正弦訊號簡介

0. 單位步階訊號 單位步階訊號 (unit step signal) 以單位步階函數 (unit

step function or Heaviside unit function) 表示之

單位步階函數定義為：

0 ,0

0 ,1)(

t

ttu

單位脈衝訊號 單位脈衝訊號 (unit impulse signal) 以單位脈衝函數

(unit impulse function or Dirac delta function) 表示之 單位脈衝函數定義為：

原始的單位脈衝函數之物理意義

else , 0

2/|| , 1

)(

tt

0 ,0

0 ,)(

t

tt; 1)(

dtt

)(lim)(0

tt

很窄的長方條

但面積為 1

單位脈衝訊號 ( 續 )

)0(1

)2/(lim1

)2/(lim)()(00

fffdtttf

)()()( 00

tfdttttf

單位脈衝訊號在積分式之運算

只有長方條內會取出值 Think：訊號處理上有何用處？

單位脈衝函數之圖示

Step 與 impulse function 的意義思考 ?

雖然波形定義是在時域上 時域的重要應用意義？ 頻域上的重要應用意義？

1. 正弦訊號

正弦訊號（ sinusoidal signal ） 是訊號與系統理論中最基本的訊號 最常用的數學表示式為

t 代表時間的連續變換量A 代表正弦訊號的振幅（ amplitude ）0 代表弧度頻率（ radian frequency ） 代表相位移（ phase shift ）

tAtx 0cos

圖 2.1 從方程式 x(t) = 10cos(2(440)t – 0.4) 所產生的正弦訊號

音叉實驗

正弦訊號重要的原因之一在於許多物理系統都可以時間的正弦或餘弦函數來表示 例如樂器產生的音調等

同於正弦波 Why?

音叉是一個可產生固定頻率正弦訊號的簡單系統

正弦函數和餘弦函數的定義

角度 的單位為“弧度”（ radian ）

正弦和餘弦函數回顧

sinsin ryr

y

coscos rxr

x

rad20

r

x

y

正弦和餘弦的函數圖形

當 從 0 遞增到 /2

時， cos 從 1 遞減到 0 ，而 sin 從 0 遞增到 1

餘弦函數和正弦函數相差 /2

的相角

都在 +1 和 – 1 之間震盪並都以 2 為週期重複

2cossin

正弦和餘弦函數的基本性質

2. 正弦的訊號特徵 正弦時間訊號的表示式為餘弦函數的自變量 ( 角度 ) 為時

間 t 的函數

A 為振幅 (amplitude) ，確定訊號大小的因子 為相位移 (phase shift) ，單位為弧度 (radian) 0 為弧度頻率 (radian frequency) ，單位為弧度 / 秒

(rad/s) ； f0 = 0/2 為週期頻率 (cyclic frequency) ，單位為週期 / 秒或赫茲 (Hz)

tfAtAtx 00 2coscos

頻率與週期的關係 正弦訊號 T0 為 x(t) 的週期 (period)

餘弦函數的週期為 2

tATt

tATtA

txTtx

0000

000

0

coscos

coscos

tAtx 0cos

0

000

0000

122

22

fTTf

TT

相位移和時間位移 相位移參數 確定餘弦波最大

值和最小值的時間位置 為零相位的餘

弦訊號，則 x(t) 的時間位移 t0 和相位移 的關係為

tAtx 0cos

tA

ttAttx

0

000

cos

cos

000 2 f

t

0

000 22

T

ttf

弦波訊號 給定振幅峰值、頻率及相位三個參數則表示給定了一個弦波訊號

定義的三要素

正弦訊號的取樣和重建 正弦訊號

取樣序列為

Ts 為取樣間隔或取樣週期(sampling period)

Ts 愈小，取樣點愈多，線性內插曲線愈接近原始訊號

Ts 的選擇也取決於正弦訊號頻率；頻率愈高， Ts 必須愈小

16

tfAtx 02cos

ss nTfAnTxnx 02cos

弦波訊號中的兩個頻率符號 和 ，其中 稱為基本角頻率 (fundamental angular frequency) ，單位是弳度 / 秒 (rad/sec) ；而 稱為基本頻率 (fundamental frequency) ，單位是赫茲(Hz) 或 1/sec 。

這兩個頻率之間存在一個常數倍 2 ，即 。

弦波訊號之頻率與角頻率0w

0f 0w

0f

00 2 fw

餘弦函數表示弦波訊號：

弦波是一個單頻訊號，可直覺地想成單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率 那一點。

橫軸為頻率之方式繪圖稱為頻域表示法，就是所謂的頻譜(spectrum) ，

此種將訊號頻譜只表示於正頻率 ( 分佈於 f 0 之繪圖稱為單邊頻譜 (single-sided spectrum)) 。

因為單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率 f0 那一點，所以頻譜繪圖時以脈衝訊號表示。

弦波訊號與其單邊頻譜 ; 0 ),2cos()( 0 AtfA tx A

0f

f0 頻率 f

振幅A

相位

f0 頻率 f

3. 複數的回顧直角座標形式 (cartesian form) z = (x, y) = x + jy

x = Re{z} 是 z 的實部 (real part) y = Im{z} 是 z 的虛部 (imaginary

part)

