5. Peatükk. AATOMITE EHITUS

5.1. Bohri aatomimudel

Eelmises lõigus tuletasime valemid, mis kirjeldavad ümber tuuma tiirleva elektroni kiirust jaenergiat. Igale elektroni kineetilise energia väärtusele Ek vastaks kindel raadius r. Klassikalisefüüsika seisukohtade kohaselt tekitab aga tiirlev elektron muutuva elektromagnetilise välja: elektronon perioodiliselt kord tuumast parmal, siis jälle vasemal, seega ‘pluss’ ja ‘miinus’ vahelduvad nagutelevisiooni saateantenni varrastes, erinevus on ainult aatomi üliväike mõõt ja elektroni ülisuurtiirlemissagedus. Muutuva elektromagnetilise välja kaudu peaks elektroni tiirlemisenergia väljakiirguma, elektron peaks tuumale lähenema ja lõpuks tuumale kukkuma, nii nagu televisioonimastiantennist kiirgub elektromagnetiliste lainete energia ruumi. Tegelikkuses seda ei toimu, aatomid onstabiilsed ja tavaliselt ei kiirga energiat. Selles on klassikalise mehhaanika põhivastuolutegelikkusega. Seda vastuolu ei saa seletada, see tuleb lihtsalt teadmiseks võtta ja postuleerida, etteatud kindlate energiaväärtuste puhul on elektronide orbiidid aatomis stabiilsed ja energiat ei kiirgu,kuigi põhjus, miks ei kiirgu, ei ole teada (näiteks võib ette kujutada, et teatud sageduse korral tekib“resonants”, mille juures väljakiirgunud energia otsekohe neeldub selles-samas elektronis). Kui seepostulaat aga aga aluseks võtta, siis saab sellele üles ehitada uut sorti mehaanika – kvantmehaanika.Esimeseses järjekorras tuleb postuleerida, missugused on need orbiidid, millel elektron saabstabiilselt tiirelda ilma energiat kiirgamata.

Uurides kuumutatud kehadelt kiirguva valguse spektreid leidis saksa teadlane Max Planck(1900) ka siin vastuolu, mis lahenes, kui eeldati, et valgusel on kvantiseloom: valgus kiirgubenergiaportsjonite e. kvantide kaupa, millest igaühe energia E h= ν , kus ν (kreeka nüü) onvalguslaine võnkumise sagedus. Lähtudes sellest postuleeris taanlane Niels Bohr (1913): elektronitiirlemisel ümber tuuma elektrmagnetilist lainet (=valgust) ei kiirgu, kui elektron tiirleb orbiitidelmillel potentsiaalne energia on täisarvkordne (n = täisarv) tiirlemissagedusele vastavast kvandienergiast

νnhEp −= . (5.1.)Kineetiline energia oli positiivne ja oli pool potentsiaalsest energiast:

E nhk =

ν2

, (5.2.)

Nendes valemites ν (kreeka nüü) on elektroni tiirlemise sagedus, n aga mingi täisarv 1, 2, 3, 4 jne.Pange tähele, et just siin seotakse omavahel klassikalise füüsika seadustega määratud mehaanilinetiirlemisenergia ja kvantfüüsika seadustega määratud diskreetsed energianivood.

Kasutades seost joonkiiruse ja nurkkiiruse vahel, mille abil sagedus teisendataksejoonkiiruseks, saame:

π

ων2

= ja rv

=ω (5.3, 5.4)

kus v (kitsas font) on ladina ‘vee’ ja tähistab joonkiirust. Kasutame seoseid 5.3. ja 5.4. põhiseose5.2. teisendamiseks

rvnhnhnhmvEk ππ

ων4422

2

==== (5.5)

ehk

mv nhr

=2π

. (5.6)

Võttes mõlemad pooled ruutu saame: m v n hr

2 22 2

2 24=

π. (5.7)

Elektrostaatilise kesktõmbejõu valemist 4.25: 2

22

rek

rmv e= saame massiga m läbi korrutades:

r

mekvm e2

22 = (5.8)

Kahe viimase valemi vasakud pooled on võrdsed. Paremate poolte võrdsustamisel saame avaldadalubatud raadiuse

mekhnre

22

22

4π= . (5.9)

Need nn. Bohri raadiused ongi võimalikud raadiused millel elektron saab asuda stabiilselt ilmaenergiat kiirgamata. Nagu näete, ongi nad seotud Plancki konstandiga h, mis seob energiasagedusega.

Avaldame elektroni kineetilise energia lubatud raadiustel r tema massi m ja laengu e kaudu.Selleks asendame r valemisse m2v2 jaoks (5.8). Saame

22

4222 22 hn

mekmvE ek

π== (5.10)

Samale orbiidile vastav potentsiaalne energia (integreerime lõpmatusest kuni r-ni)

∫∞

−=−==r

eeep hn

mekrekdr

rekE 22

4222

2

2 4π (5.11)

ja koguenergia, mis vastab orbiidile, mida iseloomustab täisarv n

22

4222hn

mekEEE epkn

π−=+= (5.12)

Võimalike naaberorbiitide energiate vahe

−=∆ 2

221

2

422

12112

nnhmekE eπ (5.13)

Elektroni tiirlemissageduste vahe kahel naaberorbiidil võrdub väljakiiratava (või neelatava) valgusesagedusega kahe orbiidi vahelisel üleminekul:

−==

∆22

21

3

422

1212 112

nnhmek

hE eπ

ν (5.14)

ja lainepikkus

νλ c

= (5.15)

kus c on valguse kiirus.Arvulisi andmeid ülesannete lahendamiseks:e = 1. 6021892·10-19 kulonit;h= 6.626176·10-34 J·s;me = 9.109534·10-31 kg;c = 299792458 m s-1 ;ke=8.99 109.

Valem (5.9) näitab, et elektroni võimalikud tiirlemisraadiusedsuurenevad võrdeliselt täisarvude ruutudega, seega jada on 1, 4, 9, 16,25, 36 ...

Joonis 5.1. ‘Bohri raadiused’ vesiniku aatomis ja üleminekutelevastavate spektrijoonte seeriate nimetused

Valem (5.12) näitab, et elektroni koguenergia võimalikel orbiitidel suureneb raadiusekasvades pöördvõrdeliselt täisarvu n ruuduga, seega jada oleks järgmine:

...361;

251;

161;

91;

41;

11

−−−−−−

Kõige sügavama energianivoo (põhinivoo) väärtus on vesiniku aatomis -13.6 eV, nivoode jadaelektronvoltides oleks siis -13.6; -3.4; -1.5; -0.85; -0.54; -0.38 ...eV

Joonis 5.2. Vesiniku aatomi kvantiseeritud energianivood

Elektroni energia mõõtmiseks orbiidil kasutasime ühikut Volt. Volt (Itaaliateadlase Volta nimest) on elektrivälja potentsiaali (potentsiaalse energia)ühik. Elektrivälja kahe punkti potentsiaalide vahe on üks Volt kui laenguüks kulon viimisel ühest punktist teise tehakse tööd üks J. Ühe elektroniviimisel läbi potentsiaalide vahe üks volt tehakse tööd üks elektronvolt.Energeetiliselt elektronvolt on dzhaulist niisama palju kordi väiksem kuielektroni laeng on väiksem kulonist, seega 1 eV = 1. 6021892·10-19 J.

