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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
Polinomios de Legendre: aspectos matemáticos
En los problemas que inv olucran cualquier tipo de simetría esférica, sobre todo los
problemas propios de la Mecánica Cuántica en donde la cuantización del momento angular
es una consecuencia directa del empleo de un sistema de coordenadas esféricas para
resolv er las ecuaciones diferenciales que describen la parte angular ψ (θ,φ) de una función
de onda Ψ, inv ariablemente se requiere del uso de los polinomios de Legendre que sirv en a
su v ez para definir a las armónicas esféricas Y lm . Hablar acerca de las armónicas esféricas es
tanto como hablar de los polinomios de Legendre Hemos v isto en las entradas prev ias todo
lo que tiene que v er con las consecuencias físicas del aparato matemático empleado para
describir esta fenomenología, haciendo a un lado v arios detalles finos que resulta
conv eniente tener en mente para darle may or rigor y formalismo a lo que estamos
desarrollando. En esta entrada ampliaremos lo que hemos v isto en las entradas prev ias en lo
concerniente a los polinomios de Legendre, con el propósito de irle dando may or
familiaridad al lector acerca de los polinomios de Legendre.
Dentro del interv alo -1 .≤.x .≤.+1 , los primeros siete polinomios de Legendre están dados por
las siguientes expresiones:
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (136)
▼ agosto (136)
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La Mecánica Cuántica
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Las gráficas (por separado) de los primeros nuev e polinomios de Legendre tienen el
siguiente aspecto:
Indice
Prólogo
El modelo atómico planetario de Bohr I
El modelo atómico planetario de Bohr II
La espectroscopía de ray os-X
La extraña ecuación de Max Born
Vectores y matrices I
Vectores y matrices II
El análisis de Fourier
La regla de multiplicación de Heisenberg
Observ ables compatibles e
incompatibles
Oscilador armónico simple: solución
matricial
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Las gráficas de los primeros seis polinomios de Legendre, superimpuestas una sobre la otra,
se muestran a continuación:
matricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre II
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento matricial
I
Momento angular: tratamiento matricial
II
Momento angular: tratamiento matricial
III
La energía rotacional
Matrices y sub-matrices
Solución matricial del átomo de
hidrógeno
Funciones matriciales
De la mecánica clásica a la mecánica
matricial
La matriz momentum como generadora
de traslación
La matriz generadora de rotación
Rotaciones de las matrices de Pauli
El aspecto estadístico de la Mecánica
Matricial
Ev olución temporal de los sistemas
físicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuación de Schrödinger
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Los polinomios de Legendre son las soluciones a la siguiente ecuación diferencial que surge
inev itablemente cuando se resuelv e la parte angular de una función de onda al emplear la
ecuación de Schrödinger:
Esta misma ecuación puede aparecer en numerosos textos y tratados escrita de la siguiente
manera:
La ecuación de Schrödinger
Solución matemática de la ecuación de
onda
Solución numérica de la ecuacion de
Schrödinger
Interpretación probabilista de ψ I
Interpretación probabilista de ψ II
Operadores y esperanzas matemáticas I
Operadores y esperanzas matemáticas II
Oscilador armónico simple: solución
ondulatoria
La función delta de Dirac
Transmisión y reflex ión de partículas I
Transmisión y reflex ión de partículas II
Transmisión y reflex ión de partículas III
Transmisión y reflex ión de partículas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetría circular y esférica
La notación bra-ket de Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de incertidumbre, rev isitado
El acto de medición
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio I
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio II
Momento angular orbital: funciones de
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La may or utilidad de los polinomios de Legendre en los estudios de Mecánica Cuántica se
obtiene cuando se substituy e la v ariable independiente de los polinomios de Legendre por
una función cosenoidal:
x → cos(θ)
obteniéndose de este modo los siguientes polinomios de Legendre redefinidos para manejar
la cuestión de funciones angulares:
La razón para llev ar a cabo esta substitución es que el interv alo -1 .≤.x .≤.+1 v álido para la
v ariable independiente del polinomio de Legendre resulta algo restrictiv o para aplicaciones
prácticas. Sin embargo, esta limitación aparente es solv entada haciendo la substitución
indicada, con la cual el rango de v alores que se le pueden dar a la v ariable independiente
(que es ahora θ) se v uelv e infinito. En efecto, gracias al hecho de que el coseno de un ángulo
solo puede tomar v alores comprendidos entre -1 y +1:
-1.≤.cos(θ).≤.+1
la utilidad de los polinomios de Legendre resulta extendida enormemente, al poder v ariar a
θ desde -180° hasta +180° o bien desde 0° hasta +360° (precisamente el rango que
necesitamos para el análisis de muchos fenómenos propios de la Mecánica Cuántica). Al
substituir a la v ariable independiente de los polinomios de Legendre por cos(θ) estamos
Momento angular orbital: funciones de
onda I
Momento angular orbital: funciones de
onda II
Polinomios de Legendre: aspectos
matemáticos
La función de onda radial
La función de onda del momento angular
del spin
El principio de exclusión de Pauli
El proceso de construcción Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos angulares
Las reglas de selección
Técnicas de aproximación I
Técnicas de aproximación II
Técnicas de aproximación III
El método de aproximación WKB I
El método de aproximación WKB II
El método de aproximación WKB III
El método de aproximación WKB IV
El enlace molecular I
El enlace molecular II
La hibridación de los orbitales atómicos
La teoría de los orbitales moleculares
Teoría del campo cristalino
Operadores clase T
El espacio-posición y el espacio-
momentum I
El espacio-posición y el espacio-
momentum II
El espacio-posición y el espacio-PDF creado por htmlapdf.com a través de la Interfaz de programación
conv irtiendo a cada polinomio de Legendre en una función de una función (hay una rama en
las matemáticas que se encarga del estudio formal de este tipo de cosas, conocida como el
Análisis Funcional). Al hacer la substitución:
Pl.(x) → Pl.(cos(θ))
resulta conv eniente aquí (y un poco más estético) escribir de la siguiente manera a la
función de Legendre y a modificada:
Pl.[cos(θ)]
en donde lo que está dentro los paréntesis cuadrados es el argumento del polinomio de
Legendre, y lo que está dentro de los paréntesis ordinarios es el argumento del
argumento del polinomio de Legendre. Estaremos recurriendo dentro de esta obra a este
tipo de simbolización.
