30206 · วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง สถิติ 3 การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน

วชาคณตศาสตร (ค30206/ ค33292) เรอง สถต 3 การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชน ชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร

Page 1

การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชน

ในบทน เราจะศกษาเกยวกบการสรางสมการแสดงความสมพนธระหวางสงของสองสง พรอมทง

ท านายคาของสงของสงหนง เมอทราบคาของสงของอกสงหนงทเหลอ โดยทสงของททราบคานนตอไปจะ

เรยกวา “ตวแปรอสระ” และสงของทถกท านายนน (คาทจะหา) จะเรยกวา “ตวแปรตาม” และสมการ

ทเราจะศกษานเปนสมการทเมอก าหนดคาตวแปรอสระให 1 คา แลวจะกอใหเกดคาตวแปรตามเพยงคา

เดยวเทานน (ซงลกษณะเชนนตรงกบนยามของฟงกชน) ฉะนน จงเรยกสมการทเราจะศกษานวา

“ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล”

1. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

ในการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลสวนมากนยมใช x แทนตวแปรอสระและ y

แทนตวแปรตาม และขอมลทน ามาสรางความสมพนธจะตองประกอบดวยคาจากการสงเกตเปนจ านวน

มากพอสมควร ซงควรจะมตงแต 8 คาขนไป เพราะหาคาจากการสงเกตมจ านวนนอยแลว สมการทแสดง

ความสมพนธระหวางขอมลของ 2 ตวแปร อาจจะไมใกลเคยงกบความเปนจรง กลาวคออาจจะท าใหผล

จากการท านายตวแปรตามจากสมการคลาดเคลอนจากความเปนจรงไปมาก

2. ชนดของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

โดยทวไป ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทประกอบดวยตวแปร 2 ตว แบงออกเปน 2 ชนด คอ

2.1 ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรง

มรปสมการทวไปเปน y = mx + c และมรปกราฟคราวๆ ดงน โดยท x เปนตวแปรอสระ y เปนตวแปรตาม m เปนความชนของเสนตรง c เปนคาคงตวและเปนระยะตดแกน y

2.2 ความสมพนธเชงฟงกชนทไมเปนเสนตรง (เปนเสนโคง) แบงออกเปน 2 ชนด คอ

- ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนพาราโบลา

- ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเอกซโพเนนเชยล

y

x

y

x 0 0


Page 2

ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนพาราโบลามรปสมการทวไปเปนดงน

มรปสมการทวไปเปน y = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 และมรปกราฟคราวๆดงน โดยท x เปนตวแปรอสระ y เปนตวแปรตาม a,b,c เปนคาคงตว โดยท 𝑎 ≠ 0

ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเอกซโพเนนเชยล

มรปสมการทวไปเปน 𝒚 = 𝒂𝒃𝒙 และมรปกราฟคราวๆดงน โดยท x เปนตวแปรอสระ y เปนตวแปรตาม a,b เปนคาคงตว โดยท 𝑎 ≠ 0

3. แผนภาพการกระจาย

ในการสรางความสมพนธเชงฟงกชน สงทเราจะตองรเปนอนดบแรก กคอ ขอมลทโจทยก าหนดมา

ใหนน มความสมพนธกนเปนสมการชนดใด (เสนตรง หรอ พาราโบลา หรอเอกซโพเนนเชยล) และวธทจะ

ทราบนน กตองน าขอมลทโจทยก าหนด มาเขยนเปนกราฟ โดยขนแรกจะตองเขยนเปนจดออน (ใหคา x

อยบนแกนนอน คา y อยบนแกนตง) แลวขนตอไปกพจารณาวา จดเหลาน เรยงตวกนแลวมแนวโนมเปน

สมการชนดใด ลกษณะการเขยนกราฟเชนน เรยกวา “แผนภาพการกระจาย” เชน

y

x

y

x

x x

y y

y y y

x x x

0

0

0

0

0 0 0


Page 3

แตในบางครงการพจารณาแผนภาพการกระจายไมสามารถบอกไดแนนอนวาความสมพนธนนเปน

แบบใด เพราะลกษณะการกระจายนนไมเขาลกษณะใดใน 3 ลกษณะ หรอ ลกษณะการกระจายนน

อาจจะใกลเคยงกนรปแบบ 2 รปแบบ หากเกดกรณเชนนการจะสรางความสมพนธใหเปนแบบใดนน กจะ

ขนอยกบความช านาญของผสราง แตในระดบมธยมศกษาตอนปลาย แลวสวนมากโจทยจะระบมาเลยวา

ใหเราสรางความสมพนธเชงฟงกชนแบบใด

4. สมการปกต

เมอทราบถงรปแบบของความสมพนธเชงฟงกชน จากการสรางแผนภาพการกระจายแลว ขน

ตอไป กตองหาสมการของความสมพนธดงกลาว ซงการหานน ตองหาจากรปทวไปของแตละสมการ เชน

ถารความสมพนธของขอมลเปนแบบเสนตรง กตองหาสมการ จากรป 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 เปนตน และการหา

