3.1.1 两角差的余弦公式

知识目标知识目标11 、、理解并掌握两角差的余弦公式理解并掌握两角差的余弦公式的概念的概念22 、、使学生会用使学生会用两角差的余弦公式两角差的余弦公式并会计算并会计算

重点、难点重点、难点11 、、两角差的余弦公式及推导两角差的余弦公式及推导22 、、两角差的余弦公式的应用两角差的余弦公式的应用

能力目标和德育目标能力目标和德育目标

11 、、理解和掌握理解和掌握两角差的余弦公式两角差的余弦公式的定义、培养灵的定义、培养灵活运用知识分析、解决问题的能力；活运用知识分析、解决问题的能力；

22 、、培养思维的灵活性、思维的深刻性；培养思维的灵活性、思维的深刻性；33 、、培养积极探索，主动发现的思维品质 培养积极探索，主动发现的思维品质

问题提出1. 在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？ 2. 对于 30° ， 45° ， 60° 等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出 150° ， 210° ， 315°等角的三角函数值 . 我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据 .

3. 若已知 α ， β 的三角函数值，那么 cos(α － β) 的值是否确定？它与 α ， β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题 .

探究（一）：两角差的余弦公式 思考 1 ：设 α ， β 为两个任意角 , 你能判断 cos(α － β) ＝ cosα － cosβ恒成立吗 ?

cos(30°－ 30°)≠cos30°－ cos30°

sin60°sin60°sin120°sin120°cos60°cos60°cos120°cos120°coscos((120°120°－－60°60°))

sin30°sin30°sin60°sin60°cos30°cos30°cos60°cos60°coscos((60°60°－－30°30°))

32

32

32

32

12

12

12

32

12

2

1

思考 2 ：我们设想 cos(α － β) 的值与α ， β 的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？

思考 3 ：一般地，你猜想 cos(α － β)等于什么？

cos(α － β) ＝ cosαcosβ ＋ sinαsinβ

思考 4 ：如图，设 α ， β 为锐角，且 α＞ β ，角 α 的终边与单位圆的交点为 P1, ∠P1OP ＝ β ，那么 cos(α － β) 表示哪条线段长？

M

P

P1

O x

y

cos(α － β)=OM

思考 5 ：如何用线段分别表示 sinβ 和 cosβ ？

P

P1

O x

y

Asinβcosβ

思考 6 ： cosαcosβ ＝ OAcosα ，它表示哪条线段长？sinαsinβ ＝ PAsinα ，它表示哪条线段长？

P

P1

O x

y

A

sinαsinβ

cosαcosβ

B

C

思考 7 ：利用 OM ＝ OB ＋ BM ＝ OB＋ CP 可得什么结论？ sinαsinβ

cosαcosβ

P

P1

O x

y

A

B

C

M

cos(α － β) ＝ cosαcosβ ＋ sinαsinβ

x

y

P

P1

MBO

A

C

sin

cos

coscos sinsin+1

1

思考 8 ：上述推理能说明对任意角 α ，β ，都有cos(α － β) ＝ cosαcosβ ＋ sinαsinβ 成立吗？

思考 9 ：根据 cosαcosβ ＋ sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？

思考 10 ：如图，设角 α ， β 的终边与单位圆的交点分别为 A 、 B ，则向量 、 的坐标分别是什么？其数量积是什么？

ΟΑ

ΟB

B

O

A

x

y

αβ

=(cosα,sinα)ΟΑ =(cosβ,sinβ)OBuuur

cos cos sin sinOA OB a b a b× = +uuur uuur

思考 11 ：向量与的夹角 θ 与 α 、 β 有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？

OBOA×uuur uuur

α ＝ 2kπ ＋ β ＋ θ或 β ＝ 2kπ ＋ α ＋θ

B

O

A

x

y

αβ

θ

cos(α － β) ＝ cosαcosβ ＋ sinαsinβ

思考 12 ：公式 cos(α － β) ＝ cosαcosβ ＋ sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？ C

探究（二）：两角差的余弦公式的变通 思考 1 ：若已知 α ＋ β 和 β 的三角函数值，如何求 cosα 的值？

cosα ＝ cos[(α ＋ β) － β] ＝ cos(α＋ β) cosβ ＋ sin(α ＋ β)sinβ.

思考 2 ：利用 α － (α － β) ＝ β 可得 cosβ 等于什么？cosβ ＝ cos[(α － β) － α] ＝ cos(α－ β)cosα ＋ sin(α － β)sinα.

思考 3 ：若 cosα ＋ cosβ ＝ a， sinα＋ sinβ ＝ b ，则 cos(α － β) 等于什么？

2

2)cos(

22

ba

思考 4 ：若 cosα － cosβ ＝ a， sinα－ sinβ ＝ b ，则 cos(α － β) 等于什么？

2

2)cos(

22 ba

例 1 利用余弦公式求 cos15° 的值 .

例 2 已知

β 是第三象限角 , 求 cos(α － β) 的值 .

4in ,

5s a = ,

2p

a pæ ö÷çÎ ÷ç ÷è ø

，5

cos ,13

b =-

理论迁移

例 3 已知

且 , 求 的值 .

1cos( )cos sin( )sin ,

3a b b a b b+ + + =

)cos(4

22

3,

小结作业1. 在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会 .2. 已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时 , 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号 .

作业：P127练习： 1 ， 2 ， 3 ，4.

3. 在差角的余弦公式中， α ， β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如， 2β ＝ (α ＋ β) － (α － β) 等 . 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择 .

( )6 6p p

a a= + -

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