ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2a4%d9%e8%c1%d7%cd%c7%d4%aa... · คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 4)

ฟงกชนตรโกณมต 2

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต


2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ตรโกณมต (ฟงกชนตรโกณมต 2) หมวด เนอหา ตอนท 4 (4 / 8) หวขอยอย 1. ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต 2. คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. อธบายความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมตได 2. น าความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมตไปใชประโยชนได 3. เขาใจความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบคาฟงกชนตรโกณมต ของมมในจตภาคอน ๆ 4. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคท 2, 3 และ 4 ได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. หาคาฟงกชนตรโกณมตของมมแหลมโดยใชอตราสวนตรโกณมต 2. หาอตราสวนตรโกณมตไดจากคาฟงกชนตรโกณมต 3. หาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคท 2, 3 และ 4 ได


4

เนอหาในสอการสอน


5

เนอหาทงหมด


6

1. ความแตกตางและความสมพนธ ของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต


7

1. ความแตกตางและความสมพนธของ อตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต

หลงจากทนกเรยนไดเรยนอตราสวนตรโกณมตในตอนท 1 และเรยนฟงกชนตรโกณมตในตอนท 3

แลวนน เมอพจารณาชอทเหมอนกนของอตราสวนและฟงกชน เรองทควรสนใจตอไปกนาจะเปนความสมพนธ

ของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต แตกอนอนกตองกลบไปทบทวนบทนยามของทงอตราสวน

ตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตกน แลวจะไดเหนถงความแตกตาง ซงถกก าหนดไวตงแตเรมตน ดงน

และยงไปกวานนจะไดดวยวา

0 < sin A < 1 , 0 < cos A < 1

1 < cosec A , 1 < sec A โดยท A เปนมมแหลม

0 < tan A , 0 < cot A


8

นนคอ –1 sin () 1 , –1 cos() 1 ทก

และ 1 cosec () หรอ cosec() –1 เมอ n , n

1 sec () หรอ sec() –1 เมอ (2n 1)

2

, n

สวน tan() ไมจ ากดคา เมอ n , n

และ cot() ไมจ ากดคา เมอ (2n 1)

2

, n

เมอนกเรยนเหนความแตกตางของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมตแลว ลองมาพจารณาตอไปวา

มสวนรวมกนหรอไม ?

มม (หนวยเปนเรเดยน) ในเรองอตราสวนตรโกณมต จะมคาไดเพยงในชวง (0, 1) ซงเปนเซตยอย

ของโดเมนของฟงกชนตรโกณมต และถาจ ากดโดเมนของฟงกชนตรโกณมตลงใหเหลอเพยงชวง (0, 1) เทานน

แลวอตราสวนตรโกณมตจะสมพนธกบฟงกชนตรโกณมตอยางไร?


9


10

ตอไปเปนตวอยางทแสดงใหเหนวาคาฟงกชนตรโกณมต หาไดจากอตราสวนตรโกณมต

และตอไปเปนตวอยางทแสดงใหเหนวาอตราสวนตรโกณมตของมมบางมมทไมไดก าหนดคาไว

นกเรยนสามารถใชฟงกชนตรโกณมต ซงมตารางแสดงคาก าหนดไวแลว แทนได


11

เพมเตมตวอยาง

ตวอยาง ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทม B

เปนมมฉาก ถาดาน BC ยาว 5 หนวย

และ A

มคา 51

360

เรเดยน จงหาความยาว AB และ AC

วธท า

เลอกอตราสวนตรโกณมตของมม A ทมคา a ปรากฏอย

sin A = a

b ดงนน b = a

sin A

tan A = a

c ดงนน c = a

tan A

จากตารางคาฟงกชนตรโกณมต (จะไดเรยนในตอนท 7)

sin A = sin51

360

= sin 2530 0.4305

tan A = tan51

360

= tan 2530 0.4770

ฉะนน b 5

0.4305 11.6144

และ c 5

0.4770 10.4822

สรปไดวา AB ยาวประมาณ 10.4822 หนวย

AC ยาวประมาณ 11.6144 หนวย

C

b = ? a = 5

A B c = ?


