高中統計的模擬實驗動畫高中統計的模擬實驗動畫

適用單元適用單元

9595 課綱：二項分配課綱：二項分配 (( 選修選修 I)I) 、、 信賴區間與信心水準的解讀信賴區間與信心水準的解讀 (( 第四第四冊冊 ))

9999 課綱：二項分配課綱：二項分配 (( 數學甲數學甲 II 、數學乙、數學乙 I)I) 、、 信賴區間與信心水準的解讀信賴區間與信心水準的解讀 (( 數學甲數學甲II 、、

數學乙數學乙 I)I)

一、彈珠台模擬二項分配一、彈珠台模擬二項分配

(( 配合配合 9595 課綱選修課綱選修 I)I)

彈珠台模擬二項分配 彈珠台模擬二項分配 報告人：黃世穎報告人：黃世穎

伯努利試驗伯努利試驗只有兩種可能結果的實驗•成功 ( 機率為 p)•失敗 ( 機率為 1-p)

一顆彈珠自彈珠台上方落下•向右 ( 機率為 p)•向左 ( 機率為 1-p)

彈珠台模擬彈珠台模擬

伯努利試驗伯努利試驗

100.5130

丟一個公正銅板 丟一個公正銅板 10 10 次次向右視為正面，機率為 0.5向左視為反面，機率為 0.5進行 10 次伯努利試驗伯努利試驗

丟一個公正銅板 丟一個公正銅板 10 10 次次向右視為正面，機率為 0.5向左視為反面，機率為 0.5進行 10 次伯努利試驗伯努利試驗

彈珠台上方置放一顆彈珠結果只有向右與向左向右機率為 0.5(向左機率為 0.5)進行 1 次伯努利試驗伯努利試驗

10.5130

10.51030

二項分配二項分配

( ) , 0,1, ,n k n kkP X k C p q k n

進行 n 次獨立的重複試驗中，X 表示 n 次試驗中成功的次數

恰好成功 恰好成功 kk 次的機率為次的機率為

進行 n 層的一顆彈珠模擬，恰好向右 k 次表示掉進編號 k 的箱子中

實驗過程

彈珠路徑彈珠模擬彈珠模擬

40.3310099

100.5130

100.510099

40.33199

袋中有 袋中有 2 2 紅球、紅球、 1 1 白球，隨機抽取兩球，取後放回白球，隨機抽取兩球，取後放回做 做 4 4 次實驗，每次抽兩球次實驗，每次抽兩球X 表示抽到的兩球都是紅球的次數，即 X~B(4,1/3)

丟 丟 10 10 個公正銅板 個公正銅板 100 100 次次向右視為正面，機率為 0.5向左視為反面，機率為 0.5

丟 丟 10 10 個公正銅板 個公正銅板 1 1 次次向右視為正面，機率為 0.5向左視為反面，機率為 0.5

二、支持度與信賴區間二、支持度與信賴區間

(( 配合配合 9595 課綱第四冊課綱第四冊 ))

民意調查的模擬實驗民意調查的模擬實驗

嘗試進行普查，得到真正的民意支持度。嘗試進行普查，得到真正的民意支持度。進行民意調查，並觀察進行民意調查，並觀察 95%95% 的信賴區間。的信賴區間。改變民意調查的樣本數，觀察改變民意調查的樣本數，觀察 95%95% 的信賴區的信賴區間間真正的民意支持度通常是不知道的，那麼民意真正的民意支持度通常是不知道的，那麼民意調查所做出調查所做出 95%95% 信賴區間有什麼意義？信賴區間有什麼意義？

信賴區間的解讀信賴區間的解讀 (( 配合配合 9595 課課綱綱 ))

進行 進行 1 1 次民意調查次民意調查 (( 抽出 抽出 n n 人人 )) ，得到，得到樣本支持率為樣本支持率為

– 此次的此次的 95%95% 信賴區間為信賴區間為

– 此次做出此次做出 95%95% 的信賴區間只可能有兩種情形：的信賴區間只可能有兩種情形：包含真實 包含真實 pp 值，或不包含真實 值，或不包含真實 pp 值。值。

– 因此並不能說「真實 因此並不能說「真實 pp 值在此區間的機率為 值在此區間的機率為 95%95% 」」

p̂

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ[ 2 , 2 ]

p p p pp p

n n

信賴區間的解讀信賴區間的解讀 (( 配合配合 9595 課課綱綱 ))

進行 進行 m m 次民意調查次民意調查 (( 每次抽出每次抽出 nn 人人 ))

– 可以得到 可以得到 m m 個個 95%95% 信賴區間信賴區間– 不論抽出人數為 不論抽出人數為 n n =100 =100 或 或 1000 1000 ，均約有，均約有

95%95% 的區間包含真正的的區間包含真正的 pp 值值。。但並非一定有 但並非一定有 95% 95% 的區間會涵蓋實際值 的區間會涵蓋實際值 pp 。。

– 不論做幾次民意調查不論做幾次民意調查，我們唯一可以控制的只，我們唯一可以控制的只有每次所抽出的 有每次所抽出的 nn 人。人。

信賴區間的解讀信賴區間的解讀 (( 配合配合 9595 課課綱綱 ))

95%95% 信賴區間半徑為信賴區間半徑為

– 較大的 較大的 nn 值具有較小的區間半徑。值具有較小的區間半徑。– 意味著 意味著 n n 越大越有較佳區間估計的效果。越大越有較佳區間估計的效果。

事實上事實上，， 95%95% 信賴區間半徑為信賴區間半徑為

ˆ ˆ(1 )2

p p

n

ˆ ˆ(11.9

)6

p p

n

信賴區間的解讀信賴區間的解讀 (( 配合配合 9595 課課綱綱 ))