El cambio de argumento en los polinomios de Legendre implica que, además del
comportamiento pseudo-oscilatorio que los polinomios de Legendre manifiestan y a de por
sí dentro del interv alo -1 .≤.x≤.+1 , se suma el comportamiento oscilatorio real de la función
coseno, En la Mecánica Cuántica en donde aparecen los números cuánticos l y m asociados
al momento angular de una partícula, lo que se v iene utilizando con may or frecuencia son
las funciones asociadas de Legendre del primer género , conocidas también como
polinom ios asociados de Legendre de orden m, simbolizados indistintamente y a sea
como Pl.m o como Plm , en donde el super-índice indica el orden del polinomio y de ninguna
manera representa una exponenciación, algunos de los cuales son los siguientes:
El espacio-posición y el espacio-
momentum III
El espacio-posición y el espacio-
momentum IV
La partícula libre I
La partícula libre II
La ecuación de mov imiento de
Heisenberg
Mecánicas Matricial y Ondulatoria:
equiv alencia
Ev olución temporal de las ondas de
materia I
Ev olución temporal de las ondas de
materia II
El operador de traslación
El operador de ev olución del tiempo
Las representaciones de Heisenberg y
Schrödinger
Operadores de rotación I
Operadores de rotación II
Los grupos de rotación I
Los grupos de rotación II
Los grupos de rotación III
La simetría como piedra angular
Representaciones irreducibles I
Representaciones irreducibles II
Los coeficientes Clebsch-Gordan I
Los coeficientes Clebsch-Gordan II
Los coeficientes Clebsch-Gordan III
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart IPDF creado por htmlapdf.com a través de la Interfaz de programación
empleándose también aquí la misma substitución del argumento por el de una función
cosenoidal en función del ángulo θ, siendo esta subsitución la que nos produce gráficas ricas
e interesantes en función de θ, precisamente las mismas gráficas para las armónicas
esféricas Y lm que y a hemos v isto prev iamente en una entrada anterior pero llev adas a cabo
empleando coordenadas polares (r,θ). Para fines comparativ os, a continuación se
mostrarán las gráficas lineares (en las coordenadas Cartesianas usuales) de los polinomios
de Legendre:
así como las gráficas polares de los mismos polinomios (en este caso, las gráficas en color
rojo corresponden al polinomio de Legendre escrito arriba en color rojo, mientras que las
gráficas en color azul corresponden al polinomo de Legendre escrito arriba en color azul;
obsérv ese con precaución que en las gráficas Cartesianas lineares el ángulo θ está
especificado en radianes, mientras que en las gráficas polares el ángulo θ está especificado
en grados):
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart II
Mecánica Estadística Cuántica I
Mecánica Estadística Cuántica II
Mecánica Estadística Cuántica III
Mecánica Estadística Cuántica IV
Mecánica Estadística Cuántica V
Mecánica Estadística Cuántica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El láser
El teorema v irial
Espectroscopías de resonancia
magnética I
Espectroscopías de resonancia
magnética II
Espectroscopías de resonancia
magnética III
Espectroscopías de resonancia
magnética IV
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Los polinomios asociados de Legendre Pl.m son las soluciones a una ecuación diferencial un
poco más elaborada que la ecuación diferencial de Legendre dada arriba, la cual es:
magnética IV
Esparcimiento clásico de partículas
Esparcimiento de las ondas de luz
Aspectos matemáticos de las ondas
esféricas
El método de las ondas parciales
La aproximación de Born I
La aproximación de Born II
El teorema óptico
La ecuación Lippmann-Schwinger
El teorema adiabático I
El teorema adiabático II
La Mecánica Cuántica Relativ ista
Recursos de software
Constantes fundamentales y factores de
conv ersión
Bibliografía
D A T O S P E R S O N A L E S
A RMA NDO MA RTÍ NEZ
TÉLLEZ
V E R TODO MI P E R FIL
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Resulta ev idente que esta es una ecuación diferencial más general que la ecuación
diferencial dada prev iamente y la cual a su v ez es un caso especial para m.=.0, como resulta
igualmente obv io que los polinomios de Legendre tales como P0 , P1 , P2 y P3 .en realidad
también son polinomios asociados de Legendre cuy a simbolización correcta debería ser
P00 , P1
0 , P20 y P3
0 . El super-índice 0 casi nunca se les anexa argumentando que tal
cosa “se sobreentiende”, aunque desafortunadamente son muy pocos los textos que hacen
la aclaración pertinente. Exceptuando los casos en los cuales hacerlo sería
contraproducente, omitiremos aquí también el poner un cero como super-índice a los
polinomios de Legendre de orden cero, aunque el lector debe quedar adv ertido de este
recov eco en la notación.
