算术方法与方程（组）法的比较

—— 小学、初中衔接学法指导研究之一

西昌一中俊波外国语学校 范仕军

问题的提出• 解应用题，小学主要用算术方法 ，中学则

主要以方程和方程组为工具。教学中经常遇到有同学习惯列算式而不习惯列方程，或者习惯了方程就不会用算术方法解题的现象，甚至有人有意无意地把算术方法和方程对立起来。它们真的是对立的吗？

• 站在系统的高度，研究算术方法与方程方法的特点，理清二者的关系，可以加深对它们的理解，更好的发挥其作用，从而提高解应用题的能力。

算术方法与方程（组）法的比较

• 一元一次方程与综合算式的比较• 二元一次方程组与算术方法的消元比较

– 代入法消元比较– 加减法消元比较

一、综合算式与一元一次方程

• 列方程：设通信员离开队伍后经过 x 小时追上队伍，则 ，解得 7( 2) (7 5)[ 7 2 (7 5)]x x

例 1 、队伍出发 2 小时后，发现一份文件遗忘在营地，通信员返回拿到后再追队伍，如果队伍每小时行进 7 千米，通信员每小时比队伍多行 5 千米，那么，通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍？

5.6x

• 综合算式： 7 [7 2 (7 2) 2] 5 7 2 (7 5) 5.6

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一、综合算式与一元一次方程7( 2) (7 5)[ 7 2 (7 5)]x x 方程：

7 [7 2 (7 2) 2] 5 7 2 (7 5)x

1 、综合算式把思考量集中在等号的一边，方程一般把思考量分担在等号的左右两边。

算式：

2 、方程的本质是对未知数的“约束条件”，

综合算式可看作特殊的方程。

这是综合算式相对难度较大的原因，也是小学老师规定，“列方程时未知数不能单独放在等号一边”的原因。

例 1、队伍出发 2小时后，发现一份文件遗忘在营地，通信员返回拿到后再追队伍，如果队伍每小时行进7千米，通信员每小时比队伍多行 5千米，那么，通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍？¶ÓÎé2СʱÐгÌ

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解题的关键在于深入思考，弄清情景，而不在于用方程还是算术方法

把它看作一个“拉直”后的追及问题

根据“距离差 ÷速度差＝追上时间”可得算式：根据“距离差＝速度差 ×追上时间”可得方程：

7 2 2 5 5.6 7 2 2 5x

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二、二元一次方程组与算术方法的消元• 1、代入（换）法消元• 例 1、大粮仓比小粮仓多装 216吨米，大粮仓装米吨数是小粮仓的 4倍，二者各装米多少吨？

• 方程组法：设大小粮仓分别装米 x 吨和 y 吨，则 ，把第二个方程代入第一个方程消去 x ，即得 ，可解。

• 本质上，二者都通过“等量代换”减少了未知量个数。“ 消元”是解多变量问题的必由之路。

216 (4 1) 72

yx

yx

4

216

2163 y

• 算术方法：以小粮仓为标准，“大粮仓装米吨数是小粮仓的4倍”说明大粮仓比小粮仓多装3倍，3倍为216吨，故小粮仓装 吨，可解。

例 2、甲、乙、丙三台挖土机共完成 1995方挖土任务，已知乙比甲所挖的 2倍还多 2方，丙所挖比乙的 3倍少 2方。问甲、乙、丙各挖土多少方？

• 算术解法：以甲为标准，把乙和丙所挖的土方都换为甲的：乙比甲所挖的 2 倍还多 2 方，则丙所挖为甲的 6 倍多 4 方；如果从总量中把多的2方和4方减去，则乙为甲的 2 倍，丙为甲的 6 倍，相当于甲的（ 1+2+6 ）倍为 方，故甲挖 （ 1+2+6 ） =221 方，可解。