5.2. Nähtav ja nähtamatu elektromagnetiline kiirgus.

Aatomi (või ka molekuli) elektroni energianivoode-vahelisel üleminekulkiiratakse kvant kui üleminek toimub tuumale lähemale ja neelatakse kvantkui üleminek toimub tuumast kaugemale. Kvandi energia on niisama suur

kui on vastavate orbiitide energianivoode vahe. Võtame teadmiseks, et vesiniku sügavaimaleenergianivoole vastab -13.6 eV ja arvutame elektroni saabumisel lõpmatu kaugelt sellele nivoolekiiratava lainepikkuse.

m103.9110602.16.13

106.6310300;106.63

10602.16.13;10602.16.13 919

-346

34-

1919 −

−

−− ⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅

⋅⋅=⋅⋅=

νλνν ch

See on silmale nähtamatu lühilaineline e. ultraviolett-kiirgus. “Valgus” on defineeritud kuielektromagnetiline kiirgus, mida silm näeb. Silm näeb ‘valgust’, lainepikkuste vahemikus 400-700nm ehk kvandi energiavahemikus 3.10 kuni 1.77 eV.

Joonis 5.3. Elektromagnetilise lainetusejaotus lainepikkuste järgi

Joonis 5.4. Valguse värvide spektervastavuses lainepikkusega

Vesiniku aatomisisestest üleminekutest kiirguks nähtavat valgust üleminekutel kõrgemateltnivoodelt teisele nivoole. Teiselt esimesele nivoole üleminek kiirgab aga kvandi lainepikkusega121.7 nm, mis on juba ultravioletne.

Seega siis, valguse ja üldse elektromagnetilise kiirguse kvandid kiirguvad elektroniüleminekul kõrgema energiaga orbiidilt madalama energiaga orbiidile, mil energiavahe kiirgubkvandina. Vastupidine protsess, kvandi neeldumine aatomis põhjustab aga elektroni üleminekumadalamalt orbiidilt kõrgemale. Nagu vesiniku aatomi analüüs näitas, on lubatud ainult kindladenergianivood, seega aatomis kiirguvad ja neelduvad ainult väga täpselt määratud lainepikkustegakvandid. Vesiniku aatomis on põhinivoo nii sügaval, et sinna üleminekul saavad kiirguda vaidultraviolett-kvandid. Allpool näeme, et paljelektroniliste aatomite väliste kihtide lubatud põhinivoodei asu mitte nii sügaval kui H aatomis ja neis kiirguvad/neelduvad ka nähtava valguse kvandid.Näiteks, tihti kasutatakse elavhõbeda auru ja naatriumi auruga täidetud lampe, kus elektrienergia abilsunnitakse metalliaatomeid kiirgama nähtavat valgust. Kui aatomid asuvad gaasis tihedaltlähestikku, siis nad põrkuvad soojusliikumise tõttu ja need põrked moonutavad orbiitide kuju.Tulemusena nihkub igas moonutatud orbiidiga aatomis energianivoo veidi ja kogu gaas ei kiirgaenam mitte joonspektrit teatud kindlate lainepikkustega, vaid nn. ribaspektrit, kus jooned onlaienenud ribadeks.

Joonis 5.6. Päikese spekter Joonis 5.5. Ribaspektri näidis, klorofülli spekter.

Tahkes kehas asuvad aatomid juba nii tihedasti koos, et iga üksiku aatomi energianivoomuutub väga ebamääraseks. Kui tahket keha, näiteks metalli või sütt kuumutada, siis see hakkabvalgust kiirgama. Madalamal temperatuuril on see kiirgus pikemalainelisem, nähtavaks muutub seetumepunasena kusagil 600 °C juures. Temperatuuri edasisel tõstmisel hakkab domineerima järjestlühemalainelisem kiirgus, muutudes silmale nähtavalt kollakaks, edasi valgeks (nagu Päike) või isegisinakaks (nagu kuumad tähed). Niisugustes kuumutatud tahketes kehades on kiirguse energiaallikakspeamiselt aatomite (molekulide) soojusliikumine, mis põrgetel ergastab elektrone, aga ka terveteaatomite omavahelise asendiga seotud energianivoosid, lükates neid ajutiselt kõrgematele nivoodele,kust nad siis kohe jälle alla kukuvad, kiirates kvante. Tahketes kehades aatomid (molekulid)võnguvad tasakaaluasendi ümber ja ka need võnke-energia nivood on kvantiseeritud. Kuna aatomidasuvad väga tihedalt, siis on ka lubatud energianivood väga tihedalt ligistikku, nii et praktiliseltigasuguse energiaga kvantide kiirgumine on võimalik. Sellest tulenevalt on kuumutatud tahketekehade kiirgus pideva spektriga. Kuumutatud gaasides aga kiirgub ikkagi joon- või ribaspekter. Naguöeldud, on madala temperatuuriga kehades lühilaineliste (kõrge energiaga) kvantide kiirguminevähetõenäone ja neis domineerivad pikemalainelised kvandid, mis kiirguvad peamiselt molekulidevõnkeseisunditest. Näiteks Maa keskmine temperatuur on umbes 290 °K ja Maa kiirgab kosmosesseinfrapunast kiirgust mille spektri maksimum on lainepikkusel umbes 10 µm. Seevastu Päikesetemperatuur on umbes 6000 °K ja tema kiirgusmaksimum on 0.5 µm lainepikkuse juures.

Hõõglampide niidi temperatuur on umbes 2000-3000 °K ja kiirgusmaksimum umbes 1 µm juures.Nagu näeme, on silm kohastunud nägema just selles spektripiirkonnas, kus Päike kiirgabmaksimaalselt. Seevastu hõõglampide spektrist suurt osa silm ei näe. Sellepärast ongi hõõglampidevalgusviljakus (valguslik kasutegur) suhteliselt madal (10-20%).

