prednaprezanja" (taka 1. str. 30) navedeno je dase raunska preddeformacija ,p(0) dobija kada se srednja vrijednost preddeformacije pomnoisa parcijalnim koeficijentom sigurnosti (p, tj. ,p(0)=(p@ ,pm,0. Kao indikativne vrijednosti, izvornou EC2, za (p su 0,9 ili 1,2, u zavisnosti od efekta preddeformacije (povoljno ili nepovoljno).Takope, doputeno je (zbog pojednostavljenja, naroito kod prorauna presjenih sila polinearnoj teoriji elastinosti) dimenzioniranje provoditi sa (p=1,0 tako da vrijedi ,p(0)=,pm,0.

Kod postupka dimenzioniranja, preporuka je (Kupfer), da se ogranii dodatna deformacija ),p=,cp ukolikoje ona negativna (skraenje) na vrijednost lim ),p=-2,0 (neiskoritavati najveu raunsku vrijednostskraenja -3,5 ), zbog toga to dolazi do znatnog remeenja vrstoe spoja betona sa elementima zaprednaprezanje (DIN 4227, Dio 2, zahtjeva ak ogranienje, lim ),p=-1,5 ).

Razlika kod dimenzioniranja presjeka prednapregnutih elemenata u odnosu na armiranobetonskeelemenate, prije svega je u tome, to kod prednapregnutih elemenata treba istraiti vie stanja, zbogvremenski ovisnog toka postupka prednaprezanja i optereenja i zbog uticaja puzanja i stezanja betonai relaksacije elika za prednaprezanje. Kod prednapregnutih elemenata treba razlikovati:

1. Stanje neposredno nakon unoenja sile prednaprezanja, odnosno nakon ostvarivanja spojabetona i elika za prednaprezanje (t=t0). U pravilu ovdje djeluje samo prednaprezanje i vlastitateina elementa. Za ovo stanje potrebno je dokazati napone pritiska u tzv. predhodno pritisnutojzategnutoj zoni presjeka kao i napone zatezanja u pritisnutoj zoni presjeka.

2. Stanje nakon nanoenja daljnjeg stalnog i promjenljivog (pokretnog) optereenja (t=t1), gdje je




strana 65

K - 98/99

Zlatar

potrebno uzeti u obzir i prinudne uticaje. Ovdje je potrebno voditi rauna o minimalnimmomentima savijanja (min Msd).

3. Stanje nakon obavljanja svih vremenski ovisnih gubitaka sile prednaprezanja (t64), sadjelovanjem promjenljivog (pokretnog) optereenja i prinudnih uticaja. Kod ovog stanja treba voditirauna o maksimalnim uticajima savijanja (max Msd).

Postupak dimenzioniranja presjeka u sluaju statiki odrepenog djelovanja prednaprezanja moe seprovoditi na tri razliita, ali potpuno ekvivalentna naina:

Postupak a) Stav sa preddeformacijom (predistezanjem) ,pm,0 za odrepivanje ukupne deformacijearmature za prednaprezanje ,p. Presjek se dalje posmatra kao presjek koji se sastoji odbetonskog dijela, obine armature i armature za prednaprezanje (sl.7).

Ovaj postupak je pregledan i lako shvatljiv a pogodan je za obino iterativno odrepivanjesila otpornosti presjeka (NRd, MRd), naroito gotovim kompjuterskim programima.

Postupak b) Stav kod kojeg se preddeformacija ,pm,0 zamjenjuje sa kvazi silom prednaprezanja Ptd,0,koja djeluje na betonski presjek (kao sila pritiska) u nivou poloaja armature zaprednaprezanje ( ). Presjek se dalje posmatra kaopresjek koji se sastoji od betonskog dijela, obine armature i armature zaprednaprezanje, pri emu armatura za prednaprezanje se tretira kao nenapregnuta (sl.8).

Postupak je pogodan u sluajevima kada se armatura za prednaprezanje rasporepujeu veem broju kablova postavljenim u razliitim poloajima po visini presjeka. Lako jeprimjenljiv za postupak dimenzioniranja sa razliitim pomagalima kao to su tabele ilidijagrami.

