63058403-ToanCaoCapA2

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2

http://slidepdf.com/reader/full/63058403-toancaocapa2 1/153

HỌC VIỆ N CÔNG NGHỆ BƯ U CHÍNH VIỄ N THÔNG- - - - - - - - - - - - - -

BÀI GIẢ NG

TOÁN CAO CẤP (A2)

Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG

Ths. ĐỖ PHI NGA

Lưu hành nội bộ

HÀ NỘI - 2006

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


LỜI NÓI ĐẦU

Toán cao cấ p A1, A2, A3 là chươ ng trình toán đại cươ ng dành cho sinh viên các nhóm ngànhtoán và nhóm ngành thuộc khối k ỹ thuật. Nội dung của toán cao cấ p A1, A3 chủ yếu là phép tínhvi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn toán cao cấ p A2 là các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính. Có khá nhiều sách giáo khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiênvớ i phươ ng thức đào tạo từ xa có những đặc thù riêng, đòi hỏi học viên làm việc độc lậ p nhiềuhơ n, do đó cần phải có tài liệu hướ ng dẫn học tậ p thích hợ p cho từng môn học. Tậ p tài liệu hướ ngdẫn học môn toán cao cấ p A2 này đượ c biên soạn cũng nhằm mục đích trên.

Tậ p tài liệu này đượ c biên soạn theo chươ ng trình qui định năm 2001 của Học viện Côngnghệ Bưu Chính Viễn Thông. Nội dung của cuốn sách bám sát các giáo trình của các tr ườ ng đại

học k ỹ thuật, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông biên soạn năm 2001 và theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, giáo trìnhnày cũng có thể dùng làm tài liệu học tậ p, tài liệu tham khảo cho sinh viên của các tr ườ ng, cácngành đại học và cao đẳng.

Giáo trình đượ c trình bày theo cách thích hợ p đối vớ i ngườ i tự học, đặc biệt phục vụ đắc lựccho công tác đào tạo từ xa. Tr ướ c khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, ngườ i đọc nên xem phầngiớ i thiệu của mỗi chươ ng cũng như mục đích của chươ ng (trong sách H ướ ng d ẫ n học t ậ p Toán

A2 đ i kèm) để thấy đượ c mục đích ý ngh ĩ a, yêu cầu chính của chươ ng đó. Trong mỗi chươ ng, mỗinội dung, ngườ i đọc có thể tự đọc và hiểu đượ c cặn k ẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ

ràng. Đặc biệt bạn đọc nên chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơ n hoặc mở r ộng tổngquát hơ n các k ết quả. Hầu hết các bài toán đượ c xây dựng theo lượ c đồ: Đặt bài toán, chứng minhsự tồn tại lờ i giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thuật toán giải quyết bài toán này. Các ví dụ làđể minh hoạ tr ực tiế p khái niệm, định lý hoặc các thuật toán, vì vậy sẽ giúp ngườ i đọc dễ dànghơ n khi tiế p thu bài học.

Giáo trình gồm 7 chươ ng tươ ng ứng vớ i 4 đơ n vị học trình (60 tiết):

Chươ ng I: Lô gích toán học, lý thuyết tậ p hợ p, ánh xạ và các cấu trúc đại số.

Chươ ng II: Không gian véc tơ .

Chươ ng III: Ma tr ận.Chươ ng IV: Định thức.

Chươ ng V: Hệ phươ ng trình tuyến tính

Chươ ng VI: Ánh xạ tuyến tính.

Chươ ng VII: Không gian véc tơ Euclide và dạng toàn phươ ng.

Ngoài vai trò là công cụ cho các ngành khoa học khác, toán học còn đượ c xem là mộtngành khoa học có phươ ng pháp tư duy lậ p luận chính xác chặt chẽ. Vì vậy việc học toán cũnggiúp ta rèn luyện phươ ng pháp tư duy. Các phươ ng pháp này đã đượ c giảng dạy và cung cấ p

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


từng bướ c trong quá trình học tậ p ở phổ thông, nhưng trong chươ ng I các vấn đề này đượ c hệ thống hoá lại. Nội dung của chươ ng I đượ c xem là cơ sở , ngôn ngữ của toán học hiện đại. Mộtvài nội dung trong chươ ng này đã đượ c học ở phổ thông nhưng chỉ vớ i mức độ đơ n giản. Các

cấu trúc đại số thì hoàn toàn mớ i và khá tr ừu tượ ng vì vậy đòi hỏi học viên phải đọc lại nhiềulần mớ i tiế p thu đượ c.

Các chươ ng còn lại của giáo trình là đại số tuyến tính. Kiến thức của các chươ ng liên hệ chặt chẽ vớ i nhau, k ết quả của chươ ng này là công cụ của chươ ng khác. Vì vậy học viên cần thấyđượ c mối liên hệ này. Đặc điểm của môn học này là tính khái quát hoá và tr ừu tượ ng cao. Cáckhái niệm thườ ng đượ c khái quát hoá từ những k ết quả của hình học giải tích ở phổ thông. Khihọc ta nên liên hệ đến các k ết quả đó.

Tuy r ằng tác giả đã r ất cố gắng, song vì thờ i gian bị hạn hẹ p cùng vớ i yêu cầu cấ p bách củaHọc viện, vì vậy các thiếu sót còn tồn tại trong giáo trình là điều khó tránh khỏi. Tác giả r ất mong

sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng nghiệ p, học viên xa gần và xin cám ơ n vì điều đó.

Cuối cùng chúng tôi bày tỏ sự cám ơ n đối vớ i Ban Giám đốc Học viện Công nghệ BưuChính Viễn Thông, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông 1 và bạn bè đồng nghiệ p đãkhuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợ i để chúng tôi hoàn thành tậ p tài liệi này.

Hà N ội, cuố i nă m 2004.

Ts. Lê Bá Long

Khoa cơ bản 1

Học Viện Công nghệ Bư u chính Viễn thông

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 1: M ở đầu về lôgíc mệnh đề , t ậ p hợ p ánh xạ và các cấ u trúc đại số

1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.1 SƠ LƯỢ C VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ

1.1.1 Mệnh đề

Lôgíc mệnh đề là một hệ thống lôgích đơ n giản nhất, vớ i đơ n vị cơ bản là các mệnh đề

mang nội dung của các phán đoán, mỗi phán đoán đượ c giả thiết là có một giá tr ị chân lý nhấtđịnh là đúng hoặc sai.

Để chỉ các mệnh đề chưa xác định ta dùng các chữ cái ...,, r q p và gọi chúng là các biến

mệnh đề. Nếu mệnh đề đúng ta cho p nhận giá tr ị 1 và sai ta cho nhận giá tr ị 0. Giá tr ị 1

hoặc 0 đượ c gọi là thể hiện của .

Mệnh đề phức hợ p đượ c xây dựng từ các mệnh đề đơ n gián hơ n bằng các phép liên k ếtlôgích mệnh đề.

1.1.2 Các phép liên k ết lôgíc mệnh đề

1. Phép phủ định (negation): Phủ định của mệnh đề là mệnh đề đượ c ký hiệu , đọc là

không . Mệnh đề đúng khi p sai và sai khi đúng.

2. Phép hội (conjunction): Hội của hai mệnh đề q p, là mệnh đề đượ c ký hiệu q (đọc

là và ). Mệnh đề q q chỉ đúng khi và q cùng đúng.

3. Phép tuyển (disjunction): Tuyển của hai mệnh đề q p, là mệnh đề đượ c ký hiệu q

(đọc là p hoặc ).q q chỉ sai khi p và cùng sai.q

4. Phép kéo theo (implication): Mệnh đề kéo theo , ký hiệu , là mệnh đề chỉ sai khi

p q q p ⇒ p đúng sai.q

5. Phép tươ ng đươ ng (equivalence): Mệnh đề )()( qq p ⇒∧⇒ đượ c gọi là mệnh đề

tươ ng đươ ng , ký hiệu .q q p ⇔

Một công thức gồm các biến mệnh đề và các phép liên k ết mệnh đề đượ c gọi là một côngthức mệnh đề. Bảng liệt kê các thể hiện của công thức mệnh đề đượ c gọi là bảng chân tr ị.

Từ định ngh ĩ a của các phép liên k ết mệnh đề ta có các bảng chân tr ị sau

5

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



1001

p p

0000

10101001

1111

q pq pq p ∨

100

110

001

111

q pq p ⇒

11100

00110

01001

11111

q p pqq pq p ⇔

Như vậy là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề q p ⇔ và q cùng đúng hoặc cùng

sai và mệnh đề sai trong tr ườ ng hợ p ngượ c lại.q p ⇔

Một công thức mệnh đề đượ c gọi là hằng đúng nếu nó luôn nhận giá tr ị 1 trong mọi thể hiệncủa các biến mệnh đề có trong công thức. Ta ký hiệu mệnh đề tươ ng đươ ng hằng đúng là " ≡ "thay cho " ".⇔

1.1.3 Các tính chất

Dùng bảng chân tr ị ta dễ dàng kiểm chứng các mệnh đề hằng đúng sau:

1) p p ≡ luật phủ định kép.

2) )()( q pq p ∨≡⇒ .

3) qqqq ∨≡∨∧≡∧ , luật giao hoán.

4) r q pr q ∧∧≡∧∧ )()(

r qr q p ∨∨≡∨∨ )()( luật k ết hợ p.

5) [ ] [ )()()( r pq pr q p ]∧∨∧≡∨∧

[ ] [ )()()( r pq pr q p ∨ ]∧∨≡∧∨ luật phân phối.

6) Mệnh đề ∨ luôn đúng luật bài chung.

∧ luôn sai luật mâu thuẫn.

7) q pq p ∧≡∨

q pq p ∨≡∧ luật De Morgan.

6

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



8) pqq ⇒≡⇒ luật phản chứng.

9) p p ≡∧≡∨ ; luật lũy đẳng.

10) pq pq ≡∨∧≡∧∨ )(;)( luật hấ p thu.

1.2 TẬP HỢ P

1.2.1 Khái niệm tập hợ p

Khái niệm tậ p hợ p và phần tử là khái niệm cơ bản của toán học, không thể định ngh ĩ a quacác khái niệm đã biết. Các khái niệm "tậ p hợ p", "phần tử" xét trong mối quan hệ phân tử của tậ phợ p trong lý thuyết tậ p hợ p là giống vớ i khái niệm "đườ ng thẳng", "điểm" và quan hệ điểm trênđườ ng thẳng đượ c xét trong hình học. Nói một cách nôm na, ta có thể xem tậ p hợ p như một sự tụ tậ p các vật, các đối tượ ng nào đó mà mỗi vật hay đối tượ ng là một phần tử của tậ p hợ p. Có thể lấy

ví dụ về các tậ p hợ p có nội dung toán học hoặc không toán học. Chẳng hạn: tậ p hợ p các số tự nhiên là tậ p hợ p mà các phần tử của nó là các số 1,2,3..., còn tậ p hợ p các cuốn sách trong thư việncủa Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông là tậ p hợ p mà các phần tử của nó là các cuốnsách.

Ta thườ ng ký hiệu các tậ p hợ p bở i các chữ in hoa ,..., B ,...,Y X còn các phần tử bở i các

chữ thườ ng ,..., y Nếu phần tử thuộc ta ký hiệu ∈ , nếu x không thuộc ta ký hiệu

x ∉ . Ta cũng nói tắt "tậ p" thay cho thuật ngữ "tậ p hợ p".

1.2.2 Cách mô tả tập hợ p

Ta thườ ng mô tả tậ p hợ p theo hai cách sau:a) Liệt kê các phần tử của tậ p hợ p

Ví dụ 1.1: Tậ p các số tự nhiên lẻ nhỏ hơ n 10 là { }9,7,5,3,1 .

Tậ p hợ p các nghiệm của phươ ng trình 012 =− x là { }1,1− .

b) Nêu đặc tr ưng tính chất của các phần tử tạo thành tậ p hợ p

Ví dụ 1.2: Tậ p hợ p các số tự nhiên chẵn { ∈n P ∈= mmn ,2 }

Hàm mệnh đề trên tậ p hợ p D là một mệnh đề )( xS phụ thuộc vào biến D x ∈ . Khi cho biến một giá tr ị cụ thể thì ta đượ c mệnh đề lôgích (mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá tr ị hoặcđúng hoặc sai).

Nếu )(S là một mệnh đề trên tậ p hợ p D thì tậ p hợ p các phần tử D x ∈ sao cho )(S

đúng đượ c ký hiệu { })( xS D x ∈ và đượ c gọi là miền đúng của hàm mệnh đề )( xS .

i) Xét hàm mệnh đề )( xS xác định trên tậ p các số tự nhiên : " 12 + là một số nguyên

tố" thì )2(),1( S S đúng và )4(),3( S S sai ...

7

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



ii) Mỗi một phươ ng trình là một hàm mệnh đề

{ }1,1012 −==−∈ x x .

Để có hình ảnh tr ực quan về tậ p hợ p, ngườ i ta thườ ng biểu diễn tậ p hợ p như là miền phẳnggiớ i hạn bở i đườ ng cong khép kín không tự cắt đượ c gọi là giản đồ Ven.

c) Một số tậ p hợ p số thườ ng gặ p

- Tậ p các số tự nhiên { }...,2,1,0= .

- Tậ p các số nguyên { }...,2,1,0 ±±= .

- Tậ p các số hữu tỉ { } ∈≠= q pqq p ,,0 .

- Tậ p các số thực .

- Tậ p các số phức 1;, 2 −=∈+== i y xiy x z .

1.2.3 Tập con

Định ngh ĩ a 1.1: Tậ p đượ c gọi là tậ p con của nếu mọi phần tử của đều là phần tử

của B , khi đó ta ký hiệu B⊂ hay ⊃ .

Khi là tậ p con của B thì ta còn nói bao hàm trong B hay bao hàm hay B

chứa A.Ta có: . ⊂⊂⊂⊂

Định ngh ĩ a 1.2: Hai tậ p , bằng nhau, ký hiệu ,= khi và chỉ khi ⊂ và

⊂ .

Như vậy để chứng minh ⊂ ta chỉ cần chứng minh x x ∈ và vì vậy khi

chứng minh B ta chỉ cần chứng minh B x x ∈ .

Định ngh ĩ a 1.3: Tậ p r ỗng là tậ p không chứa phần tử nào, ký hiệu .φ

Một cách hình thức ta có thể xem tậ p r ỗng là tậ p con của mọi tậ p hợ p.

Tậ p hợ p tất cả các tậ p con của X đượ c ký hiệu )( X P . Vậy )( X A P ∈ khi và chỉ khi

X . Tậ p X là tậ p con của chính nó nên là phần tử lớ n nhất còn φ là phần tử bé nhất trong

)( X P .

Ví dụ 1.3: { }cba X ,,=

có { } { } { } { } { } { }{ } X accbbacba X ,,,,,,,,,,)( φ = P .

8

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ta thấy X có 3 phần tử thì )( X P có 823 = phần tử. Ta có thể chứng minh tổng quát

r ằng nếu X có n phần tử thì )( X P có phần tử.n2

1.2.4 Các phép toán trên các tập hợ p

1. Phép hợ p: Hợ p của hai tậ p và B , ký hiệu B , là tậ p gồm các phần tử thuộc ít

nhất một trong hai tậ p , .

Vậy ( ) ( ) ( )( ) B x A x B A x ∈∨∈⇔∪∈ .

2. Phép giao: Giao của hai tậ p và B , ký hiệu ∩ , là tậ p gồm các phần tử thuộc

đồng thờ i cả hai tậ p , .

Vậy ( ) ( ) ( )( ) B x A x B A x∈∧∈⇔∩∈

.3. Hiệu của hai tậ p: Hiệu của hai tậ p và B , ký hiệu \ hay B , là tậ p gồm các

phần tử thuộc nhưng không thuộc .

Vậy ( ) ( ) ( )( ) B x A x B A x ∉∧∈⇔∈ \ .

Đặc biệt nếu X thì tậ p B X \ đượ c gọi là phần bù của B trong X và

đượ c ký hiệu là B X C . Nếu tậ p X cố định và không sợ nhầm lẫn thì ta ký hiệu B thay cho

B

X C .

Ta có thể minh hoạ các phép toán trên bằng giản đồ Ven:

∩ ∪ B X C

Áp dụng lôgích mệnh đề ta dễ dàng kiểm chứng lại các tính chất sau:

1. B ∪=∪ ,

B ∩=∩ tính giao hoán.

2. C BC B ∪∪=∪∪ )()( ,

C BC B ∩∩=∩∩ )()( tính k ết hợ p.

3. )()()( C C ∪∩∪=∩∪ ,

9

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



)()()( C C ∩∪∩=∪∩ tính phân bố.

Giả sử , là hai tậ p con của X thì:

4. A X A A A A A =∩=∪= ;; φ

5. φ =∩=∪ A A X A A ;

6. B∩=∪ ; B∪=∩ luật De Morgan

7. ( ) B A AC B A A B A A B A B A ∩=∩=∩∩=∩= )(\\ .

1.2.5 Lượ ng từ phổ biến và lượ ng từ tồn tại

Giả sử )(S là một hàm mệnh đề xác định trên tậ p D có miền đúng

{ })()( xS D x D xS ∈= . Khi đó:

a) Mệnh đề )(, S D x ∈∀ (đọc là vớ i mọi )(, xS D∈ ) là một mệnh đề đúng nếu

và sai trong tr ườ ng hợ p ngượ c lại. D D xS =)(

Ký hiệu ∀ (đọc là vớ i mọi) đượ c gọi là lượ ng từ phổ biến.

Khi D đã xác định thì ta thườ ng viết tắt )(, xS x∀ hay ( ) )(, xS x∀ .

b) Mệnh đề )(, S D x∈∃ (đọc là tồn tại )(, S D x ∈ ) là một mệnh đề đúng nếu

φ )( xS D và sai trong tr ườ ng hợ p ngượ c lại.

Ký hiệu (đọc là tồn tại) đượ c gọi là lượ ng từ tồn tại.∃

Để chứng minh một mệnh đề vớ i lượ ng từ phổ biến là đúng thì ta phải chứng minh đúngtrong mọi tr ườ ng hợ p, còn vớ i mệnh đề tồn tại ta chỉ cần chỉ ra một tr ườ ng hợ p đúng.

c) Ngườ i ta mở r ộng khái niệm lượ ng tử tồn tại vớ i ký hiệu )(,! xS D x ∈∃ (đọc là tồn tại

duy nhất )(, xS D x∈ ) nếu có đúng một phần tử.)( xS D

d) Phép phủ định lượ ng từ

))(,)(, xS D x xS D x ∈∃⇔∈∀

( ))(,)(, xS D x xS D x ∈∀⇔∈∃ (1.1)

Ví dụ 1.4: Theo định ngh ĩ a của giớ i hạn

ε δ δ ε <−⇒<−<∀>∃>∀⇔=→

L x f a x x L x f a x

)(0:;0,0)(lim .

10

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Sử dụng tính chất hằng đúng )()( q pq p ∨≡⇒ (xem tính chất 1.3) ta có

ε δ <−⇒<−< L x f a x )(0 tươ ng đươ ng vớ i

( )( ) ( )ε δ <−∨=∨≥− L x f a xa x )()( .

Vậy phủ định của là L x f a x

=→

)(lim

( ) ( )ε δ δ ε ≥−∧<−<∃>∀>∃ L x f a x x )(0:;0,0 .

1.2.6 Phép hợ p và giao suy rộng

Giả sử ( ) là một họ các tậ p hợ p. Ta định ngh ĩ a là tậ p gồm các phần tử thuộc

ít nhất một tậ p nàođó và là tậ p gồm các phần tử thuộc mọi tậ p .

I ii A ∈ U I i

i A

∈

i A I I i

i A

∈i A

Vậy0

;0 i I i i A x I i A x ∈∈∃⇔∈∈U

( )i I i i A x I i A x ∈∈∀⇔∈∈

;I . (1.2)

Ví dụ 1.5: { })1(0 +≤≤∈= nn x x An

{ })1(11)1(1 ++<≤+−∈= n xn x Bn

[ )1;01

=∞

=Un

n A , [ ]1;01

=∞

=In

n B .

1.2.7 Quan hệ

1.2.7.1 Tích Đề các của các t ậ p hợ p

Định ngh ĩ a 1.4: Tích Đề các của hai tậ p Y X , là tậ p, ký hiệu Y X × , gồm các phần tử có

dạng ),( y x trong đó X ∈ và Y y ∈ .

Vậy { }Y y X x y xY X ∈∈=× vµ),( . (1.3)

Ví dụ 1.6: { }cba X ,,= , { }2,1=Y

{ })2,(),2,(),2,(),1,(),1,(),1,( cbacbaY X =×

Ta dễ dàng chứng minh đượ c r ằng nếu X có phần tử, Y có phần tử thìn m Y X × có phần tử.mn ×

11

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Cho là n tậ p hợ p nào đó, ta định ngh ĩ a và ký hiệu tích Đề các của n tậ p

hợ p này như sau:n X X X ...,,, 21

{ }ni X x x x x X X X iinn ,...,2,1,),...,,(... 2121 =∈=××× . (1.4)

Chú ý 1.1:

1. Khi X X X n === ...1 thì ta ký hiệu thay chon X 43421

lÇnn

X X ×× ... .

2. Tích Đề các còn đượ c ký hiệun X X X ××× ...21 ∏ ∈ I i i X .

3. Giả sử nn

X X x x ××∈ ...),...,(11

;nn

X X x x ××∈ ...)',...,'(11

thì

ni x x x x x x iinn ,...,1,')',...,'(),...,( 11 =∀=⇔=

4. Tích Đề các của các tậ p hợ p không có tính giao hoán.

1.2.7.2 Quan hệ hai ngôi

Định ngh ĩ a 1.5: Cho tậ p φ ≠ X , mỗi tậ p con X X ×⊂ R đượ c gọi là một quan hệ hai

ngôi trên X . Vớ i X y x ∈, mà R ∈),( y x ta nói x có quan hệ vớ i theo quan hệ y R và ta

viết y x R .