สมการความสมพนธจากรปทวไปนน เราตองหาคาคงตว (เชน m, c) ใหได และตามหลกของการแก

สมการ

ถามตวไมทราบคา k ตว เราตองสรางสมการขนมาใหได k สมการ

จงจะสามารถแกสมการหาคาตวไมทราบคาไมไดครบถวน

ดงนน หากสมการรปทวไปมคาคงตว 2 ตว (เชน m และ c จากสมการเสนตรง) เราตองสราง

สมการรองรบ 2 สมการ และวธการสรางสมการรองรบนจะสรางโดยอาศย “ระเบยบวธก าลงสองนอย

ทสด” (รายละเอยดของวธก าลงสองนอยทสด ตองใชความรคณตศาสตรชนสง มใบความรในทายเอกสาร

การสอนน) และสมการรองรบทถกสรางขนมาน เรยกวา “สมการปกต” ฉะนน จงสรปไดวา


Page 4

สมการป สมการปกต คอ สมการทถกสรางขนมา เพอใหสามารถแกสมการหาคาคงตว จากสมการรปทวไปของความสมพนธเชงฟงกชนในรปแบบตาง ๆ ได 1. สมการเสนตรง ม คาคงตวทตองการหา 2 ตว คอ m และ c จะมสมการปกต 2 สมการ

รปทวไป 𝑦 = 𝑚𝑐 + 𝑐

สมการปกต ∑ 𝑦 = 𝑚 ∑ 𝑥 + 𝑛𝑐

∑ 𝑥𝑦 = 𝑚 ∑ 𝑥2 + 𝑐 ∑ 𝑥

2. สมการพาราโบลามคาคงตวทตองการหา 3 ตว คอ a,b และ c จะมสมการปกต 3 สมการ รปทวไป 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

สมการปกต ∑ 𝑦 = 𝑎 ∑ 𝑥2 + 𝑏 ∑ 𝑥 + 𝑛𝑐

∑ 𝑥𝑦 = 𝑎 ∑ 𝑥3 + 𝑏 ∑ 𝑥2 + 𝑐 ∑ 𝑥

∑ 𝑥2𝑦 = 𝑎 ∑ 𝑥4 + 𝑏 ∑ 𝑥3 + 𝑐 ∑ 𝑥2

3. สมการเอกซโพเนนเชยล มคาคงตวทตองการหา 2 ตวคอ a,b จะมสมการปกต 2 สมการ รปทวไป 𝑦 = 𝑎𝑏𝑥 หรอ log 𝑦 = log 𝑎 + 𝑥 log 𝑏

สมการปกต ∑ 𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 𝑛 log 𝑎 + log 𝑏 ∑ 𝑥

∑ 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑦 = (log 𝑎) ∑ 𝑥 + (log 𝑏) ∑ 𝑥2

สรป ถาความสมพนธเชงฟงกชนอยในรป y = f(x) แลว

1. ความสมพนธเชงฟงกชนน ม x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม

2. ถาก าหนดคา x ให เราจะสามารถท านายคาของ y ได [นนคอตวแปรทจะท านายคา (หาคา) ตองเปน

ตวแปรตามเทานน]

3. ถาก าหนดคา y ให เราจะหาคาหรอท านายคา x ไมได เนองจาก x เปนตวแปรอสระหากตองการ

ท านายคา x ตองสรางความสมพนธใหมเปน x = f(y) ซงความสมพนธนม y เปนตวแปรอสระ และ x

เปนตวแปรตาม

4. จากสมการรปทวไป “ถามคาคงตว (เชน m, o, b, c) k ตว ตองสรางสมการปกต k สมการดวย”

5. สมการความสมพนธเชงฟงกชนทถกสรางจากขอมลกลมหนงๆ จะใชท านายความเปนไปได ของ

ขอมลกลมนน ๆ เทานน “แตจะน าไปใชท านายความเปนไปไดของขอมลกลมอน ๆ ไมได”


