6주차균[1][1]

2011 가을학기 금요세미나

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Barrier Option

-Closed-form formula & Static Hedge

Y-FoRM 9기 유재균

목 차

1. Introduction

2. Closed-form Formula

2.1. First-Passage time Distribution

2.2. Reflection Principle & Distribution of Maximum

2.3. Girsanov's Thm

2.4. Maximum of Brownian Motion with Drift

2.5. Deriving Formula for Up and Out Call option

2.6. Summary for the Closed-form Formula

3. Static Hedge for Barrier Option

3.1. Dynamic Hedge for Barrier Option

3.2. Static Hedge for Barrier Option

4. Conclusion


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1. Introduction

지금까지 우리는 Option Pricing 기본에 관련된 많은 내용들을 살펴보았다. 우선 이항모형에서 옵션의

가격을 도출해 냈고, Martingale과 Markov Process의 특징들에 대해 살펴보았으며, 연속형 모델에서

Option Pricing의 도구가 되는 Brownian Motion과 Ito's lemma도 공부하였다. Pricing의 두 가지

큰 방법으로써, hedging portfolio를 잡아 BSM Equation을 도출하였고, Risk Neutral Pricing의

기본적 개념과 BSM Formula의 도출 까지 다루어 보았다. 필자가 생각하기에는 여기까지가 금융공학에서

가장 기초가 되는 부분이 아닌가 싶다. 경제학으로 치자면 수요와 공급곡선을 통해 균형가격을 찾아내는,

가장 근본적인 토대를 이루는 부분이 아닐까 생각해 본다. 이제부터는 지금까지 배운 내용을 조금 더 확

장, 적용시키는 과정이 남았을 뿐이다.

이번 발표에서는 Barrier Option을 다루어 볼 것이다. Barrier Option은 다양한 구조화 상품의 근간

을 이루는 것으로, 현재 금융시장에서 가장 많이 사용되는 파생상품 중의 하나이다. 나중의 발표에서 소개

한 ELS역시 Barrier Option의 묶음에 지나지 않는다. Barrier Option은 path-dependent 한 성질

때문에 pay-off가 불확실하기 때문에 pricing하는데 있어서 일반 vanilla call option보다 더 어려운

경향이 있다. 하지만, single barrier, continuous checking 의 barrier option은 이미

closed-form formula가 나와 있다. 이번 발표에서는 이 closed-form formula를 도출하는 과정에 초

점을 맞추어 보았다. (double barrier, continuous checking의 경우에도 closed form formula는

나와 있지만 이번 발표에서는 분량 상 다루지 않도록 하겠다.)

Barrier option은 마찬가지로 vanilla option보다 hedge를 하는 것이 훨씬 어렵다. 우리가 흔히

delta, gamma hedge라고 하는 dynamic hedge는 그 구조상 거의 불가능 하며, 따라서 대안으로

static hedge라는 방법을 사용하게 된다. 이번 발표의 후반부에서는 이 static hedge도 간략히 다루어

보도록 하겠다.

2. Closed-form Formula

2.1 First Passage Time Distribution

우선 first passage time이 무엇인가를 다루기에 앞서 exponetial martingale을 정의 하고 넘어가자.

Definition 2.1.1>

Let W(t), ≥ , be a Brownian motion with a filtration ℱ ≥ , and let be a

constant. The process Z(t), which is

exp

, is called exponential martingale corresponding to , and it is martingale.

Proof>

For ≤ ≤ , we have

ℱ exp ℱ

expexp ℱ

exp exp ℱ


- 3 -

Since, exp ℱ exp, and ∼ ,

ℱ exp

⋙

exponential martingale을 자세히 살펴보면 이는 결국 drift가 없는 Geometric Brownian Motion

이라고 볼 수 있다. (

exp ). 또는 Girsanov's thm의 Radon

Nikodym과 비슷한 형태라고도 볼 수 있다.

이제 first passage time을 정의하자.

Definition 2.1.2>

Let m be a real number, and define the first passage time to level m

min ≥

and set ∞ , if the Brownian motion W never reaches the level m. ⋙

Stopping time에 멈춘 martingale은 여전히 martingale이기 때문에 다음의 식이 성립한다.