Ví dụ 1.7: Ta xét các quan hệ sau trên tậ p các số:

y x y x M⇔11 : R R x( chia hết cho ,) y ∈∀ y,

1),(: 22 =⇔ y x y x R R x( và nguyên tố cùng nhau) y ∈∀ y x,

y x y x ≤⇔33 : R R ( nhỏ hơ n hay bằng ) y ∈∀ y x,

m y x y x M−⇔44 : R R , ∈∀ y x, . Ta ký hiệu )(modm y≡ và đọc là

x đồng dư vớ i môđulô m. yĐịnh ngh ĩ a 1.6: Quan hệ hai ngôi R trên X đượ c gọi là có tính:

a) Phản xạ, nếu X x ∈∀, R ;

b) Đối xứng, nếu X y x ∈∀ , mà y x R thì cũng có x y R ;

c) Bắc cầu, nếu X z y ∈∀ ,, mà y R và z y R thì cũng có z x R ;

d) Phản đối xứng, nếu X y x ∈∀ , mà y x R và x y R thì y x = .

12

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 1.8: 1 R phản đối xứng, bắc cầu nhưng không đối xứng, không phản xạ (vì 0 không

chia hết cho 0). 2 R đối xứng, không phản xạ, không phản xứng, không bắc cầu. 3 R phản xạ,

phản đối xứng, bắc cầu. 4 R phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

1.2.7.3 Quan hệ t ươ ng đươ ng

Định ngh ĩ a 1.8: Quan hệ hai ngôi R trên φ ≠ X đượ c gọi là quan hệ tươ ng đươ ng nếu có

ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

Vớ i quan hệ tươ ng đươ ng R ta thườ ng viết )(~ R y x hoặc y x ~ thay cho y x R .

Ta định ngh ĩ a và ký hiệu lớ p tươ ng đươ ng của phần tử X x ∈ là tậ p hợ p

{ x y X y x ~∈= }. Mỗi phần tử bất k ỳ của lớ p tươ ng đươ ng x đượ c gọi là phần tử đại diện

của . Ngườ i ta cũng ký hiệu lớ p tươ ng đươ ng của x là )( xcl .

Hai lớ p tươ ng đươ ng bất k ỳ thì hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau, ngh ĩ a là ' x∩

hoặc bằng ' x x = hoặc bằng φ , nói cách khác các lớ p tươ ng đươ ng tạo thành một phân hoạch

các tậ p con của . X

Tậ p tất cả các lớ p tươ ng đươ ng đượ c gọi là tậ p hợ p thươ ng, ký hiệu ~ X . Vậy

{ } X x x X ∈=~ .

Ví dụ 1.9: Quan hệ 4 R trong ví dụ 1.7 là một quan hệ tươ ng đươ ng gọi là quan hệ đồng

dư môđulô m trên tậ p các số nguyên . Nếu y x ~ , ta viết

)(modm y≡ .

Ta ký hiệu tậ p thươ ng gồm m số đồng dư môđulô m:

1...,,1,0 −= mm .

Ví dụ 1.10: Trong tậ p hợ p các véc tơ tự do trong không gian thì quan hệ "véc tơ ur

bằng

véc tơ v

r

" là một quan hệ tươ ng đươ ng. Nếu ta chọn gốc O cố định thì mỗi lớ p tươ ng đươ ng bấtk ỳ đều có thể chọn véc tơ đại diện dạng OA .

1.2.7.4 Quan hệ thứ t ự

Định ngh ĩ a 1.8: Quan hệ hai ngôi R trên φ ≠ X đượ c gọi là quan hệ thứ tự nếu có ba

tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.

Ví dụ 1.11:

1) Trong , , , quan hệ "" y≤ là một quan hệ thứ tự.

13

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



14

2) Trong quan hệ là một quan hệ thứ tự."" y xM

3) Trong )( X P , tậ p hợ p tất cả các tậ p con của X , quan hệ "tậ p con" ( ⊂ ) là một

quan hệ thứ tự.

Khái niệm quan hệ thứ tự đượ c khái quát hoá từ khái niệm lớ n hơ n (hay đứng sau) trong

các tậ p số, vì vậy theo thói quen ngườ i ta cũng dùng ký hiệu ""≤ cho quan hệ thứ tự bất k ỳ.

Quan hệ thứ tự trên tậ p""≤ X đượ c gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu hai phần tử bất

k ỳ của X đều so sánh đượ c vớ i nhau. Ngh ĩ a là vớ i mọi X y x ∈, thì y x ≤ hoặc y ≤ . Quan

hệ thứ tự không toàn phần đượ c gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.

Tậ p X vớ i quan hệ thứ tự ""≤ đượ c gọi là tậ p đượ c sắ p. Nếu là quan hệ thứ tự

toàn phần thì

""≤

X đượ c gọi là tậ p đượ c sắ p toàn phần hay sắ p tuyến tính.

Ví dụ 1.12: Các tậ p ,( ),≤ ),,( ≤ ),,( ≤ ),( ≤ đượ c sắ p toàn phần, còn , và( )M)⊂),( X P đượ c sắ p bộ phận (nếu X có nhiều hơ n 1 phần tử).

Định ngh ĩ a 1.9: Cho tậ p đượ c sắ p ),( ≤ X và tậ p con X ⊂ . Tậ p đượ c gọi là bị chặn

trên nếu tồn tại sao cho , vớ i mọi X q ∈ qa ≤ a ∈ . Khi đó đượ c gọi là một chặn trên củaq .

Hiển nhiên r ằng nếu là một chặn trên củaq thì mọi X ∈ mà q ≤ đều là chặn

trên của .Phần tử chặn trên nhỏ nhất củaq ( theo ngh ĩ a 'qq ≤ , vớ i mọi chặn trên của'q )

đượ c gọi là cận trên của và đượ c ký hiệu q sup= . Rõ ràng phần tử cận trên nếu tồn tại là

duy nhất.

Tươ ng tự tậ p đượ c gọi là bị chặn dướ i nếu tồn tại X ∈ sao cho a≤ , vớ i mọi

a ∈ . Phần tử chặn dướ i lớ n nhất đượ c gọi là cận dướ i của và đượ c ký hiệu inf . Cậndướ i nếu tồn tại cũng duy nhất.

Nói chung sup , inf chưa chắc là phần tử của . Nếu q ∈= sup thì q

đượ c gọi là phần tử lớ n nhất của ký hiệu q max= .

Tươ ng tự nếu ∈= inf thì đượ c gọi là phần tử bé nhất của ký hiệu

min= .

Ví dụ 1.13: Trong , tậ p),( ≤ [ ) { }101;0 <≤∈== x x A có

∉= sup1 , ∈= 0inf

do đó không tồn tại max nhưng tồn tại 0inf min == .

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



1.3 ÁNH XẠ

1.3.1 Định ngh ĩ a và ví dụ

Khái niệm ánh xạ đượ c khái quát hoá từ khái niệm hàm số trong đó hàm số thườ ng đượ ccho dướ i dạng công thức tính giá tr ị của hàm số phụ thuộc vào biến số. Chẳng hạn, hàm số

y 2= vớ i ∈ x là quy luật cho ứng

,21,00 aa ...,63,42 aa

Ta có thể định ngh ĩ a ánh xạ một cách tr ực quan như sau:

Định ngh ĩ a 1.10: Một ánh xạ từ tậ p X vào tậ p Y là một quy luật cho tươ ng ứng mỗi một

phần tử X x ∈ vớ i một phần tử duy nhất )( x f y = của Y .

Ta ký hiệu hayY X f ⎯→ ⎯ : Y X f ⎯→

)( f y x =a )( x f y x =a

X đượ c gọi là tậ p nguồn, Y đượ c gọi là tậ p đích.

Ví dụ 1.14:

Y Y Y X X X

Trong 3 tươ ng ứng trên chỉ có tươ ng ứng thứ 3 xác định một ánh xạ từ X vào Y .

Ví dụ 1.15: Mỗi hàm số )( f y = bất k ỳ có thể đượ c xem là ánh xạ từ tậ p D là miền

xác định của )( x y = vào . Chẳng hạn:

Hàm lôgarit x y ln= là ánh xạ →+*:ln

y x ln=a

Hàm căn bậc hai x y = là ánh xạ →+:

x y x =a .

Định ngh ĩ a 1.11: Cho ánh xạ Y X →: và X ⊂ , Y B ⊂ .

{ } A x x f A f ∈= )()( (1.5)

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

15

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



đượ c gọi là ảnh của qua ánh xạ .

Nói riêng X Im)( = đượ c gọi là tậ p ảnh hay tậ p giá tr ị của f .

{ B x f X x B f ∈∈=− )()(1 } (1.6)

đượ c gọi là nghịch ảnh của tậ p con B của Y .

Khi B là tậ p hợ p chỉ có một phần tử { } y thì ta viết )(1 y f − thay cho . Vậy{ }( y f

1− )

{ )()(1 x f y X x y f =∈=− }. (1.7)

1.3.2 Phân loại các ánh xạ

Định ngh ĩ a 1.12:

1) Ánh xạ Y X f →: đượ c gọi là đơ n ánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt là hai phần

tử phân biệt.

Ngh ĩ a là: Vớ i mọi )()(;, 212121 x f x f x x X x x ≠⇒≠∈ hay một cách tươ ng đươ ng,

vớ i mọi .;, 21 X x x ∈

2121 )()( x x x f x f =⇒= (1.8)

2) Ánh xạ Y X →: đượ c gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử của Y là ảnh của phần tử nào

đó của X . Ngh ĩ a là Y X =)( hay

X xY y ∈∃∈∀ , sao cho )( x y = . (1.9)

3) Ánh xạ Y X →: vừa đơ n ánh vừa toàn ánh đượ c gọi là song ánh.

Chú ý 1.2: Khi ánh xạ Y X →: đượ c cho dướ i dạng công thức xác định ảnh )( x y =

thì ta có thể xác định tính chất đơ n ánh, toàn ánh của ánh xạ f bằng cách giải phươ ng trình:

Y y f y ∈= ),( (1.10)

trong đó ta xem x là ẩn và là tham biến. y

♦ Nếu vớ i mọi Y y ∈ phươ ng trình (1.10) luôn có nghiệm X ∈ thì ánh xạ f là toàn

ánh.

♦ Nếu vớ i mỗi Y y ∈ phươ ng trình (1.10) có không quá 1 nghiệm X x ∈ thì ánh xạ f

là đơ n ánh.

♦ Nếu vớ i mọi Y y ∈ phươ ng trình (1.10) luôn có duy nhất nghiệm X ∈ thì ánh xạ

f là song ánh.

16

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 1.16: Cho ánh xạ

Xét phươ ng trình hay . x x x x x f y +=+== 2)1()( 02 =−+ y x x

Biệt số 041 >+=Δ y (vì ∈ y ). Phươ ng trình luôn có 2 nghiệm thực

( ) ( ) 2411,2411 21 y x y x +−−=++−= . Vì 02 < x nên phươ ng trình có không

quá 1 nghiệm trong . Vậy là đơ n ánh. Mặt khác tồn tại ∈ y mà nghiệm (chẳng hạn

), ngh ĩ a là phươ ng trình trên vô nghiệm trong . Vậy

∉1 x

1= y không toàn ánh.

Ví dụ 1.17: Các hàm số đơ n điệu chặt:

• Đồng biến chặt: )()( 2121 x f x f x x <⇒<

• Nghịch biến chặt: )()( 2121 x f x f x x >⇒<

là các song ánh từ tậ p xác định lên miền giá tr ị của nó.

Ví dụ 1.18: Giả sử là tậ p con của X thì ánh xạ

là một đơ n ánh gọi là nhúng chính tắc.

Đặc biệt khi X = ánh xạ i đượ c ký hiệu gọi là ánh xạ đồng nhất của X Id X .

Ví dụ 1.19: Giả sử ~ là một quan hệ tươ ng đươ ng thì ánh xạ sau là một toàn ánh

1.3.3 Ánh xạ ngượ c của một song ánh

Định ngh ĩ a 1.13: Giả sử Y X →: là một song ánh khi đó vớ i mỗi Y y ∈ tồn tại duy

nhất X

∈ sao cho)( x y

= . Như vậy ta có thể xác định một ánh xạ từ Y

vào X

bằng cách

cho ứng mỗi phần tử Y y ∈ vớ i phần tử duy nhất X x ∈ sao cho )( x f y = . Ánh xạ này đượ c

gọi là ánh xạ ngượ c của và đượ c ký hiệu 1− f .

Vậy và X Y f →− :1 )()(1 x f y x y f =⇔=− .

(1.11)

cũng là một song ánh.1− f

: →)1()( +== x x x f y x a

x xi x X i

=→

)(:

a

x x p x X X p →:

=)(~

a

17

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 1.20: Hàm mũ 1,0, ≠>= aaa y x

là một song ánh (vì hàm mũ đơ n điệu chặt) có hàm ngượ c là hàm lôgarit

. y xa y a x log=⇔=

Ví dụ 1.21 Các hàm lượ ng giác ngượ c

Xét hàm

đơ n điệu tăng chặt và toàn ánh nên nó là một song ánh. Hàm ngượ c đượ c ký hiệu

[ ] [ ]2;2,1;1,sinarcsin π π −∈−∈∀=⇔= y x x y y x .

Tươ ng tự hàm [ ] [ 1;1;0:cos −→

[ ] [ ] x x

2:sinsin

1;12;a

→− π π −

[ ] [ ] y y arcsin

2;21;1:arcsina

π π −→−

]π đơ n điệu giảm chặt có hàm ngượ c

[ ] [ ]π ;01;1:arccos →− ;

x y y x cosarccos =⇔= .

Hàm ngượ c arctg đượ c xác định như sauarcotg,

( ) ( )2;2,;,tgarctg π π −∈∞∞−∈∀=⇔= y x x y y x .

( ) ( )π ;0,;,gcotgcotarc ∈∞∞−∈∀=⇔= y x x y y x .

1.3.4 Hợ p (tích) của hai ánh xạ

Định ngh ĩ a 1.14: Vớ i hai ánh xạ Z Y X g f

→→ thì tươ ng ứng ))(( x x a xác định một

ánh xạ từ X vào Z đượ c gọi là hợ p (hay tích) của hai ánh xạ f và , ký hiệu o . Vậy

Z X f g →:o có công thức xác định ảnh

))(()( f f =o . (1.12)

Ví dụ 1.22: Cho vớ i công thức xác định ảnh →→ :,: g f ,sin)( x f =

. Ta có thể thiết lậ p hai hàm hợ p42)( 2 += x x g g o và o từ vào .

4sin2)(,)42sin()( 22 +=+= x x f g x x g f oo .

Qua ví dụ trên ta thấy nói chung f g g oo ≠ , ngh ĩ a là phép hợ p ánh xạ không có tính

giao hoán.

18

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Nếu Y X →: là một song ánh có ánh xạ ngượ c X Y f →− :1 , khi đó ta dễ dàng

kiểm chứng r ằng X

Id f f =− o1 vàY

Id f f =−1o . Hơ n nữa ta có thể chứng minh đượ c

r ằng ánh xạ Y X →: là một song ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ X Y →: sao cho

X Id f g =o và , lúc đóY Id g f =o 1−= f g .

1.3.5 Lự c lượ ng của một tập hợ p

Khái niệm lực lượ ng của tậ p hợ p có thể xem như là sự mở r ộng khái niệm số phần tử củatậ p hợ p.

Định ngh ĩ a 1.15: Hai tậ p hợ p Y X , đượ c gọi là cùng lực lượ ng nếu tồn tại song ánh từ X

lên Y .

Tậ p cùng lực lượ ng vớ i tậ p { đượ c gọi là có lực lượ ng . Vậy}n,...,2,1 n X có lực lượ ng

khi và chỉ khin X có phần tử. còn đượ c gọi là bản số củan n X , ký hiệu X Card hay X .

Quy ướ c lực lượ ng của φ là 0.

Định ngh ĩ a 1.16: Tậ p có lực lượ ng hoặc 0 đượ c gọi là các tậ p hữu hạn. Tậ p không hữuhạn đượ c gọi là tậ p vô hạn. Tậ p có cùng lực lượ ng vớ i tậ p các số tự nhiên hay hữu hạn đượ c gọilà tậ p đếm đượ c.

n

Chú ý 1.3:

1) Tậ p vô hạn đếm đượ c là tậ p cùng lực lượ ng vớ i .2) Bản thân tậ p là tậ p vô hạn đếm đượ c.

3) Ngườ i ta chứng minh đượ c , là tậ p vô hạn đếm đượ c, còn tậ p không đếm đượ c.

4) Giả sử Y X , là hai tậ p hữu hạn cùng lực lượ ng. Khi đó ánh xạ Y X f →: là đơ n ánh

khi và chỉ khi là toàn ánh, do đó là một song ánh.

1.4 GIẢI TÍCH TỔ HỢ P- NHỊ THỨ C NEWTON

1.4.1 Hoán vị, phép thế

Cho tậ p hữu hạn . Mỗi song ánh từ { n x x x E ,..., 21= } E lên E đượ c gọi là một phépthế, còn ảnh của song ánh này đượ c gọi là một hoán vị n phần tử của .

Nếu ta xế p các phần tử của E theo một thứ tự nào đó thì mỗi hoán vị là một sự đổi chỗ các phần tử này.

Đặc biệt nếu { n E ,...2,1 }= thì mỗi phép thế đượ c ký hiệu bở i ma tr ận

(1.13)⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)(...)2()1(

...21

n

n

σ σ σ σ

19

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



trong đó hàng trên là các số từ 1 đến sắ p theo thứ tự tăng dần, hàng dướ i là ảnh tươ ng

ứng của nó qua song ánh

n

σ . Còn [ ])(),...,2(),1( nσ σ σ là hoán vị của phép thế σ .

Ví dụ 1.23: là hoán vị từ phép thế có[ 3124 ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

31244321σ 4)1( =σ ,

2)2( =σ , 1)3( =σ , 3)4( =σ .

Tậ p hợ p { có hai hoán vị là}2,1 [ ]21 và [ ]12 .

Tậ p hợ p { có sáu hoán vị là}3,2,1 [ ]321 , [ ]312 , [ ]213 , [ ]231 , và [ ].[ ]132 123

Vớ i tậ p thì cón cách chọn giá tr ị { n x x x E ,...,, 21= } )( 1 xσ , cách chọn giá tr ị 1−n

)( 2 xσ .... cho một phép thế σ bất k ỳ.Vậy có hoán vị (phép thế) của tậ p phần tử.!1)...2)(1( nnnn =−− n

1.4.2 Chỉnh hợ p

Cho tậ p hợ p hữu hạn có phần tử n { }n x x x E ,...,, 21= và tậ p hợ p hữu hạn

.{ } p B ,...,2,1=

Định ngh ĩ a 1.17: Một chỉnh hợ p lặ p chậ p các phần tử của E là ảnh của một ánh xạ từ

đến E .

Ta cũng có thể xem một chỉnh hợ p lặ p chậ p như một bộ gồm p thành phần là các phần

tử có thể trùng nhau của E . Nói cách khác, một chỉnh hợ p lặ p chậ p p là một phần tử của tích

Descartes p

. Vậy số các chỉnh hợ p lặ p chậ p của vật là .n pn

Ví dụ 1.24: Cho vật và tiến hành bốc có hoàn lạin { n x x x E ,...,, 21= } lần theo cách

sau: Bốc lần thứ nhất từ tậ p E đượ c , ta tr ả lại cho1i

x1i

x và bốc tiế p lần thứ hai ... Mỗi k ết

quả sau lần bốc piii x x x ,...,,

21là một chỉnh hợ p có lặ p chậ pn .

Định ngh ĩ a 1.18: Một chỉnh hợ p (không lặ p) chậ p gồm phần tử củan )( n≤ là

ảnh của một đơ n ánh từ vào .

Hai chỉnh hợ p chậ pn p là khác nhau nếu:

hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau,

hoặc gồm p phần tử như nhau nhưng có thứ tự khác nhau.

Như vậy ta có thể xem mỗi chỉnh hợ p là một bộ có thành phần gồm các phần tử khác

nhau của hay có thể xem như một cách sắ p xế p phần tử củan vào vị trí.

20

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Có cách chọn vào vị trí thứ nhất,n 1−n cách chọn vào vị trí thứ hai, ... và 1+−n

cách chọn vào vị trí thứ . Vậy số các chỉnh hợ p chậ pn là

)!(!)1)...(1( pn

n pnnn A p

n−

=+−−= (1.14)

1.4.3 Tổ hợ p

Định ngh ĩ a 1.19: Một tổ hợ p vật củan chậ p là một cách lấy ra đồng thờ i vật từ

có n vật. Như vậy ta có thể xem một tổ hợ p chậ pn p là một tậ p con phần tử của tậ p có

phần tử n E .

Nếu ta hoán vị vật của một tổ hợ p thì ta có các chỉnh hợ p khác nhau của cùng p vật này.

Vậy ứng vớ i một tổ hợ p vật có đúng ! chỉnh hợ p của vật này. Ký hiệu là số các tổ

hợ p chậ p

pnC

n p thì

)!(!!

! pn p

n

p

AC

pn p

n−

== . (1.15)

Ví dụ 1.25: a) Có bao nhiêu cách bầu một lớ p tr ưở ng, một lớ p phó và một bí thư chi đoànmà không kiêm nhiệm của một lớ p có 50 học sinh.

b) Có bao nhiêu cách bầu một ban chấ p hành gồm một lớ p tr ưở ng, một lớ p phó và một bíthư chi đoàn mà không kiêm nhiệm của một lớ p có 50 học sinh.

Giải:

a) Mỗi k ết quả bầu là một chỉnh hợ p 50 chậ p 3.

Vậy có cách bầu.600.117484950350 =××= A

b) Mỗi k ết quả bầu một ban chấ p hành là một tổ hợ p 50 chậ p 3.

Vậy có 600.196

484950

!47!3

!503

50

=××

==C cách bầu.

