วิชาคณิตศาสตร์

คณะสถาปตยกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยศิลปากร รหัสวิชา 04 วิชา คณิตศาสตร

สอบวันอาทิตยที่ 28 ตุลาคม พ.ศ. 2550 เวลา 09.00 – 11.00 น. ชื่อ-นามสกุล ............................................... เลขประจําตัวสอบ .............................. สถานที่สอบ .................................................. หองสอบ .......................................... คําอธิบาย 1. กอนตอบคําถาม จงเขียนชื่อ-นามสกุล เลขประจําตัวสอบ สถานที่สอบ และหองสอบในขอสอบ

ทุกหนา และในกระดาษคําตอบที่อยูในแผนสุดทายของตัวขอสอบ 2. ขอสอบมีทั้งหมด 16 หนา คะแนนเต็ม 100 คะแนน แบงเปน 2 สวน

สวนที่ 1 หนา 2 – 13 เปนขอสอบแบบปรนัย 4 ตวัเลือก จาํนวน 38 ขอ ๆ ละ 2 คะแนน สวนที่ 2 หนา 14 – 15 เปนขอสอบแบบอัตนัย จาํนวน 8 ขอ ๆ ละ 3 คะแนน

3. ใหเขียนคําตอบทั้ง 2 สวนในกระดาษคําตอบที่อยูในหนา 16 เทานั้น สําหรับการตอบขอสอบ

ในสวนที่ 1 ใหทําเครื่องหมาย × ลงบนตัวเลือกที่ตองการในกระดาษคําตอบเพียงคําตอบเดียว สําหรับสวนที่ 2 ใหเติมเฉพาะขอความที่ถูกตองลงในกระดาษคําตอบในสวนที่เวนไว

4. หามนําขอสอบและกระดาษคําตอบออกจากหองสอบ 5. ไมอนุญาตใหผูเขาสอบออกจากหองสอบกอนเวลาสอบผานไปแลว 1 ช่ัวโมง 30 นาที 7. ไมอนุญาตใหผูเขาสอบนําอุปกรณชวยคิดคํานวณ เชน เครื่องคิดเลข นาฬิกาที่ใชคํานวณหรือ ถายรูปได กลองถายรูป ไมบรรทัดทีม่ีสูตรตางๆ และเครื่องมือสื่อสารทุกชนิดเขาหองสอบ

เอกสารนี้เปนเอกสารสงวนสทิธิ์ของคณะสถาปตยกรรมศาสตร มหาวทิยาลยัศิลปากร หามเผยแพร อางอิง หรอื เฉลย กอนวนัท่ี 28 ตุลาคม พ.ศ. 2550

รหัสวิชา 04 คณิตศาสตร หนา วันอาทิตยที่ 28 ตุลาคม 2550 เวลา 09.00 – 11.00 น.

ช่ือ-นามสกุล …………………………… เลขประจําตัวสอบ ..................................... สถานที่สอบ .................................................................. หองสอบ......................................................

2

ขอตกลงสัญลักษณ

ในขอสอบฉบับนี้จะให ℜ แทน เซตของจํานวนจริง, I แทน เซตของจํานวนเต็ม และ +I แทน เซตของจํานวนเต็มบวก

ตารางการหาพื้นท่ีใตเสนโคงปกติมาตรฐาน

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.8 0.2881 0.291 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265

สวนที่ 1 ขอสอบแบบปรนัย 4 ตัวเลือก จํานวน 38 ขอ ๆ ละ 2 คะแนน

1. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ∀x∀y (x ≠ y → x2 ≠ y2) มีคาความจริงเปนจริง

ข. ∀x ∃y (x2 + y2 > –1) มีคาความจริงเปนจริง

ค. ∃x ∀y (2x + 3y = 0) มีคาความจริงเปนจริง ขอใดสรุปถูกตอง 1. ขอ ก, ข และ ค ถูกทั้ง 3 ขอ 2. ขอ ก และ ข ถูก แตขอ ค ผิด 3. ขอ ก และ ค ผิด แตขอ ข ถูก 4. ขอ ก, ข และ ค ผิดทั้ง 3 ขอ 2. ให P และ Q เปนประพจน จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ∼ P ∨ Q สมมูลกับ ∼ Q → ∼ P