Podemos obtener las funciones asociadas de Legendre Pl.m de los polinomios de Legendre
Pl mediante la siguiente relación:
Los polinomios de Legendre Pl.forman un conjunto ortogonal completo de funciones con
respecto a la v ariable x . Podemos escribir por lo tanto para cuaquier función arbitraria f(x):
Si multiplicamos esta relación por Pl’(x) y llev amos a cabo la integración, entonces usando
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la relación de ortonormalidad para polinomios de Legendre:
obtenemos el siguiente resultado:
Al ser posible obtener de esta manera todos los coeficientes de la expansión para cualquier
función matemática f(x) “bien comportada”, queda demostrado formalmente que los
polinomios de Legendre constituy en un conjunto ortogonal completo de funciones.
El v alor inapreciable que tienen los polinomios de Legendre dentro de la Mecánica Cuántica
es que, por ser un conjunto ortogonal completo de funciones con respecto a la v ariable
independiente, estos permiten representar cualquier función f(x) como una expansión
infinita en series de polinomios de Legendre:
Puesto que los polinomios de Legendre Pl nos son conocidos, el problema consiste en
determinar los coeficientes A l. Esto, desde luego, en realidad no es más que una expansión
en series de Fourier, excepto que el conjunto de funciones ortogonales usado es el conjunto
de polinomios de Legendre en lugar de ser funciones trigonométricas.
El hecho de que una función matemática pueda ser representada como la suma infinita de un
conjunto de funciones ortogonales multiplicadas cada una de ellas por una constante, y a
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sean funciones trigonométricas, polinomios de Legendre, etc., nos arroja a un dilema
filosófico serio sobre cuál de todos estos conjuntos de funciones ortogonales pueda ser el
“predilecto” de la Naturaleza. Tratando de establecer una comparación algo forzada,
podríamos imaginar a una función de onda Ψ como una melodía musical. La melodía puede
ser reproducida usando los acordes emanados de un piano. Pero la misma melodía puede
ser reproducida usando los acordes emanados de un v iolín. Y también puede ser
reproducida usando los acordes emanados de un arpa. Cada instrumento musical
mencionado es distinto en su construcción a los demás, cada uno de ellos tiene su
propio “timbre”. Y sin embargo, podríamos reconocer a la melodía musical como la misma
aunque fuera interpretada en cualquiera de estos instrumentos, e inclusiv e la seguiríamos
identificando como la misma melodía aunque en su interpretación se utilizara una
combinación simultánea de algunos de los instrumentos musicales, habiendo v arias
combinaciones posibles. ¿Cuál es el “instrumento matemático” preferido por la Naturaleza?
En realidad, resulta imposible el tratar de dar una respuesta, porque no hay elementos que
nos permitan poder darle una respuesta, y la pregunta deja de ser tema propio de la ciencia
para pasar a ser tema propio de la filosofía. En lo que a nosotros respecta, no perderemos el
tiempo div agando sobre cosas que no puedan ser corroboradas experimentalmente en
algún laboratorio.
Antes de entrar en may ores detalles en el estudio de los polinomios de Legendre, un
resultado importante que sirv e a su v ez para obtener otras conclusiones igualmente
importantes lo es la fórmula de Rodrigues, descubierta por el matemático francés Benjamín
Olinde Rodrigues, que en su forma más conocida se puede enunciar de la siguiente manera:
Como puede v erse, esta fórmula nos dá una manera sencilla y compacta de poder obtener
los polinomios de Legendre Pl(x) para cualquier v alor entero positiv o de l. Por esto mismo,
también nos proporciona la herramienta para poder obtener de una manera más rápida
otros resultados que serían más laboriosos y más tardados de obtener, como el que
v eremos a continuación.
PROBLEMA .- Demuéstrese que:
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Explícitamente, para:
se tiene:
Obsérv ese que en ambos casos el resultado de la integración es igual a cero, pero por
diferentes motiv os. P1 es una función impar, esto es:
P1 (x) = - P1 (-x)
y por lo tanto la integral se desv anece cuando es ev aluada entre límites colocados
simétricamente en relación al origen. Por otro lado, P2 es una función par:
P2 (x) = P2 (-x)
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y la integral cuando es tomada entre límites simétricos generalmente no se desv anece. En
este caso particular, la integral se desv anece porque sucede que la integral indefinida es
igual a cero en cada uno de los límites dados.
