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Teoremi delle reti
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LinearitàLinearità
Un sistema è lineare se soddisfa le proprietà di omogeneità e additività
Linearità=omogeneità+additività
Omogeneità: se l’ingresso viene moltiplicato per un fattore costante,l’uscita risulta moltiplicata per lo stesso fattore
f(ku)=kf(u)
Additività: la risposta alla somme di più ingressi è pari alla somma dellerisposte agli ingressi applicati separatamente
f(u1+u2)=f(u1)+f(u2)
Da un punto di vista matematico, un sistema lineare è descritto da unsistema di equazioni differenziali linearisistema di equazioni differenziali lineari.
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LinearitàLinearità
Un circuito lineare è costituito da elementi lineari (e.g. resistori,condensatori e induttori, generatori dipendenti lineari) e da generatoricondensatori e induttori, generatori dipendenti lineari) e da generatoriindipendenti.
Gli ingressi di un circuito lineare sono rappresentati dai generatoriindipendenti. Le uscite di un circuito lineare sono di solito le tensioni e lecorrenti.
Un circuito resistivo lineare (CRL) è costituito da resistori, generatoridipendenti lineari e generatori indipendenti. Un CRL è descritto da unsistema di equazioni lineari.
Per ottenere il sistema di equazioni lineari che descrive un CRL è sufficienteli l 2 l i di Ki hh ff l l di Ohapplicare le 2 leggi di Kirchhoff e la legge di Ohm.
Esistono metodi sistematici (analisi nodale e analisi agli anelli) per ricavaretale sistema di equazioni lineari
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tale sistema di equazioni lineari.
LinearitàLinearità
In alternativa, la risoluzione dei circuiti lineari può essere effettuata tramitel’ausilio di teoremi delle reti lineari che consentono di ridurre la complessitàl ausilio di teoremi delle reti lineari che consentono di ridurre la complessitàdel circuito da analizzare.
Teoremi delle reti lineari:Teoremi delle reti lineari:- resistenze in serie;- resistenze in parallelo;- trasformazione stella-triangolo e viceversa;trasformazione stella triangolo e viceversa;- principio di sovrapposizione degli effetti;- teorema di Thevenin;- teorema di Norton;;- teorema di Millmann.
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Sovrapposizione degli effettiSovrapposizione degli effetti
Il principio di sovrapposizione degli effetti (PSE) afferma che l’effettodovuto all’azione di più cause concomitanti è pari alla somma degli effettidovuto all azione di più cause concomitanti è pari alla somma degli effettiche si ottengono quando ciascuna causa agisce da sola.
Il PSE coincide con la proprietà di additività pertanto è valido per iIl PSE coincide con la proprietà di additività, pertanto è valido per isistemi lineari.
Il PSE per un circuito lineare: una tensione (o una corrente) in un circuitoIl PSE per un circuito lineare: una tensione (o una corrente) in un circuitolineare è pari alla somma delle tensioni (o delle correnti) che si ottengonoquando ciascuno dei generatori indipendenti agisce da solo.
La sovrapposizione è basata sul concetto di linearità e quindi non puòessere applicata al calcolo della potenza su un elemento (la potenzadipende dal quadrato della tensione o della corrente)dipende dal quadrato della tensione o della corrente).
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Sovrapposizione degli effettiSovrapposizione degli effetti
Applicazione del PSE1 Spegnere tutti i generatori indipendenti eccetto uno1. Spegnere tutti i generatori indipendenti eccetto uno.2. Calcolare il valore dell’uscita (tensione o corrente) dovuto al sologeneratore funzionante.3 Ripetere i passi precedenti per ciascuno degli altri generatori3. Ripetere i passi precedenti per ciascuno degli altri generatoriindipendenti.4. Calcolare il contributo totale sommando algebricamente tutti i contributidei generatori indipendenti.dei generatori indipendenti.
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Trasformazione di generatoriTrasformazione di generatori
Una trasformazione di generatori è l’operazione di sostituzione di ungeneratore di tensione v in serie a un resistore R con un generatore digeneratore di tensione vs in serie a un resistore R con un generatore dicorrente is in parallelo a un resistore R, o viceversa.
ia
a
v
iR
i Rbb
sv si R
ss Riv =Rvi s
s =
RiRiRivv ssab +=+=I due bipoli risultano equivalenti in quanto hanno la stessa relazione i-v
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La trasformazione si applica anche ai generatori dipendenti ma non siapplica ai generatori ideali di tensione e corrente.
Teorema di Teorema di TheveninThevenin
Il teorema di Thevenin afferma che un circuito lineare con due terminaliò fpuò essere sostituito con un circuito equivalente formato da un generatore
di tensione Vth in serie con un resistore Rth, in cui Vth è la tensione a vuotoai terminali e Rth è la resistenza di ingresso, o equivalente, vista agli stessit i li d i t i i di d ti titerminali, quando i generatori indipendenti sono spenti.