Postupak c) Stav kod kojeg se, na mjestu armature za prednaprezanje, na strani dejstava, aplicira silaFpd, koja se dobija na osnovu ukupne deformacije prednapregnute armature ,p, tj.

. U ovom sluaju presjek se dalje promatrakao armiranobetonski presjek (bez armature za prednaprezanje), (sl.9). Kako bi seodredila sila Fpd potrebno je predpostaviti ukupni napon u prednapregnutoj armaturi, toje kasnije potrebno i dokazati. U pravilu, kada prednapregnuta armatura lei u zategnutojzoni presjeka predpostavlja se sila koja odgovara deformaciji teenja prednapregnutearmature.

Postupak u najveem broju sluajeva vodi relativno brzom postupku dimenzioniranja uzpomo odgovarajuih tabela ili dijagramima.

2.3 Dimenzioniranje presjeka sa pravokutnom pritisnutom zonom

2.3.1 Sile koje napreu presjek (dejstva)

Sile koje napreu presjek (savijanje sa uzdunom silom) svode se na momenat savijanja MSd i podunusilu NSd, koja djeluje u odrepenoj osi presjeka. Najee ove presjene sile odrepuju se za osu koja prolazikroz teite betonskog presjeka. Zbog primjene odgovarajuih tabela ili dijagrama za dimenzioniranje,prije svega za armiranobetonske presjeke, momenat savijanja i podunu silu svodi se na osu koja prolazi




strana 66

K - 98/99

Zlatar

Slika 6 Svopenje sila koje napreu presjek na liniju kroz teite zategnute armature

(4)

Slika 7 Sile koje napreu presjek i sile otpora presjeka za dimenzioniranje prema postupku a)

kroz teite zategnute (obine) armature. Premjetanjem podune sile NSd (koja ostaje nepromjenjena)u teite zategnute armature, mjenja se momenat savijanja (sl.6), tako da je:

Kod prednapregnutih presjeka, bitno je na koji nain se uzima u obzir uticaj prednaprezanja, da li na stranidejstava ili na strani otpornosti presjeka, to zavisi od odabranog postupka dimenzioniranja (a, b ili c).Svopenje sila koje napreu presjek, moe se odnositi i za neku drugu, za dimenzioniranje pogodnu osuu presjeku.Tako kod postupaka a) (sl.7), presjene sile ( ), pored vanjskih uticaja (dejstava), sadre i dio

statiki neodrepenog djelovanja prednaprezanja. Dakle uticaji (statiki odrepeni dio) prednaprezanja suna strani otpornosti presjeka.

Kod postupka b) (sl.8), sile koje napreu presjek se dopunjuju sa dijelom uticaja od statiki odrepenogdjelovanja prednaprezanja. Za naprezanje od prednaprezanja moraju se uzeti fiktivne sile, koje odgovaraju




strana 67

K - 98/99

Zlatar

(8)

(5)

(6)

(7)

(9)

(10)

Slika 8 Sile koje napreu presjek i sile otpora presjeka za dimenzioniranje prema postupku b)

deformaciji betonskog vlakna u visini i-tog elementa za prednaprezanje (i=1,...n). Ovaj postupak primjenljivje i za prednaprezanje bez spoja. Za ove fiktivne sile (sl.8) vrijedi,

gdje je statiki odrepeni dio prednaprezanja,

Kod ovog postupka svrsishodno je presjene sile svesti na liniju kroz mjesto djelovanja rezultujue sile(Fs1d + )Fpd) (Kupfer). Poto je sila )Fpd nepoznata, to je potrebno iteracijom doi do zadovoljavajuegrezultata. Svedene sile na liniju, ija je udaljenost r u odnosu na sistemsku osu (kroz teite betonskogpresjeka) su:

Udaljenost r je,




strana 68

K - 98/99

Zlatar

(14)

Slika 9 Sile koje napreu presjek i sile otpora presjeka za dimenzioniranje prema postupku c)

(12)

(13)

Kod postupka c) (sl.9) uticaj prednaprezanja u potpunosti se uzima na strani sila koje napreu presjektako da je,