ข. ∼ P ∧ ∼ Q → ∼ P ∨ ∼ Q



3

ขอใดสรุปถูกตอง 1. ขอ ก และ ข ถูก 2. ขอ ก ถูก แตขอ ข ผิด 3. ขอ ก ผิด แตขอ ข ถูก 4. ขอ ก และ ข ผิด

3. กําหนดให ℜ∈ba, โดยที่ ababa a +=⊕ และ 22baba +

=Δ ขอใดคือคาของ

)32()12( ⊕Δ⊕ 1. 13 2. 15 3. 17 4. 26

4. เซตคําตอบของอสมการ 032

22

23

≥−−−+

xxxxx เปนสับเซตของเซตในขอใด

1. ),4()4,5.0[]5.1,4[ ∞∪∪−− 2. ),2(]5.1,0[)1,2[ ∞∪∪−− 3. ),3()3,0()2,( ∞∪∪−−∞ 4. ),4()4,2()5.0,2( ∞∪∪−

5. เซตคําตอบของอสมการ 1|2|

12≥

−−

xx เปนสับเซตของเซตคําตอบของอสมการในขอใด

1. 52 ≠x 2. 012 ≥−x

3. 12 ≠x 4. 012≥

−−

xx

6. ให A = {1, 2, 3, …, 10} และ X = {B ⊆ A | |B| = 6 และ มีสมาชิกใน B อยางนอย 1 ตัวท่ีเปนจํานวนเฉพาะ} X มีจํานวนสมาชิกเทาใด

1. 120 2. 209 3. 312 4. 420



4

7. ให a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ถา a + b หารดวย 7 แลวเหลือเศษ 3 ในขณะที่ a - b หารดวย 7 แลวเหลือ

เศษ 4 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 7 หาร a ลงตัว ข. b หารดวย 7 แลวเหลือเศษ 3

ขอใดสรุปถูกตอง 1. ขอ ก และ ข ถูก 2. ขอ ก ถูก แตขอ ข ผิด 3. ขอ ก ผิด แตขอ ข ถูก 4. ขอ ก และ ข ผิด 8. ให m > 1 เปน ห.ร.ม. ของ 12, 21 และ x โดยที่ x เปนจํานวนเต็มบวก ถา ค.ร.น.ของจํานวนทั้งสามเทากับ

924 และ x เปนจํานวนเต็มท่ีนอยท่ีสุดที่สอดคลองกับเงื่อนไขดังกลาวแลว ขอใดคือคาของ x2 – 20x + 4 1. 115 2. 217 3. 341 4. 433

9. กําหนดให 13)( += xxf และ 2

2)(−

=x

xg ถา 0<x ทําให ))(())(( xfgxgf = แลวขอใดคือคา

ของ 12 ++ xx 1. 1 2. 3 3. 7 4. 13 10. กําหนด 23))(( −=+ xxgf และ 4))(( +=− xxgf คาของ f(-1)g(-1) คือขอใด 1. -6 2. 4 3. 7 4. -5



5

11. กําหนดให

cba

cba

cba

′′′′′′′′′ = 4 ขอใดคือคาของ

ccbbaa

cba

cba

+′′+′′+′′′′′

−−−

333

555

1. - 60 2. - 15 3. 15 4. 60

12. ให Mn แทน เซตของเมตริกซขนาด n × 1 และให ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

11

12

01

A ถา f เปนฟงกชันจาก M2 ไป M3 โดยที่

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡y

xA

y

xf ขอใดคือคาของ x2 + y2 ที่ทําให

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

1

y

xf

1. 1 2. 2 3. 4 4. 6

13. กําหนดให }12|),{( 22 =+−ℜ×∈= + yxyxIyxA แลวโดเมนของ A คือขอใด 1. }44|{ ≤≤−∈ xIx 2. }40|{ ≤≤∈ + xIx 3. }44|{ <<−∈ xIx 4. }40|{ <<∈ + xIx



6

14. กราฟของทางเดินของจุดซ่ึงระยะทางระหวางจุดเหลานี้ไปยังจุด (9, 0) เปน 121

เทาของระยะทางระหวางจดุ

เหลานี้ไปยังเสนตรง x = 4 คือขอใด 1. วงกลม 2. วงรี 3. ไฮเพอรโบลา 4. พาราโบลา 15. วงรีวงหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่ (1, –2) และจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (5, –2) ถา P และ Q เปนจุดบนวงรีซึ่ง