5.3. Mateeria lainelised omadused: kvantmehaanika kui lainemehaanika

Uurides kuumutatud tahke keha kiirgusspektrit leidis Max Planck (1900), et see vastab energiajuhuslikule jaotusele ainult siis, kui mitte igasugune kiirgumine ei ole võimalik, vaid ainultkiirgumine portsjonite, kvantide kaupa, mille igaühe energia ja võnkesagedus on seotud järgmiselt:

νhE = (5.16) kus ν (kreeka nüü) on võnkesagedus ja h nn. Planck’i konstant, mis on üks looduseuniversaalsetest konstantidest. Veidi hiljem leidis Albert Einstein oma üldrelatiivsusteooriatarendades, et elementaarosakeste (prootonite, elektronide jne.) mass võib muundudaelektromagnetilise kiirguse kvandiks, mille energia on:

2mcE = (5.17)kus c on valguse kiirus. Valemitest 5.16 ja 5.17 järeldub, et kvandil (footonil) kui elektromagnetilistelainete ‘paketil’ peab siiski olema ka mingi mass

2chm ν

= . (5.18)

Seega on footon kahesuguste omadustega, on nii lainepakett kui ka massiga osakene. De Brouglie(1927) arendas seda mõtet edasi, et mitte ainult valguse kiirusega liikuvad footonid, vaid igaosakene, millel on mass ja mis liigub mingi kiirusega, omab samaaegselt ka lainelisi omadusi. Kuieelmine valem teisendada, saame

λν hchmc ==2 , (5.19)

kust

mch

=λ (5.20)

See valem on kirjutatud footonite jaoks, mis alati liiguvad kiirusega c ja ei saa kunagi liikudaväiksema kiirusega. De Brouglie aga oletas, et massi ja lainepikkust siduv valem kehtib iga osakesekohta, kaasa arvatud need, mis liiguvad valguse kiirusest väiksema kiirusega. Sellisel juhul valemsisaldaks valguse kiiruse asemel osakese (keha) tegelikku kiirust

mvh

=λ (5.21)

Vaatame, mida see hüpotees tähendaks Bohri aatomimudelis tiirleva elektroni kohta, milline oleksselle ‘lainepikkus”?

Elektroni kineetiline energia orbiidil, millele vastas täisarv n oli

22 2

22

42 mvhnmeEk ==

π (5.22)

Avaldades siit kiiruse v saame

nhev

22π= (5.23)

ja vastava elektroni lainepikkuse

2

2

2 menhπ

λ = (5.24)

Võrdleme elektroni lainepikkust Bohri raadiusega. Selleks korrutame valemi mõlemad pooledn/2π ja leiamegi, et saadud avaldis on võrdne Bohri raadiusega (valem 5.9)

n22

22

42r

mehnn

==ππ

λ (5.25)

ehkn2 rn πλ = (5.26)

Viimases valemis lisasime raadiusele indeksi n näitamaks, et tegu on just nimelt täisarvule n vastavaraadiusega. Valem ise aga näitab, et täisarvule n vastavale orbiidile mahub just nimelt n elektronitäislainet. Tuletame meelde, et kõrgemal orbiidil on elektroni kiirus väiksem, seega lainepikkussuurem. Siit järeldub, et orbiidi ümbermõõt (ka raadius) suureneb kahel põhjusel: elektronilainepikkus suureneb ja orbiidile paigutatavate lainete arv ka suureneb. Siit tulenebki väliste orbiitideläbimõõdu kiire kasvamine kui elektroni summaarne energia hakkab nullile lähenema (elektronkaugeneb tuumast väga kaugele).

5.4. Lainemehaanika alged

Lained on ruumis edasilevivad võnkumised. Edasilevimine tuleneb sellest, et mingis ruumipunktistoimuv muutus kutsub esile sarnase muutuse naaberpunktis, aga veidi hiljem, vastavalt võnkeärrituseedasilevimise kiirusele. Elektromagnetväli, mis on elementaarosakeste laineomaduste aluseks, levibruumis valguse kiirusega. Elektroni orbiidil ringlevad seega samuti lained valguse kiirusega, kuidkummas suunas? Et eelissuunda ei ole, siis levivad lained mõlemas suunas, liikudes vastamisi. Kuiseejuures on veel orbiidil täisarv laineid, siis tekib resultatiivselt nagu laine seiskumine,vastassuunaliselt levivad lained kompenseeruvad mõnes punktis, andes pidevalt tulemuse null, teisespunktis aga liituvad, andes lainemaksimumi. Seega, elektron aatomi orbiidil moodustab seisva laine.Üldiselt rääkides, madalama potentsiaalse energiaga ruumiosas kinnihoitavad lained moodustavadalati seisvad lained. Seda madalama potentsiaaliga ruumiosa kutsutakse ‘potentsiaaliauguks’.Gravitatsiooniväljas on kahemõõtmeline potentsiaaliauk näiteks kaev, kus ergastatud lainedpeegelduvad kaevu seintelt ja moodustavad veepinnal seisvaid laineid. Kolmemõõtmelineelektripotentsiaaliauk on näiteks aatomituuma ümbrus, mis hoiab elektrone kinni kui seisvaid laineid.Seisvat lainet kirjeldav matemaatika on lihtsam kui levivat lainet kirjeldav, sest ajalisi muutusi eiesine ja vastav diferentsiaalvõrrand aega ei sisalda. Juba eespool (lõik 2.2) leidsime, et võnkumiste võrrand on teist järku diferentsiaalvõrrand.Näiteks massi ajaliste võnkumiste jaoks oli põhiprintsiip, et tasakaalu poole suunatud jõud onvõrdeline hälbega tasakaalupunktist, seega kiirendus on võrdeline hälbega tasakaalupunktist.Ruumilise võrrandi põhimõte on sama, ainult jõu ja kiirenduse mõistet siin ettekujutuseks kasutada eisaa:

042

2

2

2

=+ Adx

Adλπ (5.27)

kus λ on ruumiline lainepikkus. Võrrand 5.27 on ühemõõtmeline, kus mingi suurus A lainetab x-teljesuunas. Kui lainetus võib esineda kolmes ruumisuunas, siis kirjutatakse lainefunktsiooni lühidaltkujul

02 22 =

+∇ ψ

λπψ , kus

++=∇ 2

2

2

2

2

22

dzd

dyd

dxd (5.28)

Asendades mvh /=λ saame

022

2 =

+∇ ψπψ

hmv (5.29)

Et lainete oluliseks parameetriks on mitte kiirus, v, vaid energia, siis avaldame kiiruse kineetilisestenergiast, viimase aga koguenergia ja potentsiaalse energia vahena:

)(22pEEmv −= (5.30)

ja asendaes võrrandisse 5.29

( ) 082

22 =−+∇ pEE

hmψπψ (5.31)