95%95% 信賴區間半徑為信賴區間半徑為

– 由算幾不等式由算幾不等式：：

– 由於 由於 n n 是定值是定值，，易發現 越接近易發現 越接近 0.50.5 ，可，可得較大的區間半徑得較大的區間半徑。。

p̂

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 ) 12

p p p p

n n n

ˆ ˆ(1 )2

p p

n

民意調查的意義民意調查的意義

每個民意調查結果常有下列報導字眼每個民意調查結果常有下列報導字眼

– 以隨機跳號抽樣及電腦輔助電話訪問方式，成功訪以隨機跳號抽樣及電腦輔助電話訪問方式，成功訪問台灣地區 問台灣地區 1068 1068 位 位 20 20 歲以上的民眾，在 歲以上的民眾，在 95% 95% 的信心水準下的信心水準下，，抽樣誤差為 抽樣誤差為 ± 3%± 3% 所得到的所得到的候選人 候選人 A A 的支持度為的支持度為 32%32% 。。

– 我們可以相信這樣的資訊嗎我們可以相信這樣的資訊嗎？？

民意調查的意義民意調查的意義

哪一種民意調查數據較準確哪一種民意調查數據較準確？該相信誰？？該相信誰？

– 若另外一個民意調查在相同的條件下調查出若另外一個民意調查在相同的條件下調查出：：候選人 候選人 A A 的支持度為的支持度為 27%27% 。。

–計算出兩種計算出兩種候選人 候選人 A A 支持度的支持度的 95%95% 信賴區間信賴區間：： [0.292, 0.348] [0.292, 0.348] 與 與 [0.243, 0.297][0.243, 0.297]

–顯然這兩個區間沒有很大的重疊。我們應該相顯然這兩個區間沒有很大的重疊。我們應該相信誰的民調？信誰的民調？

民意調查的意義民意調查的意義

哪一種民意調查數據較準確哪一種民意調查數據較準確？該相信誰？？該相信誰？

–在不知道真正母體支持率的狀況下，不論是哪在不知道真正母體支持率的狀況下，不論是哪一個的民意調查，都沒有準不準確的問題，只一個的民意調查，都沒有準不準確的問題，只有你信不信任的問題。因此僅能視為一種參考有你信不信任的問題。因此僅能視為一種參考資訊。資訊。

為什麼民意調查的抽樣數經常是為什麼民意調查的抽樣數經常是 10681068 ？？

事實上事實上 95%95% 信賴區間半徑為信賴區間半徑為– 由算幾不等式由算幾不等式：：

– 若要控制若要控制區間半徑在區間半徑在 3%3% 以內：以內：

–此時只要取 此時只要取 nn =1068 =1068 人即可。人即可。

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) 1.96 (1 ) 1.961.96

2 2

p p p p

n n n

ˆ ˆ(1 )1.96

p p

n

1.960.03

2 n 1067.11n

為什麼民意調查的抽樣數經常是為什麼民意調查的抽樣數經常是 10681068 ？？

– 若要控制若要控制區間半徑在區間半徑在 1%1% 以內：以內：

–此時只要取 此時只要取 nn =9604 =9604 人。人。

– 以成本的角度來看，為了讓抽樣誤差從 以成本的角度來看，為了讓抽樣誤差從 3% 3% 減減少到 少到 1%1% ，與其增加 ，與其增加 9 9 倍的樣本，不如更謹倍的樣本，不如更謹慎的規劃及更好的抽樣方法來得有效。慎的規劃及更好的抽樣方法來得有效。

1.960.01

2 n 9604.n

9898 大學學測數學科考題大學學測數學科考題某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱為產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱為「知名度」「知名度」 )) 。結果如下：在。結果如下：在 95%95% 信心水準之下，信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0[ 0..50, 050, 0..58 ]58 ] 、、 [ 0[ 0..08, 008, 0..16 ]16 ] 。。

(1)(1) 甲地本次的參訪者中，甲地本次的參訪者中， 54%54% 的人聽過該產品的人聽過該產品

(2)(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數訪人數

9898 大學學測數學科考題大學學測數學科考題某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱為產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱為「知名度」「知名度」 )) 。結果如下：在。結果如下：在 95%95% 信心水準之下，信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0[ 0..50, 050, 0..58 ]58 ] 、、 [ 0[ 0..08, 008, 0..16 ]16 ] 。。

(3)(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於一半以上的人聽過該產品的機率大於 95%95%

(4)(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有名度有 95%95% 的機會落在區間的機會落在區間 [ 0[ 0..08 , 008 , 0..16 ]16 ]

9898 大學學測數學科考題大學學測數學科考題某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱為產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱為「知名度」「知名度」 )) 。結果如下：在。結果如下：在 95%95% 信心水準之下，信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0[ 0..50, 050, 0..58 ]58 ] 、、 [ 0[ 0..08, 008, 0..16 ]16 ] 。。

(5)(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在並增加參訪人數達原人數的四倍，則在 95%95% 信信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半減半 (( 即即 00..04)04)

AnsAns ：： (1)(2)(1)(2)

模擬實驗模擬實驗

我們可以將民意調查的模擬實驗我們可以將民意調查的模擬實驗，推測其，推測其他的統計實驗。例如轉化成滿意度調查、他的統計實驗。例如轉化成滿意度調查、投擲銅板或骰子投擲銅板或骰子……等問題。等問題。

統計模擬實驗，僅能進行統計量的觀察與統計模擬實驗，僅能進行統計量的觀察與檢視，但其背後尚須經過嚴謹的論證。檢視，但其背後尚須經過嚴謹的論證。

報告完畢報告完畢

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