Page 5

ตวอยางท 1 ตารางตอไปนเปนความสมพนธระหวาง x กบ y

x 1 2 3 4 5 y 2 3 5 6 9

1. จงเขยนแผนภาพการกระจายของขอมล และเขยนกราฟทใชแทนความสมพนธดงกลาวนดวย

2. จงหาสมการทแสดงความสมพนธระหวาง x กบ y โดยให x เปนตวแปรอสระ

3. จากสมการในขอ2.จงท านายคาของ y เมอก าหนดให x=10

4. จงท านายคาของ x เมอก าหนดให y=11

x y 1 2 2 3 3 5 4 6 5 9

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………......................................…………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………......................................…………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………......................................………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….............

.........................………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


Page 6

ตวอยางท 2 ก าหนดขอมลดงตอไปน

x 1 2 3 4 y 5 2 3 10

ถาความสมพนธระหวาง x กบ y เปนสมการพาราโบลา จงหาสมการแสดงความสมพนธและจงท านายคา y

เมอ x = 5

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………........

x y 1 5 2 2 3 3 4 10


Page 7

แบบฝกหด

1. ก าหนดใหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทก าหนดใหตอไปน เปนเสนตรง

X 0 1 2 4 5 6 Y 8 6 4 3 3 0

1) จงเขยนแผนภาพการกระจายขอมล

2) จงหาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนทม y เปนตวแปรตาม

3) จงหาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนทม y เปนตวแปรอสระ

4) จงท านายคา y เมอ x = 3

5) จงท านายคา x เมอ y = 1

x y 0 8 1 6 2 4 4 3 5 3 6 0


Page 8

2) ก าหนดขอมลตอไปน

x 7 9 3 2 1 y 39 49 19 14 9

ถาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทก าหนดใหเปนเสนตรงแลว

1. จงท านายหาคา y เมอ x=6

2. จงท านายหาคา y เมอ y=25

x y 7 39 9 49 3 19 2 14 1 9


Page 9

3) ในขอมลตอไปนก าหนดให

x แทนจ านวนวนทนกเรยนขาดเรยนวชาสถต, y แทนคะแนนสอบวชาสถตของนกเรยน, n แทนจ านวนนกเรยน

จากการส ารวจ พบวา ความสมพนธเชงฟงกชน x และ y เปนเสนตรง และไดขอมลดงน

1. ถานายสมชายขาดเรยน 6 วน จงท านายคะแนนสอบของสมชาย

2. ถาปราณสอบไดคะแนน 60 คะแนน จงท านายวาปราณขาดเรยนกวน

4) ก าหนดขอมลตอไปน

x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 5 3 2 3 4 7

1. จงเขยนแผนภาพการกระจาย

2. จงหาสมการของความสมพนธเชงฟงกชน ระหวางขอมลทม y เปนตวแปร

3. จงท านายวา ถา x = 8 แลว y = ?

x y 1 6 2 5 3 3 4 2 5 3 6 4

7 7

∑ x = 90 ∑ 𝑥𝑦 = 4,750 ∑ 𝑥2 = 400

∑ 𝑦 = 1,800 𝑛 = 30 ∑ 𝑦2 = 113,000


Page 10

ความสมพนธเชงฟงกชนทอยในรปอนกรมเวลา

ขอมลทอยในรปอนกรมเวลา คอ ขอมลทแสดงความเปลยนแปลงตามล าดบกอนหลงของชวงเวลาทขอมลนนๆ

(หรอกลาวงายๆ ขอมลทอยในรปอนกรมเวลา คอ ขอมลทมหนวยเวลามาเกยวของ) โดยปกตขอมลลกษณะน จะเกดขน

ในชวงเวลาทเทา ๆกน เชน เปนชวงเวลาละ 1 ป หรอ 1 เดอน เปนตน ตวอยางของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา เชน

- ปรมาณขาวสาร ทไทยสงออกตงแตป พ.ศ. 2534 - 2539

- ปรมาณน าฝนทตกในภาคกลาง ตงแตเดอนสงหาคม - ตลาคม พ.ศ. 2539

เทคนคการสมบตตวเลขมาแทนชวงเวลาทเทา ๆ กน

โดยปกตชวงเวลาทเทาๆกน ในอนกรมเวลามกจะเปนชวงเวลาเปน “ป” เชน มลคาการสงเครองหนงเปนสนคาออก