See on kvantmehaanika põhivõrrand, nn. Schrödingeri võrrand, ja tema kolmemõõtmeline lahendesitabki ruumilise lainefunktsiooni, mis kirjeldab elementaarosakest kui seisvat lainetpotentsiaaliaugus. Viimane tingimus (potentsiaaliauk) tähendab, et lahend on olemas kuikoguenergia on negatiivne, st. osakene saab statsionaarselt püsida ainult potentsiaaliaugus, vastaselkorral ta levib ruumis. Selle võrrandi ruumiline (kolmemõõtmeline) lahend esitabki

elementaarosakese kui seisva laine. Lainetav osakene võib esineda teatud tõenäosusega igasruumipunktis. Osakese esinemise tõenäosuse tihedust kirjeldab lainefunktsiooni ruut 2ψ , mis alation kas null või positiivne, ja tema leidmise tõenäosus ruumiosas dV on dV2ψ . Tuuma ümber tiirlevaelektroni korral on koguenergia määratud Bohri aatomi jaoks leitud valemiga 5.12 ja lainete arvmingil energianivool on võrdne täisarvuga n, mis iseloomustas seda energianivood.

Schrödingeri võrrand ei sisalda aega, seega elektroni leidmise tõenäosus mingis punktis onkogu aeg üks ja seesama, elektron asub kogu aeg mingis piiratud ruumiosas. Elektroni hoiab sellesruumiosas elektriväli, mille potentsiaal on negatiivne, st., mis tõmbab elektroni. Tõmbavat,madalama potentsiaaliga (elektroni potentsiaalse energiaga) ruumiosa nimetatakse‘potentsiaaliauguks’ just nimelt analoogia põhjal auguga maapinnas, kuhu sissekukkunud kehad sealtise enam välja ei pääse. Tuumale lähenenud elektron ongi kukkunud potentsiaaliauku.

Joonis 5.8 Lained potentsiaaliaugus

Joonisel 5.8. on näidatud lihtsaim ühemõõtmelisepotentsiaaliaugu juht, kus väljaspool ‘auku’ onpotentsiaal ühtlaselt kõrge ja augus sees ühtlaselt madal,tuletades meelde näiteks kaevu maapinnas. Elektronilainetamist niisuguses potentsiaaliaugus onmatemaatiliselt lihtne arvutada, sest kineetiline energiaE-Ep on augu kindlal kõrgusel asuvas ristlõikes kõikjal

üks ja seesama, millisel juhul Schrödingeri võrrand laheneb sinusoidaalsete (harmooniliste)võnkumistena. Tähtis on aga, et võrrand ei lahene mitte igasuguse energiaväärtuse puhul, vaid ainultniisuguste energiate puhul, mis võimaldavad augu mõõtmesse paigutada täisarvu poollaineid.Sisuliselt tähendab see tingimus, et augu servas, kus potentsiaal järsult tõuseb, peab elektronileidmise tõenäosus olema null – elektron ei saa minna ‘seina’ sisse. Siit tulenebki potentsiaaliaugusasetseva lainetava elektroni lubatud energia kvantiseeritus, mille tulemusena võrrand laheneb ainultteatud täisarvuliste kordajatega n seotud energiaväärtuste jaoks. Seega, kvantmehaanikas esinevkvantarv n tähistab poollainete arvu, mis paiknevad potentsiaaliaugus servast serva. Kvantarvu nmõte on sama, mis Bohri aatomis, ta seob elektroni lubatud kineetilise energia Plancki konstandi hkaudu võnkesagedusega, ehk lainepikkusega, mis täpselt mahub ‘potentsiaaliauku’.

Kuigi elektroni leidmise tõenäosus mingis ruumipunktis on konstant, sõltub see oluliseltsellest, millist ruumipunkti me vaatleme. Näiteks sügava potentsiaaliaugu serval on see ligikaudunull ja on null iga poollaine järel. Poollaineid on seda rohkem, mida kõrgem on elektroni kineetilineenergia. Muide, täpselt null on elektroni leidmine seina ääres ainult siis kui ‘sein’ on lõpmatu kõrge,st. potentsiaaliauk on väga sügav, väga järsu ja kõrge seinaga. Madalasse seina tungib elektron veidisisse, tema leidumise tõenäosus seina sees väheneb eksponentsiaalselt seina paksuse suurenedes. Kuisee sein ei ole mitte väga paks, siis ulatub lektroni lainetus veidi ka seina taga olevasse naaberauku

(Joonis 5.9). Seega, elektron, mis asub piiratud madalapotentsiaaliga ruumiosas võib siiski teatud väikesetõenäosusega sattuda ka naaberauku, kuigi nende vahel on sein.Seda nähtust nimetatakse tunnelefektiks ja sellel on bioloogiassuur tähtsus elektroni ülekandeprotsessides: kui lähestikkuasuvad kaks aatomit, siis võib elektron kanduda üle üheltaatomilt teisele, kuigi vahepeal on kõrgema potentsiaaligaruumiosa (‘sein’).

Joonis 5.9. Tunneleffekt: elektron võib teatud tõenäosusegaläbida madala ja kitsa potentsiaalibarjäari

Nagu öeldud, on Schrödingeri võrrand lihtne lahendada ja annab siinusekujulised lainedainult siis, kui kineetiline energia on potentsiaaliaugu antud ristlõikes konstantne. Aatomituumaümbruses aga on potentsiaaliauk hoopiski sügava lehtri kujuline, potentsiaal langeb (negatiivnepotentsiaal kasvab) pöördvõrdeliselt kaugusega tuumast. See teebki võrrandi lahendamisekeeruliseks ja annab tulemuseks mitte konstantse lainepikkusega siinuselised lained, vaid tsentrisuunas pidevalt lüheneva lainepikkusega lained, seda lühema lainepikkusega, mida madalam onpotentsiaal antud kaugusel. Kirjutame need lahendid vesiniku aatomi jaoks siiski välja, sest nendesttulenevad kvantarvud, n, l, ja m, mis määravad ühe elektroni võimalikud energianivood vesinikuaatomis, paljuelektronilistes aatomites aga elektronide paigutuse kihtidesse.