De la tabla para los polinomios de Legendre dada arriba, se comprueba que las
funciones Pl.(x) son exclusiv amente funciones pares o impares del argumento x
dependiendo de que el orden l sea par o impar, respectiv amente. Por lo tanto, podemos
emplear de inmediato el argumento de simetría para dar por demostrado que:
para todos los órdenes impares de l.
Para extender el teorema a órdenes pares (y de hecho, para cualquier orden exceptuando
cero), podemos recurrir a la fórmula de Rodrígues que se dió arriba, con la cual se tiene:
Para poder llev ar a cabo esta integración, es necesario recurrir a una integración por partes,
haciendo:
y haciendo también:
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Puesto que v contiene un factor (x 2 .-.1 ) después de la diferenciación, el término uv se
desv anece en los límites. El integrando v du también se desv anece. Por lo tanto, el v alor de
la integral original es igual a cero.
Obsérv ese que el integrando puede ser considerado como conteniendo el factor P0 .=.1 .
Hemos demostrado por lo tanto que todos los polinomios de Legendre Pl son ortogonales
a P0 para l.≥.1 . Para l.=.0 la integral es elemental y tiene el v alor de 2, consistente con la
relación de ortogonalidad dada arriba.
Una técnica matemática para poder obtener resultados importantes lo es el método de los
mínimos cuadrados. El lector puede obtener más detalles sobre las múltiples aplicaciones
de esta técnica consultando la obra “El ajuste de datos a fórmulas” de este mismo autor
disponible en Internet a trav és de Blogger. Con la ay uda de esta técnica se puede confirmar
que las expansiones de funciones mediante series infinitas usando un conjunto de funciones
ortogonales de base son expansiones con las cuales se minimiza el error cometido en el
modelaje de una función. Considérese por ejemplo la representación de una función f(t)
mediante una serie finita de Fourier en la cual se retiene solo una cantidad finita de los
primeros términos truncándose los términos restantes:
siendo Sk(t) la suma de los primeros (2k+1) términos de una serie de Fourier que representa
a f(t) en el interv alo:
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- T/2 ≤ t ≤ T/2
Si f(t) se aproxima por Sk(t), es decir:
siendo εk(t) la diferencia o error entre f(t) y su aproximación:
entonces el error cuadrático medio Ek está definido por:
Si substituímos en esto último las expresiones anteriores para la serie finita de Fourier, se
tiene:
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Considérese a Ek como una función de a0 , an y bn. Entonces para que el error cuadrático
medio Ek sea un mínimo, sus deriv adas parciales con respecto a a0 , an y bn deben ser
iguales a cero, es decir:
Intercambiando el orden de la diferenciación y la integración, se tiene:
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Si se usan las propiedades de ortogonalidad de las funciones seno y coseno, las integrales de
arriba se reducen a:
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Estas son precisamente las condiciones para ev aluar las constantes a0 , an y bn de una serie
finita de Fourier. Y puesto que podemos incluír cualquier cantidad de términos adicionales
sin limitación alguna en la ev aluación de la serie, el resultado para la serie finita puede
tomarse igualmente v álido para la expansión de Fourier usando una cantidad infinita de
términos.
Ahora v eremos la forma en la cual podemos utilizar el método de los mínimos cuadrados
para justificar las expansiones llev adas a cabo usando polinomios de Legendre.
PROBLEMA : Demuéstrese que si una función f(x) es continua en el intervalo -
1 .≤.x .≤.+1 , entonces el polinomio F(x) de grado n que es la mejor aproximación por
mínimos cuadrados a f(x) está dado por:
en donde los coeficientes A l están dados por:
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Por la mejor aproximación por mínimos cuadrados, se quiere decir que la integral:
es un mínimo .
Desde el punto de v ista del álgebra elemental, cualquier polinomio de grado n:
puede ser reagrupado como una suma de polinomios de Legendre:
Hay una transformación única entre los (n+1) coeficientes ai y los (n+1) coeficientes A l. El
caso triv ial es aquél en el cual An.=.an y An-1 .=.an-1 , pero de allí hacia abajo la v erificación
de las relaciones se v uelv e tediosa. El método conv encional de mínimos cuadrados para
hacer una aproximación a una función f(x) consiste en resolv er las n+1 ecuaciones
algebraicas simultáneas (con 0.≤.i.≤.n):
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para las n+1 ai’s. Una operación equiv alente consiste en resolv er las n+1 ecuaciones:
Esta última integral puede ser expandida de la siguiente manera:
En v irtud de la ortogonalidad de los polinomios de Legendre, la última integral se
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desv anece. Usando la relación de ortonormalidad dada prev iamente para los polinomios de
Legendre, la penúltima integral resulta ser 2/(2l+1). Por lo tanto, fijando la deriv ada con
respecto a A l igual a cero, obtenemos la n+1 ecuaciones independientes:
Esto último se puede simplificar y reducir a lo siguiente:
De este modo, aunque la aproximación por mínimos cuadrados de la función f(x) por las dos
sumatorias Fn (x) (del mismo grado n) dadas al principio implica que ambas sumatorias son
idénticas numéricamente, el cálculo de los coeficientes en la sumatoria:
no inv olucra la solución de ecuaciones simultáneas, porque las Pl. ’s son ortogonales
mientras que los x i’s no lo son. Más aún, si uno desea mejorar la aproximación extendiendo
las series a un orden n may or, todos los n+1 coeficientes en la sumatoria:
tienen que ser recalculados mientras que en la otra sumatoria solo se requiere de los
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coeficientes adicionales.