• 方程解法：设甲、乙、丙所挖土方量分别为 x 、 y 、 z ，

则 ，

把第二、三两个方程代入第一个方程消去 y 和 z ，即得

即 同综合算式一样。

23

22

1995

yz

xy

zyx

19956622 xxx

42199562 xxx )421995()421995(

• 算术方法难在消元时需要一点“化零为整” 的技巧——从总量中减去零头，这在方程解法中不过就是最基本、最简单的“移项”而已；

• “ 列方程组”和“解方程组”是完全可以分开的，消元时不涉及 x 、 y 、z 的具体含义；算术方法“列综合算式”则往往必须包含“解”的过程。

2、加减法消元

• 假设兔都身子直立，举起两只前脚，这时应有脚 只，比实际少了 只，原因在于每只兔子都少算了2只前脚，故实际有兔子 只，有鸡 只。

• 设有鸡 x只，有兔 y只，则 第一个方程两边同乘以 2 ，得再对应去减第二个方程的两边，得 ，代入第一个方程得 。

例 3、鸡兔同笼，头数 72，数脚 224，问鸡兔各几只？

22442

72

yx

yx

802 y 40y

32x

144272 80272224

40280 324072

• “假设比较法”正是“加减消元法”的算术解释，或者说方程的加减运算很抽象，但算术解法可以赋予它具体意义。

2 2 144x y

2、加减法消元例 3、鸡兔同笼，头数 72，数脚 224，问鸡兔各几只？

72

2 4 224

x y

x y

①

②

40y

• 算术方法与方程解法之间一定具有对应关系吗？

设有鸡 x只，兔 y只，则

消元法一：②－① ×2, 得

消元法二：① ×4－② ,得

32x

消元法三：② ÷2－① ,得

40y

算术法一：假设兔子高举前脚，后腿直立……

算术法二：假设鸡的双翅算作两只脚……

算术法三：假设鸡都抬起一脚，“金鸡独立”，兔都举起前脚，后腿直立……

例 4、鸡兔同笼，鸡比兔多15只，兔脚比鸡脚少 22只，

问鸡兔各几只？

方程组法：设有鸡 x只，有兔 y只，则

15

2 22 4

x y

x y

①

②

4y 消元法一：②－① ×2, 得

消元法二：① ×4－② ,得

19x

消元法三：② ÷2－① ,得

4y

算术法一：假设不算 15只鸡，使鸡兔刚好配对，则兔脚反比鸡脚多 8只……

算术法二：假设增加 15只兔，使鸡兔刚好配对，则兔脚比鸡脚多 38只……

算术法三：……

消元法四：……

• 方程办法是从具体问题中抽象出数量关系，解的时候就不再依赖具体问题，因而具有一般性和通用性，是较高级的思维方式，学会了就发现它比较简单；算术方法则依赖具体问题和特定情景，往往“就事论事”，找不到一把“万能钥匙”，属于比较低级的思维方式，因而显得难。

• 能用算术方法解的题目，一定也可用方程办法解决；• 反之则不然，因为虽然二者思维的本质是一致的 ,但方程组一旦列出来，其解法就脱离了具体问题，变为纯粹的代数运算；算术方法则因具体题目不同而需要不同的技巧。

例 5、某一牧场的草， 27头牛 6星期刚好吃完，或 23头牛 9星期刚好吃完，如果是 21头牛，几周可以吃完（假设每头牛每周所吃草量和牧场每天生长出的草都是固定的）？

• 算术方法：把一头牛一周所吃的草看作 1个单位，那么

27头牛 6星期吃草 162 单位，23头牛 9星期吃草 207 单位，二者比较，后者多 3周时间，多吃草 单位，说明该牧场每周新长出的草为 个单位，故牧场原有草 单位。

• 方程组法：设牧场原有草 x单位，每周新长草 y单位，用第二方程减第一方程即得 ，可解。

第二步设可供 21头牛吃 z周，则 ，即 ， 。

45162207

15345 72156162

若是 21头牛，因为牧场每周新长出的草可供 15头牛吃，原有的 72单位供其他6头牛吃，刚好可吃个 12个月。

9239

6276

yx

yx

3 45y

zz 211572 726 z 12z

深入情境，理解题目中的数量关系，才是解决问题的关键；方法的选择尚在其次。

总结：算术方法与方程的比较一、算术方法相对较难，原因有二：1 、思考量集中，列式的过程往往包括解、消元的步骤；2 、对具体问题、特殊技巧的依赖性大，通用性差。 方程法相对简单，原因在于：1 、列式时思考量分担在等号两边，各部分的难度相对较小；2 、“列方程”与“解方程”可独立进行，解方程（组）的程序已经一般化。

三、算术方法与方程解法往往具有一定的对应关系。

二、算术方法巧妙多变，生动具体，符合小学生思维特点； 方程思想简洁统一，抽象性强，适合中学生。

四、算术方法可以看作方程的特殊情况，但其思维相对“低级”，一般只能解决“低次少元”的问题，对于二次以上的问题往往无能为力；方程是数学中的重要思想，是“代数”部分的重要内容，它与不等式、函数有紧密联系，方程理论是数学中的成熟理论，从低次到高次，从一元到多元，从普通方程到不定方程、微积分方程，都已经有完善的研究成果，它的用途非常广泛。