1.4.4 Nhị thứ c Niu-tơ n

Xét đa thức bậc :n4 4 4 34 4 4 21

sè thõan

n x x x x )1)...(1)(1()1( +++=+

Khai triển đa thức này ta đượ c:

1...)1( 22

11 ++++=+ −

−−

−n

nn

nnn xa xa x x

21

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Hệ số của p bằng số cách chọn thừa số trong thừa số trên. Mỗi cách chọn là một tổ

hợ p chậ p

n

n , do đó . p

n pC a =

Vậy 011 ......)1( n p p

nnn

nnn

nn C xC xC xC x +++++=+ −−

Thay ba x = (nếu ) ta có:0≠b

∑=

−−− =+++=+n

p

pn p pn

nn

nnn

nnn

n baC bC baC aC ba

0

011 ...)( (1.16)

Công thức này đượ c gọi là nhị thức Niu-tơ n, đúng vớ i mọi ∈ba, (k ể cả tr ườ ng hợ p).0=b

1.4.5 Sơ lượ c về phép đếm

Khi muốn đếm số phần tử của các tậ p hữu hạn ta có thể áp dụng các cách đếm hoán vị,chỉnh hợ p, tổ hợ p và các công thức sau:

a) B A B A B A +=∩+∪ , (công thức cộng) (1.17)

b) B A B A ⋅=× , (công thức nhân) (1.18)

c) { } B A B A f =→: , (chỉnh hợ p có lặ p) (1.19)

d) A

A 2)( = P , (1.20)

e) Nếu →: song ánh thì B A = . (1.21)

Công thức cộng a) thườ ng đượ c sử dụng trong tr ườ ng hợ p đặc biệt khi A, B r ờ i nhau

φ =∩ , lúc đó B A B A +=∪ .

Công thức nhân b) có thể mở r ộng cho k tậ p bất k ỳ

k k A A A A ⋅⋅=×× ...... 11 (1.22)

Hoặc nếu một hành động H gồm k giai đoạn k A A ,...,1 . Mỗi giai đoạn có thể thực hiện

theo phươ ng án thì cả thảy có

i A

in k nn ×× ...1 phươ ng án thực hiện H.

22

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 1.26: Cho mạch điện

a) Có bao nhiêu tr ạng thái của mạch.

b) Có bao nhiêu tr ạng thái có thể của mạch để có dòng điện chạy từ A đến B

Giải:Áp dụng công thức nhân ta có:

a) Số các tr ạng thái của mạch 51222.2.2 9432 == .

b) Ở có tr ạng thái nhưng có 1 tr ạng thái dòng điện không qua đượ c, do đó ở

có 3 tr ạng thái dòng điện qua đượ c. Tươ ng tự ở có

1U 22 1U

2U 123 − và ở có tr ạng thái

dòng điện qua đượ c. Vậy số các tr ạng thái của mạch có dòng điện chạy từ A đến B là

.

3U 124 −

3151573 =××

Ví dụ 1.27: Có bao nhiêu số tự nhiên viết dướ i dạng thậ p phân có chữ số trong

đó có đúng hai chữ số 8.

n )3( ≥n

Giải: Giả sử N là số tự nhiên có chữ số mà chữ số thứ nhất bên trái khác chữ số 0 và cóđúng hai chữ số 8.

n

♦Tr ườ ng hợ p 1: Nếu chữ số thứ nhất bên trái là chữ số 8 thì có 1−n vị trí để đặt chữ số 8

thứ hai, có 9 cách chọn cho mỗi chữ số ở 2−n vị trí còn lại. Vậy có đúng số 29)1( −− nn N

thuộc loại này.

♦Tr ườ ng hợ p 2: Nếu chữ số thứ nhất bên trái không phải là chữ số 8 thì có 21−nC vị

trí để đặt 2 chữ số 8, có 8 cách chọn chữ số cho vị trí thứ nhất, có 9 cách chọn cho mỗi chữ

số ở vị trí khác vị trí thứ nhất và hai vị trí đã chọn cho chữ số 8. Vậy có đúng3−n

3321 98

2)2)(1(

98 −−− ⋅⋅

−−=⋅⋅ nn

nnn

C số thuộc loại này.

Sử dụng công thức cộng ta suy ra số các số tự nhiên cần tìm là:

332 9)1)(14(9)2)(1(49)1( −−− −+=−−+− nnn nnnnn

3U

2U 1U

B

23

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 1.28: Trong mặt phẳng cho đườ ng thẳng đôi một cắt nhau và các giao điểm này

khác nhau .

n

)4( ≥n

a) Tìm số các giao điểm của chúng. b) Tìm số các đườ ng thẳng mớ i đượ c tạo bở i các giao điểm trên.

Giải:

a) Số các giao điểm của đườ ng thẳng bằng số các cặ p của đườ ng thẳng này. Vậy có

giao điểm.

n n2nC

b) Xét tại điểm bất k ỳ trong giao điểm của câu a). Tồn tại đúng hai đườ ng trong n

đườ ng trên đi qua

2nC

là . ji D D ji <;,

Trên mỗi đườ ng có đúng điểm trong số giao điểm của câu a).1−n2nC

Vậy trên có ji D D , 1)1(2 −−n điểm, do đó có

2 )3)(2()1)1(2(2 −−=−−− nnnC n đườ ng thẳng mớ i nối đến . Vì mỗi đườ ng

thẳng mớ i đều nối hai điểm ở câu a) nên số đườ ng thẳng mớ i là:

)3)(2)(1(8

1

2

)3)(2(

2

1 2 −−−=−−

nnnnnn

C n .

Ví dụ 1.29: Cho tậ p con có p phần tử của tậ p có phần tử. Hãy đếm số các cặ pn

),( Y X các tậ p con của sao cho:

j D

4=n

24

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Y X E Y X ⊃∩=∪ , (1.23)

Giải: Ký hiệu E B \= .

Đặt ( ){ } AY X E Y X Y X ⊃∩=∪= ,, A

( ){ } BY X BY B X Y X =∪⊂⊂= '';','',' B

Tươ ng ứng ; B A →: f ),(),( BY X Y X f ∩∩a là một song ánh.

Mặt khác ''\'',',' Y X B BY X BY X ⊂⇔=∪⊂⊂ .

Vậy số các cặ p ),( Y X thoả mãn điều kiện (1.23) cần tìm bằng bản số của tậ p

{ }'",',")',"( Y X BY B X Y X ⊂⊂⊂ .

Vớ i mỗi tậ p Y ⊂' có bản số thì bản số của tậ p' y { }'"" Y X X ⊂ là ; Số các tậ p

con

'2 y

BY ⊂' có phần tử là . Áp dụng công thức cộng suy ra bản số cần tìm là

.

' y ' y pnC −

∑−

=

−− =

pn

y

pn y pn

y C

0'

'' 32

1.5 CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.5.1 Luật hợ p thành trong

Định ngh ĩ a 1.20: Một luật hợ p thành trong trên tậ p φ ≠ X là ánh xạ từ X X × vào X .

Ta thườ ng ký hiệu X X X →×:*

y x y *),( a

Luật hợ p thành trong k ết hợ p hai phần tử y x, của X thành một phần tử y∗ của X vì

vậy luật hợ p thành trong còn đượ c gọi là phép toán hai ngôi.

Ví dụ 1.30: Phép cộng và phép nhân là các luật hợ p thành trong của các tậ p số , , , ,.

Ví dụ 1.31: Phép cộng véc tơ theo quy tắc hình bình hành là phép toán trong của tậ p

các véc tơ tự do trong không gian, nhưng tích vô hướ ng không phải là phép toán trong vì3 R

3),cos( Rvuvuvu ∉⋅=⋅rrrrrr

.

Định ngh ĩ a 1.21: Luật hợ p thành trong * của tậ p X đượ c gọi là:

1) Có tính k ết hợ p nếu z y x z y X z y ∗∗=∗∗∈∀ )()(:,,

25

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



2) Có tính giao hoán nếu x y y x X y x ∗=∗∈∀ :,

3) Có phần tử trung hoà (hay có phần tử đơ n vị) là X e ∈ nếu

x xee X x =∗=∗∈∀ :

4) Giả sử * có phần tử trung hoà X e ∈ . Phần tử X x ∈' đượ c gọi là phần tử đối xứng

của X x ∈ nếu e x x x =∗=∗ '' .

Ta dễ dàng thấy r ằng phần tử trung hoà có phần tử đối xứng là chính nó.

Các phép hợ p thành trong hai ví dụ trên đều có tính k ết hợ p và giao hoán. Số 0 là phần tử

trung hoà đối vớ i phép cộng và 1 là phần tử trung hoà đối vớ i phép nhân trong. Véc tơ r

là phần

tử trung hoà của phép toán cộng véc tơ trong . Đối vớ i phép cộng thì mọi phần tử

0

3 R x trong ,

, , đều có phần tử đối là − . Phần tử đối của 0≠ x ứng vớ i phép nhân trong , , là

x1 , nhưng mọi phần tử khác trong vớ i phép + không có phần tử đối.0

Tính chất 1.4:

1) Phần tử trung hoà nếu tồn tại là duy nhất.

2) Nếu * có tính k ết hợ p, thì phần tử đối của mỗi phần tử là duy nhất.

3) Nếu * có tính k ết hợ p và phần tử có phần tử đối thì có luật giản ướ c:a

y x ya xa =⇒∗=∗ và phươ ng trình b xa =∗ có duy nhất nghiệm ba x ∗= ' vớ i ' là

phần tử đối của .

a

a

Chứng minh:

1) Giả sử và là hai phần tử trung hoà thìe 'e eeee =∗= '' (dấu "=" thứ nhất có đượ c do

là phần tử trung hoà, còn dấu "=" thứ hai là do là phần tử trung hoà).e 'e

2) Giả sử có hai phần tử đối xứng là 'a và , khi đó:a "a

"")'("')"('' aeaaaaaaaaea =∗=∗∗=∗∗=∗= .

Theo thói quen ta thườ ng ký hiệu các luật hợ p thành trong có tính giao hoán bở i dấu ""+ ,khi đó phần tử trung hoà đượ c ký hiệu là 0 và phần tử đối của là − . Nếu ký hiệu luật hợ p

thành bở i dấu nhân "." thì phần tử trung hoà đượ c ký hiệu 1 và gọi là phần tử đơ n vị, phần tử đối

của là 1− x .

1.5.2 Nhóm

Định ngh ĩ a 1.22: Giả sử là tậ p khác tr ống vớ i luật hợ p thành *, cặ p đượ c gọi là

một vị nhóm nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

G ,*)(G

G1: * có tính k ết hợ p.

26

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



G2: * có phần tử trung hoà .e

Vị nhóm là một nhóm nếu thoả mãn thêm điều kiện:,*)(G

G3: Mọi phần tử của đều có phần tử đối.G

Nhóm đượ c gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel nếu :,*)(G

G4: * có tính giao hoán.

Ví dụ 1.32: , ,),( + ),( + ),( + , ),( + , ),( 3 + R , )*,( ⋅ , ,)*,( ⋅ ),( * ⋅+ ,

, là các nhóm Abel.),( * ⋅+ )*,( ⋅

Chú ý 1.5: Một nhóm là tậ p khác r ỗng vớ i luật hợ p thành * thoả mãn G1, G2, G3,

nhưng nếu * đã xác định và không sợ nhầm lẫn thì ta nói tắt nhóm G thay cho nhóm .

G

,*)(G

Định ngh ĩ a 1.23: Đồng cấu nhóm từ nhóm vào nhóm là ánh xạ ,*)(G ),'(G ': GG →

sao cho

)()()(:, y f y xG y x =∗∈∀ . (1.24)

Nếu đơ n ánh (toàn ánh, song ánh) thì f đượ c gọi là đơ n cấu (toàn cấu, đẳng cấu, một

cách tươ ng ứng).

là một đẳng cấu nhóm từ nhóm10;:log * ≠<→+ aa ),( * ⋅+ lên nhóm ),( + .

1.5.3 Vành

Định ngh ĩ a 1.24: Giả sử trên tậ p φ ≠ có hai luật hợ p thành trong ký hiệu bở i dấu cộng

và dấu nhân, khi đó ),,( ⋅+ đượ c gọi là một vành nếu:

A1: ),( + là một nhóm Abel,

A2: Luật nhân có tính k ết hợ p,

A3: Luật nhân có tính phân phối hai phía đối vớ i luật cộng, ngh ĩ a là:

z x y z y z y ⋅+⋅=+⋅∈∀ )(:,, phân phối bên trái

z y z x z y x z y ⋅+⋅=⋅+∈∀ )(:,, phân phối bên phải

Nếu thoả mãn thêm điều kiện:

A4: Luật nhân có tính giao hoán thì ),,( ⋅+ là vành giao hoán.

A5: Luật nhân có phần tử đơ n vị là 1 thì ),,( ⋅+ là vành có đơ n vị.

27

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Chú ý 1.6:

1) Tồn tại vành giao hoán nhưng không có đơ n vị và ngượ c lại.

2) Ta nói tắt vành thay cho vành ),,( ⋅+ .


1) Phần tử 0≠ x của đượ c gọi là ướ c của nếu tồn tại0 0, ≠∈ y y sao cho

0=⋅ y x ( là phần tử trung hoà của luật cộng của vành0 ),,( ⋅+ ).

2) Vành không có ướ c của đượ c gọi là vành nguyên.0

Vậy vành ),,( ⋅+ là vành nguyên khi và chỉ khi mọi y x ∈, sao cho 0=⋅ y x thì

0= x hoặc .0= y

Ví dụ 1.33:

1) là một vành nguyên.),,( ⋅+

2) Ký hiệu là tậ p hợ p các hàm liên tục trên đoạn . Ta định ngh ĩ a phép cộng

và phép nhân trong xác định như sau:

];[ baC ];[ ba

];[ baC

)()()();()())((:, ];[ x g x f x fg x g x f x g f C g f ba =+=+∈∀

Ta có thể kiểm chứng đượ c r ằng vớ i hai phép toán này thì là một vành giao hoán có

đơ n vị và có ướ c của 0.

];[ baC

3) là một vành nguyên, trong đó( ⋅+,],[ x K ) ][ K là tậ p các đa thức của biến x có hệ số

thuộc vào vành số . ,,,= K

4) Tậ p nn mod = các số đồng dư môđulô n .

Ta có thể chứng minh đượ c r ằng nếu )(mod' n x x ≡ , )(mod' n y y ≡ thì

)(mod''n y y x +≡+ và

)(mod''n y x xy ≡ . Vì vậy ta có thể định ngh ĩ a phép cộng và phép

nhân trong bở i:n

y x y x +=+ và y x y x ⋅=⋅ (1.25)

Chẳng hạn )7(mod2)7(mod4)7(mod5 =+

)7(mod6)7(mod1)7(mod4)7(mod5 =−=⋅ .

Vớ i hai phép toán này ),,( ⋅+n là một vành giao hoán có đơ n vị.

28

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



1.5.4 Trườ ng

Định ngh ĩ a 1.26: Vành giao hoán có đơ n vị ),,( ⋅+ K đượ c gọi là một tr ườ ng nếu mọi phần

tử 0≠ của K đều khả nghịch (có phần tử đối của luật nhân). Ngh ĩ a là:

K1: ),( + K là nhóm Abel,

K2: )*,( ⋅ K là nhóm Abel, }0{\* K K = ,

K3: Luật nhân phân phối đối vớ i luật cộng.

Rõ ràng r ằng mọi tr ườ ng là vành nguyên, nhưng điều ngượ c lại không đúng. ),,( ⋅+ là

một ví dụ về vành giao hoán nguyên có đơ n vị nhưng không phải là tr ườ ng.

Ví dụ 1.34: ),,( ⋅+ , ,),,( ⋅+ ),,( ⋅+ là tr ườ ng.

Ví dụ 1.35: là tr ườ ng khi và chỉ khi là số nguyên tố.),,( ⋅+n n

Giải:

Giả sử là số nguyên tố vàn nm ∈ , )(mod0 nm ≠ thì do đó tồn tại hai

số nguyên sao cho (Định lý Bezout)

1),( =nm

vu, 1=+ vnum )(mod1 nmu =⋅⇒ . Vậy u là phần

tử nghịch đảo của m .

Ngượ c lại, nếu là tr ườ ng thì vớ i mọin ∈m ( nm <<0 ) tồn tại sao cho:∈'m

1),(1'1' =⇒+=⇒=⋅ nmknmmmm

Vậy là số nguyên tố.n

1.6 ĐẠI SỐ BOOLE

Lý thuyết đại số Boole đượ c George Boole (1815 - 1864) giớ i thiệu vào năm 1854 trong bài báo "Các quy luật của tư duy", trong đó k ỹ thuật đại số đượ c dùng để phân tích các quy luật củalôgích và các phươ ng pháp suy diễn. Sau đó đại số Boole đượ c áp dụng trong các l ĩ nh vực khácnhau của toán học như đại số, giải tích, xác suất... Vào khoảng năm 1938, Claude Shannon (Clau

Sê-nôn) ( một k ỹ sư viễn thông ngườ i Mỹ) là ngườ i đầu tiên đã áp dụng đại số Boole vào l ĩ nh vựcmáy tính điện tử và lý thuyết mạng.

1.6.1 Định ngh ĩ a và các tính chất cơ bản của đại số Boole

Định ngh ĩ a 1.27: Một đại số Boole )',,,( ∧∨ là một tậ p khác tr ống vớ i hai phép toán

hai ngôi B B →×∧∨ :,

và phép toán một ngôi →:' thoả mãn các tiên đề sau:

• B1: có tính k ết hợ p, ngh ĩ a là vớ i mọi∧∨, cba ∈,,

29

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



cbacbacbacba ∧∧=∧∧∨∨=∨∨ )()(,)()(

• B2: có tính giao hoán, ngh ĩ a là vớ i mọi∧∨, ba ∈,

abbaabba ∧=∧∨=∨ ,

• B3: Tồn tại các phần tử không và phần tử đơ n vị ∈1,0 sao cho và vớ i mọi10 ≠a ∈ aaaa =∧=∨ 1,0

• B4: Vớ i mọi Ba ∈ thì Ba ∈' là phần tử đối theo ngh ĩ a là:

0',1' =∧=∨ aaaa

• B5: Luật phân phối đối vớ i luật∨ ∧ và luật ∧ phân phối đối vớ i luật , ngh ĩ a là vớ i

mọi

∨cba ∈,,

)()()(),()()( cabacbacabacba ∧∨∧=∨∧∨∧∨=∧∨ .

Ví dụ 1.36: Giả sử φ ≠ X , xét là tậ p các tậ p con của)( X P X . Các luật hợ p thành

là phép hợ p, phép giao các tậ p con của∧∨, X và phép toán một ngôi ' là phép lấy phần bù của

tậ p con trong X . Khi đó ( )',,),( ∩∪ X P là đại số Boole vớ i phần tử không là φ và phần tử

đơ n vị là chính tậ p X .

Ví dụ 1.37: Xét tậ p gồm hai số 0 và 1. Ta định ngh ĩ a:{ }1;02 = B

),max( baba =∨ , ,),min( baba =∧ aa −= 1'

thì là một đại số Boole.)',,,( 2 ∧∨ B

Ví dụ 1.38: Xét , ta định ngh ĩ a các phép toán{ ba B ;;1;04 = }

bbb

aaa

ba

ba

1111

11111

100

10∨

bbb

aaa

ba

ba

0000

101

00000

10∧

ab

ba

01

10

'

thì là đại số Boole.)',,,( 4 ∧∨ B

Định ngh ĩ a 1.28: Hai công thức Boole trong đại số Boole )',,,( ∧∨ B đượ c gọi là đối ngẫu

nếu trong một công thức ta thay bằng,1,0,,∧∨ 0,1,,∨∧ thì ta đượ c công thức hai.

Ví dụ 1.39: Hai công thức )1( ∨∧ y x và )0( ∧∨ y x là đối ngẫu.

30

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Trong mỗi tiên đề của hệ tiên đề B1-B5 của đại số Boole đều chứa từng cặ p công thức đốingẫu nhau, vì vậy ta có nguyên lý đối ngẫu sau:

Nguyên lý đối ngẫu: Nếu một công thức của đại số Boole đượ c chứng minh là đúng dựatrên cơ sở hệ tiên đề B1-B5 thì công thức đối ngẫu của chúng cũng đúng.

Chẳng hạn, ta sẽ chứng minh 11 =∨a , do đó theo nguyên lý đối ngẫu ta cũng có

.00 =∧a

Tính chất 1.7: Giả sử )',,,( ∧∨ là đại số Boole vớ i phần tử không và đơ n vị là thì

vớ i mọi

1,0

ba ∈, ta có:

1) , ;aaa =∨ aaa =∧

2) , ;1'0 = 0'1 =

3) , ;11 =∨a 00 =∧a

4) ,abaa =∧∨ )( abaa =∨∧ )( ; (tính hấ p thu)

5) Nếu tồn tại c ∈ sao cho cbca ∨=∨ và cbca ∧=∧ thì ;ba =

6) Nếu và thì1=∨ ba 0=∧ ba 'ab = ; (tính duy nhất của phần bù)

7) '')'( baba ∧=∨ và '')'( baba ∨=∧ . (công thức De Morgan)

Chứng minh:

Theo nguyên lý đối ngẫu ta chỉ cần chứng minh các đẳng thức thứ nhất từ 1)-7).

1) theo B30∨= aa

theo B4)'( aaa ∧∨=

theo B5)'()( aaaa ∨∧∨=

theo B41)( ∧∨= aa

theo B3aa ∨=

2) theo B30'0'0 ∨=theo B2,B41=

3) theo B4)'(1 aaaa ∨∨=∨

theo B1')( aaa ∨∨=

theo 1)'aa ∨=

theo B41=

31

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



4) )()1()( baabaa ∧∨∧=∧∨ theo B3

theo B5)1( ba ∨∧=

theo 1)1∧= a

theo B3a=

5) theo 4))( caaa ∧∨=

vì)( cba ∧∨= cbca ∧=∧

theo B5)()( caba ∨∧∨=

vì)()( cbba ∨∧∨= cbca ∨=∨

theo B5)( cab ∧∨=

vì)( cbb ∧∨= cbca ∧=∧

theo 4)b=

6) Vì '1 aaba ∨==∨ và '0 aaba ∧==∧ , theo 5) suy ra ' .ab =

7) Ta dễ dàng kiểm chứng 1)''()( =∧∨∨ baba và 0)''()( =∧∧∨ baba , áp dụng 6)

suy ra điều phải chứng minh.

Áp dụng các tính chất này cùng vớ i hệ tiên đề B1-B5 ta có thể đơ n giản hoá các công thứcBoole bất k ỳ.

Ví dụ 1.40: Đơ n giản hoá công thức Boole )'()'()( y x y x y x ∨∨∧∨∧ .

Giải:

Ta có x y y x y x y x =∧=∨∧=∧∨∧ 1)'()'()( .

)'()'()( y x y x y x ∨∨∧∨∧⇒

.11)'()'( =∨=∨∨=∨∨= y y x x y x

Ví dụ 1.41: Đơ n giản hoá công thức Boole [ ] z z y x y x ∨∧∧∨∧ )'()'( .