12

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง

ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต

1. ถามม A เปนมมแหลม จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A เมอก าหนด

1.1 cos A = 2

3 1.2 tan A = 1

7

1.3 sin A = 12

13 1.4 sec A = 5

2

1.5 cosec A = 6

2 1.6 cot A = 3

1.7 sin A = x 1.8 cos A = x

2. ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทม B

เปนมมฉาก ถาก าหนดความยาวดานและมมตอไปน

จงหาความยาวดานทเหลอ

2.1 ดานตรงขามมมฉากยาว 5 หนวย A

มคา 9

เรเดยน

2.2 ดานประชดมม A ยาว 5 หนวย A

มคา 50

2.3 ดานตรงขามมม A ยาว 4 หนวย A

มคา 2

5

เรเดยน

พรอมทงก าหนดตารางคาฟงกชนตรโกณมตบางสวน มาใหดงน

20 0.3420 0.9397 0.3640

50 0.7660 0.6428 1.1918

72 0.9511 0.3090 3.0777

sin() cos() tan()


13

2. คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ


14

2. คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ กอนอน ๆ มาท าความรจก จตภาคตาง ๆ ของระนาบ XY กน


15

มมทกลาวถงตอไปตองเปนมมในต าแหนงมาตรฐาน ซงมหนวยเปนองศากได หรอมหนวยเปนเรเดยน

กได แตถาหนวยของมมเปนเรเดยน เราสามารถมองเปนคาจรงซงไดจากวงกลมหนงหนวย

ตวอยาง 1. พจารณามม 50

เนองจาก 0 < 50 < 90 ดงนนมม 50 อยในจตภาคท 1

2. พจารณามม 7

3

เรเดยน

เนองจาก 2 < 7

3

< 2 + 3

ดงนนมม 7

3

อยในจตภาคท 1

3. พจารณามม –700

เนองจาก –720 < –700 < –720 + 90 ดงนนมม –700 อยในจตภาคท 1


16




5

เรเดยน

เนองจาก 2

< 4

5

< ดงนนมม 4

5



เรเดยน

เนองจาก < 8

7

< 3

2

ดงนนมม 87



เนองจาก 360 + 180 < 550 < 360 + 270 ดงนนมม 550 อยในจตภาคท 3


17




เรเดยน

เนองจาก –2 + 3

2

= –2

< –5

< –2 + 2 ดงนนมม –5


เหตจงใจทชวนใหศกษาเรองความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1

กบคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคอน ๆ คอ

เนองจากตอนท 3 เราหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมม (30 45 และ 60) ไดแลว

ถานกเรยนหาความสมพนธของมมเหลานซงอยในจตภาคท 1 กบมมในจตภาคอน ๆ (จตภาคท 2, 3 และ 4)

แลวนกเรยนจะสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคใด ๆ ได ซงในตอนแรกนฟงกชน

ตรโกณมตทจะกลาวถงกอน คอ ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน


18

เราเรมจากการหาความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบมมในจตภาคท 2


19

ตอไปเปนความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบมมในจตภาคท 3

และสดทายเราหาความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบมมในจตภาคท 4


20

เราสามารถสรปความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 2, 3, และ 4 กบคาฟงกชน

ตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 และในทางกลบกน จากคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1

สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 2, 3 และ 4 ทมความสมพนธกนได

และตอไปเมอนกเรยนไดเรยนตรโกณมตตอนท 5 ซงกลาวถง คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตาง

ของมมใด ๆ จะท าใหไดสตร sin ( – ) = sin cos ( – ) = – cos

sin ( + ) = – sin cos ( + ) = – cos เมอ

sin (2 – ) = – sin cos (2 – ) = cos

นกเรยนสามารถจ าเครองหมายของคาฟงกชนไซนและคาฟงกชนโคไซนของมมในจตภาคตาง ๆ ดงน

sin cos

X

Y

X

Y

0 0

+

+ + +

– –

–

–


21

และสรปไดดวยวา sin ( – ) = sin และ sin ( + ) = sin(2 – )

cos ( – ) = sin ( + ) และ cos (2 – ) = cos

นนคอ ถาพจารณามมในชวง [0, 2] จะมมม 2 มมทใหคา sin เทากน

และมมม 2 มมทใหคา cos เทากน

ส าหรบฟงกชนตรโกณมตอน ๆ

tan ( – ) = – tan cot ( – ) = – cot

tan ( + ) = tan เมอ n, cot ( + ) = cot เมอ (2n 1)

2

,

tan (2 – ) = – tan n cot (2 – ) = – cot n cosec ( – ) = cosec sec ( – ) = – sec

cosec ( + ) = – cosec เมอ (2n 1)

2

, sec ( + ) = – sec เมอ n,

cosec (2 – ) = – cosec n sec (2 – ) = sec n

และสามารถจ าเครองหมายของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ ดงน

ประโยชนของความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

1. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคท 2, 3 และ 4 ได

2. ถาก าหนดคาฟงกชนตรโกณมตของมมในชวง 0,2

ใหแลว สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมต

ของมมใด ๆ ได ซงท าใหเขยนกราฟของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนได

เมอ

tan และ cot sin และ cosec cos และ sec

0 0 0

– +

+ –

+ +

– – +

+ –

–

X

Y

X

Y Y

X


22

ใหนกเรยนลองเขยนกราฟ y = sin x2

, x

จะเหนวากราฟนเหมอนกราฟ y = cos x , x

นนคอ , x

และถานกเรยนลองเขยนกราฟ y = cos x2

, x

จะเหนวากราฟนเหมอนกราฟ y = sin x , x

นนคอ , x

sin x2

= cos x

cos x2

= sin x


23

ตวอยางการใชความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคท 1 กบคาฟงกชนตรโกณมต

ของมมในจตภาคอน ๆ

เพมเตมตวอยาง

ตวอยาง จงหาคาฟงกชนตรโกณมตตอไปน

1. sin 3

4

และ cos

3

4

วธท า 3

4

= – 4

ดงนน sin

3

4

= sin4

= 2

2

และ cos 3

4

= – cos4

= – 2

2

2. sin 29

6

และ cos

29

6

วธท า 29

6

= 4 + 5

6

= 4 +

6

ดงนน

sin 29

6

= sin5

6

= sin6

= 1

2 และ

cos 29

6

= cos5

6

= – cos6

= –3

2

3. sin 585 และ cos 585

วธท า 585 = 360 + 225 = 360 + (180 + 45) ดงนน

sin 585 = sin 225 = – sin 45 = 2

2 และ

cos 585 = cos 225 = – cos 45 = 2

2 และ


24

4. sin 11

6

และ cos

11

6

วธท า 11

6

= 2 – 6

ดงนน sin 11

6

= – sin6

= – 1

2

และ cos 11

6

= cos6

= 3

2

5. sin (–120) และ cos (–120)

วธท า sin (–120) = – sin (120) = – sin (180 – 60) = – sin 60 = –3

2

และ cos (–120) = cos (120) = cos (180 – 60) = – cos 60 = –1

2

ขอสงเกต มม –120 เปนมมในจตภาคท 3 ดงนนคาฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน มคาเปนลบทงค

