5. Partikularen dinamika orokorra

1. Dinamikaren helburu nagusia: Higiduraren ekuazioa eta hasierako baldintzak

Oinarrizko problema: ezagutuz r(t) eta v(t) zehaztu.

Higidura ekuazioa:

F

Newton-en bigarren legetik: 2

2

dt

rdmam

dt

vdmF

2

2

dt

rdm)t,v,r(F

2. mailako ek. dif.

Baldin hasierako baldintzak eta orduan:

ezagutzen badugu ere ezagutu, beraz:0 0

0 0

( )( ) ( )

t t

t t

F tv t v a t dt v dt

m

0

0( ) ( )t

t

r t r v t dt

Orokorrean ez dugu ezagutzen baizik eta . Gai honetan ikasiko dugu nola ebatzi problema bakoitza indar motaren arabera.

Momentu lineala: partikula baten masa eta abiaduraren arteko biderkadura:

2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren teoremak

1 Momentu linealaren teorema

kg m/svmp

Beraz, Newton-en 2. legea berridatziz:( )dv d mv dp

F ma mdt dt dt

Momentu linealaren teorema

modu diferentzialean.

“Partikula baten momentu linealaren aldaketa denborarekiko = partikulak jasaten duen indar erresultantea”

Integratuz…

kg m/s

non bulkada lineala den. Momentu linealaren kontserbazio-teorema:

“Partikula batek jasaten dituen indarren erresultantea nulua bada, partikularen momentu lineala kontserbatuko da”

prL0

2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren teoremak

Momentu angeluarra 0-puntu batekiko:

2 Momentu angeluarraren teorema

kg m2/s

Indar momentua 0-rekiko (r eta F-rekiko perpendikularra)

“Partikula baten momentu angeluarraren aldaketa denborarekiko, partikulak jasaten dituen indarren momentu erresultantearen berdina da”

Momentu angeluarraren kontserbazio-teorema:

“Partikula batek jasaten duen indar momentua nulua bada, partikularen momentu angeluarra kontserbatuko da”

O

O’

'oL

oL

r

'r

p

Newtonen 2. legeaoo

dL dr dpp r v p r F r F M

dt dt dt

Deribatuz…

0

Kontserbatzen da!!

2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren teoremak

3 Energiaren teorema

O

C

1 2

F

dr

TF Partikula batek C ibilbidea deskribatzen du F indar

baten pean

Lan infinitesimala definituz:

cos TdW F dr F dr F dr

indarra ibilbidearekiko perpend bada lana nulua

indarraren osagai tangentziala

Lan totala:2

1

r

r

W F dr

J = kg m2/s2 Lan totala ibilbidearen menpekoa da.

Def. Aldiuneko potentzia: denbora unitateko indar batek egiten duen lana.dW dr

P F F vdt dt

J/s = Watt = W = kg m2/s3

Def. Energia zinetikoa:

21

2cE m v J = kg m2/s2

Magnitude eskalarra

2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren teoremak

3 Energiaren teorema

Potentzia berridatziz … 21 1( )

2 2zdEdv d d

P F v m v m v v mvdt dt dt dt

Energiaren teoremaren forma

diferentziala“Partikula batek jasaten duen indar erresultantearen potentzia, partikularen energia

zinetikoaren denborarekiko aldaketaren berdina da”

Integratuz…2 2 2

2 1

1 1 1

z

z

E t r

z z z z

E t r

E E E dE Pdt F dr W

Partikula batek jasaten duen indar erresultantearen lana, partikularen energia zinetikoaren aldaketan

erabiltzen da.

Energia zinetikoaren kontserbazio teorema!

2. Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren teoremak

Teorema Enuntziatua Baldintza Kontserbatzen den magnitudea

Momentu linealaren teorema

Dif:

Integ:

Momentu angeluarraren

teoremaDif:

Energiaren teoremaDif:

Integ:

x0

m

z

m

m

z

3. Abiaduraren menpeko indarrak

ezaguna bada 0 0

0 0

( )( ) ( )

t t

t t

F tv t v a t dt v dt

m

0

0( ) ( )t

t

r t r v t dt

ezaguna bada eta gainera eta paraleloak eta aurkako noranzkokoak.

