5. Algebra – działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała,

pierścień wielomianów.

Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym

początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań (dla równań pierwszego

i drugiego stopnia ustalono je już w starożytności). Badaniem równań

wyższych stopni zaczęto zajmować się intensywnie w XVI-XIX w.

Przyczyniło się to do powstania dużej części algebry współczesnej m.in. teorii

grup i ciał. Inne działy algebry wywodzą się natomiast z badań nad różnymi

dziedzinami matematyki i tak np. teoria pierścieni z teorii liczb, algebra

liniowa z geometrii.

Algebra ma więc szerokie zastosowania w teorii liczb, analizie funkcjonalnej,

teorii równań różniczkowych, geometrii, programowaniu liniowym, a także

w fizyce, ekonometrii i informatyce.

Przedmiotem badań algebry współczesnej są zbiory z określonymi w nich

operacjami (zwanych działaniami), czyli grupy, pierścienie, moduły,

przestrzenie liniowe, kraty.

Działania (operacje)

Działaniem (operacją) n-argumentowym (n∈N) w zbiorze A nazywamy każdą

funkcję O: An → A, która uporządkowanemu n-elementowemu ciągowi z An

przyporządkowuje pewien element zbioru A.

O zbiorze A mówimy, że jest zamknięty ze względu na n-argumentowe

działanie O wtedy i tylko wtedy, gdy wynik działania O dla dowolnego

n-elementowego ciągu z An należy do A, czyli

∀ (a1, a2, …, an) ∈ An O (a1, a2, …, an) ∈ A.

Przypadek dla n=0 jest również dopuszczalny, mówi się wtedy o działaniu O

zeroargumentowym w zbiorze A, które jest dowolnym elementem tego zbioru

(O∈A) i zwane jest stałą.

Szczególnie ważny przypadek stanowi funkcja O: A2 → A, czyli dla n=2,

które nazywa się działaniem dwuargumentowym (operacją binarną) lub krócej

działaniem (operacją). Zamiast pisać O (a,b) zapisujemy a O b.

Często działania oznaczamy symbolami +,-, ⋅, *, ⊕, ⊗.

Własności działań

1. Przemienność

Działanie O nazywamy przemiennym w A, jeżeli

∀ a, b∈A a O b = b O a.

2. Łączność

Działanie O nazywamy łącznym w A, jeżeli

∀ a, b, c∈A (a O b) O c= a O (b O c).

Element e∈A nazywamy elementem neutralnym (jednością), jeżeli

∀a∈A a O e = e O a = a.

Element a-1∈A nazywamy elementem odwrotnym do elementu a, jeżeli

a O a-1 = a-1 O a = e.

Twierdzenie

W zbiorze A, w którym określone jest działanie O, istnieje co najwyżej jeden

element neutralny.

Dowód: Załóżmy, że w A istnieją dwa elementy neutralne działania O : e

oraz e’. Z definicji elementu neutralnego wynika, że

e' = e' O e = e,

czyli są one sobie równe.

Mówimy, że w zbiorze A, w którym określone jest działanie O, zachodzi

prawo skracania, jeśli

∀ a, b, c ∈ A zachodzi

(a O b = a O c ⇒ b=c) ∧ (b O a = c O a ⇒ b=c).

Jeżeli działanie O jest przemienne w A, to w powyższej definicji wystarczy

tylko jeden człon koniunkcji.

Działania zewnętrzne

Działaniem zewnętrznym nazywamy odwzorowanie

O : A×K → A, gdzie A≠K, które każdej parze (a, k), gdzie a∈A i k∈K

przyporządkowuje element zbioru A.

Struktury algebraiczne

Algebrą abstrakcyjną (algebrą) nazywamy każdy układ Q postaci

Q = (A, O1, O2,…, Om),

gdzie A jest niepustym zbiorem i Oi, dla i=1,2,…,m jest działaniem w A oraz

zbiór A jest zamknięty ze względu na te działania.

Podalgebra

Niech Q = (A, O1, O2,…, Om) będzie dowolną algebrą i podzbiór B≠∅ zbioru

A. Układ Q’ postaci

Q’ = (B, O1, O2,…, Om),

nazywamy podalgebrą algebry Q, jeżeli zbiór B jest zamknięty ze względu na

działania O1, O2,…, Om.

Niepusty podzbiór A0 zbioru A nazywamy zbiorem generatorów

(generatorem) algebry Q = (A, O1, O2,…, Om) wtedy i tylko wtedy, gdy

najmniejszą podalgebrą zawierającą A0 jest sama algebra Q. O zbiorze A0

mówimy, że generuje zbiór A.