∧ exp∧ ∧ (2.1.3)

이제 조건을 하나 하나 나눠가며 식 (2.1.3) 살펴보자. 두 번째 term인 exp ∧ 은

i f ∞ exp ∧ exp

for

i f ∞ exp ∧ exp

→ →∞

위의 두 식을 한번에 표현하면,

lim→∞exp

∧ ∞ exp

(2.1.4)

첫 번째 term 인 exp∧ 은,

for ≤ ≤ ⇒ ≤ exp∧ ≤ (2.1.5)

i f ∞ exp∧ exp for (2.1.6)

만약, ∞이라면 우리는 이 term이 어떻게 될지 알 수 없다. 하지만, 식 (2.1.5)에 의하여 적어도 이

term이 bounded 되어 있고, 따라서


- 4 -

i f ∞ lim→∞exp

∧ exp∧ (2.1.7)

식 (2.1.4), (2.1.6), (2.1.7)을 다음의 식 하나로 정리해 낼 수 있다.

lim→∞exp∧

∧ ∞ exp

이제 식 (2.1.3)에 limit을 취하면,

∞ exp

or ∞ exp

만약 → 이면,

∞ ∞

직관적으로 생각해서 가 작아진 다는 것은 Brownian motion이 m을 칠 확률도 작아진 다는 것이다.

하지만, 위의 식에서 볼 수 있듯이 가 0에 수렴하여도 Brownian motion이 m을 칠 확률은 1이다. 따

라서 indicator function을 제거 할 수 있다.

exp (2.1.8)

지금까지의 결과를 theorem으로 정리하면,

Theorem 2.1.9>

For ∈ the first passage time of Brownian motion to level m is finite almost surely,

and the Laplace transformation of it's distribution is given by

for ⋙

2.2 Reflection Principle & Distribution of Maximum

Brownian motion의 path는 reflection principle이라는 특이한 성질을 지니고 있는데, 이를 가장 쉽

게 말한다면, 미래시점에 path가 x 이상일 확률은 path가 -x이하일 확률과 같다는 특징이다. (이해를 돕


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기 위한 것이지 정확한 표현은 아니다.)

reflection principle의 정확한 의미는 아래의 reflection equality에서 살펴볼 수 있다.

≤ ≤ ≥ ≤ (2.2.1)

이 식을 가지고 First Passage Time Distribution을 다시 구해보자.

Theorem 2.2.2>

For all ≠, the random variable has cumulative distribution function

≤

∞

≥

and density

≥

Proof>

w=m이라 하면, 식 (2.2.1)에 의해 ≤ ≤ ≥

≥ 이라면, ≤ 이고 따라서 ≤ ≥ ≥

위의 두 식을 더하면,

≤ ≤ ≤ ≤ ≥

≥

∞

로 두면, 결국 Thm 2.2.2>가 된다. ⋙

앞에서 구한 distribution과 비교하기 위해서 Laplace transformation을 취해 보면,

∞

∞

for

이는 앞에서 구한 Thm 2.1.9>와 외관은 확연히 다르지만, 결국 같은 식임을 알 수 있다.1)

이제 앞으로 Barrier Option의 Closed-form Formula를 도출하는데 있어서 가장 중요한 Brownian

Motion Maximum Distribution을 구해 보도록 하자.

1) 같음을 보이는 증명은 Stochastic Calculus for Finance II - Steven Shreve를 참고하자.


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Definition 2.2.3>

Let's define the maximum to date for Brownian Motion,

max for ≤ ≤

⋙

그렇다면 정의에 의해서 우리는 자연스럽게 두 statement가 동치임을 알 수 있다.

≥ ⇔ ≤

이를 식 (2.2.1)에 대입하면,

≤ ≤ ≥ ≤ (2.2.4)

이제 이를 활용하여 W(t)와 M(t)의 joint probability function을 구해 보도록 하자.

Theorem 2.2.5>

For t>0, the joint density of (M(t), W(t)) is

≤

Proof>

식 (2.2.4)의 왼쪽 term과 오른쪽 term을 다시 써 보면,

≤ ≤

∞

∞

≥

∞

따라서,

∞

∞

∞

두 식을 미분하면,

∞

⋙

이는 drift가 없는 standard Brownian motion을 대상으로 하고 있는 것임을 주의하자.