U odnosu na teite zategnute (obine) armature, poduna sila N(c)Sd se nemjenja dok momenat savijanjaprema jednadbi (4) je:

2.3.2 Unutarnje presjene sile (otpornost presjeka)

Vie puta naglaeno, da je dimenzioniranje presjeka sa prednapregnutom armaturom na istim osnovamakao i armiranobetonskih presjeka, to se u ovom dijelu nee davati detaljniji izvodi pojedinih veliina, kakoje to urapeno u kursu "Betonske konstrukcije I". Poto je ovo izlaganje zasnovano na oznakama MC90i EC2 kao i konceptu sigurnosti iz EC2, to e se navesti svi potrebni izrazi.

Raunska veliina i poloaj rezultante Fcd napona betona na pritisak

a) Neutralna linija prolazi unutar poprenog presjeka




strana 69

K - 98/99

Zlatar

(18)

(19)

(15)

(16)

(17)

Slika 10 Poloaj rezultante napona pritiska betona za sluaj kada neutralna linija prolazikroz presjek

Zakon raspodjele napona pritiska betona prema jednadbi (1) je:

Prema oznakama na sl.7, visina pritisnute zone betona je:

gdje je, > relativna visina pritisnute zone:

Rezultanta napona pritiska betona je:

Iz predhodne jednadbe, bezdimenzionalna veliina




strana 70

K - 98/99

Zlatar

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Udaljenost a rezultante Fcd od pritisnutog ruba betona (sl.10), lako se moe odrediti na osnovu uslova daje statiki momenat rezultante jednak statikom momentu njenih komponent, tako da je,

gdje je,

Koeficijent ka poloaja sile Fcd, predstavlja i relativni poloaj rezultante sile pritiska betona u odnosu napritisnuti rub presjeka (ka=a/x).

Na osnovu gornjih jednadbi, a prema sl.7 i sl.10, moe se odrediti i krak unutarnjih sila z, koji predstavljarastojanje izmepu rezultante napona pritiska betona Fcd i rezultante napona u zategnutoj (obinoj) armaturiFs1d, tj:

Dakle koeficijent . predstavlja relativnu veliinu kraka unutarnjih sila i odrepen je jednadbom:

b) U cijelom presjeku vladaju naponi pritiska (neutralna linija izvan presjeka)

Za podruje dijagrama moguih dilatacija (sl.5 i sl.11) veza izmepu rubnih dilatacija betona je:




strana 71

K - 98/99

Zlatar

(27)

(28)

Slika 11 Poloaj rezultante napona pritiska betona za sluaj kada je cijelipresjek pritisnut

(29)

(30)

(26)

P o l o a jneutralne linije, koja se nalazi izvan presjeka, u odnosu na jae pritisnuti rub je:

U ovom sluaju rezultatanta napona pritiska betona:

tako da je relativna sila pritiska betona:

Koeficijent punoe "R=*Fm /("@fcd)*definisan je jednadbom:

Udaljenost a rezultante Fcd od jae pritisnutog ruba betona prema sl.11 je:

pri emu je relativni poloaj rezultante pritiska betona (ka=a/h):




strana 72

K - 98/99

Zlatar

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

Raunska veliina rezultanti Fs1d i Fs2d napona u armaturi

Rezultanta napona u zategnutoj armaturi Fs1d i napona u pritisnutoj armaturi Fs2d su:

Na osnovu idealizirajueg dijagrama Fs-,s armaturnog elika (sl.3) je za predpostavku "a":

pa je prema tome,

Za sluaj predpostavke "b" dijagrama Fs-,s, naponi zatezanja (pritiska) u armaturi u podruju deformacija,yd $ ,s $ 0,010 mogu biti i vei od fyd za vrijednost,

Raunska veliina rezultante Fpd napona u prednapregnutoj armaturi

U sluaju opisanog postupka a) (sl.7), sila zatezanja u prednapregnutoj armaturi u zategnutoj zoni presjekaje:

gdje je,




strana 73

K - 98/99

Zlatar

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

Kod primjene postupka b) (sl.8), na strani sila otpornosti presjeka uzima se dio uticaja prednaprezanja kojiodgovara deformaciji betonskog vlakna u visini armature za prednaprezanje, tj.

gdje je,

U sluaju primjene postupka c) (sl.9), unutarnje sile ine samo sile armiranobetonskog presjeka poto seukupni uticaj prednaprezanja uzima na strani dejstava.

