运筹学

1

运筹学

图与网络分析

第十章图与网络第十章图与网络

赵玮

3

主要内容：主要内容： 10.1 基本概念 10.2 最短路问题（一） Bellman最优化原理（二） Dijustra算法（双括号法）（三）通信线路布施问题（四）设备更新问题 10.3 最小生成树（一）基本概念与理论（二） Kruskal算法（加边法、破圈法）（三）丢边法（破圈法）

4

主要内容：主要内容： 10.4 最大流问题（一）基本概念（二）双标号算法 10.5 最小费用最大流（一）基本概念

（二）求解算法

5

§§ 10.1 10.1 基本概念基本概念

1 图 def1 ：一个无向图（简称为图） G 是一个有序

的二元组，记为 G=(V, E) 。其中 V={V1…Vn}称为 G 的点集合， E=(eij) 称为 G 的边集合， evj 为连接 VV与 Vj 的边。

6

若 N和 E 均为有限集合，则称为G 为有限图，否则称无限图。

若 G 中既没有有限回路（圈），也没有两条边连接同一对点，则称 G 为简单图。如右图之（ a），右图之（ b ）不是简单图。

若 G 为简单图，且 G 中每个点对之间均有一条边相连，则称 G 为完全图。如图（ a ）是简单图，但不是完全图。

图图 aa

图图 bb

7

def 2 ：一个有向图 G 是一个有序的二元组，记为 G=(V, A) ，其中 V=(V1V2…Vn) 称为 G 的点集合， A={aij} 称为 G 的弧（有向边）集合， aij 是以 Vi 指向 Vj 的一条弧。

|V|=n 表示 G 中节点个数为 n ，此节点个数 n也称为图 G 的阶

|A|=m 表示有向图 G 中弧的个数为 m 任一顶点相关联（连接）的边的数目称为该顶

点的次数

8

2 连通图 def 3 ：在有向图 G 中 , 一个点和边的交替序列

{Vi eij Vj…Vk ekl Vl} 称为 G 中从点 Vi到 Vl 的一条路，记为 A ，其中 Vi 为此路 A 的起点， Vj 为路 A 的终点；若路 A 的起点与终点重合 , 则称 A 为回路；又若 G 中点 Vi与 Vj 间存在一条路，则称点 Vi与 Vj 是连通的；若 G中任何二点都是连通的，则称 G 为连通图，或图 G 为连通的。在无向图中有对应的概念。

有向图路回路无向图链圈

9

3 子图

def 4 ：设有两个图： G1= (V1, E1) ， G2= (V2,

E2) 若有，则称 G1为 G2 的子图，

记作；若有 V1=V2 而 , 则称图

G1= (V1, E1) 是图 G2= (V2, E2) 的生成子图（支撑

子图）。

21 VV 21 EE

21 GG 21 EE

10

例：下示图 G1 是图 G 的子图，图 G2 是图 G 的生成子图。

VV11 VV33

VV22 VV44

VV11

VV22 VV44

VV11 VV33

VV22 VV44

（（ aa ））图图GG

（（ bb ））图图GG11

（（ cc ））图图 GG22

11

4 赋权图（加权图）与网路def 5 ：设 G 是一个图（或有向图），若对 G 的每

一条边（或弧） eij 都赋予一实数 ωij ，称其为该边（弧）的权，则 G 连同其他弧上的权集合称为一个赋权图，记作 G= (V, E, W) 或 G= (V, A, W) ，此中 W={ωij}， ωij 为对应边（弧） eij 的权。若 G= (V, E, W) （或 (V, A, W) ）为赋权图，且在 G的 V 中指定一个发点（常记为 Vs ）和一个收点（记为 Vt），其余点称为中间点，则称这样指定了发点与收点的赋权图 G 为网络。

12

§§ 10.2 10.2 最短路问题最短路问题 def 6 ：设 G =（ V, A, W ）为一个赋权有向图，

Vs 为指定发点， Vt 为指定收点，其余为中间点，P为 G 中以 Vs到 Vt 的一条有向路，则称

为路 P 的长度，若有

则称为 G 中从 Vs到 Vt 的最短路，为该最短路的长度（此中 F为 G 中所有从 Vs到 Vt 的全体有向路的集合）。

Pa

aWdefPW )()(

)(min)~

( PWPWFP

P~

)P~

W(

13

最短路问题在企业厂址上选择，厂址布局，设备更新，网络线路安装等工程设计与企业管理中有重要应用。

14

（（一）一） BellmanBellman 最优化原理最优化原理1 命题 1 ：若 P 是网络 G 中从 Vs到 Vt 的一条最

小路， Vl是 P 中除 Vs与 Vt 外的任何一个中间点，则沿 P从 Vs到 Vl 的一条路 P1 亦必是 Vs到Vl 的最小路。

VVss VV11

VVllVV22

VVttPP22

PP11

15

证明（反证）：若 P1 不是从 Vs到 Vl 的最小路，则存在另一条

Vs

到 Vl 的路 P2使W(P2)<W(P1) ，若记路 P 中从Vl到 Vt 的路为 P3 。则有 W(P2) + W(P3)<W(P1) + W(P3)=W(P) ，此说明 G 中存在一条从 Vs沿P2到 Vl沿 P3 再到 Vt 的更小的一条路，这与 P使 G 中从 Vs到 Vt 的一条最小路矛盾。

