南台科技大學科技管理研究所姓名 :廖鴻儒M97Q0101

AHP 權重向量解法與數值模擬實驗

科管所專題討論 (4)

內容大綱壹、前言貳、 AHP 權重向量解法叁、權重向量解法之理論性質比較肆、權重向量解法之模擬實驗比較伍、結論

壹、前言

層級分析法Thomas L. Saaty 於 1977年所提出多屬性決策分析實施步驟與人們常用的分析步驟相近 混合屬量與屬性分析的問題

AHP 進行決策分析的基本程序

建立層級結構。判斷矩陣。判斷矩陣一致性的檢驗與權重向量的求解。層級結構整合決策

層級分析法的實施步驟AHP 的實施過程有三個重點步驟：層級結構的建立判斷矩陣ㄧ致性的檢驗權重向量的計算

研究動機與目的

由於權重向量求解是個參數估計問題，除了探討理論性質之外，透過有系統的模擬實驗瞭解各種解法之估計能力與估計行為，及對驗證方法的優劣仍屬必要。研究目的在於透過模擬實驗分析相關權重向量解法之估計能力與估計行為。

貳、 AHP 權重向量解法

固有向量法對數最小平方法加入圖形一致性限制之對數最小平方法目標規劃法加入圖形一致性限制之目標規劃法

固有向量法 (1/2)

固有向量法的理論基礎 設 n 階矩陣 A = [aij] =[wi/ wj] ，則 Aw = nw 。 設 A = [aij] 為 n 階的正倒數矩陣，而其固有值

為 1, 2, . . . , n ，則 。 設 A = [aij] =[wi/ wj] ，則 rank(A) = 1 。因此，矩

陣 A 只有一個非零的固有值。而由性質 2 可知 ，此非零的固有值為 n 。

若正倒數矩陣之係數所受的擾動不大，則固有值的變動也不大 [Wilkinson (1965)] 。

nani ii

ni i 11

固有向量法 (2/2)

Saaty 建議以所取得之偏好矩陣的最大固有向量經正規化(除以係數總和 ) 後做為權重向量。即求解 Aw = maxw

，並要求 ，其中 max 為 A 的最大固有值。 Saaty 建議以 CI = (max - n)/(n - 1) 做為評估偏好矩陣不一致程度的指標。並經一系列的模擬實驗，找出隨機產生之各種不同維度

的偏好矩陣平均的不一致程度 RI。 當 CR = CI/RI < 0.1 時，通常會認定偏好矩陣的一致性是可接受的，否則必須進行偏好矩陣的修正。

11 ni iw

對數最小平方法 (1/3)

源自統計迴歸分析 將所取得之判斷矩陣係數視為一組隨機樣本將因素權重視為迴歸模式的參數

對數最小平方法 (2/3)

對數最小平方法 De Jong (1984) 採用判斷矩陣係數的對數值進行迴歸分析，即改為求解 並建議以迴歸模式的判定係數 (Coefficient of

determination) 做為判斷矩陣的一致性指標。 從迴歸模式而言，這方法相當於假設

ni

nij jiij wwa1 1

2)]ln([lnminw

ijjiij wwa )(

對數最小平方法 (3/3)

對數最小平方法 在不具有額外限制條件的情況下， LLSM 所求得的權重向量為

在 n 3 時， EM 與 LLSM 所求得的權重向量會完全相同 [Saaty (1980)]

niaaw ni

nnj ij

nnj iji , . . . ,2 ,1 ,)()( 1

11

11

目標規劃法 (1/2)

Bryson (1995) 與 Chandran, Golden and Wasil (2005) 建議採用 1-norm 評估估計量的品質，即求解

可經由變數變換轉換成線性規劃問題Bryson 稱之為目標規劃法。

ni

nij jiij wwa1 1 )ln(lnmin

w

目標規劃法 (2/2)