Raunska veliina ekvivalentnih FRd i MRd presjenih sila otpornosti presjeka

Armiranobetonski i prednapregnuti presjeci (postupak a) sl.7):

Prednapregnuti presjeci (postupak b) sl.8):

Prednapregnuti presjeci (postupak c) sl.8):

2.3.3 Jednadbe ravnotee

Jednadbe za dimenzioniranje dobivaju se iz uslova ravnotee presjeka u stanju granine otpornosti tj.izjednaavanjem raunskih presjenih sila od dejstava sa ekvivalentnim raunskim silama otpornostipresjeka. Za prednapregnute presjeke, za ovaj sluaj naprezanja, kako je to predhodno navedeno,mogue je primjeniti tri potpuno identina postupka, pa je:




strana 74

K - 98/99

Zlatar

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

Armiranobetonski i prednapregnuti presjeci (postupak a) sl.7):

Prednapregnuti presjeci (postupak b) sl.8):

Prednapregnuti presjeci (postupak c) sl.9):

Ove jednadbe ravnotee mogu se napisati u razvijenoj formi za presjeke sa pravokutnom pritisnutomzonom, tako to bi se uvrstili izrazi (40) do (45) sa odgovarajuim veliinama datim jednadbama od (18)do (34).

Za pravokutne armiranobetonske presjeke, za sluaj kada neutralna linija prolazi kroz presjek (sl.10),dobija se:

ili suma momenata s obzirom na teite zategnute armature,

U svrhu pravljenja tabela ili dijagrama ili pak kompjuterskih programa za praktino dimenzioniranjepresjeka, svrsishodno je gornje jednadbe napisati sa bezdimenzionalnim veliinama. Za sluajeve sa




strana 75

K - 98/99

Zlatar

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

preovladavajuim uticajima savijanja u odnosu na normalnu silu, vanjske sile od dejstava izraavaju seu odnosu na statiku visinu d, pa je tzv. relativna (bezdimenzionalna) normalna sila:

relativni momenata savijanja u odnosu na teite betonskog presjeka:

odnosno, relativni momenat savijanja u odnosu na teite zategnute armature,

Uvrtavanjem u jednadbe (52), (53) i (54) i nakon njihovog srepivanja dobijaju se jednadbe ravnoteesa bezdimenzionalnim koeficijentima u slijedeem obliku:

odnosno,

Za sluaj kada neutralna linija prolazi izvan presjeka i u presjeku vladaju samo naponi pritiska tada na istinain se dobija:

odnosno,

gdje je,




strana 76

K - 98/99

Zlatar

(62)

(63)

(64)

Koeficijenti D1 i D2 predstavljaju geometrijski stepen armiranja u odnosu na betonski presjek, a koeficijentiT1 i T2 predstavljaju tzv. mehaniki stepen armiranja.

U jednadbama ravnotee pojedine veliine imaju slijedee znaenje:

h :ukupna visina pravokutnog presjeka,d :statika (korisna) visina presjeka,b :irina pravokutnog presjeka,d1,d2 :poloaj u presjeku zategnute, odnosno pritisnute armature,




strana 77

K - 98/99

Zlatar

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

- Neutralna linija izvan presjeka i u presjeku vladaju samo naoponi pritiska,

Za razliku od predhodnih, u ovim jednadbama je,

2.3.4 Ogranienje visine pritisnute zone i dvostruko armirani presjeci

Ogranienje visine pritisnute zone betona >=x/d, za presjeke sa preovladavajuim uticajem savijanja,direkno je vezano za pitanje do koje granice se presjeci mogu armirati sa jednostrukom armaturom,odnosno kada je potrebno ojaavati pritisnutu zonu betona sa pritisnutom armaturom.