16

2 算法思想：设 G 中从 Vs到 Vt 的最小路 P： Vs…Vj…Vk…

Vt ，则由上述命题知： P 不仅是从 Vs到 Vt 的最小路，而且从 Vs到 P 中任意中间点的最短路也在 P 上，为此可采用如下求解思路：

⑴ 为求得 Vs到 Vt 的最短路，可先求得 Vs 到中间点的最短路，然后由中间点再逐步过渡到终点 Vt。

17

⑵ 在计算过程中，需要把 V 中“经判断为最短路 P 途径之点 i”和“尚未判断是否为最短路 P 途径之点 j” 区分开来，可设置集合 I和 J, 前者归入 I ，后者归入 J ，并令算法初始时， I 中仅包含 Vs ，其他点全在 J 中，然后随着求解过程的进行， I 中的点逐渐增加（相应 J 中的点逐渐减少），直到终点 Vt 归入 I （相应 J=φ），此时迭代结束。 I 称为已标号集合 ,J 称为未标号集合。

18

⑶ 为区分中间点 Vk 是否已归入 I 中以及逆向求解最短路的方便，可在归入 I 中的点 Vj 上方给予双标号（ lj, Vk），此中 lj 表示从 Vs到 Vj 最短路的距离，而 Vk 则为从 Vs到 Vj 最短路 P中Vj 的前一途径点。⑷ 为在计算机上实现上述求解思想，还需引入

G 中各点间一步可达距离阵 D=(dij)n×n ，此中 |V|=n

ji

jiwd ijij 不能一步到达，

能一步到达，

19

⑸ 以下介绍的是适用于弧权为正值的有向网络中求最短有向路的 Dijkstra 算法，又称双括号法。事实上该算法亦适用于弧权为负值的有向网络求最短路问题。

20

由图由图 GG建立一步可达距离阵建立一步可达距离阵 D=(dD=(dijij))n×nn×n

给给 VV11(V(Vss)) 括号括号 ((ll11,V,Vkk)=(0,s))=(0,s) 给出已标号集给出已标号集合合 II 和未标号集合和未标号集合 JJ 的元素的元素

对于给定的对于给定的 II和和 JJ ，，确定集合确定集合 A={aA={aij ij |Vi I∈ ， Vj J∈ }}

计算距离计算距离

给给 VVkk 括号括号 ((llk k ,V,Vhh) l) lkk=l=lhh + W + Whkhk

I=I + {VI=I + {Vkk} J=J – {V} J=J – {Vkk}}

A=φ A=φ 或或 JJ＝＝ φφ

从从 VVtt 逆向搜索双括号，可得最小路逆向搜索双括号，可得最小路 PP 途径各点及最小路距离途径各点及最小路距离

ENDEND

hkhijIii WlJWl

}V|min{ j

NN

YY

（二）（二） DijksDijkstratra 算法（双算法（双

括号法）括号法）

图一图一

21

例 1（教材 208页）求 G 的最短路，图 G形如下形。

解：利用上述 Dijkstra 算法步骤可得表一所示求解过程，并有最短路 P： V6 V4 V3 V1，

最短距离 |P|=2+1+5=8。55 11 22

图图（一）（一）

22

已标号

点 V j

双标号

( l j , V k ) I J

A = { a i j | V i

∈ I , V j ∈ J } hkhij

Iii WlJWl

}V|min{ j

V 1 ( 0 , s ) V 1 V 2 ~ V 6 { a 1 2 , a 1 3 , a 1 4 } m i n { l 1 + W 1 2 , l 1 + W 1 3 , l 1 + W 1 4 } =

m i n { 0 + 3 , 0 + 2 , 0 + 5 } = 2 = l 1 + W 1 3

V 3 ( 2 , V 1 ) V 1 , V 3 V 2 , V 4

V 5 , V 6 { a 1 2 , a 1 4 , a 3 4 }

m i n { l 1 + W 1 2 , l 1 + W 1 3 , l 3 + W 3 4 } =

m i n { 0 + 3 , 0 + 5 , 2 + 1 } = 3 = l 1 + W 1 2 , l 3 + W 3 4

V 2

V 4

( 3 , V 1 )

