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二、函数的极限. 1. x→+∞ 时函数的极限 [ 定义 ] 设函数 y ＝ f(x) ，如果当 x→+∞ 时，函数值 f(x) 无限趋近于某常数 A ，则称 A 是当 x 趋于正无穷时函数 y ＝ f(x) 的极限，记作 ＝ A 或 f(x)→A (x→+∞) 上例可表示为： 又如： ， 。. 2. x→-∞ 时函数的极限 - PowerPoint PPT Presentation
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二、函数的极限㈥、自变量趋于无限时的函数极限
研究函数x
xxf
1)(
图象：
y = 1
在 x＞0的范围内，图象向 x增大的方向 (向右 )无限延伸时，趋近于直线 y=1; 在 x＜0的范围内，图象向 x减小的方向 (向左 )无限延伸时，也趋近于直线 y=1。
1. x→+∞ 时函数的极限[ 定义 ]设函数 y ＝ f(x) ，如果当 x→+∞ 时，函数值 f
(x) 无限趋近于某常数 A ，则称 A 是当 x 趋于正无穷时函数 y ＝ f(x) 的极限，记作 ＝ A或 f(x)→A (x→+∞)
上例可表示为： 又如： ， 。
)(lim xfx
11
lim
x
xx
01
lim xx
21
12lim
x
xx
2. x→-∞ 时函数的极限 [ 定义 ] 对于函数 y ＝ f(x) ，如果当 x→-∞ 时， f
(x) 无限趋近于某常数 A ，则称 A 是当 x 趋于负无穷时函数 y ＝ f(x) 的极限 , 记作 ＝ A 或 f(x)→A (x→-∞)
上例可表示为：
又如： ， 。
)(lim xfx
11
lim
x
xx
01
lim xx
21
12lim
x
xx
3. x→∞ 时函数的极限 [ 定义 ] 对于函数 y ＝ f(x) ，如果 x 可正可负，且 |
x| 无限增大时， f(x) 无限趋于某常数 A ，则称 A 是当 x 趋于无穷时函数 y ＝ f(x) 的极限 , 记作 ＝ A或 f(x)→A(x→∞)
上例可表示为：
又如： ， 。
)(lim xfx
11
lim
x
xx
01
lim xx
21
12lim
x
xx
[ 定理 2.2] 当且仅当 时， 才成立，即 成立的充分必要条件㈦自变量 x 趋于某有限值 a 时的函数极限 x→a 的情况有两种，一种是 x 不断增大趋近于 a ，
即从 a 的左边趋近于 a ，记作 x→a- ，另一种是 x不断减小趋近于 a ，即从 a 的右边趋近于 a ，记作x→a+ 。这两种情况的结果可能不一样，特别是分段函数。
例如： x, x ＜ 0 当 x→0- 时 f(x)→0 ( 左 )f(x) ＝ x ＋ 1,x≥0 当 x→0+ 时 f(x)→1 ( 右 )
AxfAxfxx
)(lim,)(lim Axfz
)(lim
Axfz
)(lim Axfxfxx
)(lim)(lim
1 ． x→a- 时函数的极限[ 定义 ] 设函数 y ＝ f(x) 在点 a 的邻域内即 a 的左右
(a 可除外 ) 有定义，且当 x→a- 时，函数值 f(x) 趋于常数 A ，则称 A 是当 x 趋近于 a- 时，函数 y ＝ f(x) 的极限 ( 左极限 ) ，记作
2 ． x→a+ 时函数的极限[ 定义 ] 设函数 y ＝ f(x) 在点 a 的邻域内即 a 的左右
(a 可除外 ) 有定义，且当 x→a+ 时，函数值 f(x) 趋于常数 A ，则称 A 是当 x 趋近于 a+ 时，函数 y ＝ f(x) 的极限 ( 右极限 ) ，记作
函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。
Axfax
)(lim
Axfax
)(lim
3 ． x→a 时函数的极限[ 定义 ] 设函数 y ＝ f(x) 在点 a 的邻域内即 a 的左右
(a 可除外 ) 有定义，且当 x 从 a 的左右两侧同时无限趋近于 a 时，函数值 f(x) 都趋近于常数 A ，则称A 是当 x 趋近于 a 时，函数 y ＝ f(x) 的极限，
记作 [ 定理 2.3] 当且仅当 都存在且相等时， 才存在，即 成立的充分必要条件
Axfax
)(lim
)(lim)(lim xfxfaxax
和)(lim xf
az Axfaz
)(lim
Axfxfaxax
)(lim)(lim
[ 重点提示 ] 求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左
极限和右极限是否存在并且是否相等。例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限 ⑴ ⑵ 解： ⑴ ∵ ， ∴ 函数在指定点的极限不存在。 ⑵ ∵ ，
∴ 函数在指定点的极限
2,
2,1
xx
xxy 2x
0,3
1
0,sin
xx
xxy 0x
3lim,2lim22
yy
xxyy
xx
22limlim
003
1lim,00sinlim
00
yy
xxyy