El par de ecuaciones:
muestra cómo una función arbitraria “bien comportada” puede ser expresada en la forma de
una serie infinita de polinomios de Legendre. Cuando la serie es truncada a un orden finito n,
la serie es la “mejor” aproximación (bajo el criterio de los mínimos cuadrados) que se pueda
lograr mediante una serie de potencias de grado n. Esto, desde luego, está restringido a
funciones que estén definidas dentro del interv alo -1 .≤.x .≤.+1 .
PROBLEMA: Demuéstrese que si f(x).=.xn, en donde n es un entero positivo, entonces los
coeficientes A l de una expansión de la función en polinomios de Legendre está dada por:
y A l.=.0 de la otra manera.
Para resolv er este problema, queremos usar la relación:
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para ev aluar:
Como se hizo hincapié del hecho en el primer problema, los Pl. ’s son funciones impares
cuando l es impar, y son funciones pares cuando l es par. Una regla similar es v álida para x n .
Claramente la integral desde -1 hasta +1 se desv anece cuando el integrando es una función
impar, o sea en los casos:
n impar, l par ⇒ n - l impar
n par, l impar ⇒ n - l impar
Cuando el integrando es una función par, tenemos que hacer uso de alguna propiedad
específica de los polinomios de Legendre que no sea la simetría de los mismos. Recurriendo
a la fórmula de Rodrigues, podemos escribir lo siguiente para la relación de los A l:
Para poder llev ar a cabo esta integración, es necesario recurrir a una integración por partes,
haciendo:
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y haciendo también:
El término uv se desv anece en ambos límites porque v contiene un factor no-diferenciado
de (x 2 .-.1 ). La integral remanente de v du es:
Este proceso es continuado un total de l v eces. Si n es menor que l, la integral se desv anece
en algún punto porque u ha sido reducido a una constante. Para l may or o igual a n, el
resultado tras l integraciones es igual a:
Consultando las tablas de integrales, encontramos que este tipo de integral puede ser
ev aluada mediante la función Gamma de la siguiente manera:
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Puesto que estamos suponiendo que n y l se presentan en las combinaciones par-par o
impar-impar, los argumentos de ambas funciones Gamma en el numerador y el
denominador son de medio orden integral. Recurriendo nuev amente a las tablas, se tiene
que:
El resultado final para las A l es ahora:
Simplificando:
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Obsérv ese con detenimiento que hemos utilizado aquí en la primera línea tanto en el
numerador como en el denominador la notación de doble factorial definida de la siguiente
manera:
n!! = n(n - 2)(n - 4)(n - 6) ··· (4)(2)
para n impar. En su forma final, el numerador es tomado como la unidad para l.=.0.
Usando el resultado obtenido, podemos obtener lo siguiente:
PROBLEMA : Obténgase la relación de ortogonalidad para los polinomios de Legendre
empezando con la siguiente ecuación:
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que claramente es válida en virtud de la forma familiar de la ecuación de Legendre que se
encuentra en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
Llévese a cabo la integración del primer término con una integración por partes. Escríbase
entonces una ecuación comparable con l y l’ intercambiadas y réstense ambas ecuaciones
para demostrar la ortogonalidad. Para l.=.l’ encuéntrese la constante de normalización
usando la fórmula de Rodrigues y llevando a cabo una integración l-veces por partes.
Hágase uso del hecho de que:
La integral final:
puede ser evaluada de las tablas en términos de la función Gamma.
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Para poder llev ar a cabo la integración requerida, es necesario recurrir a una integración
por partes, haciendo:
y haciendo también:
Claramente, el término uv se desv anece en los límites de -1 y +1 . De este modo, la integral
queda del siguiente modo:
Restando la misma ecuación con l y l’ intercambiados y simplificando un poco, obtenemos:
Claramente, si l.=.l’ entonces Pl y Pl’ son ortogonales.
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Usando la fórmula de Rodrigues, podemos escribir:
De nuev a cuenta, para poder llev ar a cabo la integración, es necesario recurrir a una
integración por partes, haciendo:
y haciendo también:
El término uv se desv anece en ambos límites porque contiene un factor de (x 2 .-.1 ) después
de que se ha llev ado a cabo la diferenciación. En la integral del término v du que sobrev iv e,
el orden de una deriv ada ha sido incrementado mientras que el orden de la otra deriv ada ha
sido disminuído. Por lo tanto, después de llev ar a cabo l integraciones por partes, se tiene:
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De este modo, la potencia más alta de x en la expansión de (x 2 .-.1 )l es x 2 l. Por lo tanto, la 2l-
av a deriv ada es simplemente igual a la constante (2l)!