( 3 , V 3 ) V 1 ~ V 4 V 5 , V 6 { a 2 6 , a 4 6 }

m i n { l 2 + W 2 6 , l 4 + W 4 6 } =

m i n { 3 + 7 , 3 + 5 } = 8 = l 4 + W 4 6

V 6 ( 8 , V 4 ) V 1 ~ V 4 , V 6 V 5 φ E N D

表一（例表一（例 1 1 求解过程求解过程））

23

例 2 求如下 G 之最小路

VV11

VV44

VV22 VV66 VV88

VV55 VV77

33

33

33VV33

66

66

66

6611

11

77

图二图二

77 4422

24

dij V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

V1 0 2 6 3 ∞ ∞ ∞ ∞

V2 ∞ 0 3 ∞ ∞ 7 ∞ ∞

V3 ∞ ∞ 0 1 3 7 ∞ ∞

V4 ∞ ∞ ∞ 0 6 ∞ ∞ ∞

V5 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 6 ∞

V6 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 4

V7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 6

V8 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

解解表二表二

25

表三（例表三（例 22 求解过程）求解过程）

已标号

点 V j

双标号

( l j , V k ) I J

A = { a i j | V i

∈ I , V j ∈ J } hkhij

Iii WlJWl

}V|min{ j

V 1 ( 0 , s ) V 1 V 2 ~ V 8 { a 1 2 , a 1 3 ,

a 1 4 }

m i n { l 1 + W 1 2 , l 1 + W 1 3 , l 1 + W 1 4 } =

m i n { 0 + 2 , 0 + 6 , 0 + 3 } = 2 = l 1 + W 1 2

V 2 ( 2 , V 1 ) V 1 , V 2 V 3 ~ V 8 { a 1 3 , a 1 4 ,

a 2 3 , a 2 6 }

m i n { l 1 + W 1 3 , l 1 + W 1 4 , l 2 + W 2 3 , l 2 + W 2 6 } =

m i n { 0 + 6 , 0 + 3 , 2 + 3 , 2 + 7 } = 3 = l 1 + W 1 4

V 4 ( 3 , V 1 ) V 1 , V 2 ,

V 4

V 3 ,

V 5 ~ V 8

{ a 1 3 , a 2 3 ,

a 2 6 , a 4 5 }

m i n { l 1 + W 1 3 , l 2 + W 2 3 , l 2 + W 2 6 , l 4 + W 4 5 } =

m i n { 0 + 6 , 2 + 3 , 2 + 7 , 3 + 6 } = 5 = l 2 + W 2 3

V 3 ( 5 , V 2 ) V 1 ~ V 4 V 5 ~ V 8 { a 2 6 , a 3 5 ,

a 3 6 , a 4 5 }

m i n { l 2 + W 2 6 , l 3 + W 3 5 , l 3 + W 3 6 , l 4 + W 4 5 } =

m i n { 2 + 7 , 5 + 3 , 5 + 7 , 3 + 6 } = 8 = l 3 + W 3 5

V 5 ( 8 , V 3 ) V 1 ~ V 5 V 6 V 7 V 8 { a 2 6 , a 3 6 ,

a 5 6 , a 5 7 }

m i n { l 2 + W 2 6 , l 3 + W 3 6 , l 5 + W 5 6 , l 5 + W 5 7 } =

m i n { 2 + 7 , 5 + 7 , 8 + 1 , 8 + 6 } = 9 = l 2 + W 2 6 , l 5 + W 5 6

V 6 ( 9 , V 2 )

( 9 , V 5 ) V 1 ~ V 6 V 7 V 8 { a 5 7 , a 6 8 }

m i n { l 5 + W 5 7 , l 6 + W 6 8 } =

m i n { 8 + 6 , 9 + 4 } = 1 3 = l 6 + W 6 8

V 8 ( 1 3 , V 6 ) V 1 ~ V 6 ,

V 8 V 7 { a 5 7 } l 5 + W 5 7 = 8 + 6 = 1 4

V 7 ( 1 4 , V 5 ) V 1 ~ V 8 φ φ E N D

26

由表三知 V1 V8

最短路 P1： V8 V6 V2 V1

最短路 P2： V8 V6 V5 V3 V2 V1

最短路长 |P1|=2+7+4=13 |P2|=2+3+3+1+4=13

44

44

77

11

22

33 33 22

27

（三）通信线路布设问题（教材（三）通信线路布设问题（教材 PP209209 ））

例 3. 甲、乙两地之间的公路网络如图三，电信公司准备在甲、乙两地沿公路沿线架设一光缆线，问应如何架设此线路方案，以使光缆线路架设总长度最短？

图图三三

28

dij V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7

V1 0 15 10 ∞ ∞ ∞ ∞ V2 15 0 3 6 ∞ ∞ 17 V3 10 3 0 ∞ 4 ∞ ∞ V4 ∞ 6 ∞ 0 4 ∞ 5 V5 ∞ ∞ 4 4 0 2 ∞ V6 ∞ ∞ ∞ ∞ 2 0 6 V7 ∞ 17 ∞ 5 ∞ 6 0

解：本例之一步可达距离阵如解：本例之一步可达距离阵如

G={V,E,W},V={VG={V,E,W},V={V11VV22VV33VV44VV55VV66VV77}} ，，本例本例 GG

为无向图，求解过程见表四为无向图，求解过程见表四

W=

29

V j ( l j , V k ) I J A = { a i j | V i

∈ I , V j ∈ J } h khij

Iii WlJWl

}V|min{ j

V 1 ( 0 , s ) V 1 V 2

V 4 ~ V 7 { a 1 2 , a 1 3 }

m i n { l 1 + W 1 2 , l 1 + W 1 3 , } =

m i n { 0 + 1 5 , 0 + 1 0 } = 1 0 = l 1 + W 1 3

V 3 ( 1 0 , V 1 ) V 1 , V 3 V 4 ~ V 7 { a 1 2 , ,

a 3 2 , a 3 5 }

m i n { l 1 + W 1 3 , l 3 + W 3 2 , l 3 + W 3 5 } =

m i n { 0 + 1 5 , 1 0 + 3 , 1 0 + 4 } = 1 3 = l 3 + W 3 2

V 2 ( 1 3 , V 3 ) V 1 V 2

V 3 V 5

V 4 V 6

V 7

{ a 2 4 , a 2 7 ,

a 3 5 }

m i n { l 2 + W 2 4 , l 2 + W 2 7 , l 3 + W 3 5 } =

m i n { 1 3 + 6 , 1 3 + 1 7 , 1 0 + 4 } = 1 4 = l 3 + W 3 5

V 5 ( 1 4 , V 3 ) V 1 V 2 V 3

V 5 V 6 V 4 V 7

{ a 2 4 , a 2 7 ,

a 5 4 , a 5 6 }

m i n { l 2 + W 2 4 , l 2 + W 2 7 , l 5 + W 5 4 , l 5 + W 5 6 } =

m i n { 1 3 + 6 , 1 3 + 1 7 , 1 4 + 4 , 1 4 + 2 } = 1 6 = l 5 + W 5 6

V 6 ( 1 6 , V 5 ) V 1 ~ V 6 V 7 { a 2 4 , a 5 4 ,

a 2 7 , a 6 7 }

m i n { l 2 + W 2 4 , l 5 + W 5 4 , l 2 + W 2 7 , l 6 + W 6 7 } =

m i n { 1 3 + 6 , 1 4 + 4 , 1 3 + 1 7 , 1 6 + 6 } = 1 8 = l 5 + W 5 4

V 4 ( 1 8 , V 5 ) V 1 ~ V 6 V 7 V 8 { a 2 7 , a 4 7 , a 6 7 } m i n { l 2 + W 2 7 , l 4 + W 4 7 , l 6 + W 6 7 } =