5.5. Elektroni lainetus vesiniku aatomis

Schrödingeri võrrandi lahendamine ümber tuuma asetseva elektroni jaoks on eelmises punktisvaadeldust keerukam kahel põhjusel: esiteks, lahend ei ole mitte ühemõõtmeline, vaidkolmemõõtmeline ja potentsiaaliauk ei ole mitte sileda põhjaga, vaid lehtrikujuline. Kuna probleemon ilmselt tsentraalsümmeetriline, siis on otstarbekas Schrödingeri võrrand kirjutada ruumilistespolaarkoordinaatides r, υ ja ϕ. Tuletame meelde, et rist-ja polaarkoordinaadid (Joonis 3.2) onomavahel seotud järgmiselt:

ϕϑ cossinrx = ϕϑ sinsinry = ja ϑcosrz = (5.32)

Asendades need avaldised (5.32) Schrödingeri kolmedimensionaalsesse võrrandisse (5.31) saamejärgmise üldvõrrandi elektroni kohta vesiniku aatomis

08sin1sin

sin11 2

2

2

2

2

222

2 =

+++

+

reE

hm

dd

rdd

dd

rdrdr

drd

reπ

ψϕψ

ϑϑψϑ

ϑϑψ (5.33)

Siin me on elektroni mass ja parempoolsetes sulgudes teine liige -e2/r on elektroni potentsiaalneenergia (miinusmärk potentsiaalse energia avaldise ees transformeerub plussmärgiks E-Ep avaldisesvalemis 5.33). Selle võrrandi lahendamine üldjuhul ei olegi võimalik, vaid vaja on teha teatudeeldusi. Nimelt eeldatakse, et kolmemõõtmeline lainefunktsioon ψ avaldub kolme ühemõõtmeliselainefunktsiooni korrutisena:

)()()(),,( ϕϑϕϑψ ΦΘ= rRr (5.34)See on füüsikaliselt väga oluline koht, sest see eeldab, et võnkumised kolmes ruumisuunas toimuvadsõltumatult, üksteist mõjutamata. Elektroni summaarne energia kujuneb välja kolmesuunalistevõnkumiste energiate summana. Rakendades seda eeldust ja tehes matemaatilised teisendused saamekolm eraldi võrrandit, igaüks oma koordinaadis toimuvate võnkumiste kohta:

0)()( 22

2

=Φ+Φ ϕ

ϕϕ m

dd (5.35)

0)(sin

)()(sinsin

12

2

=Θ+Θ

−

Θ ϑβ

ϑϑ

ϑϑϑ

ϑϑm

dd

dd (5.36)

0)(8)()(1 2

2

2

22

2 =

++−

rR

reE

hmrR

rdrrdRr

drd

reπβ (5.37)

Nendes võrrandites m ei ole elektroni mass vaid mingi täisarv, samuti nagu ka β (elektroni mass onme). Esimene kolmest võrrandist lahendub väga lihtsalt. Nagu oodatud, on võnkumised polaarnurgasuunas siinuselised (valem 5.38), sest asimuudi ϕ suunas on ju energia konstantne. Täisarv m on siinlubatud energianivoosid määrava kvantarvu rollis.

` ϕπ

ϕ mm sin1)( =Φ (5.38)

Samuti annab siinuselise lahendi teine võrrand (5.36), sest ka polaarnurga υ (kreeka tähtteeta) suunas on potentsiaalne energia konstantne. Siin on aga lahend keerukam, sest sisaldab kahtekvantarvu, m ja β. Et sõltumatutena postuleeritud võnkumised iga telje suunas siiski sisaldavad teisetelje kvantarvu tuleneb sellest, et elektroni summaarne kineetiline energia on igal energianivool

määratud ja on vastavuses Bohri ühemõõtmelise arvutusega, mis hästi kirjeldas vesinikukiirgusspektreid. Keerukaim lahend on seega raadiusesuunaline, sest siin on potentsiaalne energiamuutlik, olles pöördvõrdeline raadiusega, ja arvestada tuleb ka teiste telgede suunas toimuvatlainetust (võrrand 5.37). Ometi on ka see lahendatud ja leitud tingimused kvantarvu n jaoks, millepuhul lahend on olemas (lubatud energiate väartused). Kvantarv n ei sisaldu avalikult R võrrandis,vaid tuleneb selle lahenduvuse tingimusena.

Ülatoodud võrrandites on kvantarvud esitatud siiski keerukamal kujul kui lihtsasSchrödingeri võrrandis. Põhjus on selles, et, nagu juba mainitud, on elektroni summaarne energianüüd määratud kolme energia summaga, vastavalt igas koordinaadis toimuvale võnkumisele.Keemiliste ja füüsikaliste protsesside jaoks on aga ikkagi kõige tähtsam summaarne energia, pealegivõimaldaks ühe summaarset energiat väljendava kvantarvu sissetoomine siduda kolmemõõtmeliseltvõnkuva elektroni ühemõõtmeliselt tiirleva elektroni kvantiseeritud energiaga, nii nagu see oli Bohriaatomis. Selleks ongi toodud sisse peakvantarv n, mis näitab kahes koordinaadis, r ja υ , toimuvatevõnkumiste energiate summat, ja kõrvalkvantarvud, mis näitavad, kui suur osa summaarsestenergiast on jaotunud ühe või teise koordinaadi suunas. Niisuguset loogikast tulenebki, et võrrandidΘ ja Φ jaoks sisaldavad juba ise mingeid täisarve, mis on allutatud täisarvule n, mis ei sisaldu Rvõrrandis vaid tuleneb selle lahenduvuse tingimusena. See alluvuste jada on järgmine:täisarv n, ehk peakvantarv, võib omada täisarvulisi positiivseid väärtusi alates ühest: n = 1, 2, 3, ...Füüsikaliselt, n näitab võngete (pool-lainete) koguarvu raadiuse r ja tõusunurga υ suunas kokku.Valemites esinev abisuurus )1( += llβ kus l võib omada positiivseid täisarvulisi väärtusi 0, 1, 2, 3,... kuni n-1. Suurust l nimetatakse orbitaalkvantarvuks ja see näitab, mitu poollainet on tõusunurgasuunas. Võnked asimuudi ϕ suunas sõltuvad aatomi asetusest ruumis ja ei muuda elektroni energiatmuidu kui aatom ei asetse välises magnetväljas. Seetõttu ei olegi asimuudisuunalisi võnkeid energiatmääravate võngete koguarvu sisse loetud ja kvantarvu m nimetatakse magnetkvantarvuks. Temalubatud väärtused on allutatud orbitaalkvantarvu l väärtustele ja võivad olla vahemikus –l..0..+l.

Seega, seoses sellega, et ruum on kolmemõõtmeline, on elektronil kolm kvantarvu, misiseloomustavad võngete (poollainete) arvu iga koordinaadi suunas. Selleks, et üks kvantarviseloomustaks võimalikult hästi koguenergiat, on võrrandid lahendatud nii, et peakvantarv n vastabkahe koordinaadi, raadiuse ja tõusunurga suunas võnkuvate poollainete koguarvule. Asimuudisuunas toimuvad võnked ei mõjuta elektroni koguenergiat muidu kui aatom ei asetse välisesmagnetväljas, seetõttu on magnetkvantarv m summast välja jäetud. Peame meeles järgmised reeglid:

n=1,2,3,4,5....l=0, 1, 2 ...(n-1)m=0, ±1, ±2, ...±l.