Systemem algebraicznym (relacyjnym) nazywamy układ S postaci

S = (A, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk),

gdzie A jest niepustym zbiorem zwanym uniwersum systemu, Oi, dla i=1,2,…

,m jest działaniem w A oraz zbiór A jest zamknięty ze względu na te działania

i ℜj dla j=1,2,…,k są relacjami w A.

Jeśli uniwersum systemu składa się z obiektów różnych typów, to system

nazywamy wielosortowym.

System algebraiczny S’ = (B, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk) nazywamy

podsystemem systemu algebraicznego S = (A, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk),

jeżeli gdy B⊂A.

Półgrupa

Zbiór A wraz z działaniem łącznym *, przy czym A jest zamknięty ze względu

na działanie * nazywamy półgrupą i oznaczamy (A, *).

Grupa

Zbiór G wraz działaniem * nazywamy grupą i oznaczamy (G, *), jeśli

1. * jest działaniem łącznym,

2. istnieje element neutralny działania *,

3. ∀g∈G istnieje element odwrotny.

Warunki 1- 3 nazywają się aksjomatami grupy, element neutralny w grupie

nazywa się jednością grupy.

Twierdzenie

W dowolnej grupie G, ∀g∈G istnieje dokładnie jeden element odwrotny.

Dowód:

Niech g∈G i niech każdy z elementów g’∈G i g”∈G jest elementem

odwrotnym do g. Jeśli e jest jednością grupy, wówczas:

g"=e*g”=(g’*g)*g”=g’*(g*g”)=g’*e=g’,

czyli są one sobie równe.

Jeżeli dodatkowo działanie * jest przemienne, to grupę nazywamy przemienną

lub abelową.

Jeżeli mamy do czynienia z grupami nieabelowymi oraz z grupami w ogóle,

działanie * oznacza się ⋅ i nazywa mnożeniem, wówczas zamiast pisać a⋅b

piszemy ab. Element neutralny oznacza się wtedy przez e, a element odwrotny

przez a-1. Wyrażenie aa…a (n razy) oznaczamy an i nazywamy n-tą potęgą

elementu a. Taki sposób zapisu nazywa się multiplikatywny.

W grupach abelowych przyjmuje się oznaczenie działania * przez + i nazywa

je dodawaniem. Element neutralny oznacza się wtedy przez 0, a element

odwrotny przez –a, wtedy zamiast pisać a+(-b) piszemy a-b. Wyrażenie

a+a+…+a (n razy) oznaczamy n⋅a i nazywamy n-tą wielokrotnością elementu a

Taki sposób zapisu nazywa się addytywny.

Niech (G, *) będzie grupą i niech a, b∈G, wtedy zachodzą następujące

twierdzenia:

1. e-1=e,

2. (a-1)-1=a,

3. (a*b)-1=b-1*a-1,

4. Działanie * spełnia prawo skracania,

5. Każde z równań a*x=b oraz y*a=b posiada jednoznaczne rozwiązanie w G.

Jeśli (G,*) jest grupą, to moc zbioru G nazywamy rzędem grupy G. Grupy

nazywamy skończonymi (przeliczalnymi, nieprzeliczalnymi), jeżeli moc

zbioru G jest skończona (przeliczalna, nieprzeliczalna).

Grupa (G, *), w której istnieje element a o tej właściwości, że każdy element

grupy jest jego potęgą (wielokrotnością) nazywa się grupą cykliczną. Element

a nazywa się generatorem grupy cyklicznej, co zapisujemy G=<a>.

Korzystając z logiki predykatów można zapisać:

G=<a> ⇔ ∃a∈G ∀g∈G ∃n∈Ζ g = an (g = n⋅a).

Każda grupa cykliczna jest abelowa, ale nie na odwrót.

Podgrupa

Podzbiór H grupy (G, *), będący grupą względem działania * nazywamy

podgrupą grupy G.

Każda grupa zawiera jako podgrupy siebie samą i grupę zawierająca tylko

jedność, są to tak zwane podgrupy niewłaściwe, pozostałe podgrupy

nazywamy właściwymi.

Grupy permutacji

Wzajemnie jednoznaczne przekształcenie zbioru X≠∅ na siebie nazywamy

permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X oznaczamy

S(X) lub SX.

Jeżeli zbiór X jest skończony o mocy n, to !n)X(S = . Wtedy przyjmujemy

oznaczenie S(X) = Sn.

Permutację σ∈Sn zapisuje się w postaci tabelarycznej (dwuwierszowej):

σσσ=σ

)n()2()1(n21

,

gdzie w górnym wierszu znajdują się elementy zbioru X, a w dolnym wierszu

napisane pod nimi ich obrazy.