m i n { 1 3 + 1 7 , 1 8 + 5 , 1 6 + 6 } = 2 2 = l 6 + W 6 7

V 7 ( 2 2 , V 6 ) V 1 ~ V 7 , φ E N D

表四（例表四（例 33 求解过程）求解过程）

30

① 由表四可得最短路 P ： V7 V6 V5 V3 V1

最短距离 |P|=10+4+2+6=22

② 还可得到自 V1 （甲）到任一中间点之最短路，例如 V1 V4 最短路由表四可知为

P14 V4 V5 V3 V1 |P14|=18

66 22 44 1010

31

（（四）设备更新问题（教材四）设备更新问题（教材 PP212212 ））

例 4.

某公司设备管理部门欲制定一个五年期某设备的更新计划，要求给出这五年中购置该设备的年份及购置新设备的使用年限。

在此五年中购置该设备的年初价格见表五，设备使用不同年限的维护费见表六。

32

年份 1 2 3 4 5

年初价格 11 11 12 12 13

表五（单位：万元）表五（单位：万元）

使用年数 0～1

1～2

2～3

3～4

4～5

年维护费用 5 6 8 11 18

表六表六（单位：万元（单位：万元 //年年））

33

解：设Vi —i年初购进一台新设备aij —i年初购进之新设备使用到第 j年初（ j-1年末）ωij—i年初购进之新设备使用到第 j年初（ j-1年末）之总费用

根据表五与表六之有关数据可计算 ωij 详可参见表七；由表七可得 W阵如表八；由表八可得有向图四；将表八可转换成一步可达阵如表九，求解过程见表 10 。

34

表七（表七（ W W 计算过程）计算过程）

使用总年

费用

2 3 4 5 6 注

购置费 11 11 11 11 11 5 5 5 5 5 6 6 6 6 8 8 8 11 11

维护费

1 2 3 4 5 18

总费用 16 22 30 41 59

第 1年初购置设备使用个年之费用

购置费－ 11 11 11 11 5 5 5 5 6 6 6 8 8

维护费

2 3 4 5 11

总费用－ 16 22 30 41


35

购置费－－ 12 12 12 5 5 5 6 6

维护费

3 4 5 8

总费用－－ 17 23 31


购置费－－－ 12 12 5 5 维护

费 4 5 6

总费用－－－ 17 23


购置费－－－ 17 23 13 购置费

5 5

总费用 18


36

1 2 3 4 5 6

1 － 16 22 30 41 59

2 －－ 16 22 30 41

3 －－－ 17 23 31

4 －－－－ 17 23

5 －－－－－ 18

表八费用阵（单位：万元）表八费用阵（单位：万元）

j

i

ωij

37

图四（设备更新有向图）

38

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 16 22 30 41 59

V2 ∞ 0 16 22 30 41

V3 ∞ ∞ 0 17 23 31

V4 ∞ ∞ ∞ 0 17 23

V5 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 18

V6 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

表九

39

已标号

点Vj

双标号(lj,Vk)

I J

A={aij|

Vi∈I,

Vj∈J}

hkhijIii WlJWl

}V|min{ j

V1 (0, s ) V1 V2 ~V6

a12,a13,

a14

a15,a16

16WlminWl}Wl{min 1216~2j

j11ij1

＝

V2 (16,V1) V1V2 V3 ~V6

a13,a14

a15,a16

a23,a24

a25,a26 1616winWl

220winWl

2j2

2j1

JV

JV

j

j

l1 + W13 =22

表 10 设备更新求解过程

min

40

V 3 ( 2 2 , V 1 ) V 1 V 2

V 3 V 4 V 5 V 6

a 1 4 ,

a 1 5 , a 1 6

a 2 4 ,

a 2 5 , a 2 6

a 3 4 ,

a 3 5 , a 3 6

300winWl 1j1 JV

j

2216winWl 2j2 JV

j

l 1 + W 1 4 = 3 0

1722winWl 3j3 JV

j

V 4 ( 3 0 , V 1 ) V 1 ~ V 4 V 5 V 6

a 1 5 , a 1 6

a 2 5 , a 2 6

a 3 5 , a 3 6

a 4 5 , a 4 6

l 1 + W 1 5 = 0 + 4 1

l 2 + W 2 5 = 1 6 + 3 0 l 1 + W 1 5 = 4 1

l 3 + W 3 5 = 2 2 + 2 3

l 4 + W 4 5 = 3 0 + 1 7

V 5 ( 4 1 , V 1 ) V 1 ~ V 5 V 6

a 1 6 , a 2 6

a 3 6 , a 4 6

a 5 6

364

363

Wl

Wl53

18412330

312241165916min ＝＝

，，，

V 6 ( 5 3 , V 3 )

