5. Método Iterativo de Gauss

7/25/2019 5. Mtodo Iterativo de Gauss

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MTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL

Introduo :

Todo sistema apresentado da forma Ax = bpode ser reescrito, seguindo o algoritmo de Gauss-Seidel, na forma equivalente x = Bx + d.A partir da forma equivalente acima, podemos construir uma seqncia de vetores de x0at xnda

seguinte forma:

x0 (Vetor arbitrrio)

x1 = Bx0+ d (Primeira iterao)

x2 = Bx1+ d (Segunda iterao)

x3 = Bx2+ d (Terceira iterao)

..

.xn = Bxn-1+ d (n-sima iterao)

Caso esta seqncia apresente convergncia, ou seja, se nn

xlimx

, ela aceita o clculo

dBxdxlimBdBxlimxlimx 1nx

1nx

nx

, demonstrando ser x soluo do sistema.

Em linhas gerais, para determinarmos a soluo de um sistema, iteramos k vezes e verificamosse existe uma convergncia dos resultados obtidos, tal convergncia x

k ser considerada um

valor aproximado da soluo x. A diferena x-xk ser chamada de erro de truncamento.

Algoritmo iterativo de Gauss-Seidel:

Seja o sistema Ax = bde terceira ordemtemos:

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

Vamos agora dividir a resoluo deste sistema em trs passosbsicos...

1 Passo: Dividir todos os termos da primeiraequao por a11, dividir todos os termos da segundaequao por a22e assim por diante.

Logo temos:

33

3

33

33

33

32

33

31

22

2

22

23

22

22

22

21

11

1

11

13

11

12

11

11

abz

aay

aax

aa

a

bz

a

ay

a

ax

a

a

a

bz

a

ay

a

ax

a

a

33

3

33

32

33

31

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

abzy

aax

aa

a

bz

a

ayx

a

a

a

bz

a

ay

a

ax

.


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16

2 Passo: Isolando x, ye z em cada linha respectivamente, temos:

33

3

33

32

33

31

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

a

bz0y

a

ax

a

az

a

bz

a

ay0x

a

ay

a

bz

a

ay

a

ax0x

.

3 Passo: Atribumos valores arbitrrios para x, ye zos quais sero identificados como x(0), y(0)ez(0), tais valores, so chamados de valores iniciaise em linhas gerais sero usados ostermos independentes de cada linha do sistema, logo temos :

33

3)0(

22

2)0(

11

1)0(

a

bz,

a

by,

a

bx . Cada grupo de novos valores de x, ye z que sero encontrados,

tero como base os ltimos valores anteriormente encontrados iterando-se cada linha do sistemaacima, da temos:

33

3)0()1(

33

32)1(

33

31)1(

22

2)0(

22

23)0()1(

22

21)1(

11

1)0(

11

13)0(

11

12)0()1(

a

bz0y

a

ax

a

az

a

bz

a

ay0x

a

ay

a

bz

a

ay

a

ax0x

33

3)1()2(

33

32)2(

33

31)2(

22

2)1(

22

23)1()2(

22

21)2(

11

1)1(

11

13)1(

11

12)1()2(

a

bz0y

a

ax

a

az

a

bz

a

ay0x

a

ay

a

bz

a

ay

a

ax0x

.

.

.

33

3)n()1n(

33

32)1n(

33

31)1n(

22

2)n(

22

23)n()1n(

22

21)1n(

11

1)n(

11

13)n(

11

12)n()1n(

a

bz0y

a

ax

a

az

a

bz

a

ay0x

a

ay

a

bz

a

ay

a

ax0x

.

Tais iteraes sero efetuadas at que seja encontrada a convergncia total, ou seja, os valores de

x, ye z duas iteraes imediatamenteseguidas devem ser exatamente iguais um a um , da x(n)

=x(n+1), y(n)= y(n+1) e z(n)= z(n+1).


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Vamos agora, ilustrar esta teoria com alguns exemplos prticos...

Exemplo 1

Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando umacasa decimal depois da vrgula.