ในชวงป พ.ศ.2537 - 2539 เปนดงน

พ.ศ. 2537 2538 2539

มลคาสนคา (หนวยเปนรอยลาน) 2 3 6 หากจะสรางความสมพนธระหวางป พ.ศ. (x) กบจ านวนมลคาสนคา (y) กจะยงยากมาก เพราะ x มคาเปน

จ านวนพน ดงนนในทางปฏบตจรงแลว กจะปรบคา x เปนตวเลขต าๆ เชน อาจจะให พ.ศ. 2537 ตรงกบ 1, พ.ศ.2538

ตรงกบ 2 เปนตน แตทนยมปรบคา x ทเปนป พ.ศ. ใหเปนตวเลขจะท ากนดงน ( ให ∑ 𝒙 มคากบ 0 )

กรณท 1 จ านวนป พ.ศ. เปนจ านวนค กรณท 2 จ านวนป พ.ศ. เปนจ านวนค

ใหสมบตปทอยตรงกลางเปน 0 สวนปกอนหนาปทอยตรงกลางใหก าหนดเปน -1,-2,-3 ตามล าดบ และปทอยตรงกลางก าหนดเปน 1,2,3,… ตามล าดบ ดงตวอยาง

ใหก าหนด 2 ป ตรงกลาง เปน -1 กบ 1 และปกอนหนานเปน “-3,-5,-7,…”และปทอยหลงปตรงกลางเปน “3,5,7,…”ตามล าดบ ดงตวอยาง

พ.ศ. x

2534 -3

2535 -2 2536 -1

2537 0

2538 1 2539 2

2541 3

พ.ศ. x

2534 -5 2535 -3

2536 -1

2537 1 2538 3

2539 5

2540 7

หมายเหต 1. การก าหนดคา x ดงในกรณ 1 และท 2 ขอดกคอ ท าใหคา ∑𝑥 = 0 ซงจะท าใหการค านวณหา

คาคงตว ( m, c, … ) สะดวกและรวดเรวขนมาก

2. ในการท านายคาตวแปรตาม จะตองเปลยนป พ.ศ. ใหอยในรปของคา x และตองสอดคลองกบตารางทก าหนดนดวย


Page 11

ตวอยางท 3 ขอมลตอไปนแสดงจ านวนรถยนตทบรษทแหงหนงขายได (หนวยรอยคน) ในชวงป พ.ศ.2536

ถงป พ.ศ.2540

พ.ศ. 2536 2537 2538 2539 2540 จ านวนรถยนต (รอยคน) 5 8 12 15 20

ถาความสมพนธระหวางป พ.ศ. กบจ านวนรถยนตทขายได มความสมพนธเชงฟงกชนแบบสมการ

เสนตรงแลว จงท านายจ านวนรถยนตทจะขายไดในป พ.ศ.2543


Page 12

ตวอยางท 4 ขอมลตอไปน แสดงมลคาการสงสนคาออกชนดหนงไปจ าหนายยงตางประเทศในชวงป

พ.ศ.2536 - 2540

พ.ศ. 2536 2537 2538 2539 2540 มลคาสนคา(ลานบาท) 1 2 4 6 16

ถาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทงสองเปนแบบสมการเอกซโพเนนเชยลแลว

จงท านายมลคาสนคาสงออกในป พ.ศ.2543 (ก าหนด log 1.05 = 0.0195)

วธท า สมการทวไป คอ 𝑦 = 𝑎𝑏𝑥

log 𝑦 = 𝑎 log 𝑏 + log 𝑎

สมการปกต คอ ∑ log 𝑦 = log 𝑏 ∑ 𝑥 + 𝑛 log 𝑎 ....................(1)

∑ x log 𝑦 = log 𝑏 ∑ 𝑥2 + log 𝑎 ∑ 𝑥 .................(2)

พ.ศ. x y log 𝑦 𝑥 log 𝑦 x2

2536 -2 1 0 0 4 2537 -1 2 0.3010 -0.3010 1 2538 0 4 0.6020 0 0 2539 1 6 0.7781 0.7781 1 2540 2 16 1.2040 2.4080 4

∑ 𝑥= 0 ∑ log 𝑦 = 2.8851 ∑ 𝑥 log 𝑦 = 2.8851 ∑ 𝑥 = 10

แทนคา ∑ ใน (1) จะได 2.8851 = (log b) (0) + 5 log a

log a = 0.5770

แทนคา ∑ ใน (2) จะได 2.8851 = 10 log b + (log a) (0)