( 5 3 , V 4 ) V 1 ~ V 6 φ E N D

m i n

m i n

41

由表 10 可知最短费用流（相当于最短路）

P ： V6 V3 V1 | P| = 53万元 V4

42

结论：公司五年期设备更新方案有两个： A与

B ，总费用均为 53万元。 A 方案：第 1年初购置设备使用到第 3年

初（第 2年末），第 3年初再购置新设备使用到第 5年末（第 6年初）

B 方案：第 1年初购置设备使用到第 4年初（第 3年末），第 4年初再购置新设备使用到第 5年末（第 6年初）

43

§10.3 §10.3 最小生成树最小生成树

最小生成树在网络（电信网、公路网等）设计与企业管理中有重要应用。

44

（一）基本概念与理论（一）基本概念与理论 def 7 ：无圈的连通图（无向图）称为树，常记为符号 T 。如图五的（ a ）为树，（ b ）有圈，（ c ）不连通，故（ b）（ c ）均非树。

V2

V1

V5

V4

V6

V3

V2

V1

V5

V4

V6

V3

V2

V1

V5

V4

V6

V3

（ a）（ b）（ c）图五

45

def 8 ：若 T 是图 G 的一个生成子图而且又是一棵树，则称树 T 是图 G 的一个生成树（又称支撑树）；又若树 T=(V1,E1) 为图 G=(V,E,W) 的

一个生成树，令称为树 T 的权（或长度），则 G 中具最小权的生成树称为 G 的最小生成树，亦即若有则有 T* 为G 的最小生成树，此中 F为G 的

全体生成树的集合。

Ee

eWTW )()(

FT

eWTW )(*)(

46

Th1 ：设 T=(V,E) 是 |V|≥ 3 的一个无向图，则下列六个关于树的定义是等价的：

⑴ T 连通且无圈⑵ T 的任何两个顶点间均必有一条且仅有一条通路相连⑶ T 连通且有 n-1 条边，此中 n= |V|

⑷ T有 n-1 条边且无圈，此中 n= |V|

⑸ T 无圈，但在 T 中任两个不相邻的顶点间添加

一条边，则可构成一条回路⑹ T 连通，但去掉任一条边后就不连通，即树 T

是连通且边数最小的图

47

（二）（二） KruskalKruskal 算法（加边法，破圈法）算法（加边法，破圈法）1. 算法思想：① 由 Th1(4) 结论：若 |V| = n ，则树 T有 n-1 条边

且无圈② 由 def 8 ，最小生成树 T* 是具有最小权的生成树

故可 E 中各边按权大小排列设为 W1≤ W2≤

… ≤ Wm ，对应？边依次为 a1,a2, … am ，然后将 a1,a2, … 依次进入集合 S ，直到获得 S 的生成树 T为止（树的判断可由 Th1(4) 结论），则此树 T 必为最小生成树。

48

设 G=(V,A,W) ， |V| = n ， |A| = m

S— 待生成的集合i — S 中进入最小生成树的边序号j — 逐个进入 S的 G 的边序号ei+1 — S 中进入最小生成树的边

j Wj aj akl

1 W1 a1 a23

2 W2 a2 a55

… … … …m Wm am a76

表 11

49

对 G 中各边按权大小顺序排列，不妨设为 W1≤ W2≤ … ≤ Wm

填写Wj 对应的各边 aj 表 11

S=φ ， i = 0， j=1

{aj} ∪ S构成回路？

|S| = n-1

ei+1=aj S={ei+1} ∪ S

i=i +1 j=j+1j=j+1

T*=S

打印 T*

END

Y

Y

N

N

图六

50

例 5 （教材 P218 ）

某大学准备对其所属的 7 个学院办公室计算机联网．这个网络的可能联通的途径如图七所示，图中 V1 …，， V7 表示 7 个学院办公室，边 eij 为可能联网的途径。边上所赋的权数为这条路线的长度（单位：百米）。试设计一局域网既能联结七个学院办公室，又能使网络线路总长度为最短。

51

Wj aj akl T*

W1 a1 a23 *

W2 a2 a35 *

W3 a3 a27 *

W4 a4 a17 *

W5 a5 a67 *

W6 a6 a37

W7 a7 a56

W8 a8 a57

W9 a9 a43 *

W10 a10 a45

W11 a11 a16

G={V,E,W}, |V| =7, |E| = 11

W=(ωij) ωij 见图

解：依据各边权自小到大排列建立表 12 ，求解过程见表 13 ，

由表 13 得知最小生成树

T*={a1,a2,a3,a4,a5,a9}

W(T*)=1+2+3+3+7=19

图七

表 12

52

表 13 （例 5 求解过程）

e i+1 S i j |S| aj {aj}∪ S 构成回路?

φ 0 1 0 a1 a1 ×

e1 = a1 a1 1 2 1 a2 a1,a2 ×

e2 = a2 a1,a2 2 3 2 a3 a1,a2, a3 ×

e3 = a3 a1,a2,a3 3 4 3 a4 a1~a4 ×

e4 = a4 a1~a4 4 5 4 a5 a1~a5 ×

e5 = a5 a1~a5 5 6 5 a6 a1~a6 √

— 7 5 a7 a1~a5, a7 √

— 8 5 a8 a1~a5, a8 √

— 9 5 a9 a1~a5, a9 ×

e6 = a9 a1~a5,a9 6 10 6 END

53

例 6. 利用加边法求图八所示的无向图 G 之最小生成树

Wj aj akl T*

W1 a1 a12 *

W2 a2 a13 *

W3 a3 a45 *

W4 a4 a23

W5 a5 a25 *

W6 a6 a24

W7 a7 a34

W8 a8 a35

解： G={V,E,V} ， |V| = 5

|E| = 8表 14

V1

V2

V5

V3

V4

1

2

2

3

4

4

42

图八

54


e i+1 S i j |S| aj {aj}∪ S 构成回路?