Giải:

Ta có [ ] z z y x y x ∨∧∧∨∧ )'()'(

[ ] z z x y x y x ∨∧∨∧∨∧= )'()'()'(

[ ])'()()'()'()'( z z z x y x z z x y x ∨∧∨∨∧=∨∧∨∧=

32

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



[ ]1)()'( ∧∨∨∧= z x y x

[ ] z x z x y x z x y x ∨=∨∨∧=∨∨∧= )'()()'( .

Ví dụ 1.42: Đơ n giản công thức )'()'()( z y x z y x z y ∧∧∨∧∧∨∧∧

Giải: Ta có )'()'()( z y z y z y x ∧∧∨∧∧∨∧∧

[ ] [ ])'()()'()( z y x z y x z y x z y x ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧=

[ ] [ ])'()()'()( x x z y z z y x ∨∧∧∨∨∧∧=

)()()( z x y z y y x ∨∧=∧∨∧= .

x

y

x y

1.6.2 Ứ ng dụng đại số Boole vào mạng chuyển mạch (switching networks)

Ta chỉ xét các mạng gồm các chuyển mạch có hai tr ạng thái đóng (dòng điện đi qua đượ c)và mở (dòng điện không qua đượ c). Hai mạng đơ n giản nhất là mạng song song cơ bản (basic

parallel network) và mạng nối tiế p cơ bản (basic series network) đượ c mô tả trong hình vẽ sau:

• • • •

mạng song song cơ bản (hình 1) mạng nối tiế p cơ bản (hình 2)

Một mạng bất k ỳ có thể nhận đượ c bằng cách ghép nối tiế p hay song song các mạng cơ bảnnày.

Ta ký hiệu các chuyển mạch bở i các chữ ,...,, z y . Nếu ở tr ạng thái mở ta x cho nhận

giá tr ị 0 và ở tr ạng thái đóng ta cho x nhận giá tr ị 1. Trong một mạng nếu hai chuyển mạch luôn

cùng tr ạng thái thì ta ký hiệu cùng một chữ. Hai chuyển mạch có tr ạng thái luôn ngượ c nhau, nếumột chuyển mạch đượ c ký hiệu là x thì chuyển mạch kia đượ c ký hiệu là ' x .

Mạng song song (hình 1) nhận giá tr ị 1 khi có ít nhất một trong hai chuyển mạch y, nhận

giá tr ị 1, ta ký hiệu y∨ . Còn mạng nối tiế p (hình 2) nhận giá tr ị 1 khi cả hai chuyển mạch

y x, nhận giá tr ị 1, ta ký hiệu y x ∧ . Như vậy y x y x ∧∨ ,,' có thể đượ c xem như các biến

nhận giá tr ị trong đại số Boole B2 (ví dụ 1.37). Bằng phươ ng pháp này ta có thể mô tả một mạng bất k ỳ bở i một công thức Boole và ngượ c lại. Chẳng hạn mạng sau đây:

33

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



tươ ng ứng vớ i công thức )'()( y x z y ∧∨∨ .

Còn công thức Boole )'()()( y z y z x ∧∨∧∨∧ mô tả mạng:

Chú ý r ằng trong các công thức cần xét ta thay )'( y x ∨ bở i '' y x ∧ và )'( y∧ bở i

'' y x ∨ .

Hai mạng N1 và N2 đượ c gọi là tươ ng đươ ng nếu nó thực hiện cùng một chức năng, ngh ĩ alà vớ i bất k ỳ cách chọn các tr ạng thái đóng mở ở mọi vị trí chuyển mạch trong mạng thì tr ạng tháiđầu vào và đầu ra của N1 và N2 đều như nhau.

Ta có thể áp dụng đại số Boole để giải quyết hai vấn đề sau:

y

' y x

z • •

' y x

x z

y z

1.6.3 Vớ i một mạng cho trướ c tìm mạng tươ ng đươ ng đơ n giản hơ n

Ví dụ 1.43: Tìm mạng tươ ng đươ ng đơ n giản hơ n của mạng sau

• •

Công thức Boole tươ ng ứng: [ ] ( )[ ] yww x y z x ∧∨∧∨∧∨ )()( .

x

y z

x w

y

w

34

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ta có www x =∨∧ )( (luật hấ p thu), do đó công thức trên có thể biến đổi thành

[ ] [ ] yw z x yw y z x ∧∨∨=∧∨∧∨ )()( .

Vậy ta có mạng tươ ng đươ ng đơ n giản hơ n

• •

Ví dụ 1.43: Tìm mạng tươ ng đươ ng đơ n giản hơ n của mạng sau:

• •

Công thức Boole tươ ng ứng: ( )[ ] )()()'()( y z x z z y x x z ∨∧∨∧∨∧∨∧ .

Ta có ( )[ ] )()()'()( y z x z z y x x z ∨∧∨∧∨∧∨∧

( )[ ] [ ])()'()()( y x z z x y x x z ∧∨∧∧∨∧∨∧=

( )[ ] [ ])()()'( y x z y x z z x ∧∨∧∧∨∧∧=

[ ] [ ])()()( y x x z x y x z x ∧∧∨∧=∧∨∧=

)()()( y z x y z ∨∧=∧∨∧=

Vậy ta có mạng tươ ng đươ ng đơ n giản hơ n

• •

w

x

z y

z

x

y

' z

z y

z

x

y

35

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



1.6.4 Thiết k ế một mạng thoả mãn các điều kiện cho trướ c

Ví dụ 1.45: Thiết k ế một mạng điện cho một bóng đèn ở cầu thang mà có thể bật tắt ở cả hai

đầu cầu thang.Giải:

Gọi x và là hai công tắc ở hai đầu cầu thang. Theo yêu cầu đặt ra ta cần thiết k ế một

mạng điện sao cho khi thay đổi tr ạng thái của một trong hai vị trí

y

y x, thì tr ạng thái của đầu ra

(bóng đèn) phải thay đổi.

Ta biết r ằng, mỗi mệnh đề logic cũng nhận hai giá tr ị, vì vậy ta có thể xem mệnh đề như

một biến nhận giá tr ị trong (ví dụ 1.37). Ta biết r ằng mệnh đề 2 B y x ⇔ chứa hai mệnh đề

y x, và mệnh đề này thay đổi giá tr ị khi một trong hai mệnh đề x hay thay đổi giá tr ị. Mặc dù

mệnh đề

y

y⇔ hay )()( y y ⇒∧⇒ không phải là công thức Boole nhưng nó có côngthức tươ ng đươ ng dướ i dạng công thức Boole )'()'( x y y x ∨∧∨ . Ta có:

[ ] [ ] )()''()'()'(')'()'( x y y x x y y x y x x y y x ∧∨∧=∧∧∨∨∧=∨∧∨ .

Vậy mạng cần tìm là

x y

' x ' y

36

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 2: Không gian Véc t ơ

2. CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1.1 Định ngh ĩ a và các ví dụ

Định ngh ĩ a 2.1: Giả sử V là tậ p khác φ , K là một tr ườ ng. V đượ c gọi là không gian véc

tơ trên tr ườ ng nếu có hai phép toán:

- Phép toán trong

uu

V V K α α a),(

: →×⋅

vuvuV V V

+→×+a),(

:

- Phép toán ngoài

thoả mãn các tiên đề sau vớ i mọi V wvu ∈,, và K ∈ β α ,

V1) )()( wvuwvu ++=++

V2) Có V ∈0 sao cho uuu =+=+ 00

V3) Vớ i mỗi V u ∈ có V u ∈− sao cho 0=+−=−+ uuuu )()(

V4) uvvu +=+

V5) uuu β α β α +=+ )(

V6) vuvu α α α +=+ )(

V7) )()( uu β α αβ =

V8) , trong đó 1 là phần tử đơ n vị củauu =1 K .

Khi = K thì V đượ c gọi là không gian véc tơ thực.

Khi = K thì V thì đượ c gọi là không gian véc tơ phức.

Các phần tử của V đượ c gọi là các véc tơ , các phần tử của K đượ c gọi là các phần tử

vô hướ ng.

37

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Bốn tiên đề đầu chứng tỏ ),( +V là nhóm Abel. Tiên đề V5),V6) nói r ằng phép nhân số vô

hướ ng vớ i véc tơ phân phối đối vớ i phép cộng của số vô hướ ng và phép cộng véc tơ . Tiên đề V7)

là tính k ết hợ p của tích các số vô hướ ng vớ i phép nhân vớ i véc tơ .Ví dụ 2.1: Tậ p các véc tơ tự do trong không gian (trong đó ta đồng nhất các véc tơ

tươ ng đẳng: các véc tơ cùng phươ ng, cùng hướ ng, cùng độ dài). Xét phép cộng hai véc tơ theo

quy tắc hình bình hành và tích một số thực vớ i một véc tơ theo ngh ĩ a thông thườ ng thì là

không gian véc tơ thực.

3 R

3 R

Ví dụ 2.2: Giả sử K là một tr ườ ng, xét

{ }ni K x x x x K inn ,1,),...,( 1 =∈==

Ta định ngh ĩ a: ),...,(),...,(),...,( 1111 nnnn y x y x y y x x ++=+

),...,(),...,( 11 nn x x x x α α α = , K ∈∀α

Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ có véc

tơ không là .321tö phÇn n

)0,...,0(=0

Khi = K ta có không gian véc tơ thực .n

= K ta có không gian véc tơ phức .n

Ví dụ 2.3: Gọi [ ba ]C , là tậ p các hàm liên tục trên đoạn [ ] ⊂ba, . Ta định ngh ĩ a phép

toán cộng và nhân vớ i số thực như sau:

)()())(( t g t t g f +=+ , )())(( t f t α α = , [ ]bat ,∈∀

Rõ ràng , g f + [ ]baC f ,∈α , [ ]baC g f ,, ∈∀ , ∈∀α .

Vớ i hai phép toán này [ ba ]C , có cấu trúc không gian véc tơ thực vớ i véc tơ không là

.[ ]bat t ,,0)( ∈∀=0

Ví dụ 2.4: Gọi là tậ p các đa thức bậcn P n≤ , là số nguyên dươ ng cho tr ướ c:n

∈+++== nn

nn aaat at aa p p P ,...,,;... 1010 .

Ta định ngh ĩ a phép cộng hai đa thức và phép nhân một số vớ i một đa thức như phép cộng

hàm số và phép nhân một số vớ i hàm số trong Ví dụ 2.3 thì là không gian véc tơ vớ i véc tơ

không là đa thức .

n P

0

38

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 2.5: Gọi P là tậ p các đa thức

+∈

∈∈+++===

+

naaat at aa p p P P nn

n

n

n ,,...,,;... 1010

U

Ta định ngh ĩ a phép cộng là phép cộng hai đa thức và phép nhân vớ i một số vớ i đa thức theo

ngh ĩ a thông thườ ng ở Ví dụ 2.4 thì P là không gian véc tơ và vớ i mọi . P P n ⊂ +∈n

2.1.2 Tính chất

1) Vì ),( +V là một nhóm Abel nên véc tơ 0 và véc tơ đối u− của là duy nhất vớ i mọiu

V u ∈ .

2) Có luật giản ướ c: wvwuvu =⇒+=+ .

3) Vớ i mọi V u ∈ , ,0=u0 uu −=− )1( .

4) Vớ i mọi K ∈α , 00 =α .

5) Nếu 0=uα thì 0=α hoặc 0=u .

Chứng minh:

1) 2) Xem Tính chất 1.4.

3) Vớ i mọi V u ∈ , uuu 00)00( +=+ . Mặt khác 0+==+ uuu 00)00( .

Theo luật giản ướ c ta có .0=u0Tươ ng tự vớ i mọi V u ∈ , uuuuuu )1(1)11(0)( −+=−===−+ 0 .

Suy ra uu −=− )1( .

4) 00)00(00 α α α α α +=+==+0 ⇒ K ∈∀= α α ,0 0 .

5) Nếu 0=uα và giả sử 0≠α ⇒ K ∈∃ −1α

uuuu ===== −−− 1)()(0 111 α α α α α 0 .

Từ định ngh ĩ a của không gian véc tơ ta có thể mở r ộng các khái niệm sau:

1) Ta định ngh ĩ a )(: vuvu −+=− , khi đó

vwuwvu −=⇔=+ .

2) Do tính k ết hợ p của phép cộng nên ta có thể định ngh ĩ a theo qui nạ p:

nnn

n

k

k uuuuuu +++=++= −=

∑ )...(... 1111

.

39

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Tươ ng tự nnnnnn

n

k

k k uuuuuu α α α α α α +++=++= −−=

∑ )...(... 1111111

biểu thức này đượ c gọi là một tổ hợ p tuyến tính của các véc tơ .nuu ,...,1

Từ đây tr ở đi ta chỉ hạn chế xét các không gian véc tơ thực.

2.2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON


Định ngh ĩ a 2.2: Giả sử ,.),( +V là không gian véc tơ . Tậ p con φ ≠W của V sao cho

hai phép toán từ V thu hẹ p vào W tr ở thành không gian véc tơ (thoả mãn các tiên đề V1-V8) thì

W đượ c gọi là không gian véc tơ con của V (hay nói tắt: không gian con của V ).

Định lý sau đây chỉ ra r ằng nếu 2 phép toán trong V có thể thu hẹ p đượ c vào W thì các

tiên đề V1-V8 luôn thoả mãn, do đó W là không gian véc tơ con của V .

Định lý 2.2: Giả sử W là tậ p con khác r ỗng của V . Ba mệnh đề sau đây tươ ng đươ ng:

(i) W không gian véc tơ con của V .

(ii) Vớ i mọi , vớ i mọiW vu ∈, ∈α thì W vu ∈+ , W u ∈α

(iii) Vớ i mọi W vu ∈, , vớ i mọi ∈ β α , thì W vu ∈+ β α .

Chứng minh: (i) ⇒ (ii): Hiển nhiên theo định ngh ĩ a.

(ii) ⇒ (iii): Vớ i mọi , vớ i mọiW vu ∈, ∈ β α , thì W u ∈α , W v ∈ β ⇒

W vu ∈+ β α .

(iii) ⇒ (i): W vu ∈∀ , , ∈∀α : W vuvu ∈+=+ 11 , W uuu ∈+= 0α α .

Vậy phép cộng và phép nhân vớ i số thực thu hẹ p đượ c từ V vào W . Hơ n nữa φ ≠W ⇒

⇒ ( tiên đề V2), vớ i mọiW u ∈∃ W uu ∈+= 000 W u ∈ , W uuu ∈−+=− )1(0 (tiên

đề V3), các tiên đề còn lại hiển nhiên đúng. Vậy W là không gian véc tơ con của V .

Ví dụ 2.6: Từ định lý trên ta thấy r ằng mọi không gian véc tơ con của V đều phải chứa véc

tơ 0 của V . Hơ n nữa tậ p chỉ gồm véc tơ không và chính{ }0 V cũng là các không gian véc tơ

con của V .

Ví dụ 2.7: Tậ p { 32121 ,)0,,( ⊂∈= x x x x x } là không gian con của .

3

40

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 2.8: Tậ p [ ] [ ] 0)(,, 0=∈= a f f baba C C là không gian con của [ ]baC , ,

nhưng tậ p[ ] [ ]

1)(,, 1

=∈= a f f baba C C

không là không gian con của[ ]baC ,

.

Ví dụ 2.9: là không gian con của nếun P m P mn ≤ , trong đó là không gian các đa

thức bậc .

n P

n≤

2.2.2 Không gian con sinh bở i một họ véc tơ

Định lý 2.3: Nếu ( ) I iiW ∈ là họ các không gian con của V thì cũng là không gian

con của

I I i

iW

∈

V .

Chứng minh: Áp dụng Định lý 2.2. ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.

Từ Định lý 2.3 suy ra r ằng vớ i mọi tậ p con S bất k ỳ của V luôn tồn tại không gian con

bé nhất củaW V chứa S . W chính là giao của tất cả các không gian con của V chứa S .

Định ngh ĩ a 2.4: Không gian W bé nhất chứa S đượ c gọi là không gian sinh bở i hệ S , ký

hiệu S W span= , và S đượ c gọi là hệ sinh của W .

Định lý 2.4: S W span= bằng tậ p hợ p tất cả các tổ hợ p tuyến tính của S .

Chứng minh: Gọi là tậ p tất cả các tổ hợ p tuyến tính của'W S . Ta chứng minh 'W là

không gian con bé nhất chứa S .

(i) Vớ i mọi S u ∈ thì vậy'1 W uu ∈= 'W S ⊂ .

(ii) '...,...,',' 1111 W vvvuuuW vW u mmnn ∈++=++=∈∈ β β α α

vớ i .S vvuu mn ∈,...,,,..., 11

Do đó '...... 1111 W vvuuvu mmnn ∈+++++=+ δβ δβ γα γα δ γ

Vậy là không gian con của'W V chứa S . Giả sử là không gian con của"W V chứa S .

Vớ i mọi ,'W u ∈ S uuuuu nnn ∈++= ,...,, 111 ... α α . Vì chứa"W S nên⇒ ",...,1 W uu n ∈ "...11 W uuu nn ∈++= α α . Do đó . Nói cách khác là

không gian con nhỏ nhất của

"' W W ⊂ 'W

V chứa S . Vậy S W W span' == .

2.2.3 Tổng của một họ không gian véc tơ con

Giả sử là n không gian con củanW W ,...,1 V . Sử dụng định lý 2.2 ta chứng minh đượ c tậ p

{ }niW uV uu iin ,...,1,...1 =∈∈++ cũng là một không gian véc tơ con của V . Ta gọi

không gian véc tơ con này là tổng của các không gian con và ký hiệu .nW W ,...,1 nW W ++ ...1

41

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Vậy niW uuuuW W u iinn ,...,1;,...... 11 =∈++=⇔++∈ . (2.1)

Tuy nhiên, nói chung cách viết trên không duy nhất .

Ta có thể chứng minh đượ c ( )nn W W W W ∪∪=++ ...span... 11 (2.2)

Một cách tổng quát ta định ngh ĩ a tổng của một họ các không gian véc tơ con như sau.

Định ngh ĩ a 2.5: Nếu là họ các không gian con của( ) I iiW ∈ V . Không gian con sinh bở i

đượ c gọi là tổng của các không gian , ký hiệuU I i

iW

∈iW ∑

∈ I i

iW .

Vậy )(span

U I i

i

I i

i W W

∈∈∑= . Theo định lý 2.4 ta có

...,2,1;,...,1,,...1

==∈∈++=∑∈

k k j I iW uuuW jiiii

I i

i j jk . (2.3)

Định ngh ĩ a 2.6: Nếu mọi nW W u ++∈ ...1 đượ c viết một cách duy nhất dướ i dạng

niW uuuu iin ,...,1,,...1 =∈++= thì tổng các không gian con này đượ c gọi là tổng tr ực

tiế p. Lúc đó ta ký hiệu .nW W ⊕⊕ ...1

Định lý 2.5: Giả sử là hai không gian con của21,W W V , khi đó tổng hai không gian con

này là tổng tr ực tiế p khi và chỉ khi21 W W ⊕ { }0∩ =21 W W .

Chứng minh:

(⇒): Giả sử 21 W W ⊕ , 21 W W v ∩∈ thì .21 W W vvv ⊕∈+=+= 00 Do cách viết

duy nhất suy ra 0=v . Vậy { }0=∩ 21 W W .

(⇐): Giả sử 212121 W W vvuuu +∈+=+= thì

{ }0=∩∈−=− 212211 W W uvvu ⇒ 2211 , vuvu == .

Vậy tổng của hai không gian con là tổng tr ực tiế p 21 W W ⊕ .

2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

Ta xét các hệ véc tơ có tính chất là nếu một véc tơ bất k ỳ biểu diễn đượ c thành tổ hợ p tuyến

tính của hệ này thì cách viết đó là duy nhất.

42

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Định ngh ĩ a 2.7: Cho hệ n véc tơ { }nuuS ,...,1= của V (các véc tơ này có thể trùng nhau).

Hệ S đượ c gọi là độc lậ p tuyến tính nếu từ:

∈=++ nnnuu α α α α ,...,,... 111 0 thì 0...1 === nα α .

Hệ không độc lậ p tuyến tính đượ c gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ta có thể tìm đượ c{ nuuS ,...,1= }∈nα α ,...,1 không đồng thờ i bằng 0 sao cho 0=++ nnuu α α ...11 .

Ví dụ 2.10: Hệ trong đó là độc lậ p, vì nếu{ 21, ee } 221 )1,0(),0,1( ∈== ee

)0,0(),( 212211 ==+ α α α α ee thì 021 ==α α .

Ví dụ 2.11: • Hệ chứa véc tơ là hệ phụ thuộc tuyến tính.0

• Hệ hai véc tơ { }21,uu là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỷ lệ, ngh ĩ a là

21 uu α = hay 12 uu α = .

• Trong hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi cùng phươ ng.2 R

• Trong ba véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi đồng phẳng.3 R

Tính chất 2.6:

1) Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy, mọi hệ con của hệ độc lậ p tuyến tính là hệ độc lậ p tuyến tính.

2) Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợ p tuyến tínhcủa các véc tơ còn lại.

3) Giả sử hệ độc lậ p tuyến tính. Khi đó hệ { nvv ,...,1 } { }uvv n ,,...,1 phụ thuộc tuyến

tính khi và chỉ khi u là tổ hợ p tuyến tính của các véc tơ { }nvv ,...,1 , khi đó ta có thể biểu diễn

duy nhất nnvvu β β ++1= ...1

}

.

Chứng minh: Ta chứng minh 3).

(⇐): suy từ 2).

(⇒): Giả sử phụ thuộc khi đó tồn tại các số { uvv n ,,...,1 ∈α β β ,',...,'1 n không

đồng thờ i bằng 0 sao cho 0'...' 11 =+++ uvv nn α β β , vì hệ { }nvv ,...,1 độc lậ p nên

0≠α , ⇒ nn vvuα

β

α

β −−−= ...1

1 .

Hơ n nữa giả sử nnvvu β β ++= ...11 thì

43

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



0'

...'

)'

(...)'

( 111

11 =+==+⇒++++=−=

α

β β

α

β β

α

β β

α

β β n

nnn

n vvuu0

Do đóα

β β

α

β β ',...,'1

1n

n −=−= . Vậy cách viết trên là duy nhất.