10 log b = 2.8851

log b = 0.28851

ดงนนสมการ คอ log b = 0.2885X + 0.5770

ป พ.ศ. 2543 คอคา x = 5

log y = (0.2885) 5 + 0.5770

log y = 2.0195

= 2 + 0.0195

log y = log 105

log y = 105

ฉะนน มลคาสนคาสงออกในป พ.ศ.2543

มคาประมาณ 146 ลานบาท


Page 13

แบบฝกหดท 2

1.ขอมลตอไปน แสดงยอดขายเครองสบน า ของบรษทแหงหนง ตงแต พ.ศ.2530 ถง พ.ศ.2534

พ.ศ. 2530 2531 2532 2533 2534 ยอดขายเครองสบน า (x 1000เครอง) 1 2 4 5 7 (1) จงเขยนแผนภาพการกระจาย

(2) จงหาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางเวลาและยอดขายเครองสบน าเพอท านายยอดขาย

(3) จงท านายยอดขายเครองสบน าในปพ.ศ. 2537

(4) จงท านายยอดขายเครองสบน าเฉลยใน 6 เดอนแรกของป พ.ศ.2536

พ.ศ. y x 2530 1 2531 2 2532 4 2533 5 2534 7


Page 14

2. มลคาอตสาหกรรมสงทอทบรษทแหงหนงสงออกไปขายยงตางประเทศ

ตงแตป พ.ศ. 2520 ถง พ.ศ. 2525 เปนดงน

พ.ศ. 2520 2521 2522 2523 2524 2525 มลคา(ลานบาท) 1 3 4 5 7 9

(1) จงเขยนแผนภาพการกระจาย

(2) จงหาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลเพอท านายมลคาการสงออก

(3) จงท านายมลคาการสงออกในปพ.ศ.2530

(4) จงท านายมลคาสงออกเฉลยตอป ตงแตป พ.ศ.2526 ถง พ.ศ.2530

(5) จงท านายมลคาการสงออกเฉลยใน 3 เดอนแรกของป พ.ศ.2526

พ.ศ. x y 2520 1 2521 3 2522 4 2523 5 2524 7 2525 9


Page 15

3. บรษทแหงหนงท าสถตเกยวกบคาใชจายเบดเตลดประจ าป ตงแตปพ.ศ. 2527 ถง พ.ศ. 2532 เปนดงน

พ.ศ. 2527 2528 2529 2530 2531 2532 คาใชจาย(พนบาท) 2 6 10 13 16 18

(1) จงหาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางเวลาและคาใชจายเบดเตลดเพอท านายคาใชจายเบดเตลด

(2) จงท านายคาใชจายเบดเตลดในป พ.ศ. 2534

(3) จงท านายคาใชเบดเตลดเฉลยใน 10 เดอนแรกของป พ.ศ. 2533

(4) จงท านายคาใชจายเบดเตลดเฉลยตอป ของคาใชจายเบดเตลดตงแตป พ.ศ.2533 ถง พ.ศ.2536

พ.ศ. y x 2527 2528 2529 2530 2531 2532


Page 16

4. ขอมลตอไปนแสดงอตราการเพมของประชาชนของสหรฐอเมรกา ตอประชาชน 1,000 คน

ตงแตป ค.ศ.1915ถง ค.ศ.1955

ค.ศ. 1915 1920 1925 1930 1935 1340 1945 1950 1955 อตราการเพม 25.0 23.7 21.3 18.9 16.9 17.9 19.5 23.6 24.6

(1) จงหาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลเพอท านายอตราการเพมของประชาการ

(2) จงท านายอตราการเพมของประชาการ ในปค.ศ.1960

ค.ศ. y x 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950


Page 17

5.สถตประชาชนของเมองแหงหนง ตงแตป พ.ศ.2525 ถง พ.ศ. 2533 ชวงละ 2 ป ดงน

พ.ศ. 2525 2527 2529 2531 2533 จ านวนประชาชน (หมนคน) 1 3 6 14 41

(1) จงหาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลเพอท านายจ านวนประชาชน

