11

2

1

3

2

3

1

4

2

4

3

4

1

5・・・・

18

20

19

20

1

20・・・・

セット目

1 2 3 4 ・・・

19

個数 1 2 3 4 ・・・

1950 番目は・・・(1) 50 = 1+2+3+ ・・・ +9

+59 セットで 45

10 セット目の 5 番目 !!

5

11

セット目

1 2 3 4 ・・・

19

½ 以下の個数

1 1 2 2 ・・・

10(2) ½ 以下の個数は、 1,1,2,2,3,3, ・・・となってい

る。19 セット目は

10

20

1

20‥ ‥ の 10 個。 1+1+2+2+3+3+ ・・・ +9+9+10 =

100(1+2+3+ ・・・ +9)×2

100 個

セット目

1 2 3 4 ・・・

19

和 0.5 1 1.5 2 ・・・

9.5

1 の続き

+0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5・・・

(3) 公差が 0.5 の等差数列になっている !!

等差数列の公式より、 (0.5+9.5)×19÷2=95 95

2 273 円の皿を○皿、 189 円の皿を□皿、 126 円の皿を□皿とすると・・・

273×○+189×□+126×□ = 5481

273×○+(189+126)×□ = 5481

273×○+315×□ = 5481 全て 21で割れる。

13×○+15×□ = 261

13×20 = 260

13 を 15 に変えると 2 増えるので、

13×19 = 247

247 を 261 にするには 14 増えればよい。

13 を 15 に変えると 2 増えるので、 14 増やすには 7 個変えたらよい !!

19-7 =12

13×12+15×7 = 261

273 円が 12 皿、 189 円が 7 皿、 126 円が 7 皿

13×19 +15×1 = 262+2

13×20 = 260

13×19 = 247

13×18 +15×1 = 249+2

260 を 261 にすることはできない。

3 (1) (A)+ ｛ A ｝= 0

足して 0 になるということは・・・

0 + 0 = 0

(A) = 0 　なので、 A は 6 で割って割り切れる。また｛ A ｝ = 0 　なので、 A は 7 で割って割

り切れる。

A は 6 でも 7 でも割り切れる。 ＝

A は 6 と 7 の公倍数！

2 ケタの整数のうち、 6 と 7 の公倍数は 42 と 84 の二つのみ。

42 , 84

(2)

(A)× ｛ A ｝ = 121 12 　← ｛ A ｝が 6 を超えてるからダメ。

(A) は 6 で割った余りなので、

0 ～ 5 にしかなれない。また｛ A ｝ は 7 で割った余りなので、 0 ～6 となる。

2 6 　← Ok

3 4 　← Ok

4 3 　← Ok

6 2 　← (A) が 5 を超えてるからダメ。12 1 　← (A) が 5 を超えてるからダ

メ。

(A) が 2 で、｛ A ｝が 6のとき。6 で割って余りが 2 ： 2,8,14,20,26, ・・・

7 で割って余りが 6 ： 6,13,20,27 ・・・

最小は 20 、以降は最小公倍数 (LCM)の 42 ずつ増えていく。

20, 62, 104

+42 +42

104 は 3 けたなのでダメ。 ( 続

く )

(A) が 3 で、｛ A ｝が 4のとき。

3 (2) の続き

6 で割って余りが 3, 7 で割って余りが 4

両方とも 3 不足が共通 !!→6 と 7 の公倍数－3

39, 81, 123

+42 +42

123 は 3 けたなのでダメ。

(A) が 4 で、｛ A ｝が 3のとき。

6 で割って余りが 4 ： 4,10,16,22 ・・・7 で割って余りが 3 ： 3,10,17,24 ・・・

最小は 10 、以降は LCM の 42ずつ増えていく。

10, 52, 94, 136

+42 +42

136 は 3 けたなのでダメ。

+42

よって、 20, 62, 39, 81, 10, 52 ,94 が答えとなる。

10, 20, 39, 52, 62, 81, 94

4 (1)

兄

弟

100m/分

20m/ 分

81 m兄　　弟速さの比 5 : 1

距離の比 5 : 1

和⑥ = 162 m ① = 27 m27 m

兄　　弟速さの比 5 : 1

距離の比 5 : 1

和 6 = 54 m

1 = 9 m

P Q

27 － 9 = 18

18 m

(2) 兄の方が速いので、弟は P 地点と Q 地点に辿りつくことができない。

→ 兄が折り返すと、反対側に辿りつくまでに必ず弟に出会う !!

800÷81 = 9 ・・・ 71m

最後の 71 m でも出会うので、出会う回数は 9 回となる。

注意：初めの 1 本目 (P→Q) では弟に出会わない。

9 回

5 (1) 上から 手前から

右から

8 cm

10 cm5 cm

9 cm

7 cm2 cm

2 cm

2 cm

7 cm

4 cm

9 cm

5 cm 10 cm

7 cm

10×9 － 2×2 = 86 cm2 7×9 － 2×5 = 53 cm2 10×7 = 70 cm2

(86+53+70)×2 = 418418 cm2

「下から」、「奥から」、「左から」は、

それぞれ「上から」、「手前から」、「奥から」と同じ面積になるので

(2) 底面が8 cm

10 cm

9 cm

7 cm2 cm

2 cm

となっているものが高さ 3 cm

底面が

5

9 cm

10 cm

3 cm

3 cm

6 cm 1 cm

5 cm

1 cm

となっているものが高さ 2 cm

底面が

10 cm

7 cm

3 cm

4 cm

となっているものが高さ 2 cm

86×3 + 67×2 + 37×2 = 466 466 cm3

6 (1)

0 10 29 34 51

500

1000

(ℓ)

( 分)

A のみ

B のみ

A+B

B のみ・ 0 分から 29 分まで。

A を 10 分、 B を 19 分使って 500 ℓ 貯まった。

・ 29 分から 34 分まで。

A を 5 分、 B を 22 分使って 500 ℓ 貯まった。

A10 分

A5 分

B19 分

B22 分

500 ℓ

A の 5 分と B の 3 分は同じである !!

1 分あたりに出る水の量は逆比となる !

A:B = 3:5

(2)A1 分あたりの水量を③、 B1 分あたりの水量を⑤とすると③×10+ ×19 = 500⑤

125 = 500 ℓ

① = 4 ℓ

③ = 12 ℓ

よって A は 12 ℓ/ 分

( ア)

( ア ) は 12×10 = 120

120

(3) ⑤ = 20 ℓ

よって B は 20 ℓ/ 分A,B の両方を使って

満水 (1000 ℓ) にするには1000÷(12+20) = 31.25 分

→31 分 15 秒

7 (1)2 cm

2 cm

4 cm

4 cm

ピラミッド型 !! ③ = 2 cm

② = cm3

4

3

4cm

6 cm

ピラミッド型 !!

3 = 6 cm

1 = 2 cm

2 cm

×4÷2 = 3

4

3

8

3

4cm

4 cm

2 cm6 cm

2×6÷2 = 6

+6 = 83

8

3

2

3

28 cm2

3 cm

4 cm

3 cm

2 cm

6 cm

(2)7ちょうちょ型 !!

② = 4 cm

① = 2 cm

2 cm

2 cm

2 cm1

1

1

1

2 = 6 cm 2 = 3 cm

1 = 3 cm 1 = 1.5 cm3 cm

4 cm

3 cm

2 cm

6 cm

3×6÷2 = 9

2×6÷2 = 6

3×3÷2 = 4.5

4×1.5÷2 = 3

6×6 － (4.5+3+6+9) = 13.5

13.5 cm2

② ①