φ 0 1 0 a1 a1 ×

e1 = a1 a1 1 2 1 a2 a1,a2 ×

e2 = a2 a1,a2 2 3 2 a3 a1,a2,a3 ×

e3 = a3 a1,a2,a3 3 4 3 a4 a1~ a4 √

5 3 a5 a1,a2,a3,a5 ×

e4 = a5 a1,a2,a3,a5 4 6 4 END

55

（三）丢边法（破圈法）（三）丢边法（破圈法）

1. 算法原理：丢边法与加边法相反，加边法是以不形成

回路为准则将 S=φ逐步加边以形成树，而由于按边权愈小愈优先加进去，故为最小生成树，而丢边法则是 S= E 以不形成回路为准则逐步丢边以形成树，由于是按边权愈大愈优先丢掉，故同样为最小生成树。

56

设 G=(V,E,W) ， |V| = n ， |E| = m，

S — 待生成的集合（逐步丢边） i — S 中丢掉边的序号 j — S 中保留边的序号 ei+1 — S 中丢到的边 e1— S 中丢到的边的全体（集合） fj+1 — S 中保留的边 D — S 中保留边的集合

57

由于边个数为 m ，树含边的个数为 n-1 ，故丢掉（形成回路）边的个数为 m-(n-1)=m-n+1 ，以此为程序出口，标志着最小生成树形成

依次从大到小按列同例 5 表 12 。

58

G=(V,E,W) ， |V| = n ， |E| = m ， S=

E， i=0， j=0， E1=φ, D=φ

选 S 中最大权之边|a||a|max l

Skk

S 中是否有包含 al

的一个回路

i=i +1 ei=al

S= S -{ei} E1=E1∪{ei} T*=S-E1

打印 T*的边序列

j=j +1 fj=al

D=D∪{fi+1}

i≥ m-n-1

END

N

N

Y

Y

图九

59

例 6. （同例 5 ）用丢边法求解求解过程见表 16 ，由于m-n+1=11-(7-1)=5

故 i=5 时程序终止，由表知T*=S-{e1~e5}={a1,a2,a3,a4,a5,a9} 与前加边法求解相同，详可参考教材 P218 的六个图。

60

表 16 （例 6 求解价格）

5=i=m-n+1

选择 S中最大权的边数

|al| S 中有含al的回路

i j e i=al fj=al S= S -{e i} E1 D

0 0 E φ φ

即 a11 a16 10 V1 V6 V7 1 e1 = a16 E-{e1} e1

即 a10 a45 8 V3 V4 V5 2 e2 = a45 E-{e1 e2} e1 e2

即 a9 a43 7 无 1 f1 = a43 f1

即 a8 a57 5 V7 V5 V6 3 e3 = a57 E-{e1e2e3} e1 e2 e3

即 a7 a56 4 V3 V5 V6 4 e4 = a56 E-{e1e2e3e4} e1 ~ e4

即 a6 a37 4 V2 V3 V7 5 e5 = a37 E-{e1e2e3e4 e5} e1 ~ e5

END

61

§§ 10.4 10.4 最大流问题最大流问题由前知，一个指定了收点和发点的赋权图 G

称为网络，在网络设计中研究网络的流量具有现实意义，如交通网络的车流流量，通信网络中的话务流量，金融网络中的现金流量，控制网络中的信息流量，供电网络中的电流流量等。人们也常常希望知道在既定网络中能允许通过的最大流量，以便对该网络的利用程序作出评价，这就是所谓的网络最大流问题。求解方法有双标号法，对偶图法等。

62

1 ．网络中弧的容量与流量

def9 ：对于一个指定收、发点的赋权有向（无向）图或网络 N ＝（ V ， A ， C ），弧 aij∈A 的最大允许通过能力称为该弧的容量，记为cij（ cij≥0 ），全体 cij构成之集合记为 C ；而通过边 aij 的实际流量成为流量，记为 fij ，故有0≤fij≤cij 。显然若 fij≥cij 则网络 N 在 aij 边将发生堵塞现象，这是人们希望能避免的现象。

（一）基本概念（一）基本概念

63

2 ．可行流与最大流

def10 ：设有网络 N ＝（ V ， A ， C ），称

f ={fij∣aij∈A} 为网络 N 上的流函数，简称网

络流；满足如下条件的网络流称为可行流，其

中 v （ f ）为网络 N 可行流的总流量（净流入量）。

64

（ 1 ）容量限制条件：

（ 2 ）流量守恒条件：

说明：进入节点 vj 的流量＝自节点 vj 流出的流量；

fij≡0 之零流亦满足上述条件，故零流以为可行流。

65

3 ．顺向弧、逆向弧与可增路

def11 ：设 f 是网络 N 的一可行流， P 是 N中从 vs到 vt 的一条路，对于路 P 途经的各弧，若弧的方向与路的方向相同，则称该弧为顺向弧，若弧的方向与路的方向相反，则称该弧为逆向弧。若在路 P 的一切顺向弧（ vi， vj ）上有 fij＜ cij ，在路 P 的一切逆向弧（ vj， vi ）上有 fji＞ 0 ，则称路 P 是一条关于 f 的可增路。

66

说明：

（ 1 ）由 def 11 得知：若在路 P 中，存在一条顺向弧（ vi， vj ）有 fij＝ cij （此时称弧为饱和弧），或者在路 P 中存在一条逆向弧（ vj， vi ）有fji＝ 0 ，则称路 P 为不可增路；