เสนตรง PQ ผานจุดโฟกัส และมีความยาวเทากับ 12 หนวย และถา A และ B เปนจุดท่ีวงรีตัดกับแกน Y ขอใดคือพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมที่มี P, Q, A และ B เปนจุดมุม

1. )14312(23

+ 2. )18912(25

+

3. )20412(27

+ 4. )21412(29

+

16. ให (h, k) เปนจุดศูนยกลางของวงกลมที่มีรัศมี 2 หนวย โดยที่วงกลมวงนี้สัมผัสกับเสนตรง x = 3 และ y = 2

ถา (7, 0) เปนจุด ๆ หนึ่งบนวงกลมวงนี้ ขอใดคือคาของ h + k 1. 5 2. 17 3. 21 4. 41

17. ผลลัพธของ 535

123

+− ตรงกับขอใด

1. 10

52865 − 2.

1052865 +

3. 5

52865 − 4.

552865 +



7

18. ถา a=3log7 แลว 63log

31 เทากับเทาใด

1. aa 13 −− 2.

aa 13 +

3. a

a31− 4. a

a 13 −

19. เซตคําตอบของอสมการ 1053

8

1

2

12 +++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛<⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

xxx เทากับขอใด

1. )5,5(− 2. ]5,5[− 3. ),5[]5,( ∞∪−−∞ 4. ),5()5,( ∞∪−−∞ 20. ขอใดผดิ 1. สวนตัดของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลบนแกน Y เทากับสวนตัดของฟงกชันลอการิทึมบนแกน X 2. กราฟของ xy 2= และ xy 2log= มีกราฟของ xy= เปนเสนสมมาตร 3. จุดตัดแกน Y ของฟงกชนัเอกซโพเนนเชียลกับฟงกชันลอการิทึมเปนจุดเดียวกนั 4. ฟงก็ชันเอกซโพเนนเชยีลเปนตัวผกผนัของฟงกชันลอการิทึม

21. ให x เปนจํานวนจริงที่ทําให sin4x + cos4x = 85

ขอใดคือคาของ sin24x

1. 0 2. 21

3. 43

4. 1



8

22. ให x เปนจํานวนจริงใด ๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. cos (2 arc cos x) = 2x ข. arc sin (sin 2x) = 2x ค. arc cos (–x) = – arc cos x

ขอใดสรุปถูกตอง 1. ขอ ก, ข และ ค ถูกทั้ง 3 ขอ 2. ขอ ก ผิด แตขอ ข และ ค ถูก 3. ขอ ก และ ค ผิด แตขอ ข ถูก 4. ขอ ก, ข และ ค ผิดทั้ง 3 ขอ

23. ให P เปนจุดบนขอบของรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผา โดยที่ DPAˆ = FPBˆ = θ และความยาวของขอบแตละดานของรูปทรงนี้ เทากับ 5 นิ้ว 10 นิ้ว และ 12 นิ้วตามลําดับ ดังแสดงในรูป

ขอใดคือคาของ tan2 θ + sec2 θ

1. 45

2. 2

3. 621

4. 833

) (

θ θ

B

F

p

D A

10

5

12



9

24. ให A , B และ C เปนเวกเตอรใด ๆ ในระนาบ จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. A ⋅( A × B ) = 0

ข. A ⋅( B × C ) = ( A ⋅ B ) × ( A ⋅C )

ค. ( A – B ) × ( A – B ) = (2 A ) × (2 B ) ขอใดสรุปถูกตอง 1. ขอ ก, ข และ ค ผิดทั้ง 3 ขอ 2. ขอ ก ผิด แตขอ ข และ ค ถูก 3. ขอ ก และ ค ถูก แตขอ ข ผิด 4. ขอ ก ถูก แตขอ ข และ ค ผิด 25. ให 1 r = 2 i – j + k , 2 r = i + 3 j – 2 k , 3 r = –2 i + j – 3 k และ 4 r = 3 i + 2 j + 5 k