ˆnF kv v n = 1 Abiadura baxuak (v < 25 m/s)

n = 2 Abiadura altuak

Fluido likatsu batean higitzen ari den objektu batenganako marruskadura indarrak

Adibideak:

kv

0v

0v

kv

mg

0v

mgkv

a) v0 abiadura horizontalaz m partikula baten higidura

b) v0 abiaduraz beherantz botatzen dugun m partikula

c) v0 abiaduraz gorantz botatzen dugun m partikula

dvkv m

dt

dvmg kv m

dt dv

mg kv mdt

0Abiadura limitea

5. Ariketa

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60

x (m

)t (s)

3. Abiaduraren menpeko indarrak

a) Kasua ebatziko dugu: v0 hasierako abiadura horizontalaz m masadun partikula baten higidura

dvkv m

dt integratu behar dugu.

Horretarako lehenengo aldagaiak banatu behar ditugu:

00

t v

v

k dvdt

m v

0

lnk v

tm v

0

kt

mv v e

Abiaduraren modulua esponentzialki gutxitzen da.

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

v (m

/s)

t (s)Eta x kalkulatzeko:

dxv

dt

0

0 0

x t t kt

m

o

dx vdt v e dt

0 1

kt

mmv

x ek

Partikula gero eta astiroago doa

-n gelditu arte. 0mvx

k

Eta t desagerrarazteko … *

4. Posizioaren menpeko indarrak. Indar kontserbakorrak. Energia potentziala. Energia

mekanikoaren kontserbazioa.motakoa denean ebazten zaila.

Higidura deskribatzeko W eta Ez erabiliko ditugu.

2 2

1 1

2

2 1

1

( )t t

zz z

t t

dEW F r dr P dt dt E E

dt

Erabilgarria da lanaren kalkulua ibilbidea ezagutu gabe egin daitekeenean.

Badaude naturan indarrak zeinen lana ibilbidearen independentea den Indar Kontserbakorrak

“Partikula batek bi posizioren artean transaldatzeko behar duen lana, bi posizio horien menpekoa da bakarrik”

C’

2

C

O

1 F

F

1r

2r

rd

rd

Energia potentzialapdErd)r(F

Energia potentzialen arteko ezberdintasunak baino ez dauka zentzu fisikorik (Ep=0) posizio bat aukeratu.

4. Posizioaren menpeko indarrak. Indar kontserbakorrak. Energia potentziala. Energia mekanikoaren kontserbazioa.

Adibideak:

1. Indar elastikoa malgukietan: ikxF ˆ

x

ikxF ˆ

idxrd ˆ

2 2 22

11 1 1

2 2 22 1 2 1

1 1 1( ) ( )

2 2 2

x x xx

p p p xx x x

dE E x E x F dr kx dx k x kx kx

Baldin x1 = 0 non Ep(x1) = 0 eta x2 = x, orduan: 2

2

1)( kxxEp

Energia potentzialaren jatorria

2. Indar grabitarorioa: ˆF m gk

kdzrd

z

ˆF m gk

dz)mg(rdFdE p

2 2

2

1

1 1

2 1 2 1( ) ( )z z

z

p p p zz z

dE E z E z mg dz mg z mgz mgz

Baldin z1 = 0 non Ep(z1) = 0 eta z2 = z, orduan: mgz)z(E p

Energia potentzialaren jatorria

4. Posizioaren menpeko indarrak. Indar kontserbakorrak. Energia potentziala. Energia mekanikoaren kontserbazioa.

Ibilbidea itxia denean:

Partikulak jasaten duen indar totala kontserbakorra denean:

pz EEW ( ) 0z pE E E

21( ) ( )

2z p pE E E r mv E r kte

Partikularen ENERGIA MEKANIKOA

Indar eremu kontserbakorrean E = kte E kontserbatzen da!!