Peakvantarv n võib omada positiivseid täisarvulisi väärtusi.Orbitaalkvantarv ehk kõrvalkvantarv l võib omada täisarvulisi väärtusi alates nullist kuni ühe võrraväiksema väärtuseni kui n. See tähendab, et polaarnurga suunas ei pruugi toimuda ühtegi võnget,võib toimuda üks, kaks jne, võnget, kuid vähemalt üks poollaine peab jääma raadiuse suunale, muidukaotaks aatom raadiusemõõtme, mis on ju ainuke pikkuse dimensiooniga suurus kolmepolaarkoordinaadi hulgas.Magnetkvantarv m on allutatud kõrvalkvantarvule ja võib omada väärtusi alates –l läbi nulli kuni +l–ni. Keemikud on mugavuse mõttes tähistanud kvantarvude väärtusi ka tähtedega:Peakvantarvu jaoks: K(n=1); L(n=2); M(n=3); N(n=4) jnekõrvalkvantarvu jaoks: s(l=0); p(l=1); d(l=2) f(l=3).

Joonis 5.11. Lainefunktsiooniradiaalkomponendid ja vastavad elektroniasukoha tõenäosustihedused.

Joonisel 5.11. on illustreeritudradiaalkomponendi R kuju sõltuvaltpeakvantarvu n ja kõrvalkvantarvu lväartustest. Kui n = 1 siis on elektronilainult üks poollaine ja see peab olemaraadiusesuunaline (l = 0). Laine ei ole agasiinuseline, vaid muutub väga kõrgeks jateravaks tuumale lähedases ruumiosas,seoses sellega, et seal potentsiaaliauk kukubkiiresti sügavaks. Kui n = 2 ja l = 0, onraadiuse suunas kaks poollainet, kui n = 3 jal = 0, on raadiusesuunas kolm poollainet.Nüüd on eriti selgesti näha, kuidaspotentsiaali langemine tuuma suunaspõhjustab lainepikkuse pidevat lühenemist(kineetilise energia suurenemist). Pangetähele ka, kui kaugele aatomi tsentristelektroni lained ulatuvad: ühe poollainepuhul umbes kuni 4 A (Å=Ångström, = 10-

10 m= 0.1 nm), kahe puhul 6Å ja kolmepuhul 12 Å. Kuna joonisel on esitatudvõnked tuumast ühele poole, siis see arv

kahekordselt on vesinikuaatomi läbimõõt sõltuvalt sellest, missugusel energianivool elektron asub(kas n = 1, 2 või 3). Seega, põhisesundis n = 1 katab aatomi lainefunktsioon diameetri umbes 8Å,kuid ergastatud seisundis (n = 2 või 3) kuni 20 Å. Võrreldes neid lainefunktsioonide läbimõõtehiljem kursuses arvutatava vee molekuli diameetriga (umbes 4 Å) näeme, et lainefunktsioonidulatuvad kaugele väljaspoole molekuli keskmisi mõõte, võimaldades elektronil kas või näitekstunnelefekti abil siirduda molekulilt molekulile. Kui l =1, on raadiuse suunas üks võnge (poollaine)vähem, kui l=2 siis kaks võnget vähem, kuid aatomi üldmõõt sellest ei muutu, vaid raadiusesuunalinelainepikkus vastavalt suureneb.

Eelmises lõigus 5.4 nägime, et elektroni leidmise tõenäosuse tihedust esitab lainefunktsiooniruut (lainefunktsioon on nii positiivne kui ka negatiivne, kuid ruut on alati positiivne). Tõenäosusetihedus korrutatud vastava ruumiosa suurusega annab elektroni leidumise tõenäosuse sellesruumiosas. Juhul kui l=0 on lainefunktsioon maksimaalne kohal r = 0, seega tuuma vahetusümbruses on elektroni tõenäosustihedus suurim. Kuna aga tuum ise on tohutult pisike (ruum vähenebraadiuse kuubiga!) siis elektroni leidumise tõenäosus otse tuumas on ikkagi väga-väga väike, nagunäha ka vastavalt jooniselt 5.11 (alumised pildid).

Sõltuvalt raadiusesuunaliste poollainete arvust moodustab elektron tõenäosuspilve millel onüks, kaks, kolm või enam suurima tihedusega kohta, tuumast keskmiselt seda kaugemal, midasuurem on n. See langeb kokku Bohri aatomi analüüsil saadud tulemusega, et elektron võib tiireldakindlatel kaugustel, seda kaugemal, mida suurem on summaarne energia, kuid lainemehaanikastnäeme, et elektroni orbiit ei ole mitte kindel joon vaid muutuva tihedusega tõenäosuse pilv.

Pilt läheb veelgi huvitavamaks kui katsume lainefunktsiooni kolme koordinaadi suunalisikomponente korraga ette kujutada, seega aatomi ruumilist pilti ette manada. Aatom on lihtnekerakujuline ainult juhul kui võnked on ainult raadiuse suunas (l=0 ehk s-orbitaalid). Kui l=1 (p-orbitaalid) on tõusunurga suunas ka võnge, mis moonutab kerakujulise tõenäosuspilvekaheksakujuliseks. See kaheksakujuline moodustis võib ruumis paikneda kolmel viisil, vastavalt m=-1,0+1, nii nagu näidatud joonisel 5.12.

Joonis 5.12. Keerulisemad elektronpilved

Kui välist magnetvälja ei ole, siis need erinevadpaiknemisviisid koguenergiat ei mõjuta. Magnetväljaolemasolul aga mõjutavad ja vastavalt lõhenevadspektrijooned magnetväljas kolmeks. Siit tuleneb siiskolmanda kvantarvu nimetuski - magnetkvantarv. Kuil=2 ja tõusunurga suunas on kaks võnget, tekivad veelgikummalisema kujuga moodustised viiel erineval moel.Seega, joonisel toodud raadiusesuunalisedtõenäosuspilved l väärtuste 1 ja 2 jaoks on kehtivadnendes ristlõigetes kus raadiusesuunalinelainefunktsioon on maksimaalse ulatusega.

