Embed Size (px)
Citation preview
1
5. Aplikasi Turunan
MA1114 KALKULUS I 2
5.1 Menggambar grafik fungsiInformasi yang dibutuhkan:A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu yB. Asimtot fungsi
Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati olehgrafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni(i) Asimtot Tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika(ii) Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika(iii) Asimtot Miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
dan
)(lim xfcx
bxfx
)(lim
ax
xfx
)(lim baxxf
x
)(lim
3
x=a asimtot tegak
a
)(lim xfax
)(lim xfax
Dalam kasus
dan
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
)(lim xfax
)(lim xfax
dan
a
Asimtot tegak
4
y= b
Garis y = b asimtot datar karena
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hinggaTapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri olehgrafik fungsi(tidak dipotong lagi)
bxfx
)(lim
5
baxy
y=f(x)
Garis y = ax + b asimtot miring
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datardan asimtot miring
6
Contoh Tentukan semua asimtot dariJawab :(i) Asimtot tegak : x = 2, karena
dan
(ii) Asimtot datar :
2
42lim
2
2 x
xxx
Maka asimtot datar tidak ada
2
42)(
2
x
xxxf
2
42lim
2
2 x
xxx
)(
)1(lim
2
42lim)(lim
2
2
212
4222
xx
xx
xxx x
x
x
xxxf
)(
)1(lim
2
2
21
42
xx
xx
x
7
xx
xx
x
xfa
xx
1.
2
42lim
)(lim
2
xx
xxx 2
42lim
2
2
1)1(
)1(lim
)1(
)1(lim
2
42
22
42222
x
xx
xx
xx
x x
x
(iii) Asimtot miring ; y = ax+b
02
4lim
xx
2
)2(42lim
2
x
xxxxx
xx
xxx
2
42lim
2
axxfbx
)(lim
Asimtot miring y = x
2
242lim
22
x
xxxxx
8
1
1)(
xxf
3
2)(
x
xxf
Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :
Soal Latihan
1.
2.
3. 12)( 3 xxxf
9
C. Kemonotonan Fungsi
Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakanmonoton naik pada interval I jika untuk
Ixxxfxfxx 212121 ,,
x1
f(x1)
x2
f(x2)
I
Fungsi f(x) monoton naik pada selang I
10
Fungsi f monoton turun pada selang I
f(x1)
f(x2)
x1 x2
monoton turun pada interval I jika untuk
Ixxxfxfxx 212121 ,,
I
11
Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka Fungsi f(x) monoton naik pada I jika Fungsi f(x) monoton turun pada I jika
Contoh: Tentukan selang kemonotonan dariJawab :
f(x) monoton naikf(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).
Ixxf 0)('Ixxf 0)('
2
42)(
2
x
xxxf
),4(dan)0,(pada
2
2
)2(
)42(1)2)(22()('
x
xxxxxf 2
22
)2(
42462
x
xxxx
22
2
)2(
)4(
)2(
4
x
xx
x
xx
0 2 4
++++++---------------------+++++++
12
D. Ekstrim Fungsi
Definisi 5.3 Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,
f(c) disebut nilai global dari f pada I jika
f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebutjuga nilai ekstrim
imummin
maksimumIx
xfcf
xfcf
)()(
)()(
imum
maksimum
min
)()(
)()(
xfcf
xfcf
Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrimfungsi disebut titik kritis.
13
f(a) maxlokal
f(b) minlokal
f(c) maxglobal
f(d) minglobal
f(e) maxlokal
f(f) minlokal
a b c d e f
Nilai ekstrem fungsi pada selang I=[a,f ]
f(x)
MA1114 KALKULUS I 14
Ada tiga jenis titik kritis :
Titik ujung selang I
Titik stasioner ( yaitu x = c dimana ) ,secara geometris : garis singgung mendatardititik (c,f(c))
Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ),secara geometris: terjadi patahan pada grafik fdi titik (c,f(c))
0)(' cf
)(' cf
15
Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jika0)('
0)('
xf
xf),( cc
0)('
0)('
xf
xfpada dan pada
),( cc Maka f(c) merupakan nilaiminimum
maksimum lokal
c
Disebelah kiri c monoton naik(f ’>0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f’<0)
f(c) nilai maks lokal
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun(f ’<0) dan disebelah kanan cmonoton naik (f’>0)
f(c)
f(c)
16
Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan
nilai lokal f
Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari
Jawab:
0)(' cf0)(''
0)(''
cf
cf
minimum
maksimum
2
42)(
2
x
xxxf
2)0( f
6)4( f
2)2(
)4()('
x
xxxf
0 2 4
++++++---------------------+++++++
Dengan menggunakan uji turunan pertama :
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilaidi x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
17
Soal Latihan
630152)( 345 xxxxf
3
13)(
2
x
xxxf
2
12)(
2
x
xxxf
Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :
1.
2.
3.
18
E. Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik padainterval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turunpada interval I.
Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.
