Embed Size (px)
DESCRIPTION
ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์. ค 33212 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ 6. บทนิยาม ให้ A = [a] 1 x 1 เรียก a ว่าเป็นดีเทอร์มิแนนต์ ของ A. บทนิยาม ถ้า. แล้ว. ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ ad – bc เขียนแทนด้วย det(A). หรือ. แล้ว det(A) = (1)(4) – (2)(3) = –2. เช่น. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
ตั�วผกผ�นการคูณของเมทร�กซ์�
คู33212 คูณ�ตัศาสตัร�คูอมพิ�วเตัอร� 6
บทนิ�ยาม ให้� A = [a]1 x 1 เร�ยก a ว�าเป็ นดี�เทอร�ม�แนนตั�ของ A บทนิ�ยาม ถ้�า Rdcba
dc
baA
,,, เมอ แล้�ว
ดี�เทอร�ม�แนนตั�ของ A คู%อ ad – bc เข�ยนแทนดี�วย det(A) ห้ร%อ
dc
ba
เช่�น
43
21A แล้�ว det(A) = (1)(4) – (2)(3) = –2
23
21B แล้�ว det(A) = (-1)(-2) – (-2)(-3) = – 4
ตั วอย�างท� 1 ก'าห้นดีให้� A = [aij]2 x 2 จงห้าไมเนอร�ของสมาช่�กท*กตั�วของ A
บทนิ�ยาม ให้� A = [aij]n x n เม%+อ n > 2 ไมเนอร�ของ aij คู%อดี�เทอร�ม�แนนตั�ของเมทร�กซ์�ท�+ไดี�จากการตั�ดีแถ้วท�+ i แล้ะห้ล้�กท�+ j ของ A ออก เข�ยนแทนไมเนอร�ของ aij คู%อ Mij(A)
ว�ธี�ท�า เน%+องจาก
2221
1211
aa
aaA
ดั งนิ �นิ จาก
2221
1211
aa
aaA จะไดี� M11(A) = a22
จาก
2221
1211
aa
aaA จะไดี� M12(A) = a21
จาก
2221
1211
aa
aaA จะไดี� M21(A) = a12
จาก
2221
1211
aa
aaA จะไดี� M22(A) = a11
ตั วอย�างท� 2 ก'าห้นดีให้�
จงห้าไมเนอร�ของ a13 แล้ะ a32
303
112
021
A
ว�ธี�ท�า เน%+องจาก
303
112
021
A จะไดี�
33003
12)(13 AM
10112
01)(32 AM
บทนิ�ยาม ให้� A = [aij]n x n เม%+อ n > 2 ตั�วป็ระกอบร�วมเก�+ยว(cofactor) ของ aij คู%อผล้คูณของ (– 1)i+j แล้ะ Mij(A) เข�ยนแทนตั�วป็ระกอบร�วมเก�+ยวของ aij ดี�วย Cij(A)น�+นคู%อ Cij(A) = (– 1)i+jMij(A)
ตั วอย�าง ก'าห้นดี
ว�ธี�ท�า
303
112
021
A จงห้า C11(A) , C32
(A)
3)03)(1(30
11)1()( 11
11 AC
1)01)(1(12
01)1()( 23
32 AC
บทนิ�ยาม ให้� A = [aij]n x n เม%+อ n > 2 ดี�เทอร�ม�แนนตั�ของ Aคู%อ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) เข�ยนแทนดี�เทอร�ม�แนนตั�ของ A ดี�วย det(A) ห้ร%อ
ตั วอย�าง ก'าห้นดี ว�ธี�ท�า det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A)
nnanana
naaanaaa
...21
2...2221
1...1211
จงห้า det(A)
963
852
741
A
63
52)1)(7(
93
82)1)(4(
96
85)1)(1( 312111
= (45 – 48) – 4(18 – 24) + 7(12 – 15)= –3 + 24 – 21 = 0
ว�ธี�ท� 2 ว�ธี�ล้�ดี น'าห้ล้�กท�+ 1 แล้ะ 2 ของ A มาเข�ยนตั�อห้ล้�กท�+ 3 แล้ะห้าดี�เทอร�ม�แนนตั�ของ A ไดี�เท�าก�บว�ธี�ข�างตั�น
6
5
4
3
2
1
963
852
741
45
96
84
105
4872
det(A) = (45 + 96 + 84) – (105 + 48 + 72) = 0
ก'าห้นดีเมทร�กซ์� A = [aij]n x n ใดี ๆ เม%+อ n > 2
2. det (A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + ... + anjCnj(A) ท*ก j = 1,2,...,nถ้�าห้า det (A) โดียสมการน�1 จะกล้�าวว�าห้า det (A) โดียการกระจายตัามห้ล้�กท�+ j
1. det (A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + ... + ainCin(A) ท*ก i = 1,2,...,nถ้�าห้า det (A) โดียสมการน�1 จะกล้�าวว�าห้า det (A) โดียการกระจายตัามแถ้วท�+ i
4. ถ้�า B ไดี�จากการสล้�บแถ้วสองแถ้วห้ร%อสล้�บห้ล้�กสองห้ล้�กของA แล้�ว det (B) = - det (A)
5. ถ้�า A ม�แถ้วสองแถ้วเห้ม%อนก�นห้ร%อห้ล้�กสองห้ล้�กเห้ม%อนก�นแล้�ว det (A) = 0 (เป็ นผล้ของสมบ�ตั�ข�อ 4
6. det (At) = det (A) 7. ถ้�าคูณสมาช่�กท*กตั�วในแถ้วใดีแถ้วห้น2+งห้ร%อห้ล้�กใดีห้ล้�กห้น2+ง
ของ A ดี�วยคู�าคูงตั�ว c แล้�ว ดี�เทอร�ม�แนนตั�ของเมทร�กซ์�ท�+ไดี�คู%อc det (A)
3. ถ้�า A ม�สมาช่�กในแถ้วใดีแถ้วห้น2+งห้ร%อห้ล้�กใดีห้ล้�กห้น2+งเป็ น 0ท*กตั�วแล้�ว det (A) = 0 (เป็ นผล้ของสมบ�ตั�ข�อ 1 แล้ะ 2)
8. ถ้�า B ไดี�จาก A โดียสมาช่�กแถ้วท�+ i ของ B ไดี�มาจากการคูณแถ้วท�+ i ของ A ดี�วยคู�าคูงตั�ว c แล้ะน'าไป็บวกก�บแถ้วท�+ j ของ Aเม%+อ i j แล้�ว det (B) = det (A) สมบ�ตั�น�1เป็ นจร�งเม%+อเป็ล้�+ยนจากแถ้วเป็ นห้ล้�ก จากสมบ�ตั�ข�อ 7 ท'าให้�ไดี�ว�า det (cA) = cn det (A) เม%+อ c เป็ นคู�าคูงตั�ว
ตั วอย�าง ถ้�า 1uts
rqp
zyx
จะไดี�
1)1(.1 zyx
rqp
uts
3)1(3333 .2 zyx
uts
rqp
2)1)(2(333
222
.3 rqp
zryqxp
uts
ตั วอย�าง จงห้า det (A) เม%+อก'าห้นดี
1211
0831
2102
2511
A
ว�ธี�ท�า1211
0831
2102
2511
)det(
A
1211
0831
2920
2511
คูณแถ้วท�+ 1 ดี�วย – 2 แล้�วน'าไป็บวกก�บแถ้วท�+ 2
1211
21340
2920
2511
น'าแถ้วท�+ 1ไป็บวกก�บแถ้วท�+ 3
3320
21340
2920
2511
คูณแถ้วท�+ 1 ดี�วย - 1 แล้�วน'าไป็บวกก�บแถ้วท�+ 4
332
2134
292
กระจายตัามแถ้วท�+ 1
331
2132
291
2
สมบ�ตั�ข�อ 7
331
250
291
2
คูณแถ้วท�+ 1 ดี�วย 2 แล้�วน'าไป็บวกก�บแถ้วท�+ 2
160
250
291
2
คูณแถ้วท�+ 1 ดี�วย - 1 แล้�วน'าไป็บวกก�บแถ้วท�+ 3
16
252
กระจายตัามห้ล้�กท�+ 1
)125(2
34
บทนิ�ยาม ให้� A เป็ น n n เมทร�กซ์� A เป็ นเมทร�กซ์�เอกฐาน (singular matrix) เม%+อ det(A) = 0 A เป็ นเมทร�กซ์�ไม�เอกฐาน (non - singular matrix) เม%+อ det(A) 0
บทนิ�ยาม ให้� A เป็ น n n เมทร�กซ์� เม%+อ n > 2 เมทร�กซ์�ผกพิ�น (adjoint matrix) ของ A คู%อ เมทร�กซ์�[Cij(A)]t เข�ยนแทนเมทร�กซ์�ผกพิ�นของ A ดี�วย adj(A)
