6.1 Angulos y arcos

7/26/2019 6.1 Angulos y arcos

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UNIDAD 6 Trigonometra 6.1 ngulos y arcos 1

6.1 ngulos y arcos

OBJETIVOS

Convertir ngulos expresados en grados minutos y segundos a su correspondiente forma decimal yviceversa.

Convertir un ngulo expresado en grados a su correspondiente medida en radianes yviceversa.

Calcular la medida de ngulos coterminales con un ngulo dado.

Resolver problemas geomtricos en donde se requiere el uso de las frmulas de longitud dearco y rea de un sector circular.

ngulos

En Geometra un ngulo est formado por dos rayos que tienen un punto en comn. En trigonometra y

otros cursos de matemtica, es conveniente definir un ngulo en trminos de rotacin.

D e f i n i c i n d e n g u l o

Un nguloest formado por la rotacin que se obtiene cuando un rayo giradesde una posicin inicial hasta una posicin terminal. La posicin inicial del

rayo se llama lado inicialdel ngulo y la posicin final del rayo es llamada ladoterminaldel ngulo. El punto de rotacin se llama vrticedel ngulo.

Hay varias maneras para referirse a un ngulo, algunas de ellas ya han sido estudiadas en la

unidad de geometra. En trigonometra usualmente se utilizan letras griegas para identificar ngulos,

como se muestra en la figura siguiente, en donde el ngulo se llama .

O

A

B

Lado inicial

Ladoterminal

Angulo positivo y negativoLa medida de un ngulo es positiva si la rotacin se produce en la direccin contraria al movimiento de

las agujas de un reloj y un ngulo es negativo si la rotacin se produce en la misma direccin en que se

mueven las agujas de un reloj. La figura muestra un ngulo positivo y un ngulo negativo

O

A

B

ngulo positivo

O

A

B

ngulo negativo


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ngulo en posicin estndarUn ngulo est en posicin estndar si su vrtice coincide con el origen de un sistema de coordenadas

rectangulares y su lado inicial est sobre el eje positivo de las x, como se muestra en la figura siguiente

x

y

Medicin de ngulos en grados

La medida de un ngulo est determinada por el tamao de la rotacin del lado inicial.

Uno de los sistemas utilizados para medir ngulos es el sexagesimal que proviene de la poca de los

babilonios y est basado en los 360 das.

D e f i n i c i n d e g r a d o

Un grado es la medida de un ngulo formado por la rotacin de un rayo1

360

partes de una revolucin completa y se escribe como 1.

La figura que sigue muestra en forma aproximada un ngulo cuya medida es 1

1

Por ejemplo, la siguiente figura muestra un ngulo en posicin estndar cuya medida es 130

x

y

130

Algunos ngulos tienen medidas mayores de 360 o menores de 360 ya que una rotacin puede ser

ms grande de una revolucin. La siguiente figura muestra tres ejemplos de ngulos grandes en

posicin estndar


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x

y

490

x

y

720

x

y

450

Hay dos maneras de representar la parte fraccional de un grado. Una de ellas consiste en utilizar la

parte decimar de un grado, por ejemplo el ngulo 35.43 tiene una medida de 35 ms una parte

fraccionaria43

100de un grado.

Otra manera de representar la parte fraccionaria de un grado consiste en utilizar Minutos y

Segundos, as un grado se divide en 60 minutos y 1 minuto se divide en 60 segundos.

1 60 , 1 60

Aunque la mayor parte de calculadores cientficas cuentan con funciones que permiten cambiar

fcilmente un ngulo expresado en forma decimal a grados minutos y segundos y viceversa, en el

siguiente ejemplo se ilustra cmo hacerlo manualmente

Ejemplo 1: conversin de minutos y segundos a forma decimal y viceversa

a. Exprese el ngulo 48.237 en grados minutos y segundos

b. Exprese el ngulo 7317 21 en forma decimal.

Solucin

a. La conversin a minutos y segundos se puede hacer de la forma siguiente

48.237 48 0.2376048 0.2371

48 14.22

6048 14 0.221

48 14 13.2

4814 13.2

b. La conversin de grados minutos y segundos a forma decimal se hace en forma similar

7317 21 73 17 21

1 1 173 17 21

60 60 60

73 0.2833 0.005833

73.2892


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Medicin de ngulos en radianes

Otro mtodo utilizado para medir ngulos es el radian. Para definir un radian primero considere unacircunferencia de radio ry un ngulo central , como se muestra en la figura siguiente

r

rO

sA

B

Si la longitud sdel arco AB , subtendida por el ngulo es igual a r, entonces la medida del ngulo

es igual a 1 radian.