ตวอยาง จงหาคาจรง ทท าให sin = 2

2

วธท า เราทราบแลววา sin4

= 2

2

และจากสตร sin4

= sin4

และ sin(2 + ) = sin ทก

ดงนน คอ 4

+ 2n หรอ 3

4

+ 2n เมอ n

ตวอยาง จงหาคาจรง ในชวง 3,

2 2

ทท าให cos = –1

2

วธท า เราทราบแลววา cos3

=

1

2

และจากสตร cos3

= cos3

= – cos3

= –1

2

ดงนน คอ 4

3

หรอ 2

3


25

ตวอยาง จงหาคาของ 5 5

3 sin 2 tan3 4

5cos

6

วธท า sin5

3

= sin 2

3

= – sin

3

=

3

2

cos5

6

= cos

6

= – cos6

=

3

2

tan5

4

= tan

4

= tan4

= 1

แลว 5 5

3 sin 2 tan3 4

5cos

6

=

33 2 1

2

3

2

=

32

12

3 3

2

ตวอยาง จงหาคาของ 2 2sec ( 45 ) tan (330 )

sin(150 )

วธท า sec(– 45) = 1 1 2

cos( 45 ) cos(45 )

tan(330) = tan(360 – 30) = – tan 30 = 1

3

sin(150) = sin(180 – 30) = sin 30 = 1

2

แลว 2 2

12

sec ( 45 ) tan (330 ) 143 = 1 3sin(150 )2

ตวอยาง จงหาคาจรง ในชวง , 2 2

ทท าให 3 sin – cos = 0

วธท า จาก 3 sin – cos = 0

3 sin = cos tan =

1

3

เรามวา tan 1

6 3

และ ,

2 2

ดงนน = 6


26

ตอไปจะหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมปาน


27

ตวอยางเพมเตม ตวอยาง ถา A เปนมมในจตภาคท 3 และ cos A = x จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A

วธท า เนองจาก A เปนมมในจตภาคท 3 ดงนน cos A < 0 นนคอ x < 0

จากสตร cos A = – cos (A – ) จะไดวา cos (A – ) = –x

ใชรปสามเหลยมมมฉาก หาดานตรงขามมม A – ไดเทากบ 2 21 ( x) 1 x แลว sin A = – sin(A – ) = 21 x มคาเปนลบ

tan A = 21 x

x

มคาเปนบวก

cosec A = 2

1

1 x

มคาเปนลบ

sec A = 1

x มคาเปนลบ

cot A = 2

x

1 x

มคาเปนบวก

A– –x

21 x 1


28

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ 1. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน

1.1 31

6

1.2 – 60

1.3 11

4

1.4 150

1.5 14

3

1.6 225

2. ก าหนดให sin x = 1

2 และ cos x < 0

จงหาคาของ sin(–x) และ cos(–x)

3. ก าหนดให sin x = 3

5 และ cos x > 0

จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม –x , + x , – x

4. จงหาคาของ

4.1

5tan 2

4

71 sin

6

4.2 cos ec(135 ) sin(300 )

1 cos( 150 )

5. ถา A เปนมมปาน และ sin A = 2

3 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A

6. ถา A เปนมมปาน และ cos A = 1

5 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A

7. ถา A เปนมมในจตภาคท 3 และ cot A = 3 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม A

8. ถา sin A < 0 แต cos A > 0 และ tan A = x จงหาคาของ sin A และ cos A

9. จงหาคาจรง ในชวง [0, ] ทท าให sin 2 = 2

2

10. จงหาคาจรง ในชวง 0,2

ทท าให cos 3 = 1

2


29

สรปสาระส าคญประจ าตอน


30

สรปสาระส าคญประจ าตอน


31


32

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.


33

ภาคผนวกท 1

แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม


34

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให sin = 15

17 และ อยในจตภาคท 2 จงพจารณาวาขอใดตอไปนผด

ก. cos = 8

17 ข. tan =

15

8

ค. cosec + cot = 3

5 ง. sec – tan = 1

4

2. ก าหนดให cosec = 5

4 และ cos > 0 จงหาคาของ 3 tan – 4 cot + 5 cos

ก. – 2 ข. 2 ค. – 4 ง. 4

3. ก าหนดให cos ( – ) = 2

3 และ อยในจตภาคท 3 จงหาคาของ 3 sin + 2 tan

ก. 0 ข. 2 5 ค. 2 5 ง. 5

4. ก าหนดให sin = 5

13 และ cos < 0 จงหาคาของ sin ( – ) + cos ( – )

ก. 17

13 ข. 7

13 ค. 7

13 ง. 17

13

5. ก าหนดให = 75 จงหาคาของ 2 cos3 cos 4

2 sin 3 3 sin 4

ก. 1 ข. –1 ค. 3

5 ง. 3

5

6. ถา sin = cos , 2

< < และ tan = cot , 0 < <

2

จงหาคาของ +

ก. 4

ข. 2

ค. 34

ง.

