热学习题课

Vander Waals 方程

nRTnbVV

nap

)(

2

不可压缩项分子间吸引力项

1

Vander Waals 等温线

• 实际等温线并非如此

1

• 临界等温线拐点处一、二阶导数都为零• 求临界点各项状态参量

临界等温线

1

42

32

2

32

2

2

2

16

)(

2

12

)(

)(

Van

nbV

nRT

V

p

Van

nbV

nRT

V

p

V

na

nbV

nRTp

nRTnbVV

nap

T

T

1

4

3

3

2

42

3

32

2

2

2

)(3

)(2

01

6)(

2

01

2)(

0;0

K

KK

K

KK

KK

K

KK

K

TTTT

RV

nbVanT

RV

nbVanT

Van

nbV

nRTV

annbV

nRT

V

p

V

pK

KK

处，临界点1

)3

8(

27;

27

8

3

23 两式相除得：

2

，普适临界系数

KK

K

KK

K

KK

Vp

RTb

ap

Rb

aT

nbV

Vnb)(V

1

，无量纲普适方程

方程，代入取

8)13(3

27

8)3(

327

)(

lsVander Waa,,

2

2

2

2

Rb

anRnbnb

nb

na

b

a

TnRnbVV

nap

T

T

V

V

p

p

KKK

K

KKK

1

如何用实验验证速度分布？

2

Stern; Zartman & 葛正权 R.C.Miller & P.Kusch

I. F. Zartman, Phys. Rev. 37, 383 (1931) Phys. Rev. 99, 1314 (1955)

小缝

2

布粒子数即可得出速率分的碰撞通过比较圆筒不同位置

对应的速度由此可得'

2'

2)('

2

2

2

pp

Rvp

v

RtRpp

v

Rt

2

问题• 实验所得的速度分布与腔体内理想气体速

度分布一致吗？

2

泻流• 在容器上开一个小口，面积 dA （面积很

小）• 求容器内理想气体分子单位时间的逸出量• 求压强与均方根速率的关系

2

把元取得足够小）（积分过程自然可以

要求：

为单位体积内的粒子数

dVdtdvdvdv

n

dVdvdvdvvfvfvnfvvvdN

zyx

zyxzyxzyx

3

)()()(),,(x

O

z

y

vydt

v xdt

v zdt

dV

位置空间

vyvz

dvx

dvy

速度空间zyxzyx dvdvdvvfvfvf )()()( ndV

vx

dv z

2

x

dAO

z

y

B

vydt

v xdt

v zdt

位置空间

• 在以 dA 为底， vx

dt 为高的平行六面体内速度为 (vx,vy,vz) 的粒子都可以在 dt 内到达 dA ，其数量为 dN’

dtdAvdvdvdvvfvfvnf

dVdvdvdvvfvfvnfvvvdN

xzyxzyx

dtdAvV

zyxzyxzyx

x

)()()(

)()()(),,('

2

• vy ， vz 变化范围没有限制 (-∞,+∞) ， vx 有限制，必须逸出，即必须 >0 ,(0,+∞) 。故 dt内在 dA 逸出的总粒子数 N’ 为

m

kTvdAdtvndAdt

m

kTn

dAdtdvvkT

mv

kT

mn

dAdtdvvvfn

dAdtdvvfdvvfdvvvfnN

xxx

xxx

zzyyxxx

8

4

1

2

2exp

2

)(

)()()('

0

22/1

0

0

2

vndAdt

N

4

1'

• 单位时间内碰在单位面积上的分子数为

2

气体压强• dt 内到达 dA 的 x 方向速度为 vx ， vx+dvx 的

粒子数

• 平衡态，总动能不变，弹性碰撞

dAdtdvvvnf

dAdtdvvfdvvfdvvvnfvdN

xxx

zzyyxxxx

)(

)()()()('

2

2

3

2

3

2

3

2

1

3

3,

)(2

12)(

)(2

2)('

2)(')(

____2

____2

____2____

2____

2____

2____

2____

22222

____22

0

2

0

kT

n

nkT

n

pvmE

vnmp

vvvvvvvvvv

vnmdvvvfnmpvf

dvvvfnmdAdt

Ip

dvmvvdNI

mvvdNvIv

xzyxzyx

xxxxx

xxx

xxx

xxxx

为偶函数，

压强：

总冲量：

产生的冲量： 2

泻流粒子速率分布• dt 时间内有多少速率为 v,v+dv 的粒子能通

过 dA 的小孔

2

• 各个方向速率为 v 的粒子几率分布相等，故某特定方向速率为 v 的粒子数为所有速率为 v 粒子数的 dS/4πv2

• 速率为 v ， x 方向速度分量为 vx ,vx +dvx 通过小孔的粒子数为

dtndAvdvvfv

vddv

sin)(

4

cos2

dv cosvd

dAO

z

xd

vxv

速度空间

dS

2

))((

)(4

1)(

)()(4

1

)(4

cossin)(

dvvv,dAdt

)2,0();2/,0(),,0(

2

2/

0

22

0

为粒子平衡态速率分布

泻流粒子速率分布：

的粒子数为的速率为内通过所有能在取值范围

vf

dvvvfvF

dvdtdAvnFdvdtdAvvfn

dvdtdAvfv

dvvdnvdN

vx

2

• 单位时间内碰在单位面积上的分子数为

vndvvvfndvvnF4

1)(

4

1)(

00

2

泻流粒子速率分布• dt 时间内有多少速率为 v,v+dv 的粒子能通

过 dA 的小孔

• 与平衡态速率分布不同

dvkT

mv

kT

mv

dvkT

mv

kT

mvvvfvF

Maxwell

2exp

2

2exp

24

4

1)(

4

1)(

22/33

22/33

（未归一）为：分布下，泻流速率分布

2

问题• 实验测到的分布是什么？

2

是速率分布• 为什么？为什么是速率分布，而不是 x 方

向速度分布？

I. F. Zartman, Phys. Rev. 37, 383 (1931)

2

Stern; Zartman & 葛正权 R.C.Miller & P.Kusch

I. F. Zartman, Phys. Rev. 37, 383 (1931) Phys. Rev. 99, 1314 (1955)

小缝

2

d

vxv

速度空间

dS

1v 2v

2

dvdtdAvfv

dvvdnvdN )(

4

cossin)(

2

2/

2/)(

22

0

2

“surface tension”

Surface force per unit length

ΔLΔFL

F

LVT

V

T

V

Ckp

kR

RpRF

30.8,

2

)sin(sinsin2

22

2

1

1

2

等压过程

合力

θθ