Bryson (1995) 證明目標規劃法所求得的權重向量 與對數最小平方法一樣會滿足公設 1~4。

Bryson (1995) 指出他的目標規劃法並不滿足保序性。 在 n 4 時，目標規劃法還具有下列性質：

單一界外值中立性 (Single outlier neutralization)• 在判斷矩陣僅有一個係數為不一致的界外值時，仍可求出正確的權重向量。

目標規劃法轉成線性規劃的方法

Bryson (1995) 所提出求解判斷矩陣權重向量的目標規劃問題為

令 ，則上述問題可轉換 成

ni

nij jiij wwa1 1 lnlnln minimize

w

wway iijij lnlnln

nji ywwa ijjiij 1 ,lnlnlnsubject to

ni

nij ijy1 1

,|| minimize

yw

目標規劃法轉成線性規劃的方法

因為變數 為不受限，所以令 ，再令 ，代入後得

ijy

ni

nij ijij yy1 1

, ,)( minimize

yyx

,1 ,ln subject to nji axxyy ijjiijij

nji xi 1 ,0

nji yij 1 ,0

nji yij 1 ,0

ii wx lnijijij yyy

求解權重向量需考慮的排序關係

列宰制限制保序性限制元素宰制限制

個別的元素宰制限制是否要加入必須非常謹慎。• 判斷矩陣係數為受到擾動的量測資料，很可能會出現有

一串因素 i1, i2, …, ik 使得 ai1i2, ai2i3

, …, aik-1ik, aiki1

均大於 1 ， 而判斷矩陣係數的大小卻明顯顯示這 k 個因素的權重是不相同的。此時，若將元素宰制限制均加入，則相當於

要求 wi1=wi2

=…=wik ，會因而扭曲權重向量。

判斷矩陣所對應之模糊關係判斷矩陣代表一個偏好結構，可改用一個歸屬值

為 0 到 9 的模糊關係表示。 歸屬值大於 1 時，表示決策者認為因素 i 比因

素 j 重要，且歸屬值愈大表示偏好的強度愈強。 因為判斷矩陣為正倒數矩陣，只要將矩陣中小於

1 的係數改為 0 即可得到所對應之模糊關係的歸屬值矩陣。

判斷矩陣所對應之模糊關係為簡化符號起見，在不致混淆的情況下，我們也

以 A 代表判斷矩陣 A 所對應之模糊關係，而以 代表判斷矩陣 A 所對應之模糊關係

的 a-割集。 ,91 , A

141314121321

A

000100100

3A3

圖形一致性 (1/2)

當決策者對因素 i 相對於因素 j 的重要性給予愈“ 高的歸屬值時，愈應相信 他認為因素 i 比因素 j

”重要 的敘述為真。判斷矩陣的一致性可用它所對應之模糊關係的割集

是否具ㄧ致性加以評估，而定義其圖形一致性(Graphical consistency)。

給定一個判斷矩陣，若它所對應之模糊關係的 a- 割集之圖形不含有向迴圈，則稱它具 a-一致性， a = 2,…,9。

一個判斷矩陣的圖形一致性可定義為：滿足該判斷 矩陣具有 a- 一致性的最小 a 。

圖形一致性 (2/2)

要檢查一個圖形是否含有向迴圈，只需對圖形 進行結點排序 (Topological ordering) 即可。

判斷矩陣係數個數為有限，因此上述定義很容易修改用於偏好判斷係數不為整數的情況。AHP 因素的分群必須滿足同質性 [Saaty

(1986)] ，因此偏好判斷係數仍不宜大於 9。

圖形一致性限制式

圖形一致性限制式 對一個圖形一致性為 的判斷矩陣，在求解其權重向量時，加入它所對應之模糊關係的

- 割集之圖形上所顯示的權重大小順序限制，稱為圖形一致性限制式 。圖形一致性顯示的權重大小順序為假設 ，經變數轉換

Ajiww ji ),( ,

Ajixx ji ),( ,

ii wx ln

叁、權重向量解法之理論性質比較

Fichtner (1986) 判斷權重向量解法優劣的準則公設 1 一致時的正確公設 2 與比較的順序無關公設 3 平滑性。公設 4 乘冪不變性公設 5 保序性公設 6 列宰制