(2) จงท านายประชาชนของเมองในป พ.ศ.2535

(3) จงท านายประชาชนของเมองในป พ.ศ.2530

พ.ศ. y x 2525 1 2527 3 2529 6 2531 14 2533 41


Page 18

6. จากขอมลอนกรมเวลา (y) มคาแสดงในตารางขางลางน

ถา y มความสมพนธเชงฟงกชนกบเวลา (x) ในลกษณะเสนตรง จงท านายหาคา y ในป

(1) พ.ศ.2535 (2) พ.ศ.2540

พ.ศ. y x 2526 20 2527 30 2528 20 2529 40 2530 60

พ.ศ. 2526 2527 2528 2529 2530 y 20 30 20 40 60


Page 19

แบบฝกหดทบทวน 1 1. ความสมพนธระหวางรายได (x) และรายจาย (y) ของครอบครวตาง ๆ ในหมบานแหงหนงเปนดงน Y = 0.68x + 0.42 ซงครอบครวหนงมรายได 1000 บาท จะมรายได 680.42 บาท และถาอกครอบครวหนงมรายจาย 500 บาท แลวจะมรายไดตรงกบขอใด ก. 734.68 บาท ข. 730.58 บาท ค. 698.12 บาท ง. ไมสามารถหาได 2. จากตารางขอมล

พ.ศ. 2535 2536 2537 2538 2539 2540 Y 7 5 4 3 2 4

ถา y มความสมพนธเชงฟงกชนกบเวลา แบบเสนตรงแลว จงหาสมการความสมพนธ ก. y = -0.79x + 3.71 ข. y = 0.79x – 3.71 ค. y = -0.36x + 4.71 ง. y = 0.36x – 4.17 3. จากตารางขอมลตอไปน

พ.ศ. 2536 2537 2538 2539 2540 Y 20 30 20 40 60

ถา y มความสมพนธเชงฟงกชนกบเวลา แบบเสนตรงแลว จงท านายคาของ y ในป 2545 ก. 97 ข. 106 ค. 110 ง. 120 4. จากตารางขอมลตอไปน

X 0 1 2 3 4 Y 1 5 10 22 38

ถา x และ y มความสมพนธเชงฟงกชนแบบพาราโบราแลว จงหาสมการความสมพนธ ก. y = 2.2 x2 + 0.3x +1.4 ข. Y = 2.3 x2 – 0.3x + 1.5 ค. y = 2.5 x2 + 0.3x + 1.5 ง. Y = 2.6 x2 + 0.5x + 1.3 5. ในการวเคราะหขอมลเกยวกบรายได (x) และรายจาย (y) ของสนคาชนดหนงมความสมพนธแบบเสนตรงและ n = 5 , x = 10 , y = 8 , ∑x2 = 250 , ∑xy = 625 , ∑x2 = 40 จงหาคาของ y เมอ x = 10 ก. 8 ข. 9 ค. 10 ง. 11


Page 20

6. จากตารางขอมลตอไปน

X -2 -1 0 1 2 Y 2 1 3 5 9

ถา x และ y มความสมพนธเชงฟงกชนแบบพาราโบลาแลว จงหา y เมอก าหนด x = 3 ก. 13.45 ข. 14.398 ค. 15.56 ง. 16.48 7. สถตจ านวนประชากรของต าบลหนงตงแตป พ.ศ. 2530 - 2538 ชวงละ 2 ป เปนดงน

พ.ศ. 2530 2532 2534 2536 2538 จ านวน (พนคน) 1 2 4 8 10

ถาจ านวนประชากรมความสมพนธกบเวลาเปนแบบเอกซโพเนนเชยล เมอก าหนดใหเวลาแทนดวย X = -2 , -1 , 0 , 1 , 2 ตามล าดบ จงหาความสมพนธ ก. log y = 0.2602x + 0.5612 ข. log y = 0.2602x – 0.5612 ค. log y = 0.5612x + 0.2602 ง. log y = 0.5612x – 0.2602 8. จากโจทยขอ 7 จงท านายวาป 2542 ต าบลนจะมจ านวนประชากรกคน ก. 35,000 ข. 40,000 ค. 45,000 ง. 50,000 9. ถาสถตจ านวนประชากรของประเทศไทยในชวงป พ.ศ. 2527 – 2535 เปนดงน

พ.ศ. 2527 2528 2529 2530 2531 2532 2533 2534 2535 ประชากร (ลานคน) 46.7 47.7 48.7 49.7 50.7 51.6 52.7 53.6 54.5

ถาจ านวนประชากรมความสมพนธกบเวลาเปนเอกซโพเนนเชยล แลวจงหาคาของ log a และ log b (ตามล าดบ) ก. 1.604, 0.008 ข. 1.470, 0.007 ค. 1.704, 0.008 ง. 1.074, 0.080