18z15yx2

8zy8x

9zy2x10

Resoluo:

1 Passo

Temos a11 = 10, a22= 8e a33= 15.

Da :

15

18z

15

15y

15

1x

15

28

8z

8

1y

8

8x

8

110

9z

10

1y

10

2x

10

10

2,1zy1,0x1,0

0,1z1,0yx1,0

9,0z1,0y2,0x

.

2 Passo

Isolando x, ye z em cada linha respectivamente, temos:

2,1z0y1,0x1,0z

0,1z1,0y0x1,0y

9,0z1,0y2,0x0x

.

3 Passo

Valores iniciais

2,1z

0,1y9,0x

)0(

)0(

)0(

1 Iterao

0,1z2,12,100,11,00,11,0z

0,1y0,12,11,00,100,11,0y

0,1x9,02,11,00,12,0)9,0(0x

)1()1(

)1()1(

)1()1(

2 Iterao

0,1z2,10,100,11,00,11,0z

0,1y0,10,11,00,100,11,0y

0,1x9,00,11,00,12,0)0,1(0x

)2()2(

)2()2(

)2()2(


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18

Como temos x(2)= x(1), y(2)= y(1) e z(2)= z(1), respectivamente, dizemos que houve convergncia

e que portanto as solues aproximadas do sistema so:

0,1zzz

0,1yyy

0,1xxx

)2()1(

)2()1(

)2()1(

.

Exemplo 2

Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando duascasas decimais depois da vrgula.

6z9y3x2

5zy10x

4zy2x7

Resoluo:

1 Passo

Temos a11 = 7, a22= 10e a33= 9.

Da :

9

6z

9

9y

9

3x

9

210

5z

10

1y

10

10x

10

17

4z7

1y7

2x7

7

67,0zy33,0x22,0

50,0z10,0yx10,0

057z14,0y29,0x

.

2 Passo

Isolando x, ye z em cada linha respectivamente, temos :

67,0z0y33,0x22,0z

50,0z10,0y0x10,0y

57,0z14,0y29,0x0x

3 Passo

Valores iniciais

67,0z

50,0y

57,0x

)0(

)0(

)0(

Portanto S = { ( 1,0 ; 1,0 ; 1,0 ) }


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1 Iterao

41,0z67,067,0037,033,062,022,0z

37,0y50,067,010,050,0062,010,0y

62,0x57,067,014,050,029,0)57,0(0x

)1()1(

)1()1(

)1()1(

2 Iterao

40,0z67,041,0040,033,062,022,0z

40,0y50,041,010,037,0062,010,0y62,0x57,041,014,037,029,0)62,0(0x

)1()2(

)2()2(

)2()2(

3 Iterao

40,0z67,040,0040,033,063,022,0z

40,0y50,040,010,040,0063,010,0y

63,0x57,040,014,040,029,0)62,0(0x

)3()3(

)3()3(

)3()3(

4 Iterao

40,0z67,040,0040,033,063,022,0z

40,0y50,040,010,040,0063,010,0y

63,0x57,040,014,040,029,0)63,0(0x

)4()4(

)4()4(

)4()4(

Como temos x(4)= x(3), y(4)= y(3)e z(4)= z(3), respectivamente, dizemos que houve convergncia e

que, portanto as solues aproximadas do sistema so:

40,0zzz

40,0yyy

63,0xxx

)4()3(

)4()3(

)4()3(

.

DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS-SEIDEL

Os clculos que acabamos de realizar podem ser simplificados usando-se uma tabela que

discrimina os elementos do sistema, de forma a otimizar os clculos. Tal tabela conhecida pelo

nome de DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS-SEIDEL.

Vamos detalhar passo a passo a sua construo usando para isso o exemplo 1...

... Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando umacasa decimal depois da vrgula.

18z15yx2

8zy8x

9zy2x10

Portanto S = { ( 0,63 ; 0,40; 0,40 ) }


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1 Passo

Temos a11 = 10, a22= 8e a33= 15.