hR II a
CaricoCircuito lineare
+a
Carico+
thR I
V
I
V thV
b-
b-
th
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Teorema di Teorema di TheveninThevenin
Calcolo di Vth
aCircuito +
b
Circuito lineare
-ocv
Vth coincide con la tensione a vuoto del circuito (circuito aperto ai terminali ab):th ( p )Vth =voc
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Teorema di Teorema di TheveninThevenin
Calcolo di Rth
Caso 1: il circuito non include generatori dipendenti
a
inRCircuito lineare
Rth coincide con la resistenza Rin vista ai terminali ab dopo aver spento tutti i
b
th in p pgeneratori: Rth=Rin
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Teorema di Teorema di TheveninThevenin
Calcolo di Rth
Caso 2: il circuito include generatori dipendenti
a aoiaCircuito lineare con i generatori
indipendenti spenti
a
-
+Circuito lineare con i generatori
indipendenti spenti
ovov oi
bspenti
b-
0vR
spenti
R i id il t t i / t i t i li b ( i d i
0
0ithR =
Rth coincide con il rapporto tensione/corrente ai terminali ab (convenzione dei generatori per il generatore di prova)
È indifferente usare un generatore di prova di tensione o di corrente
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È indifferente usare un generatore di prova di tensione o di corrente
Dimostrazione del teorema di Dimostrazione del teorema di TheveninThevenin
a a thRCircuito lineare
+
-
+
-thVvivi
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti al circuito lineare
∑∑ CiIBVA
b b
con Vi generatori indipendenti di tensione, Ij generatori indipendenti di
∑∑ ++=j jji ii CiIBVAv
correnteL’effetto dei generatori indipendenti interni alla rete coincide con la tensionea vuoto
pertanto coincide con la tensione di Thevenin
∑∑ ==+
j ijji ii vIBVA0
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pertanto coincide con la tensione di Thevenin
∑∑ =+j thjji ii VIBVA
Dimostrazione del Teorema di Dimostrazione del Teorema di TheveninThevenin
Il parametro C si ottiene calcolando la resistenza vista tra i due terminali,quando i generatori indipendenti sono spentiquando i generatori indipendenti sono spenti
00
=IVi
vC
pertanto coincide con la resistenza di Thevenin
0,0 == ji IVi
RC
Il circuito lineare con due terminali risulta equivalente al bipolo di Thevenin
thRC =
q pin quanto presentano la stessa relazione i-v
iRVv thth +=
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Teorema di NortonTeorema di Norton
Il teorema di Norton afferma che un circuito lineare con due terminali puòfessere sostituito da un circuito equivalente formato da un generatore di
corrente IN in parallelo a un resistore RN, in cui la corrente IN è la correntedi corto circuito ai terminali e RN è la resistenza equivalente ai terminali,
d i t i i di d ti tiquando i generatori indipendenti sono spenti.
aCircuito
a
RIb
lineare
b
NRNI
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Teorema di NortonTeorema di Norton
Calcolo di IN eRN
a
Circuito lineare cci
b
IN coincide con la corrente di corto circuito del circuito: IN =icc
RN coincide con la resistenza di Thevenin del circuito: RN = RthRN coincide con la resistenza di Thevenin del circuito: RN Rth
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Dimostrazione del Teorema di NortonDimostrazione del Teorema di Norton
aai i
Circuito lineare
v vNR NI
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti al circuito lineare
∑∑ CIBVAi
bb
con Vi generatori indipendenti di tensione, Ij generatori indipendenti di
∑∑ ++=j jji ii CvIBVAi
correnteL’effetto dei generatori indipendenti interni alla rete coincide con la correntedi corto circuito
pertanto coincide con la corrente di Norton
∑∑ ==+
j vjji ii iIBVA0
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pertanto coincide con la corrente di Norton
∑∑ =+j Njji ii IIBVA
Dimostrazione del Teorema di NortonDimostrazione del Teorema di Norton
Il parametro C si ottiene calcolando la conduttanza vista tra i due terminali,quando i generatori indipendenti sono spentiquando i generatori indipendenti sono spenti
00
=IVv
iC
pertanto coincide con l’inverso della resistenza di Norton
0,0 == ji IVv
NRC 1=
Il circuito lineare con due terminali risulta equivalente al bipolo di Norton inquanto presentano la stessa relazione i-v
v
NN R
vIi +=
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Relazione tra Relazione tra TheveninThevenin e Nortone Norton
R
Nth RR =athR
hVNNth IRV =
bthV
thN
VRR =a
RI
th
thN R
VI =b
NRNI
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Teorema di Teorema di MillmanMillman
Il teorema di Millman afferma che la tensione ai capi di un parallelo di:- generatori di tensione VAi con in serie resistenze RAi,- generatori di corrente IBj con eventualmente in serie resistenze RBj,- resistenze RCk,è d t d l d tt di t I i t R d I è lè data dal prodotto di una corrente Io per una resistenza Ro, dove Io è lasomma delle correnti VAi/RAi e IBj e Ro è il parallelo delle resistenze RAi e RCk.
V ∑∑ +==
j BjiAi
Ai
OOO
IRV
IRV 11 ∑∑ +k
Cki
Ai RR11
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Dimostrazione del Teorema di Dimostrazione del Teorema di MillmanMillman
Trasformando i generatori di tensione VAi con in serie i resistori RAi ingeneratori di corrente VAi/RAi con in parallelo i resistori RAi edeliminando le resistenze RBj in serie ai generatori di corrente IBj, siottiene il circuito equivalente
La tensione ai capi del parallelo si ottiene semplicemente moltiplicandola somma delle correnti dei generatori di corrente per il parallelo delle
∑ ∑+i j BjAi I
RV
resistenze
20∑ ∑+
=
i kCkAi
AiO
RR
RV 11
Massimo trasferimento di potenzaMassimo trasferimento di potenza
Si ha la massima potenza trasferita al carico quando la resistenza dicarico è uguale alla resistenza di Thevenin vista dal carico (R =R )carico è uguale alla resistenza di Thevenin vista dal carico (RL=Rth).
PR
22 thVi R R
⎛ ⎞⎜ ⎟
amaxP
V
thR
Ri
2 thL L
th L
p i R RR R
= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠
b
thVLR
( ) ( )( )
( )( )
22 2
4 3
2 20th L L th L th L L
th th
R R R R R R R Rdp V VdR R R R R
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + −= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
LRthR
( ) ( )4 3L th L th L
dR R R R R+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
R R2
thV
21
L thR R= max 4th
th
pR
=