公設 5所指的保序性並非指保持真實權重的大小順序，是指保持在以乘法與加法進行偏好關係之合成運算下，判斷矩陣之遞移閉包所顯示的權重大小順序，而非真實權重的大小順序。

範例

權重向量 (0.3788, 0.3130, 0.1793, 0.1289) 平均數 0，標準差 0.2 之常態隨機變數

其 CR 值為 0.01，而判定係數為 0.9667。 換言之，不論從 CR 值或判定係數的角度而言，這判斷矩陣的一致性都是高度可接受的。

EM 權重向量為 (0.347, 0.354, 0.192, 0.107)

151.032.032.097.1144.061.009.325.2188.008.364.114.11

固有向量法 的理論基礎漏洞：固有向量的計算並不符合判斷矩陣之實質意涵 判斷矩陣是一個偏好結構的量測資料，並非線性變換。成對比較所得的結果並不一定要用矩陣表示，而在採用矩陣表示時，進行固有向量的計算並不符合其實質意涵。EM 無法有效分析誤差對權重向量估計結果之影響。EM 所假設的 [判斷矩陣係數所受的擾動不大 ]是值得懷疑的。 採用 CR 值評估判斷矩陣一致性，從統計假設檢定的角度而言，並不是個嚴謹的方法，也就無法確保 [判斷矩陣係數所受的擾動不大 ] 。

範例

權重向量 (0.2785, 0.2575, 0.2321, 0.2319) 平均數 0，標準差 0.2 之常態隨機變數CR 值為 0.04，而判定係數僅 0.2283實驗誤差已嚴重影響判斷結果

196.052.018.104.1197.086.092.103.1181.085.016.123.11

LLSM 與 GPM 優點 採用 LLSM 與 GPM 估計權重向量時，只要所進行的偏好比較足以生成所有權重向量即可，不一定要進行完備的偏好比較 在進行群體決策或有重複量測時，可將所得量測資料視為重複實驗資料進行迴歸，不一定要先進行偏好判斷的整合。除上述共同優點外， LLSM 還具有下列的優點 ，因有統計迴歸理論為基礎，在採用 LLSM 估計權重向量時，可用殘差均方 偵測個別的判斷矩陣係數是否為界外值 。

GPM 具有下列的優點 因為 GPM 的數學規劃模式為線性規劃，可直接利用線性規劃套裝軟體求解。 線性規劃問題可進行敏感度分析 ，若採用 GPM 進行判斷矩陣分析，則當偏好判斷有所更動時，可利用敏感度分析方法很快地評估其影響。在實務上，有時很難要求決策者或專家對兩個事物的相對重要性以一個實數值表示。此時，改採區間值表示是較為可行的方式。 GPM 也可用於估計這種含有區間值之判斷矩陣的權重向量。

公設比較EM LLS

MLLSM

-GCGPM GPM-

GC一致時的正確性 符合 符合 符合 符合 符合與比較的順序無關 符合 符合 符合 符合 符合平滑性 符合 符合 符合 符合 符合乘冪不變性 不符合 符合 符合 符合 符合保序性 符合 不符合 不符合 不符合 不符合列宰制 符合 符合 不一定 不一定 不一定

肆、權重向量解法之模擬實驗比較

實驗因子包括：矩陣維度大小 (4~9，共 6 種 )誤差項標準差 (0.1, 0.2, 0.3，共 3 種 )、權重向量解法 (EM 、 LLSM 、 GPM 、 LLSM-GC 與 GPM-

GC，共 5 種 )。實驗的觀測值為所求得之權重向量與真實權重向量

之 1-norm 距離、 2-norm 距離，以及順序差異程度。實驗採重複實驗方式進行，對每種矩陣維度大小與誤差項標準差均產生 5個判斷矩陣。

權重向量解法之保序能力的比較

方法 A 方法 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值GPM LLSM 90 1.8 2.12 1.69 1.89 0.3674 0.3567GPM EM 90 1.8 2.12 1.6 1.78 0.6854 0.2465GPM GPM-GC 90 1.8 2.12 0.78 1.43 3.7840 0.0001