Za odabranu graninu vrijednost relativne visine pritisnute zone betona >lim=(x/d)lim dobija se iz (59)odgovarajua vrijednost graninog momenta savijanja s obzirom na teite zategnute armature, tj.

odnosno,

Kod armiranobetonskih presjeka, kada je djelujui momenat savijanja s obzirom na teite zategnutearmature vei od MSd,lim tada presjeke armiramo i u pritisnutoj zoni.

Prema EC2 za ogranienje visine pritisnute zone betona postoje tri kriterija:

L nosivost pritisnute zone,L ekonominosti,L omoguavanja dovoljne sposobnosti rotacije presjeka (duktilnost).

U pogledu nosivosti pritisnute zone, kod armiranobetonskih presjeka sa preovladavajuim uticajem




strana 78

K - 98/99

Zlatar

(70)

(71)

(72)

savijanja, dobija se kao gornja raunska vrijednost relativnog momenta savijanja :Sds,lim, za >lim=1,0 tj.,

Kod prednapregnutih presjeka, kao i kod presjeka sa preovladavajuim uticajem normalne sile pritiskaodgovarajui i vee vrijednosti za >>1,0.

Sa stanovita ekonominosti, kod armiranobetonskih presjeka potrebno je voditi rauna da deformacija,s1 u zategnutoj armaturi ne prepe raunsku vrijednost deformacije ,yd na granici teenja. S obzirom naovo je,

Za u Evropi uobiajeni elik S500, je ,yd=2,17 (za (s=1,15) i dobija se >lim=0,617 i :Sds,lim=0,316. Za naevrste elika BR 400/500 je ,yd=1,74 (za (s=1,15) pa je >lim=0,668 i :Sds,lim=0,332.

Upotreba pritisnute armature za :Sds$:Sds,lim je opravdana, prije svega to bi kod jednostruko armiranogpresjeka bilo potrebno, sa porastom momenta savijanja, smanjivati napone u armaturi Fs1lim iz kojih slijedi i odgovarajuavrijednost relativnog momenta savijanja do koje vrijednosti presjek se moe armirati jednostrukom




strana 79

K - 98/99

Zlatar

armaturom:

# Kod primjene linearne teorije elastinosti sa ukljuivanjem (ograniene) unutarnje preraspodjelepresjenih sila:

< >lim = 0,45 ! :Sds,lim = 0,252 :za klasu betona C 12/15 do C 35/45;

< >lim = 0,35 ! :Sds,lim = 0,206 :za klasu betona C 40/45 i veu.

# Kod primjene teorije plastinosti bez posebnog dokaza sposobnosti rotacije presjeka:

< >lim = 0,25 ! :Sds,lim = 0,154

Dakle, u sluajevima kada je na osnovu gornjih kriterija potrebna dvostruka armatura, tada se djelujuimomenata savijanja MSds odnosno :Sds rastavlja na dva dijela:

II. dio MSds,lim odnosno :Sds,lim, kojeg uravnoteuju rezultante napona pritisnute zone betona (bezpritisnute armature) i odgovarajue zategnute armature As1,M,

III. dio )MSds = MSds - MSds,lim odnosno ):Sds = :Sds - :Sds,lim, kojeg uravnoteuje par unutarnjih silaod napona u pritisnutoj armaturi As2 i napona u dodatnoj zategnutoj armaturi )As1.

2.3.5 Postupak dimenzioniranja

Postupak dimenzioniranja je ustvari klasian postupak tehnike mehanike, gdje je stanje sila definisanokroz jednadbe ravnotee (poglavlje 2.3.3) a stanje pomjeranja kroz jednadbe kompatibilnosti deformacijana osnovama hipoteze ravnih presjeka (Bernoulli), predpostavke o potpunom spoju izmepu betona iarmature i predpostavke zakona F-, osnovnih materijala (poglavlje 2.1.).

U sluaju armiranobetonskog pravokutnog presjeka, za zadane presjene sile i poznatu klasu betona ivrstu elika, potrebno je odrediti est nepoznatih veliina:

U etiri geometrijske veliine presjeka: b,d (ili h), As1, As2,U dvije deformacione veliine: rubni deformacije ,c2 i ,s1 (ili ,c1)

Pri ovome kvalitetna klasa betona i vrsta elika moraju biti unapreijed poznati (odabrani).