- 7 -

2.3 Girsanov's Theorem

Barrier option의 closed-form formula를 도출하기 위해서는 Girsanov's Thm을 사용하는데 익숙

해야 한다. 따라서, closed-form formula를 도출하기에 앞서, 앞으로 필요한 Girsanov's Thm과

Radon Nikodym Process에 대해 다시 한 번 살펴보도록 하자.

Definition 2.3.1> Radon Nikodym Derivative

Let be a probability space and let Z be an almost surely nonnegative random

variable with EZ=1. For ∈, define

(2.3.2)

Then is a probability measure. Furthermore, if X is a nonnegative random variable,

then

If is equivalent to , then Z is called the Radon Nikodym derivative of with

respect to P, and we write

⋙

하나의 random variable만을 measure change하기 위해서는 하나의 R.N Derivative만 있으면 되지

만, process 전체를 measure change하기 위해서는 Radon Nikodym Process를 사용해야 한다.

Definition 2.3.3> Radon Nikodym Derivative Process

Let be a probability space and let Z be an almost surely nonnegative random

variable with EZ=1. And, we define by (2.3.2). Then we can define Radon-Nikodym

derivative process,

ℱ ≤ ≤

⋙

이 process가 martingale임은 쉽게 보일 수 있다.

ℱ ℱ ℱ ℱ for ≤ ≤ ≤

다음의 두 개의 lemma를 살펴보자.

Lemma 2.3.4>

Let t satisfying ≤ ≤ be given and let Y be an ℱ(t) measurable random variable.

Then,


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Proof>

ℱ ℱ ⋙

Lemma 2.3.5>

Let s and t satisfying ≤ ≤ ≤ be given and let Y be an ℱ(t)-measurable random

variable. Then

ℱ

ℱ

Proof>

ℱ 가 ℱ(s)-measurable 인 것은 자명하다. 다음을 증명하자.

ℱ for ∈ℱ

위 식의 왼쪽 term은 다음과 같이 바꿔 쓸수 있다.

ℱ

ℱ ℱ sin

ℱ

⋙

Definition 2.3.6> Girsanov, One Dimension

Let ≤ ≤ be a Brownian Motion on a probability space , and let

≤ ≤ be a filtration for this Brownian motion. Let ≤ ≤ be an

adapted process. Define

exp

and assume that

∞

Set Z=Z(t). Then EZ=1 and under the probability measure ,

the process ≤ ≤ is a Brownian Motion.


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Girsanov's Thm 이 갖는 의의는 가 마팅게일 확률측도 아래에서도 여전히 Brownian

Motion Process를 따른다는 점을 보여준다는 것이다.

2.4 Maximum of Brownian Motion with Drift

이번에는 지금까지 살펴본 지식을 바탕으로 drift가 있는 Brownian Motion과 그 maximum의 joint

probability density function을 도출해 보도록 하겠다. 그건 아까 2.2절에서 한 것 아니냐 하는 분들

이 있을까 봐 다시 이야기 하자면, 2.2절에서는 drift가 없는 Brownian Motion 이었고, 여기서 구할

것은 drift가 존재하는 Brownian Motion 이다.

이를 구하기 위한 기본적인 아이디어는 바로 measure change 이다. Girsanov's Thm을 사용하여

drift가 존재하는 Brownian Motion을 새로운 probability measure 하에서 drift가 없도록, 즉

martingale 하게 바꾸어 줄 수 있다. drift가 없는 경우는 2.2절에서 구해놓았기 때문에, 이를 다시 원래

의 measure로 변경시켜 주면 drift가 있는 Brownian Motion과 그 maximum의 joint probability

density function을 알 수 있다.

다음의 Brownian Motion 을 정의하자.

확률공간 ℱ 에서 정의 되는 Brownian Motion ≤ ≤ 가 있다. 이 Brownian

Motion 는 drift가 없는 martingale이다. 다음으로 가 주어진다면, Brownian Motion

을 다음과 같이 정의 한다.

≤ ≤ (2.4.1)

그러면 는 하에서 drift 를 갖는다. 다음으로 의 maximum도 정의하면,

max ≤ ≤ (2.4.2)

Brownian motion의 정의에 의해 이기 때문에 ≥ 이고, 또한 ≤이기 때문

에 는 다음의 범위를 갖는다.