Jeśli wprowadzimy oznaczenie σ(i)=ai dla i=1,2,…,n wtedy zapisujemy

permutacje w postaci:

=σ

n21 aaan21

.

W zapisie dwuwierszowym

permutacja I tożsamościowa (identycznościowa) ma postać

=

n21n21

I

,

Natomiast permutacja σ-1 odwrotna do permutacji σ ma postać

=σ

n21aaa n21

.

W zbiorze S(X) określone jest działanie złożenia (superpozycji) permutacji,

które można zapisać w postaci tabelarycznej:

.))n(r())2(r())1(r(

n21)n(r)2(r)1(r

n21)n()2()1(

n21r

σσσ=

=

σσσ=σ

Twierdzenie

Zbiór wszystkich permutacji zbioru X z działaniem złożenia przekształceń,

czyli (S(X), °) jest grupą.

Jeżeli zbiór X jest skończony i jego moc wynosi n, to grupa (S(X), °)=(Sn, °)

jest grupą rzędu n! i oznaczamy ją krótko Sn.

Niech a1, a2,…,ak będzie układem k różnych liczb ze zbioru {1,2,…,n} przy

czym (2≤ k ≤ n). Permutację σ∈Sn spełniającą warunki:

● σ(aj)=aj+1 dla j=1,2,…,k-1,

● σ(ak)=a1,

● σ(i)=i dla i ∈{1,2,…,n}\{ a1, a2,…,ak}

Nazywamy cyklem k-wyrazowym lub cyklem długości k i zapisujemy jako

σ=(a1, a2,…,ak) pomijając w zapisie wyrazy, które przechodzą na siebie.

Każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów.

Przykład

Permutacja

=σ

31244321

∈S4 jest cyklem długości 3 i możemy zapisać ją

jako:

σ = (1, 4, 3) = (4, 3, 1) = (3, 1, 4):

Oczywiście (1, 3, 4) ≠ (1, 4, 3), gdyż (1, 3, 4) =

14234321

≠σ.

Cykl o długości k=2 nazywamy transpozycją. Jeśli σ = (a1, a2), to mówimy, że

σ jest transpozycją elementów a1 i a2. Zachodzi równość (a1, a2) = (a2, a1).

Dowodzi się, że grupy S1 i S2 są abelowe. Dla n ≥ 3 grupy Sn nie są abelowe.

Dwa cykle c1 = (a1,…, ak) i c2 = (b1,…, bl) z Sn nazywamy rozłącznymi, jeśli

zbiory {a1,…, ak } i {b1,… , bl} są rozłącznymi podzbiorami zbioru {1,…, n}.

Twierdzenie

Jeśli c1, c2 ∈ Sn są cyklami rozłącznymi, to c1°c2 = c2°c1.

Twierdzenie

Każda permutacja σ ∈ Sn jest identycznością, albo cyklem, albo złożeniem

cykli rozłącznych.

Twierdzenie

Każda permutacja σ ∈ Sn jest identycznością, transpozycją, albo złożeniem co

najwyżej n - 1 transpozycji.

Algebry podobne, homomorfizmy, izomorfizmy

Mówimy, że dwie algebry Q1 =(A,O1,O2,…,On) oraz Q2 =(B,O1’,O2’,…,Om’)

są podobne, jeżeli n=m i dla każdego j=1,2,…,n działania Oj i Oj’ mają tę

samą liczbę argumentów.

Niech dane będą algebry podobne Q1=(A,O1,O2,…,On) oraz

Q2=(B,O1’,O2’,…,On’). Przekształcenie h: A→B spełniające dla każdego

j=1,2,…,n i każdego ciągu (a1, a2,…,am(j)) elementów zbioru warunek:

h(Oj (a1, a2,…,am(j)))=Oj’(h(a1), h(a2),…, h(am(j)))

nazywamy homomorfizmem. Własność tę nazywamy zachowaniem operacji.

Homomorfizm dowolnej algebry Q1 =(A,O1,O2,…,On) w tę samą algebrę

nazywamy endomorfizmem.

Homomorfizm algebry Q1 =(A,O1,O2,…,On) na algebrę podobną

Q2=(B,O1’,O2’,…,On’) nazywamy epimorfizmem.

Jeżeli homomorfizm jest przekształceniem różnowartościowym, to nazywamy

go monomorfizmem.

Przekształcenie, które jest jednocześnie epimorfizmem i monomorfizmem

nazywamy izomorfizmem.