Za odrepivanje est nepoznatih veliina na raspolaganju su samo dvije uslovne jednadbe ravnotee (zaN i M) i uslovi kompatibilnosti o linearnoj raspodjeli deformacija po visini presjeka. S toga smo prisiljenida preostale nepoznate veliine predpostavimo to u osnovi rjeenje ini kompleksnim sa stanovitaoptimizacije. U praksi, openito su mogua odrepena pojednostavljenja, kao npr. da su dimenzijebetonskog presjeka unaprijed pozate (tzv. vezano dimenzioniranje). Kod presjeka koji su napregnutipreteno na savijanje, treba birati to je mogue manji odnos pritisnute i zategnute armature, pri emupritisnutu armaturu treba iznimno stavljati i to u sluajevima kada odabrana klasa betona nemoe daobezbjedi dovoljnu nosivost pritisnute zone presjeka. Kod presjeka gdje preovladava poduna sila uodnosu na momenat savijanja u pravilu se upotrebljava simetrina armatura.

Za zadano naprezanje, odabranu geometriju poprenog presjeka, raspored i poloaj armature u presjeku,postavljeni zadatak dimenzioniranja generalno se rjeava iterativnim putem. U tu svrhu pogodni sukompjuterski programi, koji primjenom jednostavnih numerikih metoda nalaze rjeenja nelinearnihjednadbi (npr. Newton-Raphson-ova iteracija ili najjednostavnije metodom probe u intervalima u kojima




strana 80

K - 98/99

Zlatar

(73)

(74)

se nalaze rjeenja) na osnovu kojih se odrepuje pripadajue stanje deformacija i potrebna povrinapoprenog presjeka armature.

U sluajevima rasporeda armature i vie slojeva dobijaju se u pravilu daljnje nepoznate veliine koje seeliminiu utvrpivanjem tanog rasporeda armature.

Kod prednapregnutih presjeka mogue je polaziti od unaprijed utvrpenog odnosa povrina obine (meke)armature i armature za prednaprezanje. Najee za dokaz graninog stanja nosivosti, broj elemenataza prednaprezanje u zategnutoj i pritisnutoj zoni diktira dokaz graninih stanja upotrebljivosti tako da onmoe i na taj nain biti poznat. Dimenzioniranje se tada svodi na to da se odredi dodatno potrebna obinaarmatura u pritisnutoj i zategnutoj zoni presjeka. Poto je djelovanje prednaprezanja u presjeku poznatotada se dimenzioniranje presjeka moe provoditi istim postupkom kao za armiranobetonski presjek. Osimtoga dimenzioniranje se pojednostavljuje u sluajevima kada u pritisnutoj zoni nema elemenata zaprednaprezanje.

Za dobivanje tabela i dijagrama za dimenzioniranje svrsishodno je polaziti od zadanog stanja deformacija(ili poloaja neutralne linije) i na osnovu jednadbi ravnotee, uz primjenu utvrpenih zakona F-, betonai elika, direktnim putem (bez iteracije) odrediti potrebne pomone veliine, pripadajue presjene sile ipripadajuu povrinu presjeka armatrure.

2.3.5 Postupak sa optim dijagramom za dimenzioniranja

Sa optim dijagramom za dimenzioniranje (sl.12) mogue je dimenzionirati pravokutne armirano-betonskei prednapregnute presjeke, napregnute na savijanje sa ili bez normalne sile. Poto su svi parametri ubezdimenzionalnoj formi, to dijagram vrijedi za sve vrste elika i sve klase betona. Takope dijagram vrijediza razliite forme dijagrama Fs-,s elika, kao i za razliite vrijednosti parcijalnih koeficijenta sigurnosti.