Milleks me bioloogilises füüsikas tungime niisügavale kvantmehaanikasse? Selleks, et mõista, etainult tänu aatomite lainelisele ehitusele on eluvõimalik. Elusstruktuurid moodustuvad keerukastaatomite süsteemist, mis seostuvad üksteisega kindlatesjärjestustes ja kindlates suundades. Ruumilinestruktuursus on ju valgu molekuli peamine omadus.Kui kõik valku moodustavad aatomid oleksid kujultümargused nagu herneterad (näit. nagu Bohri aatomi

ringikujulised orbiidid), siis ei oleks aatomite sidumine kindlates suundades võimalik. Ei ole juherneteradest võimalik kokku panna keerulisi ehitisi, küll on see aga võimalik näiteks Legoelementidest, mis ei ole ümargused. Isegi lihtne vee molekul näeks siis hoopis teistsugne välja kuiaatomid oleksid ümargused. Tänu sellele, et p ja d orbitaalid (l=1 ja 2) moodustavad ruumilisikujundeid, millel on väljavenitused kindlates suundades, haakuvad nendega teiste aatomite p- ja d-elektronid, moodustades kindlasuunalisi sidemeid. Niimoodi, üksteisest kindlatel kaugustel jakindlates suundades paigutatud aatomitest ehituvad üles elusaine molekulid, nendest omakorda rakudja koed ja organismid. Aatomite paigutus molekulis ja molekulide omavaheline haakumine määrabkiselle, kuidas elusaine üles ehitatakse. Seega, elu olemust saab mõista ainult mõistes kvantmehaanikapõhialuseid.

5.6. Mitme elektroniga aatomid

Kuigi vesinik on üks tähtsamaid looduses esinevaid elemente, on bioloogias siiski tähtsad veelsüsinik (C), lämmastik (N), hapnik (O) ja veel mitmed teised elemendid. Süsinikul on kuus,lämmastikul seitse ja hapnikul kaheksa elektroni. Kvantmehaanilist lainevõrrandit saab aga täpseltlahendada ainult kahe keha jaoks, seega ühe elektroni ja ühe prootoni jaoks. Mitme elektronigaaatomites on oluline veel elektronide omavaheline mõju ja selle täpne arvestamine ei ole võimalik.Meie siin unustame elektronide vastastikuse mõju ja kujuleme, missugune oleks mitme elektronigaaatom, kui elektronid omavahel üksteist ei mõjutaks, vaid kõik oleksid vastasmõjus ainult tuumaga.

Kui elektrone on mitu, on ka prootoneid mitu ja vastavalt on tuuma laeng suurem jaelektriline külgetõmme tugevam. Seega on tuuma ümbruses ‘potensiaaliauk’ sügavam (potentsiaalneenergia langeb kiiremini) ja põhiseisundi n=1 lainefunktsioon koondub tuumale lähemale. Samuti ontuumale lähemal ka teised, kõrgemale energiale vastavad orbitaalid. Kuidas aga paigutuvadelektronid kui neid aatomis on mitu, kas kõik ühel, kõige madalama energiaga orbitaalil? Ei, selgub,et täpselt ühesuguse lainefunktsiooniga elektrone saab aatomis olla ainult üks. See on nn. Pauliprintsiip (saksa teadlane Wolfgang Pauli), mille kohaselt elektronid jaotuved erinevateenergianivoode vahel täites need madalamast kõrgemani. Seega peaks igale orbitaalile mahtumaainult üks elektron, mis on iseloomustatud kolme kvantarvuga n, l, m. Selgub aga, et elektronil onveel üks omadus, mis lisab veel ühe kvantarvu, nn. spinn s, mis kirjeldab elektroni siseminepöörlemise suunda. Kuigi on raske ette kujutada kuidas üks tõenäosuspilv veel sisemiselt iseeneseümber pöörleb nagu värten (inglise keeles “spin”) ilmneb see sellest, et elektronil on magnetmoment.

Iga elektron on nagu pisike magnetike, mis võib olla suunatud tuuma magnetvälja suhtes (ka tuumalon magnetmoment) kahes erinevas suunas. Vastavatest võrranditest tuleneb selle kvantarvuväärtuseks kas +1/2 või –1/2. Ühele ja samale orbitaalile mahub seega kaks elektroni, üks spinnigas=1/2 ja teine spinniga s=–1/2. Nüüd on meil käes kõik tingimused, et asuda üles ehitamapaljuelektroniliste aatomite elektronkatte struktuuri: elektrone tuleb juurde lisada orbitaalidelejärjekorras, alates madalamate energiatega seisunditest kõrgemate suunas, mahutades igaleorbitaalile mitte rohkem kui kaks elektroni. Teeme selle programmi läbi kuni teise perioodi (n=2)kõigi nivoode täitumiseni, sest see katab ka bioloogiliselt tähtsad elemendid C, N, O.

H: n=1; l=0; m=0; s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne

He: n=1; l=0;m=0; s=1/2n=1; l=0; m=0; s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas

Li: n=1; l=0; m=0; s=1/2n=1; l=0; m=0; s=-1/2n=2; l=0; m=0; s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne

Be: n=1; l=0; m=0; s=1/2n=1; l=0; m=0; s=-1/2n=2; l=0; m=0; s=1/2n=2; l=0; m=0; s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega, väheaktiivne

B: n=1; l=0; m=0; s=1/2n=1; l=0; m=0; s=-1/2n=2; l=0; m=0; s=1/2n=2; l=0; m=0; s=-1/2n=2; l=1; m=-1; s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne

C: n=1; l=0; m=0; s=1/2n=1; l=0; m=0; s=-1/2n=2; l=0; m=0; s=1/2n=2; l=0; m=0; s=-1/2n=2; l=1; m=-1; s=1/2n=2; l=1; m=0; s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne

N: n=1;l=0;m=0;s=1/2n=1;l=0;m=0;s=-1/2n=2;l=0;m=0;s=1/2n=2;l=0;m=0;s=-1/2n=2;l=1;m=-1;s=1/2n=2;l=1;m=0;s=1/2n=2;l=1;m=1;s=1/2 kolm paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne

O: n=1;l=0;m=0;s=1/2n=1;l=0;m=0;s=-1/2n=2;l=0;m=0;s=1/2n=2;l=0;m=0;s=-1/2n=2;l=1;m=-1;s=1/2n=2;l=1;m=-1;s=-1/2n=2;l=1;m=0;s=1/2n=2;l=1;m=1;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne

F: n=1;l=0;m=0;s=1/2n=1;l=0;m=0;s=-1/2n=2;l=0;m=0;s=1/2n=2;l=0;m=0;s=-1/2n=2;l=1;m=-1;s=1/2n=2;l=1;m=-1;s=-1/2n=2;l=1;m=0;s=1/2n=2;l=1;m=0;s=-1/2n=2;l=1;m=1;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne

Ne: n=1;l=0;m=0;s=1/2n=1;l=0;m=0;s=-1/2n=2;l=0;m=0;s=1/2n=2;l=0;m=0;s=-1/2n=2;l=1;m=-1;s=1/2n=2;l=1;m=-1;s=-1/2n=2;l=1;m=0;s=1/2n=2;l=1;m=0;s=-1/2n=2;l=1;m=1;s=1/2n=2;l=1;m=1;s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas

Ülaltoodud orbitaalide täitumise järjekorrast näeme, et kõigepealt täituvad orbitaalid ühe elektronigaja alles nende võimaluste ammendumisel asub teine, vastupidise spinniga elektron samaleorbitaalile.