GPM LLSM-GC 90 1.8 2.12 0.76 1.33 3.9423 0.0000

LLSM EM 90 1.69 1.89 1.6 1.78 0.3289 0.3711LLSM GPM-GC 90 1.69 1.89 0.78 1.43 3.6426 0.0001

LLSM LLSM-GC 90 1.69 1.89 0.76 1.33 3.8176 0.0001

EM GPM-GC 90 1.6 1.78 0.78 1.43 3.4071 0.0003

EM LLSM-GC 90 1.6 1.78 0.76 1.33 3.5864 0.0002

GPM-GC LLSM-GC 90 0.78 1.43 0.76 1.33 0.0972 0.4613

權重向量解法之準確度的比較 (1-norm)

方法 A 方法 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值EM GPM 90 0.0666 0.0919 0.0631 0.0327 0.3388 0.3674

EM LLSM-GC 90 0.0666 0.0919 0.0613 0.0377 0.5074 0.3059

EM LLSM 90 0.0666 0.0919 0.0610 0.0752 0.4439 0.3286EM GPM-GC 90 0.0666 0.0919 0.0597 0.0290 0.6753 0.2497

GPM LLSM-GC 90 0.0631 0.0327 0.0613 0.0377 0.3475 0.3641

GPM LLSM 90 0.0631 0.0327 0.0610 0.0752 0.2397 0.4053GPM GPM-GC 90 0.0631 0.0327 0.0597 0.0290 0.7324 0.2320

LLSM-GC LLSM 90 0.0613 0.0377 0.0610 0.0752 0.0275 0.4890

LLSM-GC GPM-GC 90 0.0613 0.0377 0.0597 0.0290 0.3086 0.3788

LLSM GPM-GC 90 0.0610 0.0752 0.0597 0.0290 0.1533 0.4391

權重向量解法之準確度的比較 (2-norm)

方法 A 方法 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值GPM LLSM-

GC 90 0.0326 0.0206 0.0309 0.0202 0.5554 0.2893

GPM GPM-GC 90 0.0326 0.0206 0.0295 0.0156 1.1253 0.1302GPM EM 90 0.0326 0.0206 0.0273 0.0175 1.8776 0.0302GPM LLSM 90 0.0326 0.0206 0.0270 0.0171 1.9880 0.0234

LLSM-GC GPM-GC 90 0.0309 0.0202 0.0295 0.0156 0.5111 0.3047

LLSM-GC EM 90 0.0309 0.0202 0.0273 0.0175 1.2994 0.0969

LLSM-GC LLSM 90 0.0309 0.0202 0.0270 0.0171 1.4059 0.0799

GPM-GC EM 90 0.0295 0.0156 0.0273 0.0175 0.9260 0.1772GPM-GC LLSM 90 0.0295 0.0156 0.0270 0.0171 1.0453 0.1480

EM LLSM 90 0.0273 0.0175 0.0270 0.0171 0.1021 0.4593

誤差 A 誤差 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值0.3 0.2 150 0.0398 0.0181 0.0305 0.0159 4.7421 0.00000.3 0.1 150 0.0398 0.0181 0.0181 0.0138 11.6536 0.00000.2 0.1 150 0.0305 0.0159 0.0181 0.0138 7.1633 0.0000

誤差 A 誤差 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值0.3 0.2 150 1.79 2.14 1.49 1.77 1.3244 0.09270.3 0.1 150 1.79 2.14 0.69 1.14 5.5657 0.00000.2 0.1 150 1.49 1.77 0.69 1.14 4.6636 0.0000

誤差 A 誤差 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值0.3 0.2 150 0.0895 0.0835 0.0635 0.0393 3.4448 0.00030.3 0.1 150 0.0895 0.0835 0.0340 0.0191 7.9322 0.00000.2 0.1 150 0.0635 0.0393 0.0340 0.0191 8.2811 0.0000

判斷誤差標準差為 0.1時，權重向量解法保序能力之比較方法 A 方法 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值LLSM EM 30 1.00 1.365 0.93 1.363 0.1988 0.4212LLSM GPM 30 1.00 1.365 0.73 1.112 0.8400 0.2005