D e f i n i c i n d e R a d i a n

Un radin es la medida del ngulo central subtendido por un arco de

circunferencia de longitud r en una circunferencia de radio r.

Si un arco de circunferencia de radio r tiene una longitud s, entonces la

medida en radianes del ngulo central subtendido por el arco es

s

r

Por ejemplo si un arco tiene una longitud de 20 cm en un crculo de radio 8 cm, la medida en

radianes del ngulo central es

20 cm 5radianes radianes radianes8 cm 2

s

r

Observe que los centmetros se cancelan al dividir la longitud del arco entre el radio, por lo tanto la

medida de un ngulo en radianes es un nmero adimensional, es decir que no hay una unidad demedida asociada con un radian.

Para establecer una relacin entre un ngulo medido en grados y un ngulo medido en radianes

recuerde que el permetro de un crculo tiene una longitud 2S r , entonces la medida en radianes dedel ngulo central formado por una circunferencia es

2 2s rr r

radianes

Como una circunferencia forma un ngulo de 360, se obtiene las equivalencias

360 2 rad

180 rad

o n v e r s i n e n t r e g r a d o s y r a d i a n e s

Para convertir un ngulo de radianes a grados, multiplique por 180rad

Para convertir un ngulo de grados a radianes multiplique porrad

180


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Ejemplo 2: conversin de grados a radianes y viceversa

a. Exprese el ngulo 300 en radianes.

b. Exprese el ngulo 74 en grados.

Solucin

a. 5300 300 rad rad 5.236 rad180 3

b. 7 7 180rad rad 3154 4 rad

La siguiente figura muestra una circunferencia con los ngulos utilizados con mayor frecuencia

expresados en grados y en radianes. Consulte sta figura cuando resuelva los ejercicios propuestos.

60,3

90,

2

2120, 3

3135,4

5150,6

180,

7210,6

5

225, 4

4240,3

3270,2

5300,3

7315,4

11330,6

0 ,0

30,6

45,4

ngulos coterminales

Dos ngulos en posicin estndar son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo ladoterminal, La figura siguiente muestra 3 ngulos coterminales con medidas de 60, 420 y 300.

x

y

60

420

300

En general, la expresin para calcular ngulos coterminales con un ngulo dado es la siguiente


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M e d i d a d e n g u l o s c o t e r m i n a l e s

Si es un ngulo en posicin estndar medido en grados, entonces la medida de

cualquier ngulo coterminal est dada por

360k

Si est en radianes la medida de cualquier ngulo coterminal es

2 k

Donde kes un nmero entero.

Longitud de arco y rea del sector circular

La longitud de un arco de circunferencia se obtiene fcilmente a partir de la definicin de la frmula

para un ngulo expresado en radianess

r .

F r m u l a d e l o n g i t u d d e a r c o

Sires el radio de una circunferencia y

es la medida en radianes del ngulo

central, entonces la longitud del arco subtendida por el ngulo central es

s r

En la figura se muestra un arco de longitud s

r

rO

sA

B

El rea de un sector circular es una fraccin2

del rea del crculo 2r , donde el ngulo est

expresado en radianes, es decir que el rea del sector circular es proporcional a la medida del ngulo

central

2 212 2

A r r

r e a d e u n s e c t o r c i r c u l a r

El rea de un sector circular con radio ry donde es la medida en radianes del

ngulo central, es

212

A r


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Ejemplo 3: Relacin de giros entre poleas

La figura muestra dos poleas de radios 2 cm y 4 cm respectivamente. Si la polea mayor gira un ngulo

de 360. Calcule el ngulo girado por la polea pequea si no hay

deslizamiento.

Solucin

Si no hay deslizamiento, la longitud del arco que se desplaza la faja en la polea mayor

es igual a la longitud del arco en la polea menor.

Como 360 2 rad, en la polea mayor la longitud del arco girado es

2 (4) 8s r

En la polea menor el ngulo girado es

8 42

s

r

Es decir que la polea pequea da dos vueltas por cada vuelta que da la polea mayor.