≤ ≥

Theorem 2.4.3>

The joint density under of the pair is

≤ ≥

and is zero for other values of m and w.

Proof>

definition 2.1.1>의 를 상수 로 대체하여 이 exponential martingale을 Radon Nikodym

Derivative로 잡아주자.

exp exp

≤ ≤


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이 를 사용하여 새로운 확률측도 를 정의 하자.ℱ

for ∈ℱ

그러면,

결국, Girsanov's Thm에 의하여, 는 확률측도 아래서 drift가 없는 Brownian motion이 된

다. 따라서, Thm 2.2.5>에 의하여 확률측도 아래서 의 joint density는 다음이 된다.

≤

하지만 이는 확률측도 아래서의 distribution으로 우리가 구하려는 것은 아니다. 이 분포의 측도를 다시

역변환 하여 원래의 확률측도 로 돌려야 한다. 위에서 살펴본 Lemma 2.3.5>를 적용 하자.

≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

∞

∞

따라서,

≤ ≤

⋙

2.5 Deriving Formula for Up and Out Call Option

이제 barrier option의 공식을 도출하기 위한 모든 준비가 끝났다. 우리는 여기서 risk-neutral

pricing의 방법에 의존하여 closed-form formula를 도출 할 것이다. 기본적인 아이디어를 설명하면 다

음과 같다.

우선 barrier option의 risk-neutral pricing equation을 찾고, 여기에 앞에서 찾은 joint

distribution을 적용시켜 기댓값을 풀어낸다. 여기서 주의 할 점은 drift가 있는 bownian motion을 대

상으로 한 joint distribution을 적용시켜야 한다는 점이다. 우리는 앞선 발표에서, GBM을 따르는 주가

를 martingale measure로 측도변환 했을 때 그 GBM을 risk-free rate으로 할인 한 것이

martingale임을 보였다. 이 말은 새로운 확률측도 아래서 GBM은 martingale이 아니고, risk-free

rate 만큼의 drift를 가진다는 것이다. 따라서, 2.4 절에서와 같이 이 GBM을 에서 measure로 한

번 더 이동시켜야 martingale이 되어 drift가 없어지고, 따라서 2.2절에서 구한 joint distribution을

적용시킬 수 있게 된다. 물론 이런 일련의 과정을 이미 2.4절에서 다루었기 때문에, 앞으로는 2.4절의 결

과만 가져다 쓰면 된다.

barrier option은 call/put, out/in, up/down 의 총 8가지 종류가 있고, 따라서 총 8가지의 closed

form formula가 존재한다. 하지만, 이들은 구하는 기본적인 아이디어는 모두 같기 때문에 가장 대표적인


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up and out call만 공식을 도출하고, 나머지는 다음 절에서 결과만을 보여주도록 하겠다.

주가가 다음의 Geometric Brownian Motion을 따른다고 하자.

여기서 는 risk neutral measure 하에서 Brownian motion이다. 그리고 이제 pricing할

up and out european call의 행사가격을 K로 barrier를 B로 설정하자(K<B). 위의 SDE를 풀면 다음

과 같고, 거기에 식 (2.4.1)을 대입하자.

(2.5.1)

여기서

where

(2.5.2)

식 (2.4.2)에 의하여,

max ≤ ≤ (2.5.3)

따라서 ≤ 라면 option의 payoff는

이 되고 이를 한번에

표현한다면 다음과 같다.

≤

≥

≤

≥ ≤

여기서,

이를 risk-neutral pricing formula에 대입하면,

(단, 적분 범위에 유의해야 한다. i f ≥ ≤ ≤ ≤

i f ≤ ≤ ≤≤ )

여기서,


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위의 각 적분들을 살펴보면 모두 다음과 같은 형태임을 알 수 있다.

log

log

를 모두 위의 형태로 정리하여 나타내면 결국 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

여기서,

log

log

log

log

log

log


- 13 -

log

log

이를 식 (2.5.6)에 대입하면 결과적으로 우리는 아래와 같은 Closed-form Formula를 얻게 된다.