ถา a, b และ c เปนสเกลารที่ทําให 4 r = a 1 r + b 2 r + c 3 r แลว ขอใดคือคาของ a + b + c 1. –4 2. –2 3. 0 4. 1 26. ให i2 = –1 ถา a และ b เปนจํานวนจริงซึ่ง a + bi = 1 + 2i +3i2 + 4i3 + … + 21i 20 ขอใดคือคาของ a 1. 7 2. 8 3. 9 4. 11 27. ถาตองการสรางจํานวนที่มี 4 หลัก โดยเลอืกมาจากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 จะสรางไดทั้งหมดกี่

จํานวนโดยท่ีจาํนวนที่สรางตองหารดวย 5 ลงตัว 1. 448 2. 896 3. 512 4. 1024



10

28. จัดสามีภรรยา 4 คู นั่งรอบโตะกลมตัวหน่ึง ความนาจะเปนที่สามีภรรยาแตละคูนั่งตดิกัน เทากับ ขอใดตอไปนี้ 1. 384 2. 96

3. 105

1 4. 105

2

29. ถา a และ b เปนจํานวนจริงที่ทําใหฟงกชัน f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤+<

=2 4

2 1

1 22

x,x

x,dcx

x,x

)x(f

ขอใดคือคาของ 9 |d| + 15 |c| 1. 22 2. 30 3. 41 4. 52

30. ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของ f ′ แสดงดังในรูป

y = f ′(x)

x

y

1 2 4 6 8-2-1



11

จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. f เปนฟงกชันเพิ่มบน (0, 2) ∪ (3, 5) ∪ (7, ∞) ข. f(3) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ ค. f(5) เปนคาสูงสุดสัมพัทธ

ขอใดสรุปถูกตอง 1. ขอ ก, ข และ ค ถูกทั้ง 3 ขอ 2. ขอ ก ผิด แตขอ ข และ ค ถูก 3. ขอ ก ถูก แตขอ ข และ ค ผิด 4. ขอ ก, ข และ ค ผิดทั้ง 3 ขอ 31. ความยาวของดานของลกูบาศกลูกหนึ่งเทากับ 30 เซนติเมตร ถาปริมาตรของลูกบาศกลูกนี้เพ่ิมขื้นดวยอัตรา

10 เซนติเมตร3 / นาที ขอใดคืออัตราการเพิ่มขึ้นของพื้นที่ผิวของลูกบาศกลูกนี้

1. 31

เซนติเมตร2 / นาที 2. 92

เซนติเมตร2 / นาที

3. 98

เซนติเมตร2 / นาที 4. 34

เซนติเมตร2 / นาที

32. ขอมูลชุดหนึ่งมี 14=x เมื่อเพ่ิมขอมูลลงไปอีก 3 รายการ คือ 12, 19 และ 21 ทาํให 15=x แลวมีจํานวน

ขอมูลเดิมเทากับเทาใด 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 33. อายุการใชงานของหลอดไฟมีการแจกแจงปกติ มีคาเฉลีย่เลขคณิต 763 วัน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 30 วัน

เปอรเซ็นตของหลอดไฟท่ีใชไดนานเกิน 794 วันเทากับขอใด 1. 13.15 % 2. 84.85 % 3. 34.85 % 4. 15.15 %



12

34. คะแนนของนกัเรยีนหองหนึง่มีการแจกแจงปกติโดยมีสมัประสิทธิ์การแปรผันเปน 25% และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 12 คะแนน แลวขอใดคอืตําแหนงเปอรเซ็นตไทลของนักเรียนที่สอบได 63 คะแนน

1. 89.44 2. 39.44 3. 10.36 4. 12.50

35. คะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงดังนี ้คะแนน จํานวนนักเรียน 141-150 8 151-160 12 161-170 10 171-180 15 181-190 3 191-200 12

ตาหวานและตาโตเปนนักเรยีนกลุมนี้ ตาหวานไดคะแนนในตําแหนงควอรไทลที่ 3 และตาโตได คะแนนในตําแหนงเดไซลที ่8 ถาคะแนนเต็ม 200 คะแนน ตาหวานและตาโตไดคะแนนตางกนั คิดเปนกี่เปอรเซ็นต 1. 4 % 2. 5 % 3. 8 % 4. 10 %