LLSM GPM-GC 30 1.00 1.365 0.47 0.860 1.7993 0.0360

LLSM LLSM-GC 30 1.00 1.365 0.33 0.758 2.3504 0.0094

EM GPM 30 0.93 1.363 0.73 1.112 0.6227 0.2667

EM GPM-GC 30 0.93 1.363 0.47 0.860 1.5633 0.0590

EM LLSM-GC 30 0.93 1.363 0.33 0.758 2.1072 0.0176

GPM GPM-GC 30 0.73 1.112 0.47 0.860 1.0130 0.1555

GPM LLSM-GC 30 0.73 1.112 0.33 0.758 1.6280 0.0518

GPM-GC

LLSM-GC 30 0.47 0.860 0.33 0.758 0.6689 0.2518

判斷誤差標準差為 0.2時，權重向量解法保序能力之比較

方法 A 方法 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值GPM EM 30 2.07 2.067 1.6 1.61 0.9825 0.1629GPM LLSM 30 2.07 2.067 1.6 1.61 0.9825 0.1629

GPM LLSM-GC 30 2.07 2.067 1.13 1.717 1.9160 0.0277

GPM GPM-GC 30 2.07 2.067 1.07 1.721 2.0364 0.0209

EM LLSM-GC 30 1.6 1.61 1.13 1.717 1.0937 0.1370

EM GPM-GC 30 1.6 1.61 1.07 1.721 1.2318 0.1090

LLSM LLSM-GC 30 1.6 1.61 1.13 1.717 1.0937 0.1370

LLSM GPM-GC 30 1.6 1.61 1.07 1.721 1.2318 0.1090LLSM-

GC GPM-GC 30 1.13 1.717 1.07 1.721 0.1352 0.4462

判斷誤差標準差為 0.3時，權重向量解法保序能力之比較

方法 A 方法 B 樣本量 A 平均 A 標準差 B 平均 B 標準差 Z0 值 P 值GPM LLSM 30 2.6 2.527 2.47 2.33 0.2072 0.4179GPM EM 30 2.6 2.527 2.27 2.083 0.5519 0.2905

GPM GPM-GC 30 2.6 2.527 0.8 1.54 3.3316 0.0004

GPM LLSM-GC 30 2.6 2.527 0.8 1.243 3.5009 0.0002

LLSM EM 30 2.47 2.33 2.27 2.083 0.3505 0.3630

LLSM GPM-GC 30 2.47 2.33 0.8 1.54 3.2750 0.0005

LLSM LLSM-GC 30 2.47 2.33 0.8 1.243 3.4637 0.0003

EM GPM-GC 30 2.27 2.083 0.8 1.54 3.1081 0.0009

EM LLSM-GC 30 2.27 2.083 0.8 1.243 3.3193 0.0005

GPM-GC

LLSM-GC 30 0.8 1.54 0.8 1.243 0.0000 0.5000

伍、結 論

結論本研究透過模擬實驗分析 EM, LLSM,

GPM, LLSM-GC 與 GPM-GC 等 AHP 權重向量解法之估計能力與估計行為。

實驗結果顯示，在誤差項為對數常態分配時，平均而言， LLSM-GC 與 GPM-GC 所得之因素排序顯著地比原有的 EM 、 LLSM 與 GPM 更接近真正的因素排序，特別是決策者的判斷誤差較大時。

估計準確度 採用 2-norm 衡量估計的偏差時， EM 與

LLSM 之準確度均顯著地優於 GPM；但整體而言，所比較的五種權重向量解法之準確度並沒有十分顯著的差別。以數值範例說明了 Saaty and Vargas 所指的保序性並非指保持真實權重的順序。保序性是指保持在以乘法與加法進行偏好關係之合成運算下，判斷矩陣之遞移閉包所顯示的權重大小順序。加

上 CR 值檢定並不能充份偵測誤差的影響，因此要求權重向量解法滿足保序性似乎並不合理。