Falta por ev aluar:
De las tablas de integrales, se tiene:
en donde Γ(1/2).=.√π y :
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Recolectando todos los coeficientes, se tiene:
Con la ay uda del delta de Kronecker, tanto la condición de ortogonalidad como la
normalización de los polinomios de Legendre se pueden expresar en una sola ecuación
como:
que es la relación clásica encontrada usualmente en muchos textos.
La relación de ortogonalidad para los polinomios de legendre “básicos” Pl .puede ser
extendida hacia los polinomios asociados de Legendre Pl.m de orden m siempre y cuando
los dos polinomios sean del mismo orden m, la cual resulta ser:
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Obv iamente, para m.=.0 esta relación de ortogonalidad se reduce a la misma relación de
ortogonalidad que acabamos de obtener en la solución del problema anterior, pudiéndose
considerar por lo tanto como un caso especial de la misma.
Otra relación importante dentro de la Mecánica Cuántica es la siguiente que nos permite
obtener las armónicas esféricas Y l.m a partir de los polinomios asociados de Legendre Pl.
m :
PROBLEMA : Obténgase la armónica esférica Y l.l usando la relación anterior.
Usando la relación proporcionada (en recuadro rosa) y haciendo m.=.l, se tiene:
Tomando la relación dada arriba que nos permite obtener los polinomios asociadas de
Legendre Pl.m de los polinomios de Legendre Pl.:
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y haciendo m.=.l en ella, combinándola además con la fórmula de Rodrigues:
se tiene entonces para Pl.l que:
Ahora bien:
en donde todos los demás términos de la expansión binomial inv olucran potencias de x
menores que 2l, las cuales se v an conv irtiendo en cero al ser diferenciadas 2l v eces. Por lo
tanto:
Pero:
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De este modo:
con lo cual:
Finalmente, simplificando un poco más:
Además de las relaciones dadas para los polinomios de Legendre Pl. , hay otras relaciones
conocidas como las relaciones recursivas, de las cuales algunas de ellas son las siguientes:
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PROBLEMA : Demuéstrese que las funciones:
son soluciones de la ecuación de Legendre para l.=.0 y l.=.1 . ¿Qué desventaja tienen estas
soluciones?
Para la primera relación se tiene:
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Substituy endo esto directamente en la ecuación diferencial de Legendre, se tiene:
y por lo tanto se confirma que es una solución. En cuanto a la segunda relación, se tiene:
Substituy endo esto directamente en la ecuación diferencial de Legendre, se tiene:
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y por lo tanto se confirma que también es una solución. Estas funciones son conocidas como
funciones de Legendre del segundo género , y tienen la desv entaja de que son irregulares en
x.=.±1 en donde estallan.
Usando la primera de las relaciones recursiv as dadas arriba, escrita de la siguiente manera:
podemos obtener la siguiente función de Legendre del segundo género:
El coeficiente del logartimo muestra un aspecto familiar. Si usamos la misma ecuación
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recursiv a para ev aluar la siguiente función de Legendre del segundo género, encontramos
que:
y nuev amente el coeficiente del logaritmo muestra un aspecto familiar. Continuando con el
mismo procedimiento, podemos demostrar en forma plausible la siguiente relación general:
Ahora bien, podemos combinar ciertos productos de pares de armónicas esféricas
Y l.m sumando dichos productos para obtener polinomios de Legendre Pl. . El teorem a de
adición de arm ónicas esféricas permite expresar cualquier polinomio de
Legendre Pl como una suma de productos de armónicas esféricas, razón por la cual se le
conoce como un teorema de adición. Si usamos la siguiente definición basada en el coseno
de un ángulo γ:
entonces, utilizando una ray ita horizontal puesta encima de una armónica esférica
Y l.m (además de utilizar el color rojo) para indicar que se debe tomar el conjugado complejo
de la armónica esférica Y l.m , el enunciado matemático de dicho teorema puede ser escrito
de la siguiente manera (en cada término, si tomamos el conjugado complejo de la segunda
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armónica esférica en lugar de la primera el resultado que se obtiene es el mismo):
poniendo a m como sub-índice, o bien de la siguiente manera poniendo a m como super-
índice (ambas formas representan lo mismo):
PROBLEMA : Verifíquese el teorema de adición de armónicas esféricas para el caso en el
cual el número cuántico l.=.1 .
Cuando l.=.1 , los v alores que puede tomar m son -1 , 0 y 1 .
Para m.=.-1 , se tiene:
Para m.=.0, se tiene:
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Por último, para m.=.1 , se tiene:
La ev aluación de la sumatoria procede entonces de la siguiente manera:
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Simplificando un poco y usando la relación trigonométrica que se dió arriba para definir al
coseno del ángulo γ , se tiene entonces:
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Por lo tanto:
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y el teorema de adición de armónicas esféricas queda v erificado para l.=.1 .