36. ในการสอบแขงขันครั้งหนึง่มีวิชาที่ตองสอบ 2 วิชามีผูเขาสอบแขงขัน 3 คน คือ กุง ปู และ ปลา ไดคะแนนดังนี ้

คณิตศาสตร วิทยาศาสตร กุง 70 75 ปู 75 70 ปลา 80 65



13

ถาคะแนนเฉลี่ยของวิชาคณติศาสตรและวทิยาศาสตรเทากับ 75 และ 70 ตามลําดับและสวนเบีย่งเบนมาตรฐานเทากับ 10 และ 15 ตามลําดับ แลวขอใดคือลําดับมาตรฐานรวมจากนอยไปมากในการสอบครั้งนี ้

1. ปลา ปู กุง 2. กุง ปู ปลา 3. ปลา กุง ป ู 4. ปู กุง ปลา

37. ถายอดขายพัดลมของรานคาแหงหนึ่ง ตั้งแต พ.ศ. 2545 ถึง พ.ศ. 2549 เปนดังนี ้

พ.ศ. 2545 2546 2547 2548 2549 ยอดขายพัดลม (พันเครื่อง) 1 3 6 7 8

และขอมูลมีความสัมพันธเชงิฟงกชันแบบเสนตรง ขอใดคือจํานวนพัดลมทีร่านคาแหงนี้จะขายไดในป พ.ศ. 2553

1. 12,800 เครื่อง 2. 21,200 เครื่อง 3. 15,800 เครื่อง 4. 14,300 เครื่อง 38. ใหขอมูลในตารางขางลางนี้มีความสัมพันธแบบพาราโบลา

พ.ศ. 2532 2533 2534 Y 10 12 8

ขอใดคือสมการของความสัมพันธดังกลาว 1. 2312 xxY −−−= 2. 2312 xxY ++= 3. 2312 xxY ++−= 4. 2312 xxY −−=



14

สวนที่ 2 ขอสอบแบบอัตนัย จํานวน 8 ขอ ๆ ละ 3 คะแนน 1. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ 252 23 +−+ xxx = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ xx 43 − = 0 แลว AB − เทากับเทาใด

2. ถา x

xxf3

14)(1 +=− และ 32))1(( −=− xxgf คาของ )1(9 −g เทากับเทาใด

3. ให P(9, 12) เปนจุด ๆ หนึ่งบนกราฟของสมการ y2 = 16x ถา Q(a, b) เปนจุดบนกราฟของสมการนี้ดวย

โดยท่ีเสนตรง PQ ผานจุดโฟกัสของกราฟนี้ คาของ 18 |a| + 9 |b| เทากับเทาใด 4. ถา a เปนรากของสมการ 72332 =− xx และ b เปนรากของสมการ 4824 1 =− +xx แลว aba +2

เทากับเทาใด 5. ให x และ y เปนจํานวนจริงที่ทําให

sin2x + sin2y = 45

x + y = 6

5π

คาของ tan2(x – y) + sec2(x – y) เทากับเทาใด 6. ให a = 2 i + 4 j – 5 k , b = 3 i + 6 j – 2 k และ c = d i + (d + 1) j + (d + 2) k โดยท่ี d เปน

สเกลาร ถา a + c และ b เปนเวกเตอรที่มีทิศทางไปในทางเดียวกันแลว คาของ | c | เทากับเทาใด



15

7. ให f และ g เปนฟงกชันที่นิยามบนเซตของจํานวนจริง และ f(x) = 2 g′ (x) + x2 + 4 ถา ∫2

1

dx)x(f = 331

และ g(1) = –1 คาของ g(2) เทากับเทาใด 8. ให 1x , 2x และ 3x เปนคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของ ดํา แดง และ ขาว ตามลําดับ โดยที่ 321 xxx <<

และเมื่อแปลงคะแนนดังกลาวเปนคะแนนมาตรฐานจะได 1z , 2z และ 3z ตามลําดับ โดยที่

1321 =++ zzz 5.0321 −=+− zzz 2123 =−− zzz ถาในการสอบครั้งนี้มีคะแนนเต็ม 100 คะแนน มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 50 คะแนนและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 คะแนน ซ่ึง 123 axx =− และ 212 axx =− คาของ )(4 21 aa + เทากับเทาใด

Documents

วิชาคณิตศาสตร์