2.4 HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮ U HẠN CÁC VÉC TƠ

2.4.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại

Định ngh ĩ a 2.8: Cho hệ S các véc tơ của không gian véc tơ V . Hệ con { } của hệ nvv ,...,1S đượ c gọi là độc lậ p tuyến tính tối đại của S nếu nó là hệ độc lậ p tuyến tính và nếu thêm bất k ỳ

véc tơ nào của S thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính.

Nói riêng hệ { là hệ độc lậ p tuyến tính tối đại của}nvv ,...,1 V nếu hệ { độc lậ pvà nếu thêm bất k ỳ véc tơ khác của

}nvv ,...,1V ta có hệ mớ i là phụ thuộc.

Tính chất 2.7:

1) Nếu 'S là hệ con độc lậ p tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc tơ của S là tổ hợ p

tuyến tính các véc tơ của 'S và cách biểu diễn thành tổ hợ p tuyến tính là duy nhất (điều này suytừ tính chất 2.6 - 3)).

2) Giả sử { là hệ con độc lậ p tuyến tính của một hệ hữu hạn}nvv ,...,1 S . Khi đó ta có thể

bổ sung thêm để đượ c một hệ con độc lậ p tuyến tính tối đại của S chứa { }nvv ,...,1 .

Thật vậy, nếu { không tối đại thì tồn tại một véc tơ của}nvv ,...,1 S , ta ký hiệu , sao

cho hệ { độc lậ p tuyến tính. Lậ p luận tươ ng tự và vì hệ

1+nv

}11 ,,..., +nn vvv S hữu hạn nên quá trình

bổ sung thêm này sẽ dừng lại, cuối cùng ta đượ c hệ { }k nnn vvvv ++ ,...,,,..., 11 độc lậ p tuyến

tính tối đại của S .

2.4.2 Hạng của một hệ hữ u hạn các véc tơ

Bổ đề 2.8 (Định lý thế Steinitz (Xtêi-nít)): Nếu hệ S độc lậ p tuyến tính có n véc tơ và mỗi

véc tơ của S là tổ hợ p tuyến tính các véc tơ của hệ R có k véc tơ thì k n ≤ .

Chứng minh: Giả sử ,{ }nvvS ,...,1= { }k uu R ,...,1= . Ta sẽ chứng minh r ằng có thể

thay dần các véc tơ của hệ bằng các véc tơ của hệ S để có các hệ , ,... mà mỗi véc tơ

của hệ

1 R 2 R

S vẫn còn là tổ hợ p tuyến tính của , ,....1 R 2 R

Thật vậy, ta có k k uuv α α ++= ...111 , 01 ≠v (vì S độc lậ p) nên ∈k α α ,...,1

không đồng thờ i bằng 0, ta giả sử 01 ≠α (có thể đánh lại số thứ tự của R ), suy ra

k k uuvu1

21

21

11 ...

1α

α

α

α

α −−−= .

44

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Xét hệ { }k uuv R ,...,, 211 = . Rõ ràng mọi véc tơ của S vẫn còn là tổ hợ p tuyến tính các

véc tơ của .1 R

Tươ ng tự ta có k k uuvv β β β +++= ...22112 , vì { }21, vv độc lậ p nên ∈k β β ,...,2

không đồng thờ i bằng 0, ta giả sử 02 ≠ β .

Khi đó k k uuvvu2

32

31

2

12

22 ...

1 β

β

β

β

β

β

β −−−−= .

Xét hệ , mọi véc tơ của{ k uuvv R ,...,,, 3212 = } S cũng là tổ hợ p tuyến tính các véc tơ

của .2 R

Nếu k n > , tiế p tục quá trình này cuối cùng ta đượ c mọi véc tơ của S là tổ hợ p tuyến tính

các véc tơ của hệ { k k vvv R ,...,, 21 }= , là hệ con của S . Điều này mâu thuẫn vớ i giả thiết hệ

S độc lậ p tuyến tính. Vậy k n ≤ .

Định lý 2.9: Mọi hệ con độc lậ p tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn S các véc tơ của V đều

có số phần tử bằng nhau.

Chứng minh: Giả sử k ii vv ,...,

1và

n j j vv ,...,1

là hai hệ con độc lậ p tuyến tính tối

đại của hệ S . Từ tính tối đại của mỗi hệ, suy ra r ằng mọi véc tơ của hệ này là tổ hợ p tuyến tínhcác véc tơ của hệ kia. Do đó k n ≤ và nk ≤ , vậy k n = .

Định ngh ĩ a 2.9: Số các véc tơ của một hệ con độc lậ p tuyến tính tối đại của hệ S đượ c gọi

là hạng (rank) của S , ký hiệu )(S r .

Qui ướ c hệ chỉ có véc tơ 0 có hạng là .0

2.5 CƠ SỞ , SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ


1) Nếu không gian véc tơ V có một hệ sinh hữu hạn thì V đượ c gọi là không gian hữu hạn sinh.

2) Mỗi hệ sinh độc lậ p tuyến tính của V đượ c gọi là một cơ sở của V .

Giáo trình này chỉ hạn chế xét các không gian hữu hạn sinh.

Giả sử là hệ sinh của{ nvvS ,...,1= } V thì vớ i mọi V u ∈

nnv xv xu ++= ...11 , ∈n x x ,...,1 .

45

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Định lý 2.10: Giả sử là một hệ các véc tơ của{ nee ,...,1 } V . Các mệnh đề sau là

tươ ng đươ ng:

(i) Hệ { là một cơ sở của}nee ,...,1 V .

(ii) Hệ { là hệ độc lậ p tuyến tính tối đại của}nee ,...,1 V .

(iii) Mọi véc tơ V u ∈ tồn tại một cách viết duy nhất:

nne xe xu ++= ...11 , ∈n x x ,...,1 . (2.4)

Chứng minh: (i)⇒(ii): Hiển nhiên từ định ngh ĩ a của cơ sở .

(ii)⇒(iii): Suy từ tính chất 3.2 - 3).

(iii)⇒(i): Rõ ràng { là hệ sinh. Ngoài ra nếu}nee ,...,1 0=++ nne xe x ...11 , mặt khác

. Do cách viết duy nhất suy ranee 0...0 1 ++=0 0...1 === n x x .

Định ngh ĩ a 2.11: trong (2.4) đượ c gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở

.

),...,( 1 n x x

{ }nee ,...,1

Ta ký hiệu toạ độ của véc tơ u trong cơ sở { }nee ,...,1= B là [ ] B

u .

Vậy nếu thỏa mãn (2.4) thìu

[ ] ),...,( 1 n x xu = B

(2.5)

Định lý 2.11: Giả sử V là không gian hữu hạn sinh và { }k vv ,...,1 là hệ độc lậ p tuyến tính

các véc tơ của V . Khi đó có thể bổ sung thêm để có đượ c hệ { }mk k k vvvv ++ ,...,,,..., 11 là

một cơ sở của V .

Chứng minh: Giả sử V có một hệ sinh có n véc tơ . Nếu { }k vvS ,...,1= không phải là cơ

sở thì S không phải là hệ sinh, theo tính chất 2.6-3) tồn tại véc tơ , ta ký hiệu , sao cho hệ 1+k v

{ 11 ,,..., + }k k vvv độc lậ p tuyến tính. Tiế p tục quá trình này cuối cùng ta có hệ

độc lậ p tuyến tính và là hệ sinh,{ }k k k vvvv ++ ,...,,,..., 11 m nmk ≤+ (theo Bổ đề 2.8). Vậy

là một cơ sở cần tìm.{ }mk k k vvvv ++ ,...,,,..., 11

Hệ quả 2.12: Mọi không gian hữu hạn sinh đều tồn tại cơ sở .

Định lý 2.13: Số phần tử của mọi cơ sở của đều bằng nhau.

Chứng minh: Áp dụng Bổ đề 2.8 ta có hai cơ sở bất k ỳ của V đều có số phần tử bằng nhau.

46

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Định ngh ĩ a 2.12: Số véc tơ của một cơ sở của V đượ c gọi là số chiều của V , ký hiệu

V dim . Quy ướ c { } 0dim =0 .

Ví dụ 2.12: Trong không gian ta xét hệ n { }nee ,...,1= B trong đó:

)0,...,0,1(1 =e , ,...,)0,...,1,0(2 =e )1,...,0,0(=ne (2.6)

là một cơ sở của gọi là cơ sở chính tắc. Vậyn nn =dim .

Ví dụ 2.13: Hệ nt t ,...,,1= B là một cơ sở của , gọi là cơ sở chính tắc. Vậy

.

n P

1dim += n P n

Chú ý 2.14: Không gian là một ví dụ về không gian véc tơ không hữu hạn

sinh. Thật vậy, hệ

U∞

=

=1n

n P P

,....,,1 2t t có vô hạn véc tơ và độc lậ p tuyến tính nên không thể là hữu hạn

sinh.

Định lý 2.15: Giả sử nV =dim và { }mvvS ,...,1= là hệ m véc tơ của V . Khi đó: (i)

Nếu hệ S độc lậ p tuyến tính thì .nm ≤

(ii) Nếu hệ S là hệ sinh của thì .nm ≥

(iii) Nếu thì hệ nm = S độc lậ p tuyến tính khi và chỉ khi S là hệ sinh.

Chứng minh: Gọi B là một cơ sở của V . Áp dụng bổ đề 2.8 cho hai hệ B và S suy racác điều cần chứng minh.

Định lý 2.16: Giả sử là hai không gian con của21,W W V thì

)dim()dim(dimdim 212121 W W W W W W I++=+ (2.7)

Đặc biệt: 2121 dimdim)dim( W W W W +=⊕

(2.8)

Chứng minh: Giả sử là một cơ sở của (nếu{ l ee ,...,1 } 21 W W I φ =21 W W I thì

0=l ). Theo định lý 2.11 ta có thể bổ sung thêm để { }ml uuee ,...,,,..., 11 là một cơ sở của

và { } là một cơ sở của . Vớ i mọi

1W

k l vvee ,...,,,..., 11 2W 21 W W v +∈ thì:

k k mml l l v z v z u yu ye x xe x xv ++++++++++= ......)'(...)'( 1111111 .

Vậy { }k ml vvuuee ,...,,,...,,,..., 111 là hệ sinh của 21 W W + . Mặt khác, giả sử

0......... 111111 =++++++++ k k mml l v z v z u yu ye xe x

47

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



thì 21111111 ......... W W v z v z u yu ye xe x k k mml l I∈−−−=+++++ .

⇒ 211111 ...... W W et et v z v z l l k k I∈++=−−−

⇒ 0...... 1111 =+++++ l l k k et et v z v z

⇒ 0...... 11 ====== l k t t z z ⇒ 0...... 11 ====== ml y y x x .

Vậy { } là một cơ sở củak ml vvuuee ,...,,,...,,,..., 111 21 W W + .

)dim()dim(2dimdim 212121 W W W W k ml W W I++=++=+ .

Định lý 2.17: Giả sử S là hệ hữu hạn các véc tơ của V . Khi đó

(i) W S r dim)( = , vớ i S W span= .

(ii) Khi thực hiện một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấ p sau lên hệ S :

• Nhân một số khác 0 vớ i một véc tơ của hệ S ;

• Cộng vào một véc tơ của hệ S một tổ hợ p tuyến tính các véc tơ khác của S ; thì hệ S

biến thành hệ 'S có )'()( S r S r = .

Chứng minh: (i) Giả sử là hệ con độc lậ p tuyến tính tối đại của0S S thì cũng sinh ra

, do đó là một cơ sở của W ⇒

0S

W 0S =)(S r số véc tơ của W S dim0 = .

(ii) Nếu '' , panS W panS W == thì 'W W = ⇒ )'()( S r S r = .

Nhận xét 2.18: Để tìm hạng của hệ véc tơ { }nvvv ,...,, 21 ta có thể sử dụng 2 cách sau:

1) Áp dụng định lý 2.17 bằng cách thực hiện các phép biến đổi sơ cấ p lên hệ véc tơ đã chođể đưa về hệ véc tơ mà ta dễ dàng nhận đượ c hạng của nó.

Khi thực hành ta có thể viết tọa độ các véc tơ thành một bảng, mỗi véc tơ nằm trên mộthàng, sau đó biến đổi để bảng số này có dạng tam giác.

2) Áp dụng tính chất 2.6 theo từng bướ c như sau:

1. Loại các véc tơ ,0=iv

2. Giả sử 0≠1v , loại các véc tơ tỉ lệ vớ i ,iv 1v

3. Giả sử k ii vv ,...,

1 độc lậ p, khi đó jii vvv

k ,,...,

1 độc lậ p khi và chỉ khi

không biểu diễn thành tổ hợ p tuyến tính của jvk ii vv ,...,

1.

Ví dụ 2.14: Tìm hạng của hệ véc tơ sau:

,)3,1,3,1(,)1,1,1,1(,)1,1,1,1( 321 =−−== vvv

48

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



.)2,1,2,1(,)2,0,2,1( 54 == vv

Giải:

• Cách1:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

→

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

0100

1110

2020

2020

1111

2121

2021

3131

1111

1111

(Hàng1 → hàng 1, hàng 2 - hàng1 → hàng 2, hàng 3 - hàng1 → hàng 3, hàng 4 - hàng1→ hàng 4, hàng 5 - hàng4 → hàng 5)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

→

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

→

0000

0000

0100

1010

1111

0100

0000

0000

2020

1111

(Hàng 3 + hàng 2 → hàng 3, hàng 4 +(1/2) hàng 2 - hàng 5 → hàng 4).

(-1/2hàng 2 → hàng 2, hàng 5 → hàng 3).

Vậy hệ véc tơ có hạng là 3.

• Cách 2: không tỉ lệ nên độc lậ p. Nếu21 , vv 213 v y xvv += thì

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

=+

=−

=+

3

1

3

1

y x

y x

y x

y x

1,2 −==⇒ y x .

Vậy 213 2 vvv −= . Ngh ĩ a là { }321 ,, vvv phụ thuộc.

Nếu 214 v y xvv += thì

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

=+

=−

=+

2

0

2

1

y x

y x

y x

y x

, hệ vô nghiệm. Vậy { }421 ,, vvv độc lậ p.

49

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Nếu thì4215 zvv y xvv ++=

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−

=+

=+−

=++

22

1

22

1

z y x

y x

z y x

z y x

0,2/1,2/3 =−==⇒ z x .

Vậy . Ngh ĩ a là215 2/12/3 vvv −= { }5421 ,,, vvvv phụ thuộc.

Vậy { là một hệ con độc lậ p tuyến tính tối đại của}421 ,, vvv { }54321 ,,,, vvvvv .

50

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 3: Ma tr ận

3. CHƯƠNG 3: MA TRẬN

3.1 KHÁI NIỆM MA TR ẬN

Định ngh ĩ a 3.1: Một bảng số có m hàng cộtn

(3.1)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

MOMM

đượ c gọi là một ma tr ận cỡ . là phần tử ở hàng thứ và cột .nm× ija i j

Khi thì jiaij ,, ∀∈ đượ c gọi là ma tr ận nguyên, jiaij ,, ∀∈ thì đượ c gọi

là ma tr ận phức. Nếu không chỉ rõ thì ta quy ướ cija là ma tr ận thực.

Ma tr ận cỡ nm× có thể đượ c viết tắt dạng

[ ] mi

n jija A,1

,1

=

== hay [ ]

nmija A×

= (3.2)

Khi ta nóinm = là ma tr ận vuông cấ p .n

Tậ p hợ p tất cả các ma tr ận cỡ nm× đượ c ký hiệu .nm× M

Tậ p hợ p tất cả các ma tr ận vuông cấ p đượ c ký hiệunn

M .

Ví dụ 3.1: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

523

10 π là ma tr ận cỡ 32× .

Hai ma tr ận cùng cỡ [ ]nmija A

×= , [ ]

nmijb B×

= bằng nhau, ký hiệu B= , khi và

chỉ khi vớ i mọiijij ba = n jmi ,1;,1 == .

51

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 3: Ma tr ận 3.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TR ẬN

3.2.1 Phép cộng

Cho hai ma tr ận cùng cỡ [ ] nmija A×

= , [ ] nmijb B×

=

Tổng của hai ma tr ận B, là ma tr ận cùng cỡ đượ c ký hiệu và định ngh ĩ a bở i

vớ i mọi[ ] ijijijnmij bacc B A +==+×

, ;,1 mi = n j ,1= .

(3.3)

Ví dụ 3.2: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

656

552

713

580

149

032.

3.2.2 Phép nhân ma trận vớ i một số

Cho ma tr ận [ ]nmija A

×= cỡ nm× , và số thực k . Ta định ngh ĩ a và ký hiệu

[ ]nmijkakA

×= . (3.4)

Ví dụ 3.3: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

5423

02141

1083

0121

2

1.

Tính chất 3.1: Các tính chất sau đây đúng đối vớ i các ma tr ận cùng cỡ :

1) C C B ++=++ )()( ;

2) Ma tr ận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma tr ận không và ký hiệu 0 .

Khi đó: =+=+ 00 ;

3) 0)( =−+ , trong đó [ ]nmija A

×−=− ;

4) +=+ .

Vậy ),( +×nm M là một nhóm Abel.

Ta cũng kiểm chứng đượ c các tính chất sau đúng vớ i mọi số thực hk , vớ i mọi ma tr ận

,[ ]nmija A

×= [ ]

nmijb B×

= cỡ nm× :

5) kBkA Bk +=+ )( ;

6) hAkAhk +=+ )( ;

52

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 3: Ma tr ận 7) khhAk )()( = ;

8) =1 .

Vớ i 8 tính chất này tậ p nm× M là không gian véc tơ .

Ký hiệu là ma tr ận cỡ có các phần tử đều bằng 0 ngoại tr ừ phần tử ở hàng i cột

j bằng 1 thì hệ các ma tr ận

ij E nm×

n jmi E ij ,1;,1 == là một cơ sở của .nm× M

Vậy nmnm ×=× M dim .

3.2.3 Phép nhân ma trận

Định ngh ĩ a 3.2: Tích hai ma tr ận [ ] pmija A ×= và [ ] n pijb B ×= là ma tr ận cỡ

m×n đượ c ký hiệu và định ngh ĩ a bở i [ ]nmijc AB

×= , trong đó

∑=

= p

k

kjik ij bac

1

vớ i mọi n jmi ,1;,1 == . (3.5)

Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của B bằng tổng của tích các phần tử của hàng thứ i

của vớ i các phần tử tươ ng ứng của cột thứ j của B .

j

i

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

pj

j

j

ipiiij

b

b

b

aaac

2

1

21

Ví dụ 3.4: .⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

177

159

42

01

31

521

321

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

6123

482241

3

2.

53

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 3: Ma tr ận Ta thấy r ằng tích của hai ma tr ận và B định ngh ĩ a đượ c khi số cột của bằng số hàng

của . Vì vậy có thể định ngh ĩ a B nhưng không định ngh ĩ a đượ c A nếu số cột của

không bằng số hàng của .

Khi , là hai ma tr ận vuông cùng cấ p thì ta có đồng thờ i B và BA . Mặc dầu vậy

chưa chắc có đẳng thức BA B = , nói cách khác tích ma tr ận không có tính giao hoán. Chẳng

hạn, xét

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

00000

0000

0003

0021

00000

0000

0032

0001

MOMMM

K

K

K

MOMMM

K

K

K

B A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=≠

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

=

00000

0000

0003

0063

00000

0000

00411

0021

MOMMM

K

K

K

MOMMM

K

K

K

BA AB

Tính chất 3.2: Giả sử C ,, là các ma tr ận vớ i số cột số hàng thích hợ p để các phép toán

sau xác định đượ c thì ta có các đẳng thức:

1) C BC )()( = tính k ết hợ p.

2) C BC +=+ )( tính phân phối bên trái phép nhân ma tr ận vớ i phép cộng.

3) CA BAC B +=+ )( tính phân phối bên phải phép nhân ma tr ận vớ i phép cộng.

4) Vớ i mọi )()()(, kB A BkA ABk k ==∈ .

5) Vớ i mọi số tự nhiên dươ ng n ta xét ma tr ận vuông cấ p n có các phần tử trên đườ ng

chéo bằng 1 và các phần tử ở vị trí khác đều bằng 0.

n I

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

1

On I

54

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 3: Ma tr ận Khi đó vớ i mọi ma tr ận cỡ nm× ta có nm AI A A I == .

Ma tr ận đượ c gọi là ma tr ận đơ n vị cấ p n.n I

Từ các tính chất trên ta thấy tậ p hợ p các ma tr ận vuông cấ p cùng vớ i phép cộng và

nhân ma tr ận

2≥n

,.),( +n M là một vành không giao hoán, có đơ n vị và không nguyên vì có ướ c của

0. Chẳng hạn

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00000

0000

0031

0062

00000

0000

0042

0021

MOMMM

K

K

K

MOMMM

K

K

K

B A

0, ≠ B nhưng 0= B .

3.2.4 Ma trận chuyển vị

Định ngh ĩ a 3.3: Cho ma tr ận cỡ nm× , nếu ta đổi các hàng của ma tr ận thành các

cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta đượ c ma tr ận mớ i cỡ mn× , gọi là ma tr ận chuyển vị

của ma tr ận trên , ký hiệut

[ ] m jniacc A jiijmnijt ,1 ,1 ; ====

×. (3.6)

Ví dụ 3.5: .⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=901

524 ;

95

02

14t A A

Tính chất 3.3:

1) .t t t B A B A +=+ )(

2) .t t kAkA =)(

3) .t t t A B AB =)(


1) Nếut = thì đượ c gọi là ma tr ận đối xứng ( là ma tr ận vuông có các phần tử

đối xứng nhau qua đườ ng chéo thứ nhất).

55

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 3: Ma tr ận 2)

t −= thì đượ c gọi là phản đối xứng (hay đối xứng lệch) ( là ma tr ận vuông

có các phần tử đối xứng và trái dấu qua đườ ng chéo thứ nhất, các phần tử trên đườ ng chéo thứ

nhất bằng 0).

3.3 MA TR ẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ TRONG MỘT CƠ SỞ NÀO ĐÓ

Giả sử V là không gian n chiều vớ i một cơ sở { }nee ,.....1= B .