La v erificación del teorema de adición de armónicas esféricas se puede llev ar a cabo del
mismo modo para otros v alores del número cuántico l. Por ejemplo, para l.=.2:
Existe una notación alterna para la simbolización del teorema de adición de armónicas
esféricas que se encuentra en algunos textos contemporáneos de Mecánica Cuántica. Para
ello, definiremos dos v ectores k y r que tienen la misma longitud y el mismo punto de
origen en un sistema de coordenadas esféricas. Si definimos ambos v ectores como v ectores
unitarios (de longitud igual a la unidad) poniendo para ello un “sombrero” encima de cada
uno de dichos v ectores, entonces por la definición usual que se le dá al producto punto de
dos v ectores (como el producto de la magnitud de cada v ector multiplicado todo por el
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coseno del ángulo γ que hay entre dichos v ectores) por un lado se tiene lo siguiente:
Sobre un sistema de coordenadas esféricas, uno de los v ectores unitarios puede estar
ubicado mediante las coordenadas (θ1 ,φ1 ) mientras que el otro v ector unitario puede estar
ubicado mediante las coordenadas (θ2 ,φ2 ), en una forma muy parecida a la de los siguientes
dos v ectores (los dos puntos en la superficie de la esfera separados por un ángulo común γ,
además de estar especificados por los ángulos polares θ1 y θ1 que se muestran en la figura,
también están separados por los ángulos azimutales φ1 y φ2 , aunque estos últimos no se
muestran para no complicar más la figura):
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El ángulo γ que hay entre los dos v ectores unitarios es precisamente el mismo ángulo γ del
que hemos estado hablando en la relación trigonométrica utilizada en el teorema de adición
de armónicas esféricas, y el cual adquiere ahora una may or claridad y perspectiv a.
Por otro lado, si adoptamos las siguientes notaciones alternas para los v ectores unitarios
que estamos utilizando en el caso que nos ocupa:
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entonces podemos escribir de la siguiente manera el teorema de adición de armónicas
esféricas:
PROBLEMA : Demuéstrese el teorema de Unsöld que dice “la suma de todos los orbitales
con el mismo número cuántico de momento angular orbital l es igual a una esfera” (por
ejemplo, sumando todos los orbitales 7 f que en un átomo de hidrógeno comparten todos el
mismo número cuántico l, se forma una esfera).
Este teorema, demostrado por v ez primera por Albrecht Unsöld, puede ser demostrado
rápidamente usando la relación que se acaba de dar, con el simple hecho de hacer iguales
los v ectores unitarios:
obteniéndose:
Basta con v er el lado izquierdo para darnos cuenta de que lo que se tiene es una esfera de
radio unitario, la cual debe resultar de la sumatoria cuando esta se llev a a cabo sumando
todos los orbitales con el mismo número cuántico de momento angular orbital l.
En algunas circunstancias resulta deseable reemplazar el exponente imaginario de una
armónica esférica asociado con el factor exp(imφ) recurriendo para ello a la fórmula de
Euler:PDF creado por htmlapdf.com a través de la Interfaz de programación
separando la parte real de la parte imaginaria dándoles designaciones ligeramente
diferentes, tal y como lo propusieron Philip Morse y Herman Feshbach en su libro Methods
of Theoretical Physics de la siguiente manera:
en donde:
y :
aclarándose de antemano que en este esquema Y (0)0 ,0 no ex iste. Estas armónicas esféricas
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son frecuentemente nombradas de acuerdo a los patrones de v alores positiv os o negativ os
que tomen sobre la superficie de una esfera, a saber:
Arm ónicas zonales.- Aquellas para las cuales m.=.0.
Arm ónicas sectoriales.- Aquellas para las cuales m.=.n.
Arm ónicas teserales.- Aquellas para las cuales m está comprendido entrelos v alores de cero y n.
En un principio, se v olv ió costumbre graficar estas armónicas esféricas sobre la superficie
de una esfera unitaria delimitando las regiones con signos opuestos en lo que se conoce
como un mapa de contorno , como lo muestran los siguientes ejemplos en los cuales se tiene
una armónica zonal (extremo izquierdo), una armónica teseral (figura central) y una
armónica sectorial (extremo derecho):
Pintando las regiones de signo positiv o con un tono de gris y dejando las regiones con signo
negativ o con un tono blanco (o v icev ersa) se tiene algo un poco más ilustrativ o:
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Sin embargo, ev entualmente se llegó a la realización de que con la inclusión del factor
“color” usando los colores del arco iris para representar sobre la superficie de la esfera no
sólo los v alores positiv os y negativ os de cada región sino también los v alores intermedios
entre -1 y +1 se podía obtener una v isualización mucho mejor del v erdadero significado de
estas armónicas esféricas. Es así como tenemos algo como lo siguiente:
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Un ejemplo sobre cómo se interpreta numéricamente la “escala de temperaturas” lo
tenemos en los siguientes gráficos en donde se muestra el “termómetro” de v alores
numéricos en el lado izquierdo y en donde aparece un ejemplo de cada tipo de armónica
esférica (la notación usada coincide con la notación que usualmente se le dá a las armónicas
esféricas cuando son usadas para hacer coincidir el radio de la esfera con el radio de la
Tierra en el estudio de las v ariaciones del campo grav itacional de la misma, siendo en las
coordenadas esféricas geocéntricas r el radio de la esfera (globo terráqueo), φ la latitud y λ
la longitud:
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Puesto que los v alores que pueden tomar las armónicas esféricas definidas de esta manera
sobre la superficie de una esfera están limitadas a los v alores extremos del interv alo -
1 .≤.x .≤.+1 , con la finalidad de poder darle una mejor v isualización e interpretación a la
v ariación de las funciones se utiliza la escala v isual de “temperaturas” en la cual el color azul
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se le asigna el v alor más negativ o o “frío”, o sea -1 , y el color rojo se le asigna el v alor más
positiv o o “caliente”, o sea +1 . Inspeccionando las tres gráficas tridimensionales dadas
arriba, se puede apreciar que la función zonal exhibe lo que parece ser una div isión de la
esfera en “zonas” parecidas en cierto modo a lo que en cuestión de temperaturas extremas
ocurre en la Tierra de polo a polo; la función sectorial por su parte div ide la superficie de la
esfera en sectores cuy os v alores extremos son más manifiestos a lo largo de lo que v endría
siendo el “ecuador” de la esfera; mientras que la función teseral subdiv ide la superficie de la
esfera en lo que parece ser una teselación a manera de mosaicos.