Illustratsiooniks toome täieliku perioodilise süsteemi tabeli, mis näitab orbitaalide täitumisejärjekorda ka kõrgema n väärtuse jaoks kui n=2. Põhimõte on see, et s-orbitaalidele (l=0) mahubkaks elektroni 2x(m=0); p-orbitaalidele (l=1) mahub kuus elektroni 2x(m=-1,0+1); d-orbitaalidele(l=2) mahub kümme elektroni 2x(m=-2,-1,0,1,2). Aga juba alates komanda perioodi lõpust tekivadebaregulaarsused, mis on põhjustatud sellest, et võnked tõusunurga ϑ suunas on mõnevõrraenergiarikkamad kui võnked raadiuse suunas. Seetõttu pärast Argooni (Ar) oleks oodata elektronideasumist 3d nivoole, kuid K ja Ca aatomites täituvad enne hoopiski 4s orbitaalid, mis asuvadenergeetiliselt madalamal kui 3d orbitaalid. Alles seejärel täituvad järjekorras 3d orbitaalid, jättes 4sorbitaalile kogu aeg 2 (või üks ) elektroni. Seetõttu omab terve rida aineid Sc kuni Zn –ni keemiliseltsarnaseid metallilisi omadusi ja terve see rida kannab ühist nimetust muldmetallid. Samasugusedebaregulaarsused korduvad veelgi enam kõrgemate n väärtuste puhul. Bioloogias on olulisedelemendid Fe, Cu, Mn, mis võivad kergesti loovutada ühe või kaks väliskihi 4s elektroni, ja milleleelmises, 3d kihis on veel vabu orbitaale. Neid viimaseid, vabu 3d orbitaale, on loodus osanudkasutada nende aatomite sidumiseks valkudega, et neid paigutada kindlatele kohtadele ja sealfikseerida, samal ajal kui 4s kihi elektrone saab aatom loovutada või juurde võtta. Seetõttu onnimetatud metallid kõige tüüpilisemad elektroni ülekandjad, olles kinnistatud nn. tsütokroomidessevõi Fe-S klastritesse (Fe) või teistesse valkstruktuuridesse (Cu, Mn).

Tabel 5.1. Elementide perioodiline süsteem

Energianivoo (n) K (1) L(2) M(3) N O P Qalamnivoo 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 6s 6p 6d 6f 7s 7p

aatomijrk nr

element

1 H 12 He 23 Li 2 14 Be 2 25 B 2 2 16 C 2 2 27 N 2 2 38 O 2 2 49 F 2 2 5

10 Ne 2 2 611 Na 2 2 6 112 Mg 2 2 6 213 Al 2 2 6 2 114 Si 2 2 6 2 215 P 2 2 6 2 316 S 2 2 6 2 417 Cl 2 2 6 2 518 Ar 2 2 6 2 619 K 2 2 6 2 6 120 Ca 2 2 6 2 6 221 Sc 2 2 6 2 6 1 222 Ti 2 2 6 2 6 2 223 V 2 2 6 2 6 3 224 Cr 2 2 6 2 6 5 125 Mn 2 2 6 2 6 5 226 Fe 2 2 6 2 6 6 227 Co 2 2 6 2 6 7 228 Ni 2 2 6 2 6 8 229 Cu 2 2 6 2 6 10 130 Zn 2 2 6 2 6 10 231 Ga 2 2 6 2 6 10 2 132 Ge 2 2 6 2 6 10 2 233 As 2 2 6 2 6 10 2 334 Sc 2 2 6 2 6 10 2 435 Br 2 2 6 2 6 10 2 536 Kr 2 2 6 2 6 10 2 637 Rb 2 2 6 2 6 10 2 6 138 Sr 2 2 6 2 6 10 2 6 239 Y 2 2 6 2 6 10 2 6 1 240 Zr 2 2 6 2 6 10 2 6 2 241 Nb 2 2 6 2 6 10 2 6 4 142 Mo 2 2 6 2 6 10 2 6 5 143 Tc 2 2 6 2 6 10 2 6 6 144 Ru 2 2 6 2 6 10 2 6 7 145 Rh 2 2 6 2 6 10 2 6 8 146 Pd 2 2 6 2 6 10 2 6 1047 Ag 2 2 6 2 6 10 2 6 10 148 Cd 2 2 6 2 6 10 2 6 10 249 In 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 150 Sn 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 251 Sb 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 352 Te 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 4

energianivoo K L M N O P Qalamnivoo 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 6s 6p 6d 6f 7s 7p

aatomijrk nr

element

53 I 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 554 Xe 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 655 Cs 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 6 156 Ba 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 6 257 La 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 6 1 258 Ce 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 6 259 Pr 2 2 6 2 6 10 2 6 10 2 2 6 260 Nd 2 2 6 2 6 10 2 6 10 3 2 6 261 Pm 2 2 6 2 6 10 2 6 10 4 2 6 262 Sm 2 2 6 2 6 10 2 6 10 5 2 6 263 Eu 2 2 6 2 6 10 2 6 10 6 2 6 264 Gd 2 2 6 2 6 10 2 6 10 7 2 6 1 265 Tb 2 2 6 2 6 10 2 6 10 8 2 6 1 266 Dy 2 2 6 2 6 10 2 6 10 9 2 6 1 267 Ho 2 2 6 2 6 10 2 6 10 10 2 6 1 268 Er 2 2 6 2 6 10 2 6 10 11 2 6 1 269 Tm 2 2 6 2 6 10 2 6 10 13 2 6 270 Yb 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 271 Lu 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 1 272 Hf 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 2 273 Ta 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 3 274 W 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 4 275 Re 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 5 276 Os 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 6 277 Ir 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 978 Pt 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 9 179 Au 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 180 Hg 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 281 Tl 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 182 Pb 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 283 Bi 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 384 Po 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 485 At 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 586 Rn 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 687 Fr 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 6 188 Ra 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 6 289 Ac 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 6 290 Th 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 6 291 Pa 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 2 2 6 292 U 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 3 2 6 293 Np 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 5 2 6 294 Pu 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 6 2 6 295 Am 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 7 2 6 296 Cm 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 7 2 6 1 297 Bk 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 8 2 6 1 298 Cf 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 9 2 6 1 299 Es 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 10 2 6 1 2

100 Fm 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 11 2 6 1 2101 Md 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 12 2 6 1 2102 No 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 13 2 6 1 2103 Lw 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 14 2 6 1 2