{ mvv ,...,1 } là một hệ véc tơ của V có toạ độ trong cơ sở : B

∑=

==n

i

iij j m jeav

1

,1,

Khi đó ma tr ận có các cột là các toạ độ của các véc tơ trong

cơ sở đượ c gọi là ma tr ận của hệ véc tơ

[ ] mnija A×= { }mvv ,...,1

B { }mvv ,...,1 trong cơ sở . B

Ngượ c lại, vớ i ma tr ận cỡ mn× cho tr ướ c thì ta có hệ m véc tơ mà toạ độ của nó

trong cơ sở là các cột của B .

Vậy khi không gian véc tơ V vớ i cơ sở cố định { }nee ,.....1= B thì có tươ ng ứng 1 - 1

giữa các ma tr ận cỡ vớ i các hệ véc tơ củamn× m V .

Ma tr ận chuyển cơ sở

Giả sử ,{ }nee ,.....1= B { }nee ',.....'1'= B là hai cơ sở của V . Ma tr ận của hệ véc tơ

' B trong cơ sở đượ c gọi là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang cơ sở B B ' B . Ngh ĩ a là nếu

∑=

==n

i

iij j n jet e

1

,1,' ... thì [ ]ijt P = (3.7)

là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang B ' .

Khi đó vớ i véc tơ bất k ỳ V u∈ ; ∑∑==

==n

i

ii

n

i

ii e xe xu

11

'' .

Ta có: [ ] [ ] [ ]11 '××× =

n jnnijni xt x (3.8)

(3.8) đượ c gọi là công thức đổi tọa độ

Nếu ', lần lượ t là ma tr ận của { }mvv ,...,1 trong cơ sở , B ' B thì

' PA= (3.9)

56

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 3: Ma tr ận 3.4 HẠNG CỦA MA TR ẬN

Định ngh ĩ a 3.5: Ta gọi hạng của ma tr ận , ký hiệu )(r , là hạng của các véc tơ cột của .

Phươ ng pháp tìm hạng của ma tr ận bằng phép biến đổi sơ cấ p

Hạng )(S r của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ của một hệ con độc lậ p

tuyến tính tối đại của S hay là chiều của S span (xem Định lý 2.17). Vì vậy khi ta thực hiện liên

tiế p các phép biến đổi sau, gọi là các phép biến đổi sơ cấ p, thì S span không đổi do đó hạng của

hệ không thay đổi:

1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ.

2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0 .

3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợ p tuyến tính các véc tơ khác của hệ.

Vì vậy để tìm hạng của một ma tr ận ta thực hiện các biến đổi sơ cấ p lên các cột (sau này ta

sẽ chứng minh đượ c r ằng ta cũng có thể biến đổi theo các hàng) để đưa ma tr ận về dạng tam giác,

từ đó suy ra hạng của ma tr ận.

Ví dụ 3.6:

0551

0772

0001

2121

4112

2431

4412

3314

2213

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

=→+−

→+

→+

ccc

ccc

ccc

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−→+

→

→

0051

0072

0001

332

22

1c1c

ccc

cc

Vậy 2)( =r .

5512

441

331

221

11

35

24

13

52

41

21112

1110

1111

21111

11221

1101

1111

11121

ccc

ccc

ccc

ccc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

a

a

a

a B

→+−

→+

→+−

→+

→

→

→

→

→

→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−−

=

57

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+−

→+

→++++−

→

→

→

aa

a

acccaca

cc

22 22 1 1 2

0 0 1 1 0

0 0 0 21

0 0 0 0 1

2 3 1 1 2

1 1 1 0

3 1 2 0 1

0 0 0 0 1

5c

52c

33c-

22a)c-(3

442

3)1(

2)3(

2c

3c

3c

2c

11

Vậy⎩⎨⎧

=

≠=

13

14)(

a

a Br

nÕu

nÕu.

Xét các ma tr ận vuông cấ p n sau:

(3.10)[ ]k

ak R ij

hµng

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

1

1

),(λ

λ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

≠=

≠

k ji

k ji

ji

ija

1

0

λ

cột k

[ ]

j

i

hµng

hµng

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

1

01

10

1

),( kl a ji P

cột i cột j

(3.11)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

==

==

=

≠=

kh¸chîptr− êngçctrong

hayb»ngvµ

0

1

1

0

1

,

,

;

il jk

jl ik

jil k

jil k

kl a

58

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



[ ]ihµng

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

1

1

1

λ

==),,( λ kl a jiQ

cột j

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

=

kh¸chîptr− êngçctrong0

,

1

jl ik

l k

akl λ (3.12)

Tính chất 3.5: Ta dễ dàng kiểm tra đượ c:

a) Nếu nhân ),( λ k vào bên phải của ma tr ận thì ma tr ận tích ),( λ k R có đượ c

bằng cách nhân thêm λ vào cột k của ma tr ận .

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

"""'''

10000

001

"""'''

cbacba

cba

cbacba

cba

λ

λ

λ

λ

b) Nếu nhân ),( ji P vào bên phải của ma tr ận thì ma tr ận tích ),(i P có đượ c bằng

cách đổi chỗ hai cột i và của j cho nhau.

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

"""

'''

100

001

010

"""

'''

cab

cab

cab

cba

cba

cba

c) Nếu nhân ),,( λ jiQ vào bên phải của ma tr ận thì ma tr ận tích ),,( λ jiQ có đượ c

bằng cách nhân λ vào cột i và cộng vào cột của ma tr ận j

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

""""

''''

10

010

001

"""

'''

cbca

cbca

cbca

cba

cba

cba

λ

λ

λ

λ

.

59

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 3: Ma tr ận d) Nếu nhân RQ P ,, vào bên trái của ma tr ận thì ta có các k ết quả tươ ng tự như trên,

trong đó các tác động lên hàng đổi thành tác động lên cột và ngượ c lại. Chẳng hạn

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

"""

'''

"""

'''

100

00

001

cba

cba

cba

cba

cba

cba

λ λ λ λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

"'"'"'

'''

"""

'''

10

010

001

ccbbaa

cba

cba

cba

cba

cba

λ λ λ λ

.

60

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c

4. CHƯƠNG 4: ĐỊNH THỨC

4.1 HOÁN VỊ VÀ PHÉP THẾ


1) Mỗi song ánh { } { }nn ,...,2,1,...,2,1: →σ đượ c gọi là một phép thế bậc n.

Ta thườ ng ký hiệu một phép thế bằng một ma tr ận có hàng thứ nhất là các số 1,2,...,n sắ ptheo thứ tự tăng dần còn hàng thứ hai là ảnh của nó:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)(...)2()1(

...21

n

n

σ σ σ σ

2) Ảnh của một phép thế đượ c gọi là hoán vị. Vớ i phép thế σ ta có hoán vị tươ ng ứng

[ ])(...)2()1( nσ σ σ .

3) Dấu của phép thế:

Cho hoán vị [ ])(...)2()1( nσ σ σ , nếu có cặ p i < mà )()( ji σ σ > thì ta nói

có một nghịch thế của σ .

Giả sử k là số các nghịch thế của σ , ta định ngh ĩ a và ký hiệu dấu của phép thế σ là

k )1(sgn −=σ (4.1)

Ta dễ dàng kiểm chứng đượ c r ằng tậ p các phép thế bậc n vớ i luật hợ p thành là phép hợ p của

hai ánh xạ tạo thành một nhóm không giao hoán, gọi là nhóm đối xứng bậc n, ký hiệu .nS

Trong chươ ng 1 ta đã biết tậ p cóđúng n! phần tử. Chẳng hạn có 2 phần tử, có

6 phần tử ... n

S 2

S 3

S

Ví dụ 4.1: Hoán vị [ ứng vớ i phép thế có một nghịch thế. Vậy

.

]231 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

231

321σ

1)1(sgn 1 −=−=σ

Để tìm số các nghịch thế k của phép thế σ ta thực hiện các bướ c sau:

Trong hoán vị [ ])(...)2()1( nσ σ σ có là giá tr ị sao cho1i 1)( 1 =iσ .

61

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c ♦ Gọi là số các số trong [ ]1k )(...)2()1( nσ σ σ đứng tr ướ c 1)( 1 =iσ ;

♦ Xoá số 1)(1

=iσ , tồn tại sao cho2

i 2)(2

=iσ , gọi là số các số còn lại trong2

k

[ ])(...)2()1( nσ σ σ đứng tr ướ c 2)( 2 =iσ ;

♦ Xoá số 2)( 2 =iσ và tiế p tục đếm như thế ...

Cuối cùng số các nghịch thế của σ là:

121 ... −+++= nk k k k

Ví dụ 4.2: Hoán vị có[ ]1243 31 =k , 22 =k , 03 =k .

Vậy 5=k và .1)1(sgn 5 −=−=σ

Tính chất 4.1:

1) Cặ p ji ji ≠),,( là một nghịch thế của phép thế σ ( ngh ĩ a là i < và )()( ji σ σ > )

khi và chỉ khi dấu của ji

ji

−

− )()( σ σ bằng 1− . Vậy

∏≤≠≤

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

n jiji

ji

1

)()(sgn

σ σ σ dÊu . (4.2)

2) Chuyển vị [ 00 ji= ]σ là phép thế chỉ biến đổi hai phần tử cho nhau và giữ

nguyên các phần tử còn lại:

00 , ji

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ni j

n ji

.........21

.........21

00

00σ (4.3)

Dễ dàng tính đượ c: 0... 11 0=== −ik k , 000

i jk i −= ,

1... 11 00 === −+ ji k k , 0...0 === n j k k 1)(2 00 −−=⇒ i jk

Vậy .1)1(sgn −=−= k σ

3) Vớ i mọi :, nS ∈σ σ σ sgnsgn)sgn( =o . (4.4)

Thật vậy, khi ),(i chạy khắ p tậ p { } { } { }),(),...,1,1(\,...,2,1,...,2,1 nnnn × thì

))(),(( ji cũng chạy khắ p tậ p này. Do đó:

62

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



∏∏≤≠≤≤≠≤

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

n jin jiji

ji

ji

ji

)()(11)()(

))(())(()()(sgn

μ μ μ μ

μ σ μ σ σ σ σ dÊudÊu

∏≤≠≤

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

n jiji

ji

1)()(

))(())((

μ μ

μ σ μ σ dÊu .

∏∏≤≠≤≤≠≤

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

n jin jiji

ji

ji

ji

11

)()(

)()(

))(())((sgnsgn

μ μ

μ μ

μ σ μ σ μ σ dÊudÊu

( )μ σ μ σ μ σ

osgn))(())((

1

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−= ∏

≤≠≤ n ji ji

jidÊu .

4) Vớ i mọi chuyển vị [ (xem 4.3) và phép thế ]00 ji σ :

[ ] σ σ sgnsgn 00 −= jio .

4.2 ĐỊNH THỨ C

Khi giải hệ phươ ng trình tuyến tính

⎩⎨⎧

=+

=+

''' c yb xa

cbyaxta tính các định thức

''''

baabba

ba D −== , ''

''bccb

bc

bc D x −== , ''

''caac

ca

ca D y −== .

Như vậy định thức của ma tr ận vuông cấ p 2 là⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aa

aa A

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa A −== .

Mặt khác nhóm đối xứng có 2 phần tử là và có dấu2S ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

211σ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

12

212σ

1sgn 1 =σ , 1sgn 2 −=σ . Vậy

211222112221

1211aaaa

aa

aa A −==

63

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c ∑∈

=+=

2

2211 )2(2)1(1)2(2)1(12)2(2)1(11 sgnsgnsgn

S

aaaaaa

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ .

Ta mở r ộng định ngh ĩ a này cho ma tr ận vuông cấ p bất k ỳ như sau.n

Định ngh ĩ a 4.2: Định thức của ma tr ận vuông [ ]nnija A

×= đượ c ký hiệu là

det hay A và định ngh ĩ a bở i biểu thức:

∑∈

⋅=

nS nnaa A

σ σ σ σ )()1(1 ...sgndet (4.5)

Như vậy định thức của ma tr ận vuông [ ] nnija A ×= là tổng tất cả các tích gồm n phần tử

trên n hàng mà ở trên n cột khác nhau của ma tr ận và nhân vớ i +1 hoặc -1.

Ví dụ 4.3: a) Nhóm đối xứng có 6 phần tử là (xem ví dụ 1.23 chươ ng 1)2S

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

321

3211σ , , ,⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

231

3212σ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

312

3213σ

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=

132

321

4

σ , , .

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=

213

321

5

σ

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=

123

321

6

σ

có dấu 1sgnsgnsgn 541 === σ σ σ , 1sgnsgnsgn 632 −=== σ σ σ . Vậy

.

sgn

312213322113312312

332112322311332211

)3(3)2(2)1(1

333231

232221

131211

3

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

aaa

S

−++

−−=

= ∑∈σ

σ σ σ σ

(4.6)

b) Tính định thức

nn

n

n

n

n

a

aa

aaa

aaaa

D

MO

333

22322

1131211

...

...

...

=

64

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Xét phép thế có⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

n

n

...21

...210σ ( ) 11sgn 0

0 =−=σ .

Vớ i mọi nS ∈σ , nếu 0σ σ ≠ thì tồn tại k sao cho k k ≠)(σ tồn tại⇒ 'k sao cho

')'( k k <σ 0)'(' =⇒ k k a σ 0... )()1(1 =⇒ nnaa σ σ . Vậy

. (4.7)nnnn

S

nnn aaaaaa D

n

......sgn...sgn 11110)()1(1 =⋅=⋅= ∑∈

σ σ

σ

σ σ

Tươ ng tự nn

nnnnn

n aa

aaaa

aaa

aa

a

D ...

...

' 11

321

333231

2221

11

==OMMM

. (4.8)

c) Tính định thức

nnnn

nnn

nn

n

n

aaa

aa

aa

a

D

......

......

"

21

12,1

21,2

1

−−

−

= MMN

Xét phép thế thoả mãn⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

1...1

...211

nn

nσ ,1)(1 +=+ nk k σ nk ...,,1=∀ .

Ta dễ dàng tính đượ c

1,...,2,1 121 =−=−= −nk nk nk 2)1()1(...1 −=−++=⇒ nnnk

2)1(

1 )1(sgn

−−=⇒ nn

σ . Mặt khác vớ i mọi nS ∈

σ , nếu 1σ σ ≠

thì tồn tại k saocho 1)( +<+ nk k σ 0)( =⇒ k k a σ 0... )()1(1 =⇒ nnaa σ σ .

Vậy nk nk n

S

nnn aaaaa D

n

1,11)()1(1 ......sgn...sgn" −∈

⋅=⋅= ∑ σ σ

σ

σ σ

nk nk nnn aaa 1,1

2)1( ......)1( −−−= (4.9)

Tươ ng tự

65

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



nk nk nnn

n

n

nn

n aaa

a

aaa

aaaa

D 1,12)1(

1

122221

1111211

......)1(

...

...

'" −−

−

−

−==NM

NMM . (4.10)

Định ngh ĩ a 4.3: Định thức của ma tr ận [ ]nnija A

×= của hệ véc tơ ứng vớ i

cơ sở trong không gian véc tơ

{ nvv ,...,1 }

B V cũng đượ c gọi là định thức của hệ véc tơ { } và ký

hiệu

nvv ,...,1

{ }nvv D ,...,1 B . Vậy

{ } Avv D n det,...,1 = B . (4.11)

4.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨ C

Tính chất 4.2:

1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma tr ận thì định thức đổi dấu:

[ ]nnija A

×= , , thì[ ]

nnija A×

= ''

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

≠

=

k ia

mia

mk ia

a

mj

kj

ij

ij

nÕu

nÕu

nÕu ,

' det'det −= .

Thật vậy: ∑∈

⋅=

nS

nnmmk k aaaa A

σ

σ σ σ σ σ )()()()1(1 '...'...'...'sgn'det

∑∈

⋅=

nS

nnmk k m aaaa

σ

σ σ σ σ σ )()()()1(1 .........sgn

∑∈

⋅=

nS

nnmmk k aaaa

σ

σ σ σ σ σ )(')(')(')1('1 .........sgn

Aaaaa

nS

nnmk k m det.........'sgn

'

)(')(')(')1('1 −=⋅−= ∑∈σ

σ σ σ σ σ

trong đó [ ]mk oσ σ =' .

2) Định thức có tính chất tuyến tính đối vớ i mỗi hàng:

Cho hai ma tr ận ,[ ]nnija A

×= [ ]

nnijb B×

= và ma tr ận [ ]nnijcC

×= có hàng thứ k

là tổ hợ p tuyến tính của hàng thứ k của và B .

66

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ngh ĩ a là⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

≠==

.,...,1 n jbac

k ibac

kjkjkj

ijijij

mäivíi ;

nÕu

β α

thì BC detdetdet β α += .

Thật vậy: ∑∈

⋅=

nS

nnk k cccC

σ

σ σ σ σ )()()1(1 ......sgndet

∑∈

+⋅=

nS

nnk k k k abaa

σ

σ σ σ σ β α σ )()()()1(1 )......(sgn

∑∑ ∈∈ ⋅+⋅=nn S

nnk k S

nnk k bbbaaaσ

σ σ σ σ

σ σ σ σ β σ α )()()1(1)()()1(1 ......sgn......sgn

detdet β α += .

3) Từ 1) và 2) suy ra r ằng trong một ma tr ận có hai hàng tỷ lệ thì định thức bằng 0.

4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợ p tuyến tính các hàng khác thì định thức không

thay đổi.

5) Định thức của ma tr ận chuyển vị bằng định thức của ma tr ận đó:

Giả sử ,[ ] nnija A ×= [ ] nnijt

a A ×= ' , jiij aa =' , ni ,...,1, =

thìt detdet = .

∑∈

⋅=

nS

nnk k t aaa A

σ

σ σ σ σ )()()1(1 '...'...'sgndet

∑∈

⋅=

nS

nnk k aaa

σ

σ σ σ σ )()(1)1( ......sgn

∑∈

−−−⋅=

nS nnk k

aaa

σ σ σ σ

σ )()()1(1

111 ......sgn

Aaaa

nS nnk k

det......sgn)()()1(1

1111 =⋅= ∑

∈

−−−−

σ σ σ σ

σ

vì .1sgnsgn −= σ σ

67

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c 6) Từ 5) suy ra r ằng các tính chất của định thức đúng vớ i hàng thì cũng đúng vớ i cột và

ngượ c lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh các định lý về định thức đúng vớ i hàng. Chẳng hạn, từ 4)

suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợ p tuyến tính các cột khác thì định thức không thay đổi.

Định thức của mọi hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính đều bằng 0.

7)

nnn

n

S nn

aa

aa

aa p A

n ...

...

...sgn)(mod)det(

1

111

)()1(1 MOM== ∑∈σ

σ σ σ (4.12)

Ví dụ 4.4:

a)

ana

ana

anana

a

a

aa

Dn

...111

1...11

1...111...111

...111

1...11

1...111...11

−+

−+

−+−+

==

MOMMMMOMMM

(cộng các cột vào cột 1)

1...001

0...101

0...011

0...001

)1(

...111

1...11

1...11

1...111

)1(

−

−

−

−+=−+=

a

a

a

na

a

a

a

na

MOMMMMOMMM

1)1)(1( −−−+=⇒ nn ana D .

b) vớ i[ ]nnija A

×= 1±=ija

⇒== )2(mod0

1...1

1...1

)2(mod)det( MOM A det chẵn.

4.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨ C

4.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột

Nếu ta nhóm theo cột thứ j công thức (4.5) thì ta đượ c:

68

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⋅= ∑

=∈ jS

nn j

n

aaaa A

)1(,

)()3(3)2(21 ...sgndet

σ σ

σ σ σ σ

++⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⋅+ ∑

=∈

......sgn

)2(,

)()3(3)1(12

jS

nn j

n

aaaa

σ σ

σ σ σ σ

.⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅+ ∑

=∈−−

jnS nnnj

n

aaaa

)(,)1(1)2(2)1(1 ...sgn

σ σ σ σ σ σ

Vì vậy định thức của ma tr ận đượ c viết lại dướ i dạng

njnj j j Aa Aa A ++= ...det 11 (4.13)

gọi là công thức khai triển của theo cột thứ j.

đượ c gọi là phần bù đại số của .ij A ija

Định lý 4.3: ij ji

ij M A +−= )1( (4.14)

Trong đó là định thức của ma tr ận cấ p n-1 có đượ c bằng cách xoá hàng i cột j của ma

tr ận

ijM

.

Chứng minh: Tr ướ c hết ta chứng minh 1111 M A = . Ta có:

11

'

)(')2('2

1)1(,

)()2(211

1

...'sgn...sgn M aaaa Ann S

nn

S

nn === ∑∑−∈=∈ σ

σ σ

σ σ

σ σ σ σ

vớ i { }n,...,2' σ σ = là phép thế trong tậ p hợ p { }n,...,2 .

Tr ườ ng hợ p bất k ỳ, ta thực hiện i-1 lần đổi chỗ các hàng và j-1 lần đổi chỗ các cột để

đưa về hàng 1 cột 1.

ij A

Do đó ij ji

ij ji

ij M M A +−+− −=−= )1()1( )1()1(.

Công thức khai triển theo hàng i đượ c suy từ tính chất 3.7: 6)

69

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c ininii Aa Aa A ++= ...det 11 (4.15)

Ví dụ 4.5:

7121

6413

00012221

5021

0113

21014321

4412

331

−−

−−−=

−

−−=

→+−

→+−

ccc

ccc

D

932

531

002

712

641

222

1)1( 12

−−

−−−−=

−−

−−−⋅⋅−= +

24)59(691

51)1)(3)(2( −=−−=−−−= .

4.4.2 Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột)

Từ ma tr ận ta để ý k hàng: và k cột: .[ ]nnija A

×= k ii ,...,1 k j j ,...,1

Giao của k hàng k cột này là một ma tr ận cấ p k. Định thức của ma tr ận này đượ c ký hiệu là

. Nếu từ ma tr ậnk k j j iiM ,...,,...,

11

ta xoá đi k hàng và k cột thì ta có ma tr ận con

cấ p n-k. Định thức của ma tr ận này đượ c ký hiệu là

k ii ,...,1 k j j ,...,1

k

k

j j

iiM

,...,

,...,1

1và

k

k

k k k

k

j j

ii

j jii j j

iiM A

,...,

,...,

......,...,

,...,1

1

111

1)1(

+++++−= (4.16)

đượ c gọi là phần bù đại số của .k

k

j j

iiM

,...,

,...,1

1

Ví dụ 4.6:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Có

3332

13122313 aa

aaM = ,

4441

2421

4441

242132312313

)1(aa

aa

aa

aa A −=−= +++

.

