第五十二讲

吉林大学远程教育

主讲：杨荣副教授

习题课

典型例题：

利用定积分可以计算一些几何量和物理量，例如平面图形的面积，旋转体的体积、平面曲线的弧长、引力、水压力和变力作功等。

内容提要

分析 首先作出两条曲线

的图形，并求出它们的交点坐标。根据图形，确定自变量及其取值区间，利用定积分求出图形的面积。

例 1 求曲线 x = 5y2 与 x = 1 ＋ y2 所围成图形的面积 .

为了求出两条曲线的交点的坐标，可解方程组

y

xo

x = 1 ＋y2

x = 5y2

1

2

1 A

B

)2

1,

4

5(

)2

1,

4

5(

2

2

1

5

yx

yx

3

2)

3

4(2]5)1[(2

2

1

0

32

1

0

22 yydyyyS

分析 首先求出曲线 y ＝ lnx 在点 (1, 0) 处的切线方程。切线斜率为

解得交点 A 及 B 的坐标分别为 及 。把它们标记在图中。

图形关于 x 轴是对称的，因此只需算出 x 轴上方图形（阴影部分）面

积。

容易看出以 y 作为积分变量是方便的。 y 的取值区间是 ，因此所

求

面积为

)2

1,

4

5( )

2

1,

4

5(

]2

1,0[

例 2 求由曲线 y ＝ lnx 、该曲线在点 (1, 0) 处的切线及直线 x ＝e 所围

成的图形的面积。

11

11

x

x xy

例 3 求曲线 的一条切线 l ，使该曲线与切线 l 及二直线

x ＝ 0 ， x ＝ 2 所围成的图形面积最小。

xy

切线过点 (1, 0) ，切线方程为1xy

阴影部分就是三条曲线所围成的图形，其面积为

dxxxSe

]ln)1[(1

ee

xxxx11

2 )ln()1(2

1

)12(2

1 2 ee

y

xoy=lnx

y = x －11

e

-1

1 2 3

分析 首先要确定曲线 上一点 处切线的斜率xy ),( tt

txy

txtx 2

1

2

1

则可求得曲线在点 处的切线的方程),( tt

)(2

1tx

tty

即

22

t

t

xy

再求出题设曲线所围成图形的面积

dxxt

t

xtS ])

22[()(

2

0

3

241

3

2

22

4

12

0

2

32

0

2

0

tt

xxt

xt

再求的最小值点。为此，令

0

2

1

2

1

2

1)(

2

3

2

3

t

t

tt

tS

得 t ＝ 1 。由于

分析 此参数方程所确定的图形是椭圆。由图形的对称性，图形的面积

0

2

20

2

2

0sin32)cos2(sin444 tdtxtdydxS

02

1)1(,

4

1

4

3)( 2

3

2

5

StttS

所以 t ＝ 1 时 S (t) 为最小。最后定出所求切线 l 的方程为

2

1

2

1 xy

例 4 求曲线

)20(sin4

cos2

tty

tx

所围成图形的面积。

解 由星形线图形的对称性，它围成的面积为

例 5 求由星形线

2

0

2320

2

33

0sincossin12)cos(sin44

tdtttatatdaydxSa

822

132sin32 2

0

2 tdt

注意：将 x 及 y 的参数表达式代入面积表达式，相当于作变量代

换 x ＝ 2cost ， y ＝ 4sint 。当 x ＝ 0 时， t ＝ ；当 x ＝ 2 时， t

＝ 0 。这一点不要搞错。

2

)20(sin

cos3

3

ttay

tax

所围成图形的面积。

)sinsin(12)sin1(sin12 2

0

62

0

422

0

242

tdttdtadttta

分析 解方程组

]2cos2

1)sin2(

2

1[2 4

6

6

0

2

ddS

22

8

3)

22

1

4

3

6

5

22

1

4

3(12 aa

例 6 求圆 与双纽线 公共部分的面积。sin2r 2cos2 r

2cos

sin22r

r

得 . 由右图，可得6

)]3

sin2

(sin4

1)2sin

4

1

2[(2]2sin

4

1

2

2cos1[2

6

0

4

6

6

0

d

2

1

2

3

6)

