正 弦 定 理

浦口中专校 陈琳 2012.11.20

引例：船从港口 A 航行到港口 B, 测得 AB 距离为6 千米，在港口 B 卸货后继续向港口 C 航行，但此时仪表器坏了，不能测量距离。船员想知道多久能返回 A 港口，船上有测角仪，测得角 B= ，角 C= ，我们能否帮他计算出 AC 的距离 ?

60。

45。

A

B C

引例：在三角形 ABC 中，已知角 B= ，角 C = ， AB=6 , 求 AC 长。

60。

45。

A

B CD

在 Rt ABD 中，sin =AD

BAB

sin 60AD AB 。即 3 3AD 即在 Rt ACD 中，sin =

ADC

AC即 sin 45AD AC 。

3 6AC 即

过 A 点作 AD 垂直于 BC ，交于 D 点

sin 45

ADAC 。

A

B Ca

b

c

D

AD=ABsinB=ACsinC

即 csinB=bsinC

=sin sin

b c

B C即

sin

a

A

A

B Ca

b

cBE=csinA=asinC

即

E

过 B 点作 BE 垂直于 AC ，交于 E 点

=sin sin

a c

A C

sinBE

Ac

sinBE

Ca

= =sin sin sin

a b c

A B C

正 弦 定 理

= =sin sin sin

a b c

A B C正弦定理

思考： 1. 公式在结构上有何特点？

2. 公式可以写成几个等式？

3. 用方程的观点，已知几个量，可以求出其他量？

=sin sin

a b

A B=

sin sin

b c

B C=

sin sin

a c

A C

a,b,c,A,B,C 称为三角形的六个元素

各边与各自对应的角的正弦的比。

可以写成三个：

知三求一

引例：在三角形 ABC 中，已知角 B= ，角 C = ， c=6 , 求 AC 长。

60。

45。

A

B C

由正弦定理

得：

3 6AC

即

b

a

c

=sin sin

b c

B C

6=

sin 60 sin 45

b。 。

6=

3 22 2

b

即

解三角形：三角形的六个元素 a,b,c,A,B,C,已知三角形的其中几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

例 1 ：解三角形(1)A= , B= , c= , 求 。45。 75。 3 a解： 180 60C A B 。 。

由正弦定理 =sin sin

a c

A C

得 3=

sin 45 sin 60

a。 。 得 2a

= 3a b= 2 45B 。

=1a b= 2 45B 。

=2 2a b= 2 45B 。

例 2：解三角形（ 1） ，， ，求

A。(2) ，，

(3) ，，

，求A。，求A。

= 3a b= 2 45B 。

=1a b= 2 45B 。

=2 2a b= 2 45B 。

例 2：解三角形（ 1） ，， ，求

A。(2) ，，

(3) ，，

，求A。，求A。

解：（ 2 ）

由正弦定理 =sin sin

a b

A B

得 1 2

sin sin 45A 。

1sin

2A得

a b因为 所以 A B所以 30A 。

= 3a b= 2 45B 。

=1a b= 2 45B 。

=2 2a b= 2 45B 。

例 2：解三角形（ 1） ，， ，求

A。(2) ，，

(3) ，，

，求A。，求A。

解：（ 3 ）

由正弦定理 =sin sin

a b

A B

得 2 2 2

sin sin 45A 。 得 sin 2A

因为 sin 1A 所以无解。

45。 30。 a30。 105。 a b

=5 2b c=10 30B 。

=2a b= 6 60B 。

练习：（ 1） A= ， C= ， c=10,求 。

， C= ， =10,求 。

， ， ，求 C 。

， ， ，求 A。

（ 2 ） B=

（ 3 ）

（ 4 ）

= =sin sin sin

a b c

A B C

正 弦 定 理

思考： 1.能否解决三条边问题？2.两边及夹角问题？3.三个角问题？

小结：1.正弦定理2.正弦定理解决两类问题：（ 1）两角及任意一边；（ 2）两边及一边所对角。

课后思考：1.正弦定理表示的是边与对应角正弦之间的比值，这个比值具体是什么值呢？

2.有了三角形的高，能否表示三角形的面积？

谢 谢！