Ejemplo 4: rea entre dos sectores circulares

La figura muestra un rectngulo polar, el cual est formado por dos arcos

de crculos concntricos de longitudes 8 cm y 18 cm y lados de 10 cm.

Calcule l rea sombreada.

Solucin

Sea rel radio del sector cuya longitud de arco es 8 cm y sea el ngulo central, como

se indica en la figura siguiente

10

18

8

r

La longitud del arco en el sector pequeo es

8 r

Mientras que en el sector grande la longitud del arco es

18 ( 10)r

Despejando en ambas ecuaciones e igualando

8 1810r r

Despejando r

10

18

8


8/9


8( 10) 18

8 80 18

10 80

8

r r

r r

r

r

La medida del ngulo central es

8 8 18r rad

El rea sombreada es la diferencia de las reas de los sectores

2 2

2 2

2

1 1

2 2

1 118 (1) 8 (1)

2 2

130 cm

sA R r

Ejercicios de la seccin 6.1

En los ejercicios 1 a 8 dibuje el ngulo dado en

posicin estndar

1. 140 2. 330

3. 450 4. 1140

5. 73

6. 7

3

7. 32

8. 5

En los ejercicios 9 a12 exprese el ngulo dado en

forma decimal

9. 2512 10. 1487 30

11. 32815 40 12. 42017 31

En los ejercicios 13 a 16 exprese en ngulo dado

en trminos de grados minutos y segundos

13. 210.78 14. 20.45

15. 330.125 16. 430.667

En los ejercicios 17 a 22, convierta el ngulo de

grados a radianes. Exprese la respuesta en

trminos de

17. 270 18. 12040

19. 52 20. 540

21. 230 22. 100

En los ejercicios 23 a 28, convierta el ngulo de

radianes a grados.

23.5

24. 38

25. 1118

26. 4

27. 113

28. 6

5

En los ejercicios 29 a 34 dibuje el ngulo dado en

posicin estndar y encuentre un ngulo que

sea coterminal con el ngulo dado tal que0 360

29. 90 30. 400

31. 720 32. 1250

33. 120 34. 540

En los ejercicios 35 a 40 encuentre un ngulo

que sea coterminal con el ngulo dado en

radianes, 0 2

35. 125

36. 7

3

37. 176

38.4

39. 113

40. 323

41. Calcule la longitud de un arco en un crculode 10 cm de dimetro y un ngulo central de

40.

42. Un arco de 40 cm subtiende un ngulo central en un crculo de 8 cm de radio. Calcule la

medida del ngulo central.


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43. Encuentre el radio de un crculo si un arco de12 cm de longitud subtiende un ngulo

central de /3 .

44. En un crculo de radio 6 cm un ngulo centralsubtiende un arco de 50 cm. Calcule el rea

del sector circular formado por el mismo

ngulo central.

45. La rueda de un auto tiene un dimetro de 24pulgadas. Determine cuntas revoluciones

debe dar la rueda para que el auto recorra

una distancia de 5 km.

46. La rueda delantera de un triciclo tiene undimetro de 20 pulgadas. Qu distancia

recorrer un nio si pedala 60 revoluciones?

47. Suponiendo que la rbita de la Tierraalrededor del Sol es una circunferencia con

radio de 150 millones de kilmetros y que la

tierra tarda 365 das en completar una rbita.

Calcula la distancia recorrida por la tierra en

1 hora.

48. Si la tierra tiene un radio de 3,960 millas y latierra da una vuelta sobre su eje en 24 horas.

Calcula la distancia recorrida por un punto

sobre en un tiempo de 30 minutos, debido a la

rotacin de la tierra.

49. La rueda estrella delantera de una bicicletatiene un radio de 12 cm y la estrella trasera

tiene un dimetro de 3 cm. Si las llantastienen un radio de 40 cm. Calcule la

distancia recorrida si un ciclista pedalea sin

parar 50 revoluciones.

50. El ngulo subtendido por el sol visto desde latierra a 93 millones de millas de distancia es

de 0.093 radianes. Encuentre el dimetro del

sol.

51. Un reloj tiene las agujas de minutos y horasdel 6 pulgadas de largo. Encuentre el rea

del sector que forman cuando son las 5:40.

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