Геометрия (решение задач)

Журнал «Математика» № 1/2012

Е. Зудинаг. Москва

ГЕОМЕТРИЯ


Задачи на нахождение площадей плоских фигур, нарисованных на клетчатой бумаге или расположенных на координатной плоскости.

Задача В3

Задачи на нахождение значений тригонометрических функций углов по известным элементам геометрических фигур и, наоборот, нахождение неизвестных элементов геометрических фигур по известным значениям тригонометрических функций.

Задача В6

Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012

Проверяемые уменияПроверяемые умения

Для решения требуетсяДля решения требуется

Задача В3

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Знать формулы площадей треугольников, параллелограммов, трапеций, круга и его частей.

Применять указанные формулы для нахождения площадей фигур, находить площадь фигуры методом разбиения ее на более простые фигуры.


aa

b

b

2ab

S

прS a b


Задача 1. Найдите площадь треугольника. Размер каждой клетки 1см 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


Решение. 1. Построим прямоугольник, в вершинах и на сторонах которого лежат вершины данного треугольника.


2. Закрасим «лишние» треугольники.


пр4 6 24,

4 4 8,2

2 4 4.2

S

S

S

V

V

4

4

4

2

6

224 8 4 12 см .S

Ответ: 12.

3. Вычислим площади прямоугольника и «лишних» треугольников. 4. Вычислим площадь данного треугольника.


Задача 2. Найдите площадь четырехугольника. Размер каждой клетки 1см 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


22 6 2 64 6 12 см2 2

S

2

2

2

2

6

6

Ответ: 12.

Решение.


Задача 3. Найдите площадь четырехугольника. Размер каждой клетки 1см 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


3

1 1 2 3

3

6 1

21 3 1 3 1 6 2 34 6 1 2 13 см2 2 2 2

S

Ответ: 13.

Решение.


Задача В6

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Знать определения тригонометрических функций и их свойства.

Уметь работать с формулами, выполнять арифметические действия и преобразования числовых выражений.

Для решения требуетсяДля решения требуется

Проверяемые уменияПроверяемые умения


A C

гипотенуза

прилежащий катет

прот

ивол

ежащ

ий

кате

т

B

2 2sin cos 1A A

2 2 2AC CB AB

лежащий катетпротиво

гипотенузаsin

ABA

BC

лежащий катприcos


ет ACA

AB

проти катеволежащий

лежащи

тtg

при катетй

BCA

AC


,

,

,

12 512 : 20.3

sin

sin

sin35

BCAB

AB BC

BCAB

AB

A

A

A

Ответ: 20.

Задача 1. В треугольнике АВС угол С равен 90,

ВС = 12. Найдите АВ.3

sin ,5

A

лежащий катепротив т

гипот

о

еsi

зn

ну аA

Решение.

A C



прот

ивол

ежащ

ий

кате

т

B


Задача 2. В треугольнике ВСН угол Н равен 90,

ВН = 24. Найдите СН.

512

tg B ,

tg

tg ,

,

24 10512

.

CHBH

CH BH

CH

B

B

Ответ: 10.

волежащий капротиtg

пр

тет

лежащий ети катB

B H



прот

ивол

ежащ

ий

кате

т

C

Решение.


Задача 3. В треугольнике KMP угол P равен

90, Найдите 4

sin .5

K cos .K

22 22 4sin 1, cocos s 1.

5KK K

2

2

16cos 1 ,25

9cos ,253cos .5

K

K

K

390 , значит, cos 0 : cos .5

K K K

Ответ: 0,6.

K P



прот

ивол

ежащ

ий

кате

т

M

Решение.


Ответ: 0,6.

Задача 4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.

В прямоугольном треугольнике ABH катет BH находим по теореме Пифагора:

2 210 8 6.BH

cosBH

BAB

, откуда cos B = 0,6.

Так как углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.

A

C

B

H

10

8

Решение.


Задача 5. Найдите хорду, на которую опирается

угол 60°, вписанный в окружность радиуса .3

Рассмотрим треугольник ABC:

2sin

ABR

C – теорема синусов.

2 sin ,AB R C

Ответ: 3.

Откуда

32 3 sin 60 2 3 3.

2AB

A

C

B

60°

Решение.


Задача С4

Задачи на нахождение значений тригонометрических функций углов по известным элементам геометрических фигур и, наоборот, нахождение неизвестных элементов геометрических фигур по известным значениям тригонометрических функций.


Задача 1. На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что АD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Пусть окружность и прямая ВС касаются в точке Х. Тогда

т.е.

1. Если точка Х лежит на луче ВС,

то центр окружности – точка О –

середина отрезка AD:

2 3,BX BD AB 3.BX

cos30 3 ;BO BX 0,5 1.R BO

D

B

A

C

O

X = E

Решение.


Ответ: 1 или 7.

D

B

A

C

O

X = F X

G

2. Если точка X – на продолжении луча BC за точку B.Пусть точка Q – центр окружности, F – точка касания. Тогда BF = BX, OG = 2BO = 4, FG = OX = 1,

QG = 2, GO = 8, R = QF =7. 30 ,GQO FBG

Education

Геометрия (решение задач)