xx
00limlim
0lim0
y
x
㈧函数极限的运算性质 1. 函数极限的运算性质
[ 定理 2.4]
如果当 x→a 时，函数 f(x) 和 g(x) 的极限都存在，且 , , 则有
⑴
⑵
⑶
⑷
Axfax
)(lim Bxgax
)(lim
BAxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)]()([lim
CAxfCxfCaxax
)(lim)]([lim
ABbaba nn
nn
nnn
limlim)(lim
)0(,)(lim
)(lim
)(
)(lim
B
B
A
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
2. 求 x→∞ 时函数的极限举例 ⑴ ⑵ (C 为常数 )例 2.17 求当 x→∞ 时，下列函数的极限 ⑴ ⑵
解：
⑴
⑵
由此可见，求 x→∞ 时函数的极限与求数列的极限的方法是相同的。
01
lim xx
CCx
lim
1
123
23
xx
xxy
1
123
2
xx
xxy
32
3
3
23
111
112
lim1
12lim
xx
xxxx
xxxx
2
001
0021
lim1
lim1lim
1lim
1lim2lim
32
3
xx
xx
xxx
xxx
32
32
3
2
111
112
lim1
12lim
xx
xxxxx
xxxx
0
1lim
1lim1lim
1lim
1lim
1lim2
32
32
xx
xxx
xxx
xxx
3. 求 x→a 时函数的极限举例⑴ 常数的极限是常数本身⑵ 自变量的极限是 a例 2.19 求下列极限 ⑴ ⑵ 解： ⑴
⑵
CCax
lim
axax
lim
3
1lim
3 xx 9
3lim
23
x
xx
6
1
33
1
3limlim
1lim
3
1lim
33
3
3
xx
x
x xx
6
1
3
1lim
33
3lim
9
3lim
3323
xxx
x
x
xxxx
[ 重要提示 ] 求极限的一般方法⑴ 直接代入法。以 x=x0 代入 f(x) ，如 f(x0) 有意义，
则极限为 f(x0)
⑵ 约分法。如 f(x) 为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子 g (x0) 有意义，则函数极限极限为 g (x0) 。如例 2.19 (2)
⑶ 有理化法。如 f(x) 为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得 g (x0) 有意义，则极限为 g (x0) 。如 P.101 12(3)
⑷ 若 x→∞ ， f(x) 为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以 x 的最高次幂，再逐项求极限。如例 2.17
㈨两个重要的极限： ⒈
e ＝ 2.7182... 是一个重要的无理数。 例 2.22 求下列极限 ⑴ ⑵
⑶ ⑷ 解：⑴
⑵
ex
en
x
x
n
n
11lim
11lim 与
31
1lim
n
n n
n
n n
21
1lim
x
x kx)
11(lim
x
x x
11lim
ee
n
nn
n
n
nn
n
1)1
1(lim
)1
1(lim11lim
3
3
2
2221
1lim1
1lim1
1lim ennn
n
n
n
n
n
n
⑶
⑷
如令上式中的 ，则有公式 ，也可
写成
例如 :
kkkx
x
kkx
x
x
xe
kxkxkx
111
11lim
11lim)
11(lim
1
11
11lim
11lim
11lim
e
xxx
x
x
x
x
x
x
xu
1 eu u
u
1
01lim
ex xx
1
01lim
kk
kxx
xx
ekxkx
1
0
1
01lim1lim
⒉[ 注意 ] 在这个公式里 x 趋近于哪个数是非常重要的， x 趋
近于不同的数 , 极限是不同的。例如，例 2.22 求下列极限 ⑴ ⑵
解 :⑴
⑵
1sin
lim0
x
xx
0sin
lim,1sin
lim0
x
x
x
xxx
但
x
xx
3sinlim
020
cos1lim
x
xx
333
3sinlim
3sinlim
00
x
x
x
xxx
2
1
2
2sin
lim2
1
)2
(4
2sin2
limcos1
lim
2
02
2
020
x
x
x
x
x
xxxx
[ 讲解例题 ] P.100
7.
9.
55
23
5
5
5
35
1)
22(
1)
3(
1
lim1)22(
)3()1(lim
xxx
xxx
xx
x
xxxx
32
1
02
01
1lim)
22(lim
1lim)]
31(lim[)
11(lim
5
5
5
23
5
xx
xxx
xx
xxx
11
11lim11lim
22
2222
xx
xxxx
xx
011
0
)1
1(lim)1
1(lim
2lim
11
11
2
lim
2222
xx
x
xx
x
xx
x
x
作业 : P.100 4⑵,6⑵⑶,11⑷⑸⑹,13,16