（ 2 ）在图 10 所示的网络 N 中有一可行流f={fij∣aij∈A} ，用蓝字标记，红字标记各弧的容量cij 。表 17给出了四条从 v1 到 v7 的路是否可增路的判别理由。（此 f 满足流量守恒条件与容量限制条件，如

67

图 10

68

表 17

j v1到 v7的路可增路？理由1 v1v2v5v7 √ 顺向弧有 fij＜ cij

2 v1v2v5v3v6v7 √ 顺向弧 fij＜ cij

逆向弧有 f35＞ 0

3 v1v4v7 × 顺向弧有 f47＝ c47

4 v1v2v3v4v7 × 顺向弧有 f23＝ c23， f47＝c47

69

（ 3 ）可增路的内涵可通过下例得知

在图 10 之可行流 f 中，对于路 v1v2v5v3v6v7

途经的各弧中，若 f12， f23 增加一个单位流量， f35 减少一个单位流量，利用流量守恒条件，可得一个如图 11 的新的可行流，并有 v （） = 10＞ 9 =

v （ f ）。

f f

图 11

70

由上可知在 def11 中可增路要求顺向弧

fij＜ cij 之条件，实际上说明沿该弧（ vi， vj ）还

可提高流量 △ ij＝ cij－ fij＞ 0 ，另一方面，为提

高流量 v （ f ）还要求该路的逆向弧降低流量，而

fji＞ 0 正说明了该逆向弧可降低 fji 个单位。

71

1 ．算法思想（见图 12 ）

给定 N ＝ {V， A ， C} ，任取一可行流 f ＝ {fij} ，若无可行流，可取零

流。 l＝ 1

在 f 中任取一可增路 pl

利用标号规则与调整规则对沿着路 p 的各弧作最大可能调整

是否对 N 中所有路均作调整

打印经调整后的最大流f*及最大流量 v （ f

*）

取 N 的一条新可增路 pl

l＝ l＋ 1

END图 12

（二）双标号算法（二）双标号算法

72

寻找一可增路 pl ， l＝ 1

vs 标号（ s ，∞），沿 pl寻找 vs的下一相邻节点 vj

按标号规则对 vj 进行双标号（ vj，l（ vj ））

vs＝ vt

沿 pl 从收点 vt 开始反向搜索途经各弧，按调整规则作流量调整

抹去 pl 上各点之双标号，从而由原可行流 f 调整为新可行流 f1 ，并有 v

（ f ）＜ v （ f1 ）

是否还有新的可增路

打印并输出经调整后的最大流 f*＝{fij∣aij∈A} ，最大流量 v （ f* ）

结束

l＝ l＋ 1

取 N 的新的可增路pl

j＝ k ， i＝ j

沿 pl 寻找 vj的相邻的一点vk

图 13

N

Y

Y

N

2 ．调整步骤（见图

13 ）

73

3 ．标号与调整规则

（ 1 ）标号规则：

1o 若（ vi， vj ）为顺向弧，且 fij<cij ，则给 vj

标号（ vi ＋， l（ vj ）），其中 l（ vj ）＝

min（ l（ vi ）， cij－ fij ）；

2o 若（ vi， vj ）为逆向弧，且 fji>0 ，则给 vj标

号（ vi －， l（ vj ）），其中 l（ vj ）＝

min（ l（ vi ）， fji ）；

3o 若（ vi， vj ）为顺向弧但 fij＝ cij 或（ vi， vj ）

为逆向弧但 fji＝ 0 ，此时沿该弧的路线停止标号。

74

（ 2 ）调整规则：

1o 若（ vi， vj ）为顺向弧，则对 pl 路径的顺向弧作调整，其调整量△ ij＝ fij＋ l（ v ）；

2o 若（ vi， vj ）为逆向弧，则对 pl 途经的逆向弧作调整，其调整量△ ji＝ fji－ l（ v ）；

3o G 中不在 pl 路上的各弧不作调整。

75

4 ．例 7 （教材 P219 ）

某石油公司拥有一管道网络，使用此管道网络可将石油从采地 v1 运往销地 v7 ，由于各地的地质条件等不同，因而其管道直径有所不同，从而使各弧的容量 cij （单位：万加仑 /小时）不同，对于如图 14 所示的管道网络 N ＝（ V ， A ， C ），问每小时从 v1 往 v7 能运送多少加仑石油？

76

图 14

77

解 1 ：若设弧（ vi， vj ）上的流量为 fij ，网络N 上总流量为 F ，则可建立如下 LP ： max F ＝ f12 ＋ f14

f12 ＝ f23 ＋ f25

f14 ＝ f43 ＋ f46 ＋ f47

f23 ＋ f43 ＝ f35 ＋ f36

s． t f25 ＋ f35 ＝ f57

f36 ＋ f46 ＝ f67

f47 ＋ f57 ＋ f67 ＝ f12 ＋ f14

fij≤cij i＝ 1～ 6， j＝ 1～ 7

fij≥0 i＝ 1～ 6， j＝ 1～ 7

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7

v1v2v3v4v5v6v7

0 6 0 6 0 0 00 0 2 0 3 0 00 0 0 0 2 2 00 0 3 0 0 3 20 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 0