8

3

4

1

8

3

12(2

sin2r

2cos2 r

xy xy

2

o

y

x1

)( 000 xxeey xx

例 6 求位于曲线 下方以及该曲线过原点的切线的左方与轴上方之间的图形的面积（如右图所示）。

xey

0

0

x

xxey

切线方程为

exy

分析 曲线 上一点 处切线斜率为

xey ),( 00

xex

由于切线过原点 o(0, 0) ，得 00

0xx exe

于是 x0 ＝ 1. 切点为 (1, e) ，切线方程为

所求面积

xey

o x1

1

2

e

y

分析 如右图所示，所求旋转体的体积 V 等于 x = y2(0≤y≤1) 曲线绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的

体

积 V1 与曲线 y = x2(0≤x≤1) 绕 x 轴旋

转一周所生成的旋转体的体积 V2 之差。

1

0

221

0)(21 dxxxdxVVV

221

2

1 11 eeeedxeS xx

例 8 求由曲线 及 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。

2xy 2yx

解 我们有

10

3

52

1

0

51

0

2 xx

o 1 x

y

1

y=x2

x=y2

3

1

23)(

1

0

2 ba

dxbxax

例 9 设抛物线 y = ax2 ＋ bx ＋ c 过原点，当 0≤ x≤ 1 时， y≥ 0.

已知该抛物线与 x 轴及直线 x = 1 所围成的图形的面积为 ，确定 a, b,

c ，

使此图形绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积 V 最小。

3

1

解 因为抛物线 y = ax2 ＋ bx ＋ c 过原点 o(0, 0) ，所以 c ＝ 0 .

)1(3

2ab

分析 这是一道综合题。利用抛物线过原点的条件，可知 c ＝ 0 。算出曲边梯形的面积并令它等于 . 求出旋转体的体积 V 的表达式，将

V

对 a 求导数并令它等于零，即可求得 a 和 b 。

3

1

抛物线与 x 轴及直线 x = 1 围成的面积

可得

0135

4

4

52

2

ada

Vd

上述图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积

将对求导数并令其等于零，得

得 代入上式，得)1(3

2ab

1

0

2 )( dxbxaxV

)325

()2(221

0

22342 babadxxbabxxa

])1(27

4)(

3

1

5[ 22

2

aaaa

V

0)27

1

275

4()]1(

27

8)21(

3

1

5

2[

aaaa

da

dV

解得 . 由于4

5a

0135

4

4

52

2

ada

Vd

将对求导数并令其等于零，得

综合上述讨论可知，当 时，旋转体的体积为 最小。

0,2

3,

4

5 cba

2

3)

4

51(

3

2b

])1(27

4)(

3

1

5[ 22

2

aaaa

V

0)27

1

275

4()]1(

27

8)21(

3

1

5

2[

aaaa

da

dV

解得 . 由于4

5a

所以当 时， V 取最小值。此时4

5a

例 10 求圆域 x2 ＋ (y － 5)2 ≤ 16 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的

体积。 分析 所求体积 V 等于上半圆周 绕 x

轴旋转一周所生成的旋转体的体积

V1 与下半周

绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体

积 V2 之差。注意到

)44(165 2 xxy

)44(165 2 xxy

22222 1620)165()165( xxx

以及上面的函数是偶函数，将会使计算得到简化。

解 我们有

o 4 x－ 4

5

y2165 xy

2165 xy

例 11 求抛物线 y2 ＝ 2 x( 0≤ x ≤2) 的长度。

分析 可把 y 作为自变量，则抛物线方程为

22,2

2

yy

x

2

0

24

0

2 cos4sin1616401640

tdttdxxV

22

0160

22

1640cos640

tdt

4

4

224

4

2221 )165()165( dxxdxxVVV

4

0

24

4

2 16401620 dxxdxx

令 x ＝ 4sint ，则 dx ＝ 4cost dt. 当 x ＝ 0 时， t ＝ 0 ；当 x ＝ 4 时， t ＝ .

因此

2

这里要注意抛物线 y2 ＝ 2x 以 x 轴为对称轴， y 的取值范围是闭区间[ － 2, 2].

2

0

22

2

22

2

2 121)(1 dyydyydyxs

解 抛物线 y2 ＝ 2 x( 0≤ x ≤2) 的长度为

2

0

22 )]1ln(2

11

2[2 yyy

y

)52ln(52)]52ln(2

15[2