2.6 Summary for the Closed-form formula

방금 전에 우리는 up and out call option의 formula를 구했다. 그렇다면 up and in call은 어떻게

구해야 할까? 물론 위의 전개 과정을 up and in call 에 맞게 새로 설정해 주어도 된다. 하지만, 가장 쉬

운 방법은 다음의 사실을 사용하는 것이다.

vanilla option = knock-out + knock-in

결국 black-scholes formula에서 knock-out call formula를 빼면 바로 knock-in call의 공식을

얻을 수 있다.

Barrier option 8종류에 대한 모든 공식을 도출 할 수는 없으므로, 아래에 결과만 정리해 두었다. 공식

을 유도하는 기본적인 아이디어는 모두 동일하다.

log

log

log

log

log

log

log

log

up and out call


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up and in call

down and out call

down and in call

down and out put

down and in put

up and out put

up and in put


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3. Static Hedge for Barrier Option

고도 BSM Formula를 도출해낼 수 있다.

5. Conclusion

지금까지 확률측도의 변환을 통한 금융파생상품의 가격결정 과정을 살펴보았다. 다시한번 요약하자면

다음과 같다. FTAP I에 의하여 No arbitrage Condition을 만족하는 세상에는 위험중립확률측도(마

팅게일 확률측도)가 존재한다. 위험중립확률측도는 자산의 payoff가 마팅게일이 되게 하는 확률측도를

말한다. FTAP II의 가정까지 추가해보자, 가능한 state 만큼의 자산들이 존재하여, 시장이

Complete하다면, 즉 어떠한 파생상품에 관하여도 hedge Portfolio를 구성할 수 있다면, 마팅게일

확률측도는 유일하게 존재하고 따라서 자산의 가격역시 유일하게 된다.

이런 Martingale Pricing의 대표적인 예시로 BSM Formula를 도출해 보았다. Radon Nikodym

Derivative를 사용하면 분산은 그대로 두고 평균만을 변화시킴으로써, Equivalent Martingale

Measure로의 변환이 가능하고, 또 Girsanov's thm에 의해 Brownian Motion은 이 마팅게일 확률

측도 하에서도 여전히 Brownian Motion이라는 것을 알 수 있었다. 따라서 이 확률측도 하에서

Discounted Geometric Brownian Motion은 마팅게일 하게 되고, 주가에 의존하는 Discounted

hedge portfolio 역시 마팅게일 하게 된다. 결과적으로 Risk Neutral Pricing Formula를 적용할

수 있게 되고 주가가 Markov process를 따른다는 특징을 하나 더 추가하여 편미분방정식을 직접적으

로 풀지 않고도 BSM Model을 도출해 낼 수 있었다.

수식적으로 굉장히 복잡하다거나, 지나치게 어려운 내용이라고는 할 수 없지만, 확률측도의 변환이라는

의미가 다소 생소할 수 있는 것이 사실이다. 이 부분의 완벽한 이해를 위해서는 확률론과, 실해석학, 그

리고 나아가 측도론을 아우르는 수학적 지식이 필요함을 절감하며 논의를 마치고자 한다. Radon

Nikodym Derivative나 Girsanov's thm등의 세부적인 내용들보다도, 전체적인 가격결정이 어떤

과정을 따라 이루어지는지 큰 그림을 파악할 수 있었던 발표가 되었기를 바란다.

<Reference>

·Steven E. shreve 「Stochastic Calculus for Finance I - The Binomial Asset

Pricing Model」

- 이항모형을 다룰 때 예제와 수식적인 부분을 참고

·Steven E. shreve 「Stochastic Calculus for Finance II - Continuous Time Model」

- Radon Nikodym, Girsanov, 그리고 BSM Formula 도출에서 수식적인 부분을 참고

·George Pennacchi「Theory of Asset Pricing」

- Radon Nikodym, Girsanov, 그리고 BSM Formula 도출에서 수식적인 부분을 참고

·8기 김현오「Martingale and Risk Neutral Pricing」

- 이항모형과 FTAP I, II 부분을 많이 참고

·6기 김대현 「마팅게일 Pricing」


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- 연속형 모델 부분을 참고

·최병선「금융파생상품의 수리적 배경」

- 수식적인 부분을 참고

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