C 阵

78

利用单纯形法可解得最大流：

f*＝ {f12＝ 5 ， f14＝ 5 ， f23＝ 2 ， f25＝3 ，

f43＝ 2 ， f46＝ 1 ， f47＝ 2 ， f35＝ 2 ，

f36＝ 2 ， f57＝ 5 ， f67＝ 3 ， v （ f*）＝ 10}

79

解 2 ：（采用双标号法求最大流）

求解中寻找了五条可增路，其标号过程与增流过程见表 18 ，表 18 中各可增路及其流量调整过程见图 15 。

求解结果与解 1 相同。

80

81

82

83

84

图 15

85


l 可增路 pl 第二个标号 l（ vj）可调整量l（ vt）标号图调整图

网络流量 v（ f）

1 v1v4v7 l（ v4）＝ 6， l（ v7）＝ 2

2 （ a）（ b） 2

2 v1v2v3v5v7 l（ v2）＝ 6， l（ v3）＝ 2

l（ v5）＝ 2， l（ v7）＝ 2

2 （ c）（ d） 4

3 v1v4v6v7 l（ v4）＝ 4， l（ v6）＝ 1

l（ v7）＝ 2

1 （ e）（ f） 5

4 v1v2v5v7 l（ v2）＝ 4， l（ v5）＝ 3

l（ v7）＝ 3

3 （ g）（ h） 8

5 v1v4v3v6v7 l（ v4）＝ 3， l（ v3）＝ 3

l（ v6）＝ 2， l（ v7）＝ 2

2 （ i）（ j） 10

已无可增路 END

86

§§ 10.5 10.5 最小费用最大流最小费用最大流在很多网络（电信网络、运输网络、计算机网络）的分析与设计问题中，人们除关心网络的系统容量外还要考虑费用问题，以便建立一个高效、低耗的网络系统。这就是最小费用最大流问题的研究。

87

def12 ：设网络 N ＝｛ V, A｝，除对每一弧a∈A规定了其容量 c(a) 外，还给定一个数 b(a) ≥ 0 称为弧 a 的单位流量费用，即有网络 N ＝｛ V, A, c, b｝称其为带费用（代价）的网络。设f 是 N 上的一个可行流（从 vs到 vt ），称为可行流 f 的费用。

将 N 上所有流量等于 v0 的可行流中费用最小的可行流 f 称为流量为 v0 的最小费用流，进一步当v0 又是 N 中最大流的流量时，则称此 f 为最小费用最大流。

（一）基本概念（一）基本概念

88

例 8 某石油公司管道网，由于输油管道的长短不一，故对于不同的地段（路径）有不同的容量限制 cij 之外，还有不同的单位流量费用 bij ，该 cij 的单位为万加仑 /小时， bij 的单位为百元 / 万加仑，管道网络如图 16 所示，图中括号内的数字表示（ cij， bij ）。

89

解 1 ：设 fij 表示 aij 上实际流量，则由定义12 可建立如下 LP

s.t

max

90

总费用 b(f)=145

此解与例 7 的解显然不同，它是在考虑了费用目标后的结果。

91

（二）求解算法（二）求解算法

算法原理：最小费用最大流之算法有多种，以下介绍一种比较易理解的算法。

定理 3 ：设 f 是流量为 v0 的最小费用流， p 是关于 f 的可增路中费用最小的可增路。可增容量为 δ 则沿 p 增容 δ 后所得到的可行流即为的最小费用流。

若将N 中弧 aij 的单位费用 bij 作为该弧的弧长，则上述定理中的“可增路中费用最小”可理解为“可增容的最短路”。（∵此中最短的含义即为路径各弧的费用和最小）

利用上述定理可得如下算法步骤。

92

图 17

2.算法步骤

93

表 19

l关于 fl － 1 的可增容最

短路 pl

最短路长︱ pl︱

可调容量l（ vt ）

系统容量v （ f ）

总费用

1 v1v4v6v7 10 1 1 10

2 v1v4v7 11 2 3 32

3 v1v4v3v6v7 12 2 5 56

4 v1v4v3v5v7 16 1 6 72

5 v1v2v5v7 17 3 9 123

6 v1v2v3v5v7 22 1 10 145

对于图 18的求解过程可用表 20中之定理内容来解释此算法原理。

3 、例 8 解 2 ：求解过程见表 19 ，表 19各最短路的增容过程见图 18 。

94

95

96

97

图 18

98

结论：

（ 1 ）最小费用最大流 f*＝ {fij} ，与解 1 计算结果相同；

（ 2 ）最小费用

b(f)= 4×6＋ 6×3＋ 3×4＋ 1×5＋ 3×2＋ 2×4

＋ 2×3＋ 5×7＋ 3×4＋ 1×3＋ 2×8

= 145

与解 1 计算结果相同。

99

表 20

f是容量为 v0的最小费用流

p 是关于 f 的可增容（可增容量为

δ）最短路

则沿 p 增容 δ 后所得的可

行流为容量为 v0＋ δ 的

最小费用f0 是 0 p1 f0 1 p1 f1 1

f1 是 1 p2 f0 2 p2 f2 3

f2 是 2 p3 f0 2 p3 f3 5

f3 是 3 p4 f0 1 p4 f4 6

f4 是 4 p5 f0 3 p5 f5 9

f5 是 5 p6 f0 1 p6 f6 10

100

此中需要说明的是： p1 是 f0 的可增容最短路，为什么不是 f1 的可增容最短路？这是由于 f1 沿 p1 已不可能再增容。（因为 f1 是由 f0 沿 p1 增容而得，至少有一弧，如 a46已饱和， c46＝ f46

＝ 1 ），故 p1 是最短路（关于 bij ）但非可增容。综合二者说明 p1 不是 f1 的可增容最短路（或说 p1 是 f1 的不可增容最短路）。

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