10. ก าหนดให x เปนตวแปรอสระและ y เปนตวแปรตาม และก าหนดให n = 7, 307

1

i

ix , ,94.07

1

i

iy

,307.87

1

i

ii yx ,72.2487

1

2 i

ix c = -0.019 ถา x และ y มความสมพนธแบบเสนตรง

จงหาคาของ Y เมอ x = 2 ก. 0.69 ข. 0.4 ค. 0.05 ง. 0.04


Page 21

11. ก าหนด y = a + bx พจารณาคาของ a และ b ของแตละขอตอไปน 1) ถา x = 10 , y = 20 , ∑x2 = 2000 , ∑xy = 3000 , n = 10 แลวจะได a = 10 , b = 1 2) ถา x = 50 , y = 10 , ∑x2 = 135000 , ∑xy = 30000 , n = 10 แลวจะได a = -15 , b = 0.5 ขอใดสรปไดถกตอง ก. ขอ 1) และขอ 2) ถก ข. ขอ 1) และขอ 2) ผด ค. ขอ 1) ถก และขอ 2) ผด ง. ขอ 1) ผด และขอ 2) ถก 12. จากการสอบถามรายจายของครอบครว 8 ครอบครวทมรายไดตงแต1000บาทถง14000บาท ไดสมการ

ความสมพนธของรายได (x) และรายได (y) คอ y = 0.636x + 0.545 แลวจงพจารขอความตอไปน

1) เราสามารถใชสมการขางตนท านายรายไดเมอทราบรายจาย

2) ถาเพมขอมลอก 7 ครอบครวสมการทใชแทนความสมพนธยงคงเปนสมการเดมแลวขอใดถกตอง

ก. ขอ 1) และขอ 2) ถก ข. ขอ 1) และขอ 2) ผด

ค. ขอ 1) ถก และขอ 2) ผด ง. ขอ 1) ผด และขอ 2) ถก

13. จากการศกษาขอมลเกยวกบการพฒนาการอานของนกเรยนกลมหนง ซงมโปรแกรมการฝกอานเปนดงน

จ านวนสปดาหทเขาโปรแกรม 1 2 3 4 5 จ านวนค าทอานใน1นาท 22 65 81 132 180

ถาเดกคนหนงเขาโปรแกรมน 8 สปดาห แลวเขาจะมความสามารถอานไดประมาณกค าตอนาท

ก. 171 ค า ข. 173 ค า ค. 164 ค า ง. 160 ค า

14. บรษทแหงหนงขายของเลนเดก มยอดจ าหนายใน 5 เดอนแรกดงน

อยากทราบวาเดอนมถนายนจะขายไดประมาณกชน

ก. 920 ข. 940 ค. 960 ง. 980

15. จากตารางขอมลตอไปน มความสมพนธ คอ y = 𝑎𝑏−𝑥 แลวจงหาคา y เมอ x = 5

x 1 2 3 4 y 1000 100 0.1 0.001

ก. 10−7 ข. 10−6 ค. 10−5 ง. 10−4

เดอน ม.ค. ก.พ. ม.ค. เม.ย. พ.ค. ยอดจ าหนาย (รอยชน) 4 2 1 3 5


Page 22

ใบความรเรอง การประมาณคาของคาคงตวโดยใชวธก าลงสองนอยสด เมอทราบถงรปแบบความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลจากการสรางแผนภาพการกระจายของขอมลวา

ควรอยในรปแบบใด เชน รปเสนตรง รปพาราโบลา หรอรปเอกซโพเนนเชยลแลวขนตอไปกคอการหาสมการของ