)(' xf)(' xf
Ixxf ,0)("Ixxf ,0)("
Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah
x
y
x
y
19
2
42)(
2
x
xxxfTentukan selang kecekungan daricontoh
Jawab :
2
2
)2(
4)('
x
xxxf
4
22
)2(
)4)(2(2)2)(42()(''
x
xxxxxxf
4
2
)2(
))4(2)2)(42)((2(
x
xxxxx
3
22
)2(
82882
x
xxxx3)2(
8
x
Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada
selang )2,(
20
F. Titik belok
Definisi 5.4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b))disebut titik belok dari kurva f(x) jika :
terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelahkiri x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelahkanan x =b fungsi f cekung ke bawah atausebaliknya.
21
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
c
f(c)
(c,f(c)) titik belokKarena disebelah kiri c cekungkeatas dan disebelah kanan ccekung kebawah
Karena disebelah kiri c cekungkebawah dan disebelah kanan ccekung keatas
22
c
f(c)
(c,f(c)) bukan titik belokkarena disekitar c tidakterjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar cterjadi perubahankecekungan tapi tidak adatitik belok karena f tidakterdefinisi di c
23
12)(.1 3 xxf
4)(.2 xxf
Tentukan titik belok (jika ada) dari
26)(' xxf xxf 12)('',
●0
+++++++-------------
Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1)merupakan titik belok
212)('' xxf
●0++++++++++++++
Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahankecekungan
24
2
42)(.3
2
x
xxxf
3)2(
8)(''
xxf
●2
+++++++--------------
Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak adatitik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2
25
Soal Latihan
630152)( 345 xxxxf
3
13)(
2
x
xxxf
2
12)(
2
x
xxxf
Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :
1.
2.
3.
26
2
42)(
2
x
xxxfContoh: Diketahui
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsib. Tentukan selang kecekungan dan titik belokc. Tentukan semua asimtotd. Gambarkan grafik f(x)
a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang ),4(,)0,( monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).
2)0( f
6)4( f
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilaidi x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
b. Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah padaselang )2,( , tidak ada titik belok
c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtotdatar
27
d. Grafik f(x)
2
y=x
0 2 4++++++----------++++++ 'f
2--------------------- +++++++++++ ''f
-24
6
28
21
2)(
x
xxf
32
3)( 23 xxxf
134
)( 234
xxx
xf
1)(
x
xxf
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahuluselang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok,dan asimtot
Soal Latihan
1.
2.
3.
4.
29
5.2 Menghitung limit fungsi dengan AturanL’Hôpital
Bentuk tak tentu dalam limit :
1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika
Maka
,.0,,0
0
0
0
atau,,)('
)('lim L
xg
xf
lim( )
( )lim
' ( )
' ( )
f x
g x
f x
g x
30
20
2cos1lim
x
xx
limcos
limsin
limcos
x x x
x
x
x
x
x
0 2 0 0
1 2 2 2
2
4 2
22
Contoh: Hitung
Jawab:
bentuk (0/0)
Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkansyaratnya dipenuhi
2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = . Jika atau,,)('
)('lim L
xg
xf
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xfmaka
31
Contoh: Hitung53
1lim
2
2
xx
xxx
32
12lim
x
xx
12
2lim x
(bentuk
53
1lim
2
2
xx
xxx
32
1lim
2
xx
xx
)
Jawab:
Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapatdihitung dengan menggunakan dalil L’Hopital
Contoh: Hitung32
1lim
2
xx
xx
)22()32(
1lim
21
221
xxxx 1
32lim
2
x
xxx
1
)22()32(lim
21
221
xxxx 32
1lim
2
xx
xx
Jawab:)(
32
Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan denganmenggunakan aturan L’Hopital, karena setelahdilakukan aturan L’Hopital muncul lagi bentuk semula
Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb:
2322
1
1
)1(lim
xx
x
x x
x
232
1
1||
)1(lim
xx
x
x x
x
232
1
1
)1(lim
xx
x
x x
x
11
)1(lim
232
1
xx
x
x
32
1lim
2
xx
xx )1(
)1(lim
2322
1
xx
x
x x
x
33
3. Bentuk 0 .
Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk
atau
Contoh : Hitung
Jawab :
0
0
lim cscx
x x0
2
0cos
2lim
sinlimcsclim
0
2
0
2
0
x
x
x
xxx
xxx
34
4. Bentuk - Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitunglim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakanbentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakancara yang telah dikenal sebelumnya
Contoh : Hitung
Jawab :
lim csc cotx
x x
0
lim csc cot limsin
cos
sinlim
cos
sinlim
sin
cosx x x xx x
x
x
x
x
x
x
x
0 0 0 0
1 10
35
Soal Latihan
limx
x
x
2 1
2 5
x
xx sin
2lim
2
0
limsin
cosx
x
x 01
2
3
0 2
23lim
x
xxx
Hitung limit berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
252
33lim
3
2
0
xx
xx