Algebry podobne Q1=(A,O1,O2,…,On) oraz Q2=(B,O1’,O2’,…,On’), dla

których istnieje izomorfizm przekształcający A na B nazywamy

izomorficznymi.

Izomorfizm dowolnej algebry Q1=(A,O1,O2,…,On) na Q1=(A,O1,O2,…,On)

nazywamy automorfizmem.

Kongruencje

Niech Q1=(A,O1,O2,…,On) będzie dowolna algebrą. Relację równoważności ℜ

w A nazywamy kongruencją w A, jeżeli dla każdego działania Oj, j=1,2,…,n,

spełniony jest warunek:

dla dowolnych elementów a1, a2,…,am(j), b1, b2,…,bm(j) zbioru A

jeśli a1ℜb1, a2ℜb2,…,am(j)ℜbm(j) to Oj (a1, a2,…,am(j))ℜ Oj (b1, b2,…,bm(j)).

Pierścienie, pierścienie wielomianów

Niech dany będzie zbiór A z dwoma działaniami ⊕ i ⊗. Działanie ⊗ jest

rozdzielne względem działania ⊕, jeśli

∀a,b,c∈A [a⊗(b⊕c)=(a⊗b)⊕(a⊗c)] ∧ [(b⊕c)⊗a=(b⊗a)⊕(c⊗a)].

Jeżeli ⊗ jest działaniem przemiennym, to wystarczy w tej definicji tylko jeden

człon koniunkcji.

Zbiór A, w którym określone są dwa działania ⊕ i ⊗, nazywamy pierścieniem,

jeśli spełnione są następujące warunki:

1. A jest grupą abelową względem działania ⊕.

2. działanie ⊗ jest rozdzielne względem działania ⊕.

3. działanie ⊗ jest łączne.

Warunki 1-3 nazywamy aksjomatami teorii pierścieni lub aksjomatami

pierścienia. Działanie ⊕ nazywamy dodawaniem i oznaczamy +, działanie ⊗

nazywamy mnożeniem i oznaczamy ⋅.

Zbiór A rozpatrywany jedynie z dodawaniem nazywamy grupą addytywną

pierścienia, natomiast jej element neutralny nazywamy zerem pierścienia

i oznaczamy 0.

Pierścień w którym mnożenie jest przemienne nazywamy pierścieniem

przemiennym.

Jeżeli w pierścieniu istnieje element neutralny mnożenia, to nazywamy go

jednością pierścienia i oznaczamy 1, a pierścień nazywamy pierścieniem

z jednością.

Niech (A,+,⋅) będzie pierścieniem i niech a,b,c,d∈A. Wtedy zachodzą

następujące własności:

1. 0⋅a=a⋅0=0, 2. – (-a)=a,

3. (-a)⋅b=a⋅(-b)=-(a⋅b) 4. (-a)⋅(-b)=a⋅b

5. a⋅(b-c)=a⋅b-a⋅c, (b-c)⋅a= b⋅a-c⋅a 6. (a-b)⋅(c-d)=a⋅c-a⋅d-b⋅c+b⋅d.

7. Jeżeli (A,+,⋅) jest pierścieniem z jednością to (-1)⋅a=-a.

Podzbiór B pierścienia (A,+,⋅) nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli B

z działaniami + i ⋅ jest pierścieniem. Pierścień (A,+,⋅) nazywamy wówczas

rozszerzeniem pierścienia (B,+,⋅).

Niech (W,+,⋅) będzie pierścieniem przemiennym. Wielomianem jednej

zmiennej nad pierścieniem W nazywamy dowolny ciąg nieskończony

f=[a0,a1,a2,…] elementów pierścienia W, w którym wszystkie wyrazy

począwszy od pewnego miejsca są równe 0.

Wyrazy ciągu [a0,a1,a2,…] nazywamy współczynnikami wielomianu.

Wielomian [0,0,0,…] nazywamy wielomianem zerowym i oznaczamy 0.

Wielomian [1,0,0,…] nazywamy wielomianem jednostkowym.

Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad pierścieniem (W,+,⋅)

oznaczamy przez W[x].

W W[x] definiujemy działania dodawania i mnożenia następująco:

f + g = [a0+b0,a1+b1,a2+b2,…],

f ⋅ g = [c0,c1,c2,…], gdzie ck= ∑=

−⋅k

0iiki ba , dla k∈N.

Twierdzenie

Zbiór W[x] wraz z określonymi powyżej działaniami + i ⋅, czyli (W[x],+,⋅)

jest pierścieniem przemiennym, którego zerem jest wielomian zerowy.