ГЕОМЕТРИЯ

Образовательный центр «Нива»


Научиться измерять площади некоторых многоугольников и рассмотреть доказательства

теорем


Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.


Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и ее участки укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т.е. имеет место следующее свойство:

1 свойство. Равные многоугольники имеют равные площади.


Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников (при этом мы предполагаем, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек). Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:

2 свойство. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.


Доказательство этого утверждения приведено в пункте «Площадь квадрата», а свойство звучит так:

3 свойство. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.


Изучим нахождения площадей некоторых фигур и их доказательства: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, треугольник и трапеция.


Докажем, что площадь S квадрата со стороной a равна a2.

Начнем с того случая, когда a=1/n , где n – целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2 равных квадратов так, как показано на рисунке 1. Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n2. Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, то есть a. Отсюда следует, что S=1/n2=(1/2)2=a2 (1)


Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a,b и площадью S (рис. 2, а) . Докажем, что S=ab.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b , как показано на рисунке 2, б. По свойству 3 площадь этого квадрата (a+b)2.

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1 площадей) и двух квадратов с площадями a2 и b2 (свойство 3 площадей). По свойству 2 имеем:

(a+b)2=S+S+a2+b2 или a2+2ab+b2=2s+a2+b2. Отсюда получаем S=ab.

Теорема доказана.


Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоты BH и CK (рис. 3) . Требуется доказать, что S=AD*BH.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK или с др. стороны из прямоугольника HBCK и треугольника ABH.но треугольники равны по гипотенузе и острому углу, по этому их площади равны. Следовательно площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD, то S=AD*BH. Теорема доказана.


Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Пусть S – площадь треугольника ABC (рис. 4) . Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что

S=1/2*AB *CH.Достроим треугольник до параллелограмма

ABDC так, как показано на рисунке 4. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам, поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т.е. S=1/2*AB*CH. Теорема доказана.


Площадь трапеции равна произведению полу-суммы оснований на высоту.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S (рис.5) . Докажем, что

S=1/2*(AD+BC)*BH.Диагональ BD разделяет трапецию на два

треугольника ABD и BCD. Тогда SABD=1/2AD*BH, SBCD=1/2*BC*DH1. Так как DH1=BH, то SBCD=1/2*BC*BH. Таким образом.

S=1/2*AD*BH+1/2*BC*BH=1/2*(AD+BC)*BH.Теорема доказана.







Теперь вы умеете вычислять площади некоторых фигур и доказывать теоремы.


ФИ:

Черняков Иван

Место учебы:

МОУ гимназия №5

Год создания презентации:

2008 год


1) ГЕОМЕТРИЯ учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений Москва «Просвещение» 2000 год.

Documents

ГЕОМЕТРИЯ