7. ถา sin (x + y) = 1

2, sin (x – y) = –

1

2 เมอ x, y 0,

2

จงหาคาของ 3x + 2y

ก. 0 ข. 2

ค. ง. 2

8. ถา cos = 1 a

1 a

และ อยในจตภาคท 3 จงหาคาของ cot

ก. 1 a

2 a

ข. a 1

2 a

ค. 1 a

2 a

ง. 2 a

1 a


35

9. ก าหนดให 2 2 7sec tan

2 และ อยในจตภาคท 4 จงหาคาของ cos

ก. 3

4 ข. 3

4 ค. 2

3 ง. 2

3

10. จงหาคาจรง ในชวง [0, 2) ทท าให 1 + 2 sin = 3 cosec

ก. 4

ข. 3

ค. 6

ง. 2


36

ภาคผนวกท 2

เฉลยแบบฝกหด


37

เฉลยแบบฝกหด เรอง ความแตกตางและความสมพนธของ อตราสวนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมต

1.

ขอ 1.1 1.2 1.3 1.4

sin A 5

3

1

5 2 12

13

1

5

cos A 2

3

7

5 2 5

13 2

5

tan A 5

2 1

7

12

5 1

2

cosec A 3

5 5 2 13

12 5

sec A 3

2 5 2

7

13

5 5

2

cot A 2

5 5

12

ขอ 1.5 1.6 1.7 1.8

sin A 2

6 1

10 x 21 x

cos A 2

6

3

10 21 x x

tan A 2

2 1

3

2

x

1 x 21 x

x

cosec A 6

2 10 1

x

2

1

1 x

sec A 6

2 10

3 2

1

1 x 1

x

cot A 2

2 3 21 x

x

2

x

1 x

7 2


38

2. ขอ ดานตรงขามมม A ดานประชดมม A ดานตรงขามมมฉาก 2.1 1.71 4.6985 5

2.2 5.959 5 7.7785

2.3 4 1.2997 4.2057

เฉลยแบบฝกหด

เรอง คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ 1.

ขอ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

มม 31

6

– 60 11

4

150 14

3

225

sin 1

2 3

2

2

2

1

2 3

2

2

2

cos 3

2

1

2 2

2

3

2

1

2 2

2

tan 1

3 3 1

3 3

cosec 2

3 2 2

3 2

sec 2

3

2 2

3

2

cot 3 1

3

3 1

3

2. sin(–x) = 1

2 และ cos(–x) = 3

2

–1 1

1 –1

2 –2

– 2 2


39

3. มม

sin 3

5 3

5 3

5

cos 4

5 4

5 4

5

tan 3

4 3

4 3

4

cosec 5

3 5

3 5

3

sec 5

4 5

4 5

4

cot 4

3 4

3 4

3

4. 4.1 2 4.2 2 2 3

2 3

ขอ

5 2

3 5

3

2

5 3

2 3

5 5

2

6 2 6

5 1

5 2 6 5

2 6 –5 1

2 6

7 1

10 3

10 1

3 10 10

3 3

8 2

x

1 x

2

1

1 x 21 x

x

21 x 1

x

9. 5 7,

8 8

10. 9

x

–x + x – x

sin A cos A tan A cosec A sec A cot A


40

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ง 2. ข 3. ก 4. ค 5. ค

6. ง 7. ง 8. ข 9. ค 10. ง


41

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


42

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


43


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย




กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


44


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2a4%d9%e8%c1%d7%cd%c7%d4%aa... · คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์