極座標形式 (polar form)

尤拉方程式 (Euler’s formula)

z = rej

r = |z| 為 z 的長度，也稱為 z 的振幅 為 z 與實軸的夾角，也稱為 z 的幅

角 19

22sincos yxrryrx

sincos je j

z = x + jy

Re

Im

x

y(x , y)

z = re j

Re

Im

x

y(x , y)

r

一般複指數訊號 (important) 一般複指數訊號 (general complex exponential signal) 表示為：

其中使用了歐拉公式：

訊號 x(t) 的實部 : 與虛部 : 之振幅是指數遞增 ( 當 ) 或遞減 ( 當 ) 的弦波訊號。

)2sin2(cos

)sin(cos)(

)(

ftjfte

wtjwtee e txt

ttjwst

)sin()cos( wtjwte jwt

wte t cos wte t sin

0 0

複數指數訊號 複數指數訊號定義為：

利用尤拉方程式可得

複數指數訊號的實部和虛部分別為餘弦訊號和正弦訊號 複數指數訊號的實部和虛部都是正弦訊號，其差別只在於 的

相位移

21

tjAetz 0

2coscos

sincos

00

00

tjAtA

tjAtAtz

複指數訊號 (complex exponential signal) 為：

以上複指數訊號為一週期訊號，其基本週期為 更完整的關係式可表示為 ：

•A ：振幅•w0 或 f0 ：基本頻率 ( 簡稱頻率 )•θ ：相位思考時域波形上的影響力

複指數訊號

tfjtf

twjtw e tx tjw

00

00

2sin2cos

sincos)( 0

000 /2/1 wfT

)()()2sin()2cos(

)sin()cos()(

00

00)( 0

tjxtxtfjAtfA

twjAtwA Ae tx

QI

twjc

一複指數訊號 可以看成長度A 的線段以定角速度逆時針繞原點旋轉

如下圖所示，其中 是 t = 0 時的相位 ( 相角 ) ，或稱為初始相位 (initial phase) 。

複指數訊號之旋轉向量表示法)( 0 twjAe

複指數訊號之旋轉向量表示法 ( 範例 ) 以旋轉相量表示法描述 3 個不同的複指數訊號

; )( 01

tjwAetx ; 3

2)( )6/2(

20 twje

Atx )2/3(

30

3

2)( twje

Atx

複數相乘 考慮 ，其中

則有

兩個複數相乘為振幅相乘且幅角相加

　　　　就是將 z1 的振幅乘以 z2

的振幅，並且將 z1 向量逆時鐘旋轉 z2 的幅角角度

25

213 zzz 1

11jerz 2

22jerz

21

2121

21

21213

j

jjjj

err

eerrererz

213 zzz

Re

Im

z1

1

r1

2

z2

r3 = r1 r2

3 = 1 + 2

3r3

z3

r2

旋轉複數振幅描述 複數指數訊號為一個隨時間增加而旋轉的複數向量 定義複數 X = Ae j ，則複數指數訊號可表示為

複數振幅 X 稱為相幅 (phaser) ，由複數指數訊號振幅與相位移所產生的 極座標表示式

複數指數訊號可稱為旋轉相幅 複數指數訊號也可表示為

其中 (rad) 0 為正頻 (positive frequency) ，旋轉複數振幅向量逆時針旋轉 0 為負頻 (negative frequency) ，旋轉複數振幅向量順時針旋轉

26

tjtj XeAetz 00

tjtj AeAetz 0

tt 0

因為是一個會旋轉的振幅

複數振幅向量相加 N 個具有相同頻率 0 但不同振幅和相位移的餘弦

訊號和也是一個具有相同頻率 0 的餘弦訊號

其中

27

tAtAN

kkk 0

10 coscos

N

k

jk

j keAAe1

tjjtjN

k

jk eAeeeA k 00 ReRe

1

tAAe tj0cosRe 0

N

k

tjjk

N

k

tjk

N

kkk eeAeAtA kk

1110

00 ReRecos

Key ：振幅即為複數訊號的實部 => cosine

弦波訊號與其雙邊頻譜 利用歐拉公式 (Euler formula) 將弦波訊號改寫成複指數型式：

以複指數之相關參數繪製頻譜，可得雙邊頻譜 ( 分佈於 f = 0 之兩側 ) 。

)(2

)2cos( )2()2(0

00 tfjtfj eeA

tfA

時間訊號

樂器產生的複雜訊號並不能很容易簡化為一個數學方程式 像餘弦波的震盪，但並非週期的

管絃樂訊號是由具有不同頻率、不同大小、和不同相位移的正弦訊號相加合成的

幾乎任何訊號都能表示成不同頻率、不同大小、和不同相位移的正弦訊號之和