70

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c Định lý 4.4 (Laplace):

1) Khai triển k hàng :k ii ,...,1

∑≤<<≤

=n j j

j j

ii

j j

ii

k

k

k

k

k AM A

...1

,...,

,...,

,...,

,...,

1

1

1

1

1det (4.17)

Định thức của bằng tổng tất cả các định thức con cấ p k nằm trên k hàng k ii ,...,1 nhân

vớ i phần bù đại số tươ ng ứng của nó.

2) Khai triển k cột :k j j ,...,1

∑ ≤<<≤

=nii

j j

ii

j j

iik

k

k

k

k AM A

...1

,...,

,...,

,...,

,...,1

1

1

1

1det (4.18)

Định thức của bằng tổng tất cả các định thức con cấ p k nằm trên k cột nhân

vớ i phần bù đại số tươ ng ứng của nó.

k j j ,...,1

Đặc biệt khi k =1 ta có công thức khai triển theo hàng và theo cột (3.4).

Chứng minh: Tr ườ ng hợ p k ii k == ,...,11 :

∑∈⋅=

k S k k

k

k

aaM

σ σ σ

σ )()1(1

,...,1

,...,1

...sgn

k k

S

nnk k k

k AaaM

k n

,...,1,...,1

'

)(')1('1,...,1

,...,1...'sgn =⋅= ∑

−∈++

σ

σ σ σ

Ứ ng vớ i mỗi phép thế σ của tậ p { }k ,...,1 và 'σ của { }nk ,...,1+ thì phép thế có

hoán vị tươ ng ứng [ )(),...,1(),(),...,1( nk k ]σ σ σ σ + có số các nghịch thế bằng số các nghịch

thế của σ cộng vớ i số các nghịch thế của 'σ . Do đó 'sgnsgnsgn σ σ ⋅= . Vì vậy mỗi tích

)(')1('1)()1(1 ...'sgn...sgn nnk k k k aaaa σ σ σ σ σ σ ++⋅⋅⋅

là một hạng tử trong tổng của det . Nói cách kháck

k k k

M M ,...,1

,...,1,...,1,...,1

chỉ bao gồm các

hạng tử của det ; nó là một bộ phận trong biểu thức tổng của det . Tr ườ ng hợ p tổng quát

, ta biến đổi hàng và cột củak

k

j j

iiM

,...,

,...,1

1det để đưa về định thức con bậc k góc

trên bên trái. Ta thực hiện lần đổi chỗ hàng thứ để đưa về hàng thứ 1, ...,

k

k

j j

iiM

,...,

,...,1

1

11 −i 1i 1−k i lần đổi

71

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c chỗ hàng thứ k i để đưa về hàng thứ k. Tươ ng tự đổi chỗ 1,...,11 −− k j j lần để đưa các cột

về các cột 1,..., k. Vì vậy định thức đổi dấuk j j ,...,1

.k j jk iik j jk ii +++++−++−+−++− −=− ...1...1)1(...)11()1(...)11()1()1(

Khi đổi vị trí như vậy định thức bù của vẫn làk

k

j j

iiM

,...,

,...,1

1

k j j

k iiM ,...,1

,...,1.

Do đók

k

k k k

k

j j

ii

j jii j j

iiM A

,...,

,...,

......,...,

,...,1

1

111

1)1(

+++++−= , như vậy các hạng tử của

cũng chỉ là các hạng tử củak

k

k

k

j j

ii

j j

iiAM

,...,

,...,

,...,

,...,1

1

1

1⋅ det .

Mặt khác mỗi cók

k

k

k

j jii

j jii

AM ,...,

,...,,...,

,...,1

1

1

1⋅ )!(! k nk − hạng tử. Số các định thức con

trên k hàng bằng số các tổ hợ p n chậ p k và bằng . Các hạng tử của

và khác nhau từng đôi một nếu

.

k

k

j j

iiM

,...,

,...,1

1k ii ,...,1

k nC

k

k

k

k

j j

ii

j j

iiAM

,...,

,...,

,...,

,...,1

1

1

1⋅ k

k

k

k

j j

ii

j j

iiAM

',...,'

,...,

',...,'

,...,1

1

1

1⋅

{ } { k k j j j j ',...,',..., 11 ≠ }

Do đó tổng có hạng tử phân

biệt của

∑≤<<≤ n j j

j j

ii

j j

iik

k

k

k

k

AM

...1

,...,

,...,

,...,

,...,1

1

1

1

1

!)!(! nk nk C k n =−

det nhưng det cũng chỉ có hạng tử. Vậy mỗi hạng tử của!n det đều là hạng tử

nào đó của một trong những vớ ik

k

k

k

j j

ii

j j

iiAM

,...,

,...,

,...,

,...,1

1

1

1⋅ n j j k ≤<<≤ ...1 1 . Vậy ta có

đẳng thức (3.6).

Công thức khai triển theo cột (3.7) đượ c chứng minh tr ực tiế p hoàn toàn tươ ng tự cách trên

hoặc có thể suy ra từ k ết quả trên và áp dụng tính chấtt detdet = .

Ví dụ 4.7:

nnkk nk n

nk k k k k k

kk k

k

n

aaaa

aaaa

aa

aa

D

......

......

0...0...

0...0...

11

111111

1

111

+

+++++=

MOMMOM

MOMMOM

72

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



nnnk

nk k k

kk k

k

aa

aa

aa

aa

...

...

...

...

1

111

1

111

+

+++

= MOMMOM

Vì nếu { }0,...,

,...,11 =k j j

k M { }k j j k ,...,1,...,1 ≠ .

Ví dụ 4.8: Vớ i mọi ma tr ận cùng cấ p B, luôn có B detdetdet = .

Thật vậy, giả sử ,[ ]nnija A

×= [ ]

nnijb B×

= ,

[ ]nnijc ABC

×== , ∑

=

=n

k kjik ij bac

1

Xét định thức cấ p 2n:

1

1

1

00

00

2

−

−

−=

ij

ij

n

b

a

D

Khai triển Laplace theo n hàng đầu ta có B A D n detdet2 = . Mặt khác, nhân vớ i cột

1, vớ i cột 2,..., vớ i cột n của xong cộng tất cả vào cột n+1 thì định thức tr ở

thành:

11b

21b 1nb n D2 n D2

nnn

n

nnnn

n

n

bb

bb

caa

caa

D

2

112

11

11111

2

01

1

01

00...

00...

−

−

−=

MOM

MOMMOM

73

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c Tiế p tục biến đổi tươ ng tự như trên cuối cùng đượ c:

001

1

001

......

......

11

111111

2

−

−

−= nnnnnn

nn

n

ccaa

ccaa

D

MOMMOM

Khai triển Laplace theo n hàng cuối ta đượ c:

nnn

nnnn

n

cc

cc

D

...

...

1

1

1

)1(

1

1112...1...21

2 MOM

−

−

−

−= +++++++

C C n

nn

detdet)1( 2

)12(2

=⋅−=+

+

.

4.5 Ứ NG DỤNG ĐỊNH THỨ C ĐỂ TÌM MA TR ẬN NGHỊCH ĐẢO

4.5.1 Định ngh ĩ a ma trận nghịch đảo

Ta đã biết vành ,.),( +n M các ma tr ận vuông cấ p n là không nguyên, vì vậy vớ i ma tr ận

vuông cho tr ướ c chưa chắc đã có ma tr ận nghịch đảo đối vớ i phép nhân ma tr ận.

Định ngh ĩ a 4.4: Ma tr ận vuông đượ c gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma tr ận vuông cùng

cấ p B sao cho BA B == .

Phép nhân ma tr ận có tính k ết hợ p nên ma tr ận B ở định ngh ĩ a trên nếu tồn tại thì duy

nhất, ta gọi ma tr ận này là ma tr ận nghịch đảo của , ký hiệu1−

.

4.5.2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo

Định lý 4.5: (điều kiện cần) Nếu khả nghịch thì 0det ≠ (lúc đó ta nói ma tr ậnkhông suy biến).

Chứng minh: I A =−1 ⇒ 1detdetdetdet 11 === −− A .

74

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Do đó 0det

1det

1≠=

− A .

Định ngh ĩ a 4.5: Ma tr ận [ ]nnij A B

×= , trong đó là phần bù đại số của phần tử

của ma tr ận

ij A ija

[ ]nnija A

×= , đượ c gọi là ma tr ận phụ hợ p của .

Định lý 4.6: (điều kiện đủ) Nếu 0det ≠ thì khả nghịch và

t B A

Adet

11 =−, (4.19)

vớ i là ma tr ận phụ hợ p của .

Chứng minh: Khai triển định thức của ma tr ận theo hàng thứ k ta đượ c:

A Aa Aa knknk k det...11 =++

Vậy knink i Aa Aa ++ ...11 là khai triển theo hàng thứ k của định thức của ma tr ận có

đượ c bằng cách thay hàng thứ k của bở i hàng thứ i của , do đó bằng 0.

Tóm lại

⎩⎨⎧

≠

==++

k i

k i A Aa Aa knink i

Õun

nÕu

0

det...11 ⇒ . I A ABt )(det=

Tươ ng tự, khai triển theo cột ta có:

⎩⎨⎧

≠

==++

k i

k i A Aa Aa nk nik i

Õun

nÕu

0

det...11 ⇒ . (4.20) I A A Bt )(det=

Hệ quả 4.7: Nếu I BA = hoặc B = thì tồn tại1−

và B=−1.

Chứng minh: I BA = ⇒ 0det ≠ ⇒ 1−∃ và

111 )()( −−− === A A BA AA B B .

Ví dụ 4.9: Ma tr ận có

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

801

352

321

A 1det −= .

4080

35)1(

1111 =−= + A , 13

81

32)1(

2112 −=−= + A ,

75

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



501

52)1( 31

13 −=−= + A , 1680

32)1( 12

21 −=−= + A ,

581

31)1( 22

22 =−= + A , 201

21)1( 32

23 =−= + A ,

935

32)1(

1331 −=−= +

A , 332

31)1(

2332 =−= +

A ,

152

21)1( 33

33 =−= + A ,

Vậy

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

−=−

125

3513

91640

125

3513

91640

139

2516

51340

1

11

t

A .

4.5.3 Tìm ma trận nghịch đảo theo phươ ng pháp Gauss-Jordan

Khi ta thực hiện liên tiế p các phép biến đổi sơ cấ p lên các hàng của ma tr ận để đưa

về ma tr ận đơ n vị, theo tính chất 3.5 chươ ng 3 thì điều này cũng có ngh ĩ a là ta nhân bên trái của

các ma tr ận sao cho I A E E k =...1 , trong đó k E E ,...,1 là các ma tr ận dạng ),( λ k ,

),(i P , ),,( λ iQ (xem 3.10, 3.11, 3.12). Mặt khác theo Hệ quả 4.7 thì k E E A ...11 =−

.

Cũng vớ i lậ p luận như trên ta có: I E E E E k k ...... 11 = là ma tr ận có đượ c bằng cách

thực hiện bở i cùng các phép biến đổi sơ cấ p tươ ng ứng như đã thực hiện đối vớ i ma tr ận lên

các hàng của ma tr ận đơ n vị I . Vì vậy để tìm ma tr ận1−

ta thực hiện các bướ c sau:

1) Viết ma tr ận đơ n vị I bên phải ma tr ận : I A

2) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấ p đồng thờ i lên các hàng của I A để đưa ma tr ận

ở vế trái về ma tr ận đơ n vị.

3) Khi vế trái tr ở thành ma tr ận đơ n vị thì vế phải là ma tr ận1−

.

1..........−→→ A I I A . (4.21)

76

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 4.10: Tìm1−

vớ i

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

801

352

321

A

101

012

001

520

310

321

100

010

001

801

352

321

3322

112

11

−

−

−

−→

→+−→+−

→

hhhhhh

hh

125

012

001

100

310

321

125

012

001

100

310

321

33 22332

22

11 11

2−−

−−−−

−− →

→→−

→−→

→+→

→

hhhh

hh

hhhhh

hh

125

3513

91640

125

3513

3614

100

010

001

100

010

021

3322

112

33223113 3

3

3

−−

−−

−

−−

−−

−

→→→→

→+−

→→+→+−

hhhh

hhh

hhhhh

hhh

Vậy .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=−

125

3513916401 A

Chú ý 4.8: Tìm1−

theo phươ ng pháp Gauss-Jordan sẽ dễ dàng khi các phần tử của1−

là các số nguyên ( thườ ng gặ p khi 1det ±= ).

4.6 TÌM HẠNG CỦA MA TR ẬN BẰNG ĐỊNH THỨ C

Từ tính chất 4.2 ta biết r ằng định thức của một hệ phụ thuộc tuyến tính bằng 0. Do đó nếu

định thức thì hệ { } 0,...,1 ≠nvv D B { }nvv ,...,1 độc lậ p tuyến tính.

Ngượ c lại, giả sử hệ độc lậ p tuyến tính, ta sẽ chứng minh{ nvv ,...,1 }

{ } 0,...,1 ≠nvv D B . Thật vậy, giả sử ∑=

=n

i

iij j eav

1

, [ ]ija A = ,

{ }nvv D A ,...,det 1 B = , vì hệ { }nvv ,...,1 độc lậ p tuyến tính nên nó là một cơ sở của V .

77

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Vậy ta có ∑=

=n

i

iij j vbe

1

, [ ]ijb B = ⇒ I B = ⇒ 0det ≠ . (4.22)

Định lý 4.9: Hệ { độc lậ p khi và chỉ khi}nvv ,...,1 { } 0,...,1 ≠nvv D B .

Định lý 4.10: Giả sử là một ma tr ận cỡ [ ]ija A = nm× . Nếu có định thức con cấ p

khác 0 và mọi định thức con cấ p 1+ bao quanh nó đều bằng 0 thì r =)( .

Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết định thức con cấ p góc trái

. Khi đó0,...,1,...,1 ≠ p

pM véc tơ cột đầu độc lậ p tuyến tính, vì nếu có một véc tơ là tổ hợ p tuyến

tính của 1− véc tơ còn lại thì mâu thuẫn vớ i giả thiết , do đó0,...,1,...,1

≠ p pM r ≥)( . Ta cần

chứng minh bất đẳng thức ngượ c lại.

Vớ i mọi ;,...,1 mk = n,...,1+= ; Xét ma tr ận cấ p 1+ :

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kskpk

ps pp p

s p

s p

aaa

aaa

aaa

aaa

B

......

......

......

......

1

1

2221

1111

MMMMM

Khi k ≤ : Ma tr ận có hai hàng bằng nhau, do đó 0det = .

Khi k > : 0det = , vì Bdet là định thức cấ p 1+ bao . p pM

,...,1,...,1

Mặt khác khai triển theo hàng cuối ta đượ c dạng sau:

0...,...,1,...,111 =+++ p

pks pkpk M aaa μ μ

⇒ kp pk ks aaa λ λ ++= ...11 , vớ i mọi k = 1, 2, ..., m

Vì vậy véc tơ cột là tổ hợ p tuyến tính của véc tơ cột đầu. Vậy sv p r ≤)( .

Hệ quả 4.11: là một ma tr ận cỡ nm× thì .)( ,min)()( nm Ar Ar t ≤=

78

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c Chú ý 4.12: 1) Từ công thức (4.20) ta đã chứng minh đượ c nếu là ma tr ận chuyển từ từ

cơ sở sang cơ sở B ' B thì1−

là ma tr ận chuyển từ từ cơ sở ' B sang cơ sở . B

2) Để tìm hạng ma tr ận ta tìm định thức con cấ p 2 khác 0. Bao định thức này bở i các

định thức con cấ p 3. Nếu tất cả các định thức cấ p 3 bao quanh đều bằng 0 thì 2)( =r . Nếu có

định thức con cấ p 3 khác 0 thì ta tiế p tục bao định thức cấ p 3 này bở i các định thức cấ p 4...

Ví dụ 4.11: a) Ma tr ận

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

1134

7492

3212

A

có 2092

12=

−, 0

134

792

312

134

492

212

=

−−

−=

−

−−−

.

Vậy 2)( =r

b) Ma tr ận có

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−=

4341

4113

7124

4012

B 024

12=

−− nhưng 112

01=

− .

Bao định thức này bở i định thức cấ p 3 1

113

124

012

=

−

−− .

Định thức cấ p 4 duy nhất 0= B . Vậy 3)( =r .

Ví dụ 4.12: Tìm hạng của ma tr ận

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

a

a

a

a

A

111

111

111

111

Ta có3)1)(3( −+= aa A .

Vậy: • Khi thì1,3 ≠−≠ aa 4)( =r ;

79

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 4: Định thứ c • Khi thì1=a 1)( =r ;

• Khi ,3−=a ⇒≠−

−

0

111

311

131

3)( =r .

Trong thực hành ta có thể k ết hợ p phươ ng pháp này vớ i phươ ng pháp biến đổi sơ cấ p lên

các hàng các cột ma tr ận thì quá trình tìm hạng ma tr ận sẽ nhanh hơ n.

80

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 5: H ệ phươ ng trình tuyế n tính

5. CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠ NG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1.1 Dạng tổng quát của hệ phươ ng trình tuyến tính

Hệ m phươ ng trình tuyến tính n ẩn có dạng tổng quát:

(5.1)

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

...

..............................................

...

...

2211

22222121

11212111

Hay , i = 1, ..., mi

n

j

jij b xa =∑=1

Trong đó là n ẩn,n x x x ,...,, 21

là hệ số của ẩn thứ j trong phươ ng trình i,ija

là vế phải của phươ ng trình thứ i; i = 1,..., n; j = 1,..., m.ib

Khi các vế phải thì hệ phươ ng trình đượ c gọi là thuần nhất.0=ib

Nghiệm của hệ phươ ng trình là bộ gồm số n ( )n x x x ,...,, 21 sao cho khi thay vào (5.1)

ta có các đẳng thức đúng. Giải một hệ phươ ng trình là đi tìm tậ p hợ p nghiệm của hệ. Hai hệ phươ ng trình cùng ẩn là tươ ng đươ ng nếu tậ p hợ p nghiệm của chúng bằng nhau. Vì vậy để giải

một hệ phươ ng trình ta có thể giải hệ phươ ng trình tươ ng đươ ng của nó.

5.1.2 Dạng ma trận của hệ phươ ng trình tuyến tính

Vớ i hệ (5.1) ta xét các ma tr ận:

, , (5.2)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

MOMM⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mb

b

b

BM

2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n x

x

x

X M

2

1

81

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



, , X lần lượ t đượ c gọi là ma tr ận hệ số, ma tr ận vế sau và ma tr ận ẩn. Khi đó hệ phươ ng trình (5.1) đượ c viết lại dướ i dạng ma tr ận:

X = (5.3)

5.1.3 Dạng véc tơ của hệ phươ ng trình tuyến tính

Nếu ta ký hiệu véc tơ cột thứ i của ma tr ận là và véc tơ vế

sau , thì hệ (5.1) đượ c viết dướ i dạng véc tơ :

mmiii aav ∈= ),...,( 1

mmbbb ∈= ),...,( 1

bv xv xv x nn =+++ ...2211 (5.4)

Vớ i cách viết này ta thấy r ằng hệ phươ ng trình (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi

.

{ }nvvSpanb ...,,

1∈

5.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM

Định lý 3.18: (Kronecker-Kapelli) Hệ phươ ng trình (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi

)~

()( Ar Ar = trong đó~

là ma tr ận có đượ c bằng cách bổ sung thêm vào ma tr ận hệ số một

cột cuối là vế phải của hệ phươ ng trình.

(5.5)

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

mmnm

n

baa

baa

A

...

...~

1

1111

MMOM

Chứng minh: Hệ (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại sao cho

. Ngh ĩ a là đượ c biểu diễn thành tổ hợ p tuyến tính của { }.

Vậy . Do đó

nn x x x ∈,...,, 21

bv xv xv x nn =+++ ...2211 b nvv ,...,1

),,...,(),...,( 11 bvvr vvr nn = )~

()( Ar Ar = .

5.3 PHƯƠ NG PHÁP CRAMER

Định ngh ĩ a 5.1: Hệ n phươ ng trình tuyến tính n ẩn có ma tr ận hệ số không suy biến đượ c

gọi là hệ Cramer.

Định lý 5.2: Mọi hệ Cramer đều tồn tại duy nhất nghiệm. Cụ thể

hệ , i = 1, ..., n có nghiệmi

n

j

jij b xa =∑=1

D D x ii = , i = 1,..., n;

Trong đó { }niii vvvvv D A D ,...,,,,...,det 111 +−== B

{ }niii vvbvv D D ,...,,,,..., 111 +−= B (5.6)

82

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



i D là định thức của hệ các véc tơ cột là các hệ số của hệ phươ ng trình nhưng véc tơ cột thứ

i đượ c thay bở i véc tơ cột vế sau.

Chứng minh: 0det ≠ ⇒ hệ { }nvv ,...,1 là một cơ sở của . Do đó đượ c biểu

diễn duy nhất thành tổ hợ p tuyến tính của

n b

{ }nvv ,...,1 . Ngh ĩ a là tồn tại duy nhất

sao cho

n x x x ,...,, 21

bv xv xv x nn =+++ ...2211 .

Gọi là cơ sở chính tắc của . Khi đó:{ nee ,...,1= B }

D xvvvvv D x iniiii

n

{ }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

== +=

−+− ∑ ni

n

k

k k iniii vvv xvv Dvvbvv D D ,...,,,,...,,...,,,,..., 1

1

11111 B B

{ }== +− ,...,,,,..., 111 B ⇒ D D x ii = , i = 1,..., n;

Giải hệ phươ ng trình tuyến tính tr ườ ng hợ p tổng quát

Giả sử hệ phươ ng trình có nghiệm, do đó ),,...,(),...,( 11 bvvr vvr nn = . Giả sử

;),...,(),...,( 11 pn vvr vvr = n≤ (trong tr ườ ng hợ p khác cách giải hoàn toàn tươ ng tự). Vớ i

giả thiết này véc tơ hàng phía trên của tạo thành hệ độc lậ p tuyến tính tối đại của hệ các véc

tơ hàng của . Vì vậy hệ (5.1) tươ ng đươ ng vớ i phươ ng trình đầu p

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

pn pn p p

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

...

