ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Η μηχανική ενέργεια και η διατήρησή της

Όταν εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω από το έδαφος ένα σώμα

μάζας m με αρχική ταχύτητα υο, το σώμα αρχίζει ανεβαίνει οπότε

μειώνεται η κινητική του ενέργεια και να αυξάνεται η δυναμική του

ενέργεια, όταν το σώμα φτάσει στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του, η

ταχύτητά του μηδενίζεται στιγμιαία υ = 0, ομοίως και η κινητική του

ενέργεια, όμως στη θέση αυτή θα έχει αποκτήσει τη μεγαλύτερη δυναμική

του ενέργεια. Ακριβώς το αντίστροφο γίνεται στην κάθοδο του σώματος, η

δυναμική του ενέργεια μειώνεται και αυξάνεται η κινητική του ενέργεια.

Αν η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και δεχτούμε ότι η μοναδική

δύναμη που ασκείται στο σώμα σε όλη τη διάρκεια της κίνησής του είναι

το βάρος του, τότε η μηχανική ενέργεια του σώματος διατηρείται σταθερή.

Μηχανική ενέργεια ονομάζουμε το άθροισμα της κινητικής και της

δυναμικής ενέργειας σώματος δηλαδή:

Εμηχ = Κ + U

Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας

Όταν σ’ ένα σώμα (ή σύστημα σωμάτων) ασκείται μόνο το βάρος του (ή και ελαστικές δυνάμεις), η

μηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή:

, ,E E K U K Uµηχ αρχ µηχ τελ αρχ αρχ τελ τελ= ⇔ + = +

Εφαρμογή 1

Ένα μικρό σώμα μάζας m = 0,2 kg αφήνεται από το σημείο

Α που βρίσκεται σε ύψος h = 5 m από το σημείο Β που

βρίσκεται στο έδαφος να πέσει χωρίς αρχική ταχύτητα. Οι

αντιστάσεις του αέρα είναι αμελητέες, να βρείτε:

α. Τη μηχανική ενέργεια του σώματος στο σημείο Α.

Κατ’ αρχήν ορίζουμε το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται

από το σημείο Β, ως επίπεδο αναφοράς (μηδενικής

δυναμικής ενέργειας), αυτό χρειάζεται για να καθορίζουμε

τη δυναμική ενέργεια του σώματος σε κάθε σημείο της

τροχιάς του. Στη συνέχεια παρατηρούμε αν το σώμα έχει

ταχύτητα στα σημεία που πρόκειται να μελετήσουμε. Εφ’

όσον το βάρος είναι η μοναδική δύναμη που παράγει έργο, εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της

Μηχανικής Ενέργειας:

, , ,0,2 10 5 10E K U mgh E E Jµηχ µηχ µηχΑ Α Α Α Α= + = ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔ =

β. Τη μηχανική ενέργεια του σώματος στο σημείο Β.

Σύμφωνα με την ΑΔΜΕ ισχύει ότι: , , , 10A B BE E E Jµηχ µηχ µηχ= ⇔ =

γ. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας με την οποία χτυπάει στο έδαφος;

2 2,

1 110 10 0,2 10 /

2 2B B BE K U m m sµηχ υ υ υ= + ⇔ = ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔ =

Εφαρμογή 2

Ένα παιδί, πετάει μια μπάλα του μπάσκετ από το ύψος της κεφαλής

του με ταχύτητα μέτρου υ0 = 10 m/s και φτάνει στο καλάθι που

βρίσκεται σε ύψος h = 1,8 m πάνω από το σημείο βολής. Να βρείτε

το μέτρο της ταχύτητας υ με την οποία η μπάλα μπαίνει στο καλάθι.

(Αντιστάσεις αέρα αμελητέες, g = 10 m/s2)

Εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ ανάμεσα στις θέσεις Α και

Β, ορίζουμε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο

επίπεδο που περνάει από το σημείο βολής Α. Οπότε:

, ,

2 2 2 2

2 2 2

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2 100 2 10 1,8

100 36 64 8 /

A A A A B BE E K U K U

m m mgh gh

gh

m s

µηχ µηχ

ο ο

ο

υ υ υ υ

υ υ υυ υ υ

= ⇔ + = +

= + ⇔ = +

= + ⇔ = + ⋅ ⋅

= − ⇔ = ⇔ =

1. Ένα μικρό σώμα μάζας m = 1 kg εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα

μέτρου υο = 10 m/s. Αντιστάσεις αέρα αμελητέες, g = 10 m/s2. (επίπεδο μηδενικής δυναμικής

ενέργειας, να πάρετε το έδαφος). Να υπολογίσετε:

α. Την αρχική του μηχανική του ενέργεια.

β. Το μέγιστο ύψος h που φτάνει το σώμα από το σημείο βολής.

γ. Με ποια ταχύτητα υ κατά μέτρο επιστρέφει στο σημείο βολής.

δ. Πόση είναι η μηχανική του ενέργεια στο μισό της μέγιστης απόστασής του από το έδαφος.

ε. Σε ποιο ύψος από το έδαφος η κινητική του ενέργεια είναι ίση τη δυναμική του ενέργεια.

2

2. Από το σημείο Α, μιας πίστας του σκι στο Καϊμάκτσαλαν, που βρίσκεται σε ύψος h = 20 m από

το οριζόντιο επίπεδο αρχίζει να κατεβαίνει χωρίς αρχική ταχύτητα ένα παιδί μάζας m = 40 kg. Σε

όλη τη διάρκεια της κίνησή του, δεν υπάρχουν τριβές και αντιστάσεις αέρα. Να συμπληρώσετε

τον πίνακα που ακολουθεί, λαμβάνοντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, το

οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Γ. Δίνεται g = 10 m/s2.

3. Ένα σώμα μάζας m = 2 kg αφήνεται να κινηθεί χωρίς

αρχική ταχύτητα από το σημείο Α, ενός λείου

κεκλιμένου επιπέδου που βρίσκεται σε ύψος h = 5

m από το οριζόντιο επίπεδο. Να βρείτε το μέτρο της

ταχύτητας του σώματος όταν φτάνει στη βάση του

κεκλιμένου επιπέδου στο σημείο Β. Δίνεται g = 10

m/s2.

4. Στο διπλανό σχήμα, ένα σώμα εκτοξεύεται από το κάτω μέρος μιας

πολυκατοικίας ύψους 20 m. Δίνεται g = 10 m/s2.

Να υπολογίσετε;

α. Το μέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης, ώστε το σώμα μόλις να φτάσει στην

ταράτσα της.

β. Με ποια ταχύτητα θα περνάει από το μπαλκόνι του 2ου ορόφου που

βρίσκεται σε ύψος 7,2 m από το έδαφος;

3