Da :

15

18z

15

15y

15

1x

15

28

8z

8

1y

8

8x

8

110

9z10

1y10

2x10

10

2,1zy1,0x1,0

0,1z1,0yx1,0

9,0z1,0y2,0x

.

2 Passo

Isolando x, ye z em cada linha respectivamente, temos:

2,1z0y1,0x1,0z

0,1z1,0y0x1,0y

9,0z1,0y2,0x0x

.

3 Passo

Valores iniciais

2,1z

0,1y

9,0x

)0(

)0(

)0(

Note que at aqui nada mudou em relao resoluo sem o D.P.G-S. Vamos agora a construodo dispositivo propriamente dito...

Tabela...

Usando o resultado do 2 Passotemos:

A prxima linha (Iterao 0) ser preenchida pelos valores iniciais, ou seja, os termosindependentes do 3 Passo ...

Linha x y z Termo indep. ( T.I )L

10 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0L3 -0,1 -0,1 0 1,2


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A prxima linha (Iterao 1) ser preenchida da seguinte forma:

O elemento x(1) resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo ltimo elementode cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja:

x(1)=0.0,9 + 0,2.1,00,1.1,2 + 0,9 = 1,0

O elemento y(1) resultado da soma de cada elemento da linha L2 multiplicado pelo ltimo elementode cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L2, ou seja:

y(1)=-0,1.1,0 + 0.1,0 + 0,1.1,2 + 1,0 = 1,0.

O elemento z(1) resultado da soma de cada elemento da linha L3 multiplicado pelo ltimo elemento

de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L3, ou seja:z(1)=-0,1.1,00,1.1,0 + 0.1,2 + 1,2 = 1,0.

A prxima linha (Iterao 2) ser preenchida da seguinte forma:

Linha x y z Termo indep. (T.I )L1 0 0,2 -0,1 0,9L2 -0,1 0 0,1 1,0L3 -0,1 -0,1 0 1,2

Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 0


Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1


Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1


Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1,0 1

Iteraes...

Iteraes...

Iteraes...

Iteraes...


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O elemento x(2) resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo ltimo elementode cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja:

x(2)=0.1,0 + 0,2.1,00,1.1,0 + 0,9 = 1,0

O elemento y(2) resultado da soma de cada elemento da linha L2 multiplicado pelo ltimo elementode cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L2, ou seja:

y(2)=-0,1.1,0 + 0.1,0 + 0,1.1,0 + 1,0 = 1,0.

O elemento z(2)

resultado da soma de cada elemento da linha L3 multiplicado pelo ltimo elementode cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L3, ou seja:

z(2)=-0,1.1,00,1.1,0 + 0.1,0 + 1,2 = 1,0.

Como temos x(2)= x(1), y(2)= y(1) e z(2)= z(1), respectivamente, dizemos que houve convergncia

e que portanto as solues aproximadas do sistema so:

0,1zzz

0,1yyy

0,1xxx

)2()1(

)2()1(

)2()1(

.


Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1,0 11,0 2


Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1,0 11,0 1,0 2


Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 01,0 1,0 1,0 1

1,0 1,0 1,0 2

Iteraes...

Iteraes...

Iteraes...

Portanto S = { ( 1,0 ; 1,0 ; 1,0 ) }


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Exerccios:

Resolva os sistemas abaixo, pelo M.I.G-S, utilizando o D.P.G-S, usando, durante os clculos,DUAS CASAS decimais aps a vrgula.

1 )

2z5yx

3z4y10x

2zy3x10

S ={ (0,29; -0,44; -0,43 ) }

2 )

12z7y3x2

4zy4x

5z2y2x5

S = { (1,00; 1,00; 0,99 ) }

3 )

0w5zyx

1w2z15y3x2

2wzy8x

1w4z3y2x10

S = { (0,21; -0,20; 0,10; -0,10 ) }

4)

1z3y2x7

6zy4x2

11zy4x3

5)

2z2yx

3zy2x4

7zyx2

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