..............................................

...

...

2211

22222121

11212111

Giả sử 0

...

...

1

111

≠

pp p

p

aa

aa

MOM (tr ườ ng hợ p khác cách giải hoàn toàn tươ ng tự)

Hệ phươ ng trình trên đượ c viết lại:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−−=+++

−−−=+++

−−−=+++

++

++

++

n pn p pp p p pp p p

nn p p p p

nn p p p p

xa xab xa xa xa

xa xab xa xa xa

xa xab xa xa xa

......

............................................................................

......

......

112211

211222222121

111111212111

83

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



đây là hệ Cramer có vế sau phụ thuộc vào các ẩn . Vậy hệ có vô số nghiệm

phụ thuộc .

n p x x ,...,1+

n p x x ,...,1+

Ví dụ 5.1: Giải và biện luận theo tham số λ hệ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

=+++

1

1

1

1

4321

4321

4321

4321

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

λ

λ

λ

λ

Từ ví dụ 4.12 chươ ng 4 ta có .3)1)(3(det −+= λ λ A

♦ Khi 1,3 ≠−≠ λ λ : Hệ đã cho là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất. Ngoài ra vai trò

của các ẩn trong hệ đều như nhau, do đó nghiệm của hệ:

4321 x x x x === ⇒3

14321

+====

λ x x x x

♦ Khi 1=λ : 1)~

()( == Ar Ar , hệ phươ ng trình đã cho tươ ng đươ ng vớ i phươ ng trình

14321 =+++ x x x x

Hệ phươ ng trình có vô số nghiệm 4321 1 x x x x −−−= vớ i tuỳ ý.432 ,, x x x

♦ Khi 3−=λ : 0det = ⇒ 4)( <r (theo Ví dụ 3.18 3)( =r ) nhưng ma tr ận bổ

sung~

có định thức con cấ p 4

064

1311

1131

1113

1111

≠=

−

−

− ⇒ 4)

~( = Ar ⇒ hệ vô nghiệm.

5.4 PHƯƠ NG PHÁP MA TR ẬN NGHỊCH ĐẢO

Định lý 5.3: Hệ Cramer , i = 1, ..., n, vớ i các ma tr ận tươ ng ứngi

n

j

jij b xa =∑=1

84

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



, ,

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

MOMM⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

nb

b

b

BM

2

1

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

n x

x

x

X M

2

1

có nghiệm X 1−= .

5.5 GIẢI HỆ PHƯƠ NG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠ NG PHÁP KHỬ GAUSS

Ta có thể kiểm tra đượ c r ằng: khi thực hiện các biến đổi sơ cấ p sau lên các phươ ng trình

của hệ thì sẽ đượ c hệ mớ i tươ ng đươ ng:

• Đổi chỗ hai phươ ng trình;

• Nhân, chia một số khác 0 vào cả 2 vế của một phươ ng trình;

• Cộng vào một phươ ng trình một tổ hợ p tuyến tính các phươ ng trình khác.

Giải hệ phươ ng trình tuyến tính bằng phươ ng pháp khử Gauss là thực hiện các phép biến đổi

sơ cấ p (có thể đổi chỉ số các ẩn nếu cần) để đưa hệ phươ ng trình (5.1) ; i = 1,..., m

về hệ tươ ng đươ ng ;

i

n

j

jij b xa =∑=1

in

j

jij b xa '''

1

=∑=

i = 1,..., m. Các ẩn là các ẩn nhưng có thể thay đổi thứ tự chỉ số và

ma tr ận bổ sung của hệ mớ i có dạng

n x x ',...,'1 n x x ,...,1

(5.7)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

m

p

p pp

b

bba

ba

'

'''

''

1

111

trong đó .0'...'11 ≠ ppaa

♦ Nếu một trong các khác 0 thì có phươ ng trình mà vế trái bằng 0, vế phải

khác 0 nên hệ vô nghiệm.

m p bb ',...,' 1+

85

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



♦ Nếu thì hệ đã cho tươ ng đươ ng vớ i hệ phươ ng trình0'...' 1 ===+ m p bb p

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=++

=+++

pn pn p

nnnn

b xa xa

b xa xa

b xa xa xa

'''...''

.........................................

''' ... ''

''' ... ''''

11

2222211212111

(5.8)

Ta đượ c các nghiệm phụ thuộc . p x x ',...,'1 n p x x ',...,' 1+

Chú ý r ằng khi ta biến đổi tươ ng đươ ng lên các phươ ng trình thì thực chất là biến đổi các

hệ số trong các phươ ng trình. Vì vậy khi thực hành ta chỉ cần biến đổi ma tr ận bổ sung (5.5) của

hệ để đưa về ma tr ận có dạng (5.7), từ đó suy ra nghiệm của hệ phươ ng trình.

Ví dụ 5.2: Giải hệ phươ ng trình

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−+

=−+

=−+

=−+

1278

7532

9934

8852

321

321

321

321

x x x

x x x

x x x

x x x

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

−

↔

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

↔

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=

1320

7770

8852

12781

7532

9934

8852

12781

12781

7532

9934

8852

~

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

↔

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

↔

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−

−

↔

0000

1100

1110

12781

1100

5500

1110

12781

1320

1110

166110

12781

.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

↔

0000

1100

20103001

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

3

2

1

3

2

1

x

x

x

.

86

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 5.3: Giải và biện luận theo tham số hệ phươ ng trìnhm

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

−=−−−=+++

=+++

244

112096

58632

34523

4321

4321

4321

4321

mx x x x

x x x x

x x x x

x x x x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−

↔

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−=

2414

58632

34523

1120961

2414

1120961

58632

34523

~

mm

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−

↔

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

↔

1000

00000

916850

1120961

816850

274824150

366432200

1120961

mm

⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −−−−

↔

1000

00000

916850

24111

m

.

Hệ đã cho tươ ng đươ ng vớ i hệ:⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=++

−=−−−

1

91685

24

4

432

4321

mx

x x x

x x x x

♦ m = 0: hệ vô nghiệm;

♦ m ≠ 0: hệ có vô số nghiệm

m x

14 = , 32

5

8

5

169 x

m

m x −

−= , 31

5

3

5

4 x

m

m x −

−= .

hay 3333 ;1

,,5

8

5

169,

5

3

5

4 x

m x x

m

m x

m

m⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−−

−tùy ý.

87

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 5.4: Giải hệ phươ ng trình

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

−=+++

−=−−++−=−−+−

=−++

−=−+−

22

35166

248 3

2 922

3

5421

54321

54321

4321

5431

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−−−

↔

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−−−−

−

−−−

=

130110

15122710

7111410

8211320

311101

221011

3516110

248113

209122

311101

~ A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

−−−

↔

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−

−−−

↔

222244000

222244000

6411100

130110

311101

14222600

8211500

6411100

130110

311101

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

↔

000000

112000

203100

130110

200001

Hệ đã cho tươ ng đươ ng vớ i hệ:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=+

=−

=++

−=

1 2

23

13

2

54

43

532

1

x x

x x

x x x

x

có nghiệm

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−=

+=

+=

−=

ýtuú445

43

42

1

;21

32

33

2

x x x

x x

x x

x

88

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



5.6 HỆ PHƯƠ NG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

0...

..............................................

0...

0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xa xa xa

xa xa xa

xa xa xa

(5.9)

Rõ ràng r ằng vớ i hệ phươ ng trình tuyến tính thuần nhất (5.9) thì n Ar Ar ≤= )()~

( và

luôn có nghiệm tầm thườ ng 0...1 === n x x .

Định lý 5.4:

a) Hệ (3.14) chỉ có nghiệm tầm thườ ng khi và chỉ khi nr =)( .

b) Nếu n pr <=)( thì nghiệm của hệ (5.9) là không gian con n − chiều của .n

Chứng minh: Ta chứng minh b). Thực hiện các biến đổi tươ ng đươ ng lên ma tr ận bổ sung

(5.8) của hệ để đưa về hệ tươ ng đươ ng vớ i ma tr ận bổ sung có dạng

(5.10)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0 0 0

0 0 0

0 1

0 1

Suy ra nghiệm có dạng

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

++=

−+

−+

n p pn p p p

n pn p

xc xc x

xc xc x

'...''

.........................................

'...''

11

11111

Trong đó là một hoán vị của .Để đơ n giản ta giả sử )',...,'( 1 n x x ),...,( 1 n x x nn x x x x == ',...,' 11

(tr ườ ng hợ p khác đượ c chứng minh tươ ng tự), khi đó tậ p hợ p nghiệm:

∈++++ ++−+−+ n pn pn p pn p pn pn p x x x x xc xc xc xc ,...,),...,,...,...,... 11111111(

89

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



{ }∈++= +−−+ nn x x xcc xcc p p pn pn p p ,...,1,...,0,0,,...,...0,...,0,1,,..., 111111 )()(

là không gian con n − chiều của .

n

Định lý 5.5: Giả sử ),...,( 1 n x x là một nghiệm của phươ ng trình không thuần nhất (5.1) thì

là nghiệm của phươ ng trình thuần nhất tươ ngứng (5.9) khi và chỉ khi),...,( 1 n x x ),...,( 11 nn x x x x ++

là nghiệm của phươ ng trình (5.1).

90

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 6: Ánh xạ tuyế n tính

6. CHƯƠNG 6: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

6.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH


Định ngh ĩ a 6.1: Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian W thoả mãn:

(i) vớ i mọi V vu ∈, ; )()()( v f u f vu +=+

(ii) vớ i mọi V vu ∈, , ∈α ; )()( u f u α α = (6.1)

đượ c gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ V vào W .

Khi W V = thì đượ c gọi là tự đồng cấu.

Ví dụ 6.1: Xét các ánh xạ sau:

1) Ánh xạ không W V →:0

0)(0 =uu a

2) Ánh xạ đồng nhất V V Id V →:

uu Id u V =)(a

3) Phép vị tự tỷ số ∈k V V f →:

kuuu =)(a

4) Giả sử , xét phép chiếu lên thành phần thứ nhất :V W W ⊂⊕ 21

V W W →⊕ 211 :Pr

121 vvv a+

5) Phép tịnh tiến theo véc tơ V v ∈0 , V V T →:

0vuu +a

Ánh xạ 1), 2), 3), 4) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu; 5) không phải là ánh xạ

tuyến tính nếu .00 ≠v

91

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



6) Cho ma tr ận ,[ ]nmija A

×=

ánh xạ mnT →: ),...,(),...,(),...,( 111 mnn y y x xT x x =a

xác định bở i

(6.2)[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

ij

m x

x

a

y

y

MM

11

là một ánh xạ tuyến tính.

Ngượ c lại ta có thể chứng minh đượ c (xem mục 4) mọi ánh xạ tuyến tính từ vàođều có dạng như trên.

n

m

6.1.2 Các tính chất

Định lý 6.1: Nếu W V →: là ánh xạ tuyến tính thì

(i) 00 =)( f

(ii) vớ i mọi V v ∈ : )()( vv −=−

(iii) ,∑∑==

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ n

iii

n

iii v f xv x f

11

)( V vv x x nn ∈∀∈∀ ,...,,,..., 11 .

Chứng minh: (i) 0000 ==⋅= )(0)0()( f f

(ii) 00 ==−+=−+ )())(()()( vvv f v

(iii) Dễ dàng chứng minh bằng cách quy nạ p theo .n

Định lý 6.2: ánh xạ W V f →: là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi vớ i mọi ∈∈ β α ,,, V vu :

)()()( v f uvu f β α β α +=+ .

Chứng minh: Vớ i mọi ∈∈ β α ,,, V vu :

)()()()()(:)( v f uvu f vu β α β α β α +=+=+⇒

⎩⎨⎧

=+=+=

+=+=+=+⇐

.)()(0)()0()(

)()()(1)(1)1()1()(:)(

u f v f u f vu f u f

v f u f v f u f v f u f vu f

α α α α

92

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Định lý 6.3: Mỗi ánh xạ tuyến tính từ V vào W hoàn toàn đượ c xác định bở i ảnh của một

cơ sở của V , ngh ĩ a là vớ i cơ sở { }ne,...,e1= B của V và hệ véc tơ cho tr ướ c

thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

W uu n ∈,...,1

W V f →: sao cho niue f ii ,...,1,)( == .

Chứng minh:

*) Tồn tại: Vớ i mọi ,V v ∈ giả sử là toạ độ của trong cơ sở , ngh ĩ a là

. Đặt

),...,( 1 n x x v B

nne xe xv ++= ...11 W u xu xv f nn ∈++= ...)( 11 .

Ta có thể kiểm chứng đượ c r ằng là ánh xạ tuyến tính và vớ i mọi

.

,)( ii ue f =

ni ,...,1=

*) Duy nhất: Giả sử W V →: là ánh xạ tuyến tính sao cho vớ i mọikhi đó vớ i bất k ỳ

,)( ii ue g =ni ,...,1= nne xe xvV v ++=∈ ..., 11 ,

)(...)()...()( 1111 nnnn e g xe g xe xe x g v g ++=++=

)(...11 v f u xu x nn =++=

Vậy g = .

6.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính6.1.3.1 Hom(V,W)

Cho hai không gian véc tơ W V , . Tậ p các ánh xạ tuyến tính từ V vào W đượ c ký hiệu là

),(Hom W V hay ),( W V L .

Vớ i ),(Hom, W V g f ∈ , tươ ng ứng W V →

)()( v g vv +a (6.3)

là một ánh xạ tuyến tính, đượ c ký hiệu f +

và gọi là tổng của f và .Tươ ng tự, vớ i ∈k , tươ ng ứng W V →

)(vkf va (6.4)

là ánh xạ tuyến tính đượ c ký hiệu là kf .

Vậy ta đã xác định hai phép toán "," ⋅+ trên tậ p các ánh xạ tuyến tính từ V vào W . Vớ i hai phép

toán này thì ),),,(Hom( ⋅+W V có cấu trúc không gian véc tơ và W V W V dim ),(Hom dimdim ⋅= .

93

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



6.1.3.2 EndV

Giả sử ': V V f → và "': V V → là hai ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ hợ p ": V V f g →o

cũng là một ánh xạ tuyến tính. Vì vậy tậ p các tự đồng cấu của V , ký hiệu V End , vớ i hai phép toáncộng và hợ p ánh xạ thì ),,(End o+V là một vành không giao hoán, có đơ n vị , không nguyên. Ngoài

ra vớ i hai phép toán định nghiã ở (1.3.1) ( )⋅+,,EndV còn là một không gian véc tơ .

6.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định lý 6.4: Giả sử W V f →: là ánh xạ tuyến tính, khi đó:

(i) Nếu là không gian con của1V V thì là không gian con của và

.

)( 1V f W

11 dim)(dim V V f ≤

(ii) Nếu là không gian con của thì1W W )( 11 W f − là không gian con của V và

.)(dimdim 11

1 W f W −≤

Chứng minh: (i) • Vớ i mọi ∈∈ β α ,);(, 121 V f uu tồn tại sao cho

. Do đó

121, V vv ∈

)(),( 2211 v f uv f u ==

)()()()()( 1212121 V f v f v f v f v f uu ∈+=+=+ β α β α β α .

• Giả sử là một cơ sở của vớ i mọi{ nee ,...,1 } 1V )( 1V f u ∈ , tồn tại 1V v ∈ :vànnv xv xv ++= ...11 uv f =)( )(...)( 11 nn e f xe f xu ++=⇒

là một hệ sinh của .{ )(),...,( 1 ne f e f ⇒ } )( 1V f

Điều này suy ra .11 dim)(dim V V f ≤

(ii) đượ c chứng minh tươ ng tự.

Định ngh ĩ a 6.2: Vớ i ánh xạ tuyến tính W V f →: ta ký hiệu và định ngh ĩ a

,{ }0Ker 1−= f f )(Im V f = (6.5)

là hạt nhân và là ảnh của , ký hiệu

f r Imdim)( = (6.6)

là hạng của ánh xạ f .

Định lý 6.5: Vớ i mọi ánh xạ tuyến tính W V →:

r V Ker dim)(dim += (6.7)

94

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Chứng minh: Giả sử { là một cơ sở của}mee ,...,1 Ker (khi { }0Ker = f thì m = 0). Ta bổ

sung để { }k mmm eeee ++ ,...,,,..., 11 là một cơ sở của V . Ta chứng minh { })(),...,( 1 k mm e f e f ++

là một hệ sinh, độc lậ p tuyến tính của f Im (do đó là một cơ sở ).

• Vớ i mọi f v Im)( ∈ ;

V e xe xe xe xv k mk mmmmm ∈+++++= ++++ ...... 1111

)(...)()(...)()( 1111 k mk mmmmm e f xe f xe f xe f xv f ++++ +++++=

)(...)( 11 k mk mmm e f xe f x ++++ ++= .

• Giả sử 0)(...)( 11 =++ ++ k mk m e f ye f y thì

f e ye y k mk m Ker ...11 ∈++ ++

mmk mk m e ze ze ye y ++=++⇒ ++ ...... 1111

0...... 1111 =−−−++⇒ ++ mmk mk m e ze ze ye y

0...... 11 =−==−===⇒ mk z z y y .

6.3 TOÀN CẤU, ĐƠ N CẤU, ĐẲNG CẤU

6.3.1 Toàn cấu

Định ngh ĩ a 6.3: Ánh xạ tuyến tính mà toàn ánh đượ c gọi là toàn cấu.

Định lý 6.6: Vớ i ánh xạ tuyến tính W V f →: , các mệnh đề sau tươ ng đươ ng:

(i) f toàn cấu.

(ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W .

(iii) W r dim)( = .

Chứng minh: Giả sử :)()( iii ⇒ { }nvv ,...,1 là hệ sinh của V . Khi đó vớ i mọi W u ∈ ,

tồn tại V v ∈ sao cho uv =)( (vì W V f =)( ).

)(...)(... 1111 nnnn v f xv f xuv xv xv ++=⇒++= .

Vậy { } là hệ sinh của W .)(),...,( 1 nv f v f

)()( iii ⇒ : Giả sử { là một cơ sở của}nee ,...,1 V thì { })(),...,( 1 ne f e f là hệ sinh của

W { } )()(),...,(span 1 V f e f e f W n ==⇒ .

W r W V f W V f i dim)(dim)(dim)()( =⇔=⇔=⇔ .

95

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



6.3.2 Đơ n cấu

Định ngh ĩ a 6.4: Ánh xạ tuyến tính mà đơ n ánh đượ c gọi là đơ n cấu.

Định lý 6.7: Vớ i ánh xạ tuyến tính W V f →: , các mệnh đề sau tươ ng đươ ng:

(i) f đơ n cấu.

(ii) { }0Ker = f .

(iii) Ảnh của hệ độc lậ p tuyến tính của V là hệ độc lậ p tuyến tính của W .

(iv) V r dim)( = .

Chứng minh: : Hiển nhiên.)()( iii ⇒

)()( iii ⇒ : Giả sử )()( 21 v f v f = )()()(0 2121 vv f v f v f −=−=⇒

2121 0 vvvv =⇒=−⇒ .

)()( iiiii ⇒ : Giả sử { } độc lậ p:mvv ,...,1

f v xv xv f xv f x mmmm Ker ...0)(...)( 1111 ∈++⇒=++

0...0... 111 ===⇒=++⇒ mmm x xv xv x

)()( iviii ⇒ : Giả sử { là một cơ sở của}nee ,...,1 V thì { })(),...,( 1 ne f e f là hệ sinhđộc lậ p tuyến tính của )(V f . Do đó V r dim)( = .

)()( iiiv ⇒ : .{ }0Ker 0Ker dim)(dim

Ker dim)(dim=⇒=⇒

⎭⎬⎫

=

+= f f

f r V

f f r V

6.3.3 Đẳng cấu

Định ngh ĩ a 6.5: Ánh xạ tuyến tính vừa đơ n cấu vừa toàn cấu đượ c gọi là đẳng cấu.

Vậy đẳng cấu là một ánh xạ tuyến tính và song ánh.

Hai không gian W V , đượ c gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến tính đẳng cấu

W V f →: .

Phép đẳng cấu V V →: đượ c gọi là tự đẳng cấu của không gian V . Tậ p hợ p các tự

đẳng cấu của V đượ c ký hiệu là )(Gl V .

Định lý 6.8: V và W đẳng cấu khi và chỉ khi W V dimdim = .

Chứng minh: : Nếu)(⇒ W V →: đẳng cấu thì

96

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



W V f r W

f r V dimdim

)(dim

)(dim=⇒

⎭⎬⎫

=

=

cÊu)(toµn

cÊu)(don .

)(⇐ : Ngượ c lại nếu nW V == dimdim .

Giả sử { }nee ,...,1= B , { }nω ω ,...,' 1= là cơ sở lần lượ t của V và W . Gọi W V f →:

là ánh xạ tuyến tính thoả mãn nie f ii ,...,1;)( ==ω (xem chứng minh định lý 4.3). Khi đó

đẳng cấu. f f r W V ⇒== dimdim)(

Định lý 6.9: ( là một nhóm (không giao hoán).)o),(Gl V

Chứng minh: Ta dễ dàng chứng minh nếu là tự đẳng cấu của V thì ánh xạ ngượ c

cũng là tự đẳng cấu của1− f V . Nếu g f , tự đẳng cấu thì f o cũng tự đẳng cấu.

Ta đã biết r ằng ánh xạ từ một tậ p hữu hạn vào một tậ p hữu hạn có cùng số phần tử là đơ nánh khi và chỉ khi là toàn ánh ( Chú ý 1.3-4, chươ ng 1 trang 20). Điều này cũng còn đúng đối vớ iánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véc tơ có cùng số chiều.

Định lý 6.10: Giả sử W V dimdim = và W V →: là ánh xạ tuyến tính từ V vào

thì:W f đơ n cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu.

Chứng minh:

f toàn cấu f f r f r V W ⇔=⇔=⇔ dim)(dim)( đơ n cấu.

6.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TR ẬN

6.4.1 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Theo định lý 6.3, mọi ánh xạ tuyến tính W V →: hoàn toàn đượ c xác định bở i ảnh của

một cơ sở của V . Giả sử là một cơ sở của{ nee ,...,1= B } V thì ánh xạ tuyến tính hoàn

toàn đượ c xác định bở i hệ véc