正弦、余弦函数的性质

仝昌奇

（奇偶性、单调性）

正弦、余弦函数的图象和性质

x6

y

o--1

2 3 4 5-2-3-4

1

y=sinx (xR)

x6o--1

2 3 4 5-2-3-4

1

y

y=cosx (xR)

定义域值 域周期性

xR

y[ - 1, 1 ]T = 2

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

sin(-x)= - sinx (xR)

y=sinx (xR)

x6

y

o--1

2 3 4 5-2-3-4

1

是奇函数

x6o--1

2 3 4 5-2-3-4

1

y

cos(-x)= cosx (xR) y=cosx (xR) 是偶函数

定义域关于原点对称

正弦、余弦函数的奇偶性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 正弦函数的单调性

y=sinx (xR)

增区间为 [ ， ] 其值从 -1 增至 12

2

x

y

o-

-1

2 3 4-2-3

1

2

2

3

2

52

72

2

32

5

x

sinx

2

2

2

3 … 0 … … …

-1 0 1 0 -1

减区间为 [ ， ] 其值从 1 减至 -12

2

3[ +2k, +2k],kZ

2

2

[ +2k, +2k],kZ2

2

3

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 余弦函数的单调性

y=cosx (xR)

x

cosx

2

2

- … … 0 … …

-1 0 1 0 -1

增区间为 其值从 -1 增至 1[ +2k, 2k],kZ

减区间为 ， 其值从 1 减至 -1[2k, 2k + ], kZ

y

xo-

-1

2 3 4-2-3

1

2

2

3

2

52

72

2

32

5

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

例 1 不通过求值，指出下列各式大于 0 还是小于 0 ：

(1) sin( ) – sin( )18

10

(2) cos( ) - cos( ) 5

23

4

17

解：218102

又 y=sinx 在 上是增函数]

2,

2[

sin( ) < sin( )

18

10

即： sin( ) – sin( )>0

18

10

解：

5

3

40

cos <cos 4

5

3 即： cos – cos <05

34

又 y=cosx 在 上是减函数],0[

cos( )=cos =cos 5

23

5

235

34

17cos( )=cos =cos

4

174

从而 cos( ) - cos( ) <05

23 4

17

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例 2 求下列函数的单调区间：

(1) y=2sin(-x )

解： y=2sin(-x ) = -2sinx

函数在 上单调递减[ +2k, +2k],kZ2

2

函数在 上单调递增[ +2k, +2k],kZ2

2

3

(2) y=3sin(2x- )4

22

422

kxk8

3

8

kxk

2

32

42

22

kxk8

7

8

3 kxk

单调增区间为 ]8

3,

8[

kk所以：

解：

单调减区间为 ]8

7,

8

3[

kk

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

解：

(4) )]

43

1cos(

2

1[

2

1log

xy

解： 定义域2

243

1

22

kxk

(3) y= ( tan )

8

9 sin2x

18

9tan0

单调减区间为 ]4

,4

[ kk

单调增区间为 ]4

3,

4[

kk

kxk 243

1

22 Zkkxk ,

4

36

4

96

当 即 为减区间。

22

432

k

xk Zkkxk ,

4

36

4

96

当 即 为增区间。

Zkkxk ,4

36

4

96

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

(5) y = -| sin(x+ )|4

解： 令 x+ =u , 4

则 y= -|sinu| 大致图象如下：

y=sinu

y=|sinu|

y=- |sinu|

u 2O

1

y

-1

22

2

2

32

3

减区间为Zkkku ],,

2[ 增区间为

Zkkku ],2

,[

即：

Zkkkx ],4

,4

3[

y 为增函数Zkkkx ],

4,

4[

y 为减函数

小 结：

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

奇偶性 单调性（单调区间）

奇函数

偶函数

[ +2k, +2k],kZ2

2

单调递增

[ +2k, +2k],kZ2

2

3 单调递减

[ +2k, 2k],kZ 单调递增[2k, 2k + ], kZ 单调递减

函数

余弦函数

正弦函数

求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质2. 复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

y=sinx

y

xo-

-1

2 3 4-2-3

1

2

2

3

2

52

72

2

32

5

y=sinx (xR) 图象关于原点对称

结束语

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