Postupak dimenzioniranja je slijedei:

Prvo je potrebno proraunati vrijednost relativnog (bezdimenzionalnog) momenta savijanja u odnosu nateite zategnute armature (57):

gdje je,

Porepenjem proraunate vrijednosti :Sds sa veliinom :Sds,lim (jednadba (69)) odrepuje se da li je potrebnopresjek armirati i u pritisnutoj zoni (dvostruko armirani presjeci) ili ne.

Sa dijagrama na sl.12 na apscisi se pronape vrijednost :Sds, na osnovu ega se na ordinati oitajupripadajue vrijednosti > (relativna visina pritisnute zone presjeka), . (relativna veliina kraka unutarnjihsila),




strana 81

K - 98/99

Zlatar

Slika 12 Opti dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka

(75)

(76)

gdje je, , uz uvjet da je, .

Za sluaj da je potrebna i pritisnuta armatura (:Sds$:Sds,lim), tada se potrebna zategnuta armatura odrepujena osnovu jednadbe:

a pritisnuta armatura,

gdje je, Naponi Fs1 i Fs2 su ovisni od deformacija elika gs1 i gs2.

Kod dimenzioniranja prednapregnutih pravokutnih presjeka (postupak a), sl.7) kod kojih je ukupna




strana 82

K - 98/99

Zlatar

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

armatura rasporepena u jednom redu, a koja se sastoji od Ap i As1, jednadba za proraun potrebnezategnute obine armature ima oblik:

pri emu je,

Ovdje je,gpm :preddeformacija elika za prednaprezanje uzimajui u obzir sve vremenski ovisne gubitke

(puzanje, skupljanje, relaksacija),)gp :dodatna deformacija armature za prednaprezanje usljed istezanja izazvanog momentom

:Sds, vrijednost koja za isti poloaj obine armature i armature za prednaprezanje odgovaradeformaciji gs1 na dijagramu sl.12,

Ep :modul elastinosti elika za prednaprezanje,fpk :karakteristina vrijednost vrstoe na zatezanje armature za prednaprezanje.

Kod primjene postupka c) ( sl.9, sluaj gdje se prednaprezanje u potpunosti uzima da djeluje na stranisila koje napreu presjek) vrijedi slijedee:

Za emu optereenja MSd=max MSd opravdano je poi od raspodjele deformacija koja odgovara >lim, tj.

pa je,

Sila prednaprezanja u prednapregnutoj armaturi je,

pri emu je,

Kod postupka c) ova sila se uzima na strani dejstava (vidi jdnadbe (12), (13) i (14)), pa je,

Poto je,




strana 83

K - 98/99

Zlatar

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

gdje je, , odnosno,

to je,

Ukoliko je MSds(c) # MSds,lim, tada se sa opteg dijagrama oitava za :Sds(c) pripadajua vrijednost . (relativnavrijednost kraka unutarnjih sila), na osnovu koje se odredi potrebna povrina zategnute (obine) armature:

gdje je, .

Ako je MSds(c) $ MSds,lim, u tom sluaju potrebna je i pritisnuta armatura. Potrebna zategnuta armatura je,

gdje je, .

Potrebna povrina pritisnute armature je,

Ovdje je, i

Za emu optereenja MSd=min MSd (pri emu je predznak za minMSd isti kao i za maxMSd), dobija senajvee naprezanje pritiska u predhodno pritisnutoj zategnutoj zoni presjeka. Takope i u ovom sluajupotrebno je poi od predpostavljene raspodjele deformacija. Najvea deformacija je na donjem rubu, pakao prva predpostavka (Grasser/Kupfer/Pratsch) za poloaj neutralne linije, moe se poi od uvjeta*NRd(c)*$*NSd(c)*, tj,

Kao to je ranije navedeno za odrepivanje Fpd preporuljivo je ovdje raunati sa parcijalnim koeficijentom(p=1,2, pa je,

gdje je, )gp




strana 84

K - 98/99

Zlatar

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

gdje je,

Ako su navedeni uvjeti ispunjeni moe se smatrati da je dokaz nosivosti prethodno pritisnite zategnutezone presjeka urapen.