Partikulak indar kontserbakor eta ez kontserbakorrak aldi berean jasaten dituenean:

EKK FFF

2

1

( ) zW F r dr E

2 2 2 2

1 1 1 1

( ) K EK K EK p EK zW F r dr F F dr F dr F dr E W E

EKpz WE)EE( E ez da kontserbatzen!!

5. Indar kontserbakorrak. Higidura zuzena.Energia potentzialaren kurba hipotetikoak informazio asko ematen digu:

pdEdxxF )(dx

dExF p)(

xD xB

A

J

IH

GED

CB

E1

E3

Ep(x)

x

E4

E2

F

Ep max edo min den puntuetan (F, A, H)

0dx

)x(dE p 0i)x(FF x

OREKA

A eta H OREKA EGONKORRA (min)

F OREKA EZEGONKORRA (max)

Em = E1 denean v = 0 (geldirik) x = xA puntuan.Em = E2 denean higidura mugatua xB < x < xC tartean.

xB eta xC puntuetan v = 0 E2 = Ep(xB) = Ep(xC) Ez = 0

Itzulera puntuak

Em = E3 denean higidura mugatuaxD < x < xE

xG < x < xI

Tarte batean badago ezin da bestera pasatu; EZIN DU POTENTZIAL-HESIA GAINDITU!!

Em = E4 denean xJ < x (Ezin da gehiago hurbildu koordenatu jatorrira).

Nola Em = Ez + Ep …

6. Indar zentralak. Grabitazioa.Indar eremu bat zentrala da, bere norabidea 0 puntu finko batetik pasatzen bada beti.

INDAR EREMUAREN ZENTROAIdatz dezakegu: r rfrF

O

F

F

r

rr

r

Indar momentua 0-rekiko:

0r)r(fr)r(FrM 0

Hortaz,

Momentu angeluarraren teorema!!

Baldin eta beti plano berdinean egongo dira, .

IBILBIDE LAUA

Gainera, eremu kontserbakorra bada (eremu grabitatorioa, elektrostatikoa, …)

kte(r)Emv2

1E p

2 Em kontserbatu baita ere!!

6. Indar zentralak. Grabitazioa.

Indar grabitatorioa:

• Kasu bereziki garrantzitsua.

• Indar zentral erakargarria distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala:

rr

GMmrF ˆ)(

2

2211 KgNm10x67.6G M >>> m

0-n finkoa

Indar honi dagokion Ep:

Ktear

GMmmvE 2

2

1

Beraz, Energia mekanikoa:

6. Indar zentralak. Grabitazioa.

Froga daiteke partikularen ibilbidea (orbita) kurba konika bat dela:

Elipsea

F1 Zirkunferentzia

Parabola

Hiperbola

E < 0 (kurba itxiak)

E > 0 (kurba irekiak)

Indarraren zentroa kurbaren foku batean

dago

Ihes abiadura: E > 0 denean v = vihes

R

GMv

2

M = 6x1024 kg R = 6400 km

Lurran vihes = 11.2 km/s

M = 1.9x1027 kg R = 70000 km

Jupiterren vihes = 60 km/s

M = 6.6x1023 kg R = 3400 km

Marten

vihes = 5.1 km/s

6. Indar zentralak. Grabitazioa.

Kepler-en legeak:

1. legea: Planeten orbitak eliptikoak dira eta Eguzkia foku batean dago. INDAR ZENTRALA.

2. legea: Planeta baten posizio bektoreak denbora unitateko orrazten duen elipsearen azalera berdina da. MOMENTU ANGELUARRAREN KONTSERBAZIOA.

dtLm2

1dtvmr

m2

1dtvr

2

1dA

kte

Denbora unitateko orraztutako azalera ktea da.

3. legea: non T biraketa periodoa eta a ardatz-erdi nagusia diren.

Kepler-en legeak

Frogapena (orbita zirkular batentzat): zirkunferentziaren perimetroaErrotazio periodoa

dtv

r