Las siguientes figuras (las cuales se pueden apreciar un poco mejor ampliándolas) ilustran
los planos imaginarios que atrav iesan la esfera unitaria produciendo una armónica esférica
zonal para l.=.6 y m.=.0 (extremo izquierdo), una armónica teseral para l.=.6
y m.=.3 (figura central) y una armónica sectorial (extremo derecho) para l.=.6 y m.=.6:
Si multiplicamos una armónica esférica definida sobre la superficie de una esfera unitaria
por una función que v aríe con el tiempo como cos(ω,t), obtendremos una armónica esférica
animada cuy os v alores “oscilan” de positiv o a negativ o y v icev ersa sobre la superficie de la
esfera. Usando como referencia la misma escala de “temperaturas” definida arriba mediante
la cual al v alor máximo (positiv o) que puede tomar la armónica esférica se le asigna un
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color rojo y al v alor mínimo (negativ o) se le asigna un color azul, a continuación se
mostrarán unos ejemplos de v ariaciones en función del tiempo de armonicas esfericas
Y (1 )m n multiplicadas por cos(ω,t), las cuales al adquirir una dependencia sobre la v ariable
tiempo se pueden apreciar mejor en los siguientes tres gráficos animados elaboradao por
Catherine Potel y Michel Bruneau de la Univ ersité du Maine en Francia:
arm ónica esférica zonal Y (1 )3 ,0 (m.=.0):
arm ónica esférica zonal Y (1 )3 ,0 (m.=.n):
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arm ónica esférica teseral Y (1 )3 ,2 :
No hay que perder de v ista el hecho de que estos mapas de contorno llev ados a cabo sobre
la superficie de una esfera son proy ecciones de armónicas esféricas que a su v ez están
definidas en base a los polinomios de Legendre, como lo sugiere la siguiente figura:
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Más recientemente, y con la ay uda de software para graficados tridimensionales más
sofisticados, ha sido posible graficar sobre la superficie de la esfera unitaria no sólo los
v alores entre -1 y +1 usando colores para identificar el v alor en cada punto, sino que es
posible darle también una pequeña elev ación (a manera de monte o montaña) sobre la
superficie de la esfera a los v alores positiv os y una pequeña depresión por debajo de la
superficie de la esfera a los v alores negativ os, con un v alor de cero (que corresponde a un
color entre el amarillo y el ciano) actuando como la superficie de referencia y con la altura o
la depresión con respecto a dicha superficie de referencia determinando el v alor numérico
de cada punto, dando de este modo dos referentes (color y altura relativ a) para poder
apreciar mejor lo que está ocurriendo. Este tipo de v isualizaciones es precisamente lo que
puede dar origen a las nuev as ideas que permiten seguir av anzando el campo de la ciencia.
Se v uelv e necesario asentar aquí otro teorema importante relacionado con las armónicas
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esféricas que dice: “Si la función g(θ,φ) es cuadráticamente integrable (en literatura técnica
inglesa, square integrable) sobre un ángulo sólido completo Ω (cubriendo todo el espacio
angular interno de una esfera) entonces la función g(θ,φ) puede ser escrita como una
combinación linear de armónicas esféricas”. Al decir que la función g(θ,φ) debe ser
cuadráticamente integrable, se da a entender que la doble integral:
ex iste y tiene un v alor finito. Esta requisito es conocido como una de las condiciones de
Dirichlet.
Por último, y sin entrar en may ores detalles, se agregará aquí que las armónicas esféricas
deriv an su nombre del hecho de que son soluciones a la ecuación de Laplace, estando
además especificadas sobre la superficie de una esfera como lo hemos v isto arriba.
P U B LICA DO P OR A R MA N DO MA R TÍN E Z TÉ LLE Z E N 1 8:5 8
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![Indice de contenidos [70 diapositivas] Aplicaciones ...€¦ · Los polinomios de Legendre y Zernike representan una imagen mediante un conjunto de descriptores mutuamente independientes](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f44692ca5a46b52a7603258/indice-de-contenidos-70-diapositivas-aplicaciones-los-polinomios-de-legendre.jpg)