ความสมพนธ โดยเรมจากสมการทวไปรปใดรปหนงคอ Y = a + bX, Y = a + bX +cX2 และ Y = Xab

แลวประมาณคาของคาคงตวในสมการทเลอก เมอทราบคาคงตวแลว จงสามารถน าไปใชในการพยากรณคาตว

แปรตามเมอทราบหรอก าหนดคาตวแปรอสระได

ในการหาคาคงตวทปรากฏอยในรปสมการทวไปนน หาไดโดยอาศยหลกทวา ถาจะใหสมการของ

ความสมพนธทสรางขนสามารถใชแทนความสมพนธทเกดขนไดดแลว ผลรวมของความแตกตางระหวางคาทได

จากความสมพนธเชงฟงกชนทสรางขนกบคาทเกดขนจรงทก ๆ คาควรจะนอยทสด แตเนองจากความแตกตาง

ระหวางคาทไดจากความสมพนธเชงฟงกชนแตละคากบคาทเกดขนจรงอาจมคาเปนบวกบาง ลบบางขนอยกบแต

ละคาของความสมพนธกบคาทเกดขนจรงวาคาใดจะมากกวากน ท าใหผลรวมของความแตกตางดงกลาวอาจจะ

หกลางกนหมดพอด ดงนนผลรวมของความแตกตางทเกดขนเปนศนยซงไมตรงกบความจรง เพราะความ

แตกตางทเกดขนระหวางคาจากความสมพนธและคาทเกดขนจรงไมวาจะมากกวาหรอนอยกวาจะเปนความ

แตกตางซงถอวาเปนความคลาดเคลอนทงสน ไมสามารถหกลางกนจนความคลาดเคลอนทเกดขนหมดไปได

ดงนน เพอทจะไมใหผลรวมของความแตกตางทเกดขนเปนศนย จงตองยกก าลงสองของความแตกตางทเกดขน

เสยกอน แลวจงหาผลรวมของก าลงสองของความแตกตางทเกดขน ถาผลรวมนนอยทสดจะถอวาความสมพนธ

เชงฟงกชนนนเหมาะสมส าหรบการประมาณคาตวแปรตามมากทสด วธดงกลาวนเรยกวา วธก าลงสองนอยสด

(method of least square) กลาวคอ

ถาให yi เปนคาของตวแปรตาม Y หรอคาจากการสงเกตทเกดขนจรงตวท i เมอ i คอ 1, 2, 3, ..., n

iy (อานวา y hat ตวท i) เปนคาของตวแปรตาม Y ทไดจากความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปร

ตาม Y กบตวแปรอสระ X ทไดจากการแทนคาตวแปร X ดวย xi

ตองการท าให

n

1i

2ii)y(y ˆ มคานอยสด (เมอ n เปนจ านวนตวอยางทใชหรอจ านวนขอมลทงหมดท

น ามาสรางความสมพนธ)

วธทจะท าให

n

1i

2ii)y(y ˆ มคานอยสดจะไมแสดงไวในทน เนองจากตองใชความรคณตศาสตรชนสง

แตจากการใชวธก าลงสองนอยทสดดงกลาวจะไดสมการซงเรยกวาสมการปกต (normal equations) โดยม

จ านวนสมการเทากบจ านวนคาคงตวทตองการหา กลาวคอ


Page 23

(1) สมการเสนตรง มรปสมการทวไปเปน Y = a + bX มสมการปกต คอ

n

1i iy = an +

n

1i ixb -------------------- (1)

i1i iyx

n

=

n

1i ixa +

n

1i

2i

xb -------------------- (2)

(2) สมการพาราโบลา มรปสมการทวไปเปน Y = a + bX +cX2 มสมการปกต คอ

n

1i iy = an +

n

1i ixb +

n

1i

2i

xc -------------------- (1)

i1i iyx

n

=

n

1i ixa +

n

1i

2i

xb +

n

1i

3i

xc -------------------- (2)

n

1i i2iyx =

n

1i

2i

xa +

n

1i

3i

xb +

n

1i

4i

xc -------------------- (3)

(3) สมการเอกซโพเนนเชยล มรปสมการทวไปเปน Y = xab หรอ log Y = log a + log b สมการ

ปกต คอ

n

1i ilog y = n log a + (log b)

n

1i ix -------------------- (1)

n

1i iilog yx = (log a)

n

1i ix + (log b)

n

1i

2i

x -------------------- (2)

เมอ (xi, yi) เปนคาจากการสงเกตของตวแปรอสระและตวแปรตามคท i เมอ i คอ 1, 2, 3, ...., n และ

a, b, c เปนคาคงตว

คาคงตวของสมการของความสมพนธเชงฟงกชนแบบตาง ๆ หาไดจากการแกสมการปกตหลงจากทได

แทนคาตวแปรอสระและตวแปรตามทน ามาสรางความสมพนธนนแลว

หมายเหต สมการตาง ๆ ทกลาวถงในหวขอ 3.3 เปนสมการทใชในการประมาณหรอพยากรณคาตวแปรตาม

เมอทราบหรอก าหนดคาตวแปรอสระ นนคอ ถาตองการประมาณหรอพยากรณคาของตวแปรใดกตองใหตวแปร

ตวนนเปนตวแปรตามและตวแปรอกตวหนงเปนตวแปรอสระ

Documents

30206 · วิชาคณิตศาสตร์ (ค30206/ ค33292) เรื่อง สถิติ 3 การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน