Лекция 12

Прогнозирование с помощью моделей

Проверка адекватности модели

Имеем оценку линейной модели множественной регрессии

u3a2a1a0a

tt33t22t110t uxa~xa~xa~a~y(12.1)

Параметры модели получены по выборке {y,X} и предполагаем, что все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова выполненыОбозначим символом z0 «точку», в котрой необходтмо вычислить прогнозное значение эндогенной переменнойЭто значение обозначим y(z0)=y0

При этом:

zzz1

z

3

2

10

Элементы выборки связаны между собой системой уравнений наблюдений с неколлинеарной матрицей коэффициентов Х

1. Точечный прогнозСогласно теореме Гаусса – Маркова наилучший точечный

прогноз эндогенной переменной вычисляется по формуле:

za~za~za~a~y~ 33221100 (12.2)

Стандартная ошибка прогноза (СКО) есть

zXXzqгдеq1 T1T

00u0y~

(12.3)

Пример 1

ВНП (млрд.долл

)

С (млрд.долл)

I (млрд.долл

)14,00 8,00 1,6516,00 9,50 1,8018,00 11,00 2,0020,00 12,00 2,1023,00 13,00 2,2023,50 14,00 2,4025,00 15,00 2,6526,50 16,50 2,8528,50 17,00 3,2030,50 18,00 3,55

Исходная выборкаЗадачаПостроить модель и получить прогнозные значения ВВП при С=14.5 ; i=4.0

В результате применения МНК оценка модели приняла вид:

66.0;I*902.0С*462.1696.0ВНПu

Подставляя в оценку модели значения С=14.5 ; i=4.0, получим

3.250.4902.05.14462.1696.0П~

НВ~

Оценка стандартной ошибки прогноза соответственно есть:

С (млрд.дол

л)

I (млрд.до

лл)

1 8,00 1,651 9,50 1,801 11,00 2,001 12,00 2,101 13,00 2,201 14,00 2,401 15,00 2,651 16,50 2,851 17,00 3,201 18,00 3,55

Х=

zXXzqгдеq1 T1T

00u0y~

)0.45.141(z;0.45.14

1z~

T00

652.4838.0112.0838.0161.0113.0

112.0114.0919.1XX

T 1

q0=8.74 σy=2.06

Точечный прогноз – ВНП=25.3 σВВП=2.06

Прогнозирование в условиях гетероскедастичности

В условиях гетероскедастичности исходной модели (12.1) оценка параметров модели осуществляется ВМНКЧто, в частности, может быть сведено к модели вида:

3a2a1a0a

t

t

t33

t

t22

t

t11

t

0

t

t Px

a~Px

a~Px

a~P

1a~

P

y*y

(12.4)

Имея точку z0=(1, z1, z2,…)Т, в которой нужно получить прогнозное значение переменной y, необходимо преобразовать исходную точку z0, получить прогнозное значение y* оценить стандартную ошибку ε

Имея значения y* σε ,легко получить значения прогноза для переменной y и σu

~~ 2222

*

0

PPu

y~Pzy~

(12.5)

Соотношения (12.5) представляют собой точечную оценку эндогенной переменной y исходной модели

2. Интервальное прогнозированиеВ отличие от точечного метода прогнозирования интервальный позволяет в качестве прогноза получить числовой интервал, внутри которого может лежать прогнозное значение эндогенной переменнойДля построения такого прогноза образуется дробь Стьюдента в виде:

0y

00 yy~t (12.4)

Знаем, что в схеме Гаусса-Маркова дробь (12.4) имеет закон распределения Стьюдента с числом степеней свободы η=n-к-1 где к – количество регрессоров в модели

Задав уровень доверительной вероятности Рдов (α=1-Рдов), легко оценить границы интервала (y-

0:y+0), внутри

которого с вероятностью Рдов лежат значения прогноза

0yкрит000yкрит00 ty~y;ty~y

Значение ошибки прогноза рассчитывается по формуле (12.3)

(12.5)

В примере 1 интервальный прогноз получает вид:

При tкрит(0.05,7)=2.36 имеем

16.3006.2*36.23.25ВНП

44.2006.2*36.23.25ВНП

Определение. Адекватность – возможность получения результата с удовлетворительной точностью

Применительно к построению эконометрических моделей следует сказать, под точностью результата понимается абсолютное значение разности между прогнозом, полученным с помощью модели и реальным значением эндогенной переменнойТогда модель считается адекватной, если эта разность не превосходит некоторого наперед заданного значения

Отсюда вытекает алгоритм процедуры проверки адекватности

Алгоритм процедуры проверки адекватности

1. Вся имеющаяся в распоряжении выборка наблюдений делится на две неравные части: обучающую и контролирующую

Обучающая выборка включает основную (большую) часть наблюдений

Контролирующая выборка содержит до 5% от общего объема выборки

2. По обучающей выборке оценивается модель (рассчитываются оценки параметров модели и их стандартные ошибки)

3. Задается значение доверительной вероятности Рдов =1-α и определяется критическое значение дроби Стьюдента tкрит

4. Для каждой «точки» из контролирующей выборки по известным значениям экзогенных переменных строится доверительный интервал прогнозного значения эндогенной переменной (12.5)

5. Проверяется попадает ли соответствующее значение эндогенной переменной внутрь полученного интервала

Пункты 5 и 6 проводятся для каждой точки выборки персонально!

Вывод. Если все значения эндогенных переменных из контрольной выборки накрываются соответствующими доверительными интервалами, то полученная модель с вероятностью Рдов считается адекватной, т.е. пригодной для дальнейшего использования в целях решения экономических задач

Пример

ВНП (млрд.долл

)

С (млрд.долл)

I (млрд.долл

)14,00 8,00 1,6516,00 9,50 1,8018,00 11,00 2,0020,00 12,00 2,1023,00 13,00 2,2023,50 14,00 2,4025,00 15,00 2,6526,50 16,50 2,8528,50 17,00 3,2030,50 18,00 3,55

5.30y55.300.18

1z

0.16y80.150.91

z

0102

0101

Исходная выборка Точки для проверки адекватности

ВНП (млрд.долл

)

С (млрд.долл)

I (млрд.долл

)14,00 8,00 1,6518,00 11,00 2,0020,00 12,00 2,1023,00 13,00 2,2023,50 14,00 2,4025,00 15,00 2,6526,50 16,50 2,8528,50 17,00 3,20

3,43 0,14 -2,170,14 0,29 -1,66

-2,17 -1,66 10,2

-0,12 1,6 1,352,37 0,4 1,370,98 0,74 #Н/Д141 5 #Н/Д155 2,75 #Н/Д

1,00 8,00 1,651,00 11,00 2,001,00 12,00 2,101,00 13,00 2,201,00 14,00 2,401,00 15,00 2,651,00 16,50 2,851,00 17,00 3,20

Х=

(ХТХ)-1=

Q01=

Q02=

2,149

0,373

σ01=

σ01=

1,316

0,869

Результаты оценки

Адекватность в т. Z01

374.08.15.9

1

2.1066.117.266.129.014.017.214.043.3

8.15.91q01

87.0374.0174.001

Прогноз в точке Z01

298.168.112.05.96.135.1y~1

1. Точечная проверка адекватности

t34.087.0

298.1616t0.16y57.25;05.0t кр1кр

Доверительный интервал

53.1887.057.2298.16y

06.1487.057.2298.16y

1

1

Вывод Модель в т. Z1 адекватна

1. Спецификация модели

2. Подготовка исходной информации

3. Оценивание параметров модели

4. Тестирование качества параметров модели:- гомоскедастичность- автокорреляция

5. Проверка адекватности