2.3.6 Postupak sa bezdimenzionalnim tabelama

Slijedee tabele mogu se koristiti za dimenzioniranje pravokutnih presjeka koji su napregnuti preteno nasavijanje sa ili bez normalne sile. Prednost tabela sa bezdimenzionalnim koeficijentima je u tome to suneovisne o vrsti elika kao i o kvalitetnoj klasi betona, a u odnosu na opti dijagram bre su za upotrebui daju veu tanost. Tabele su date kako za jednostruko armirane presjeke tako i za dvostruko armiranepresjeke u ovisnosti od ogranienja visine pritisnute zone presjeka >=x/d.

Kod jednostruko armiranih presjeka postupak je takav da se za odgovarajui relativni (bezdimenzionalni)momenat savijanja u odnosu na teite zategnute armature:

oita odgovarajui mehaniki stepen armiranja,

Osim toga iz tih tabla mogue je odrediti (to je potrebno samo kod dimenzioniranja prednapregnutihpresjeka) bezdimenzionalne pomone veliine >, ., gc2 i gs1 kao i vrijednosti napona u armaturi kojiodgovaraju eliku S 500 (koji je postao standard u Evropi). Pri ovome postoji veza izmepu T1,M i :Sds uobliku:




strana 85

K - 98/99

Zlatar

(94)

2.4 Dimenzioniranje presjeka T-oblika

Sa stanovita dimenzioniranja, za presjek T-oblika samo se smatra onaj kod kojeg pritisnuta zona imatakav oblik. Takope, ovdje se podrazumjevaju i tzv. jednostrani T-presjeci kod kojih ploa lei samo sajedne strane rebra (npr. rubni nosai) kao i sanduasti presjeci kod kojih se jedna od ploa (gornja ili donjapotpuno nalazi u zategnutoj zoni.

Ploa kod T-presjeka sudjeluje, na osnovu krute veze na smicanje sa rebrom, u punom obimu samo uokolini rebra dok sa poveanjem udaljenosti od rebra postupno opada i njeno sadejstvo. Ovakav toknaprezanja jedino je mogue raunski obuhvatiti teorijom elastinosti, odnosno, teorijom povrinskihnosaa, meputim iz praktinih razloga primjene u praksi uveden je pojam "sudjelujue irine". Sudjelujuairina u pravilu se daje u propisima za beton i prednapregnuti beton, a odrepena je na osnovama linearneteorije elastinosti uz predpostavku Bernoulli-eve hipoteze odnosno linearne raspodjele deformacija pocijelom T-presjeku, to podrazumjeva ravnomjernu raspodjelu napona po cijeloj (sudjelujuoj) irini ploe.Ovo vrijedi i kod jednostranih T-presjeka ili kod presjeka sa nesimetrinom ploom kod kojih je progib ubonom smislu ili sprijeen ili je znatno manji u odnosu na veritikalni progib. ukoliko ovo nije ispunjenotada se radi o dvoosnom (bimomentnom) savijanju.

2.4.1 Sudjelujua irina T-presjeka

Sudjelujua irina, kako je navedeno, definie se na osnovu linearne teorije elastinosti tj. na osnovuraspodjele napona u ploi presjeka. Sudjelujua irina beff je ona irina, koja se dobije iz predpostavkekonstantnog toka napona po cijeloj irini ploe (sl. 12). Prema tome je,

Veliina sudjelujue irine zavisi od raspona l0, vrste optereenja i naina oslanjanja nosaa.




strana 86

K - 98/99

Zlatar

Slika 13 Oznake za odrepivanje sudjelujue irine T-presjeka

Sa stanovita postupka dimenzioniranja interesantna je sudjelujua irina samo u pritisnutom pojasubetona. Vrijednosti koje se odrepuju na bazi linearne teorije elastinosti, pod predpostavkom da je presjeku stadiju I, su na strani sigurnosti, jer kod naprezanja u blizini loma naponi betona su rasporepeni punijei izrazito nelinearno (parabola-pravac) pa je i sudjelujua irina u tom sluaju vea. (Sa stanovitaodrepivanja presjenih sila i dokaza stanja upotrebljivosti od znaaja je i sudjelujua irina u zategnutojzoni presjeka).

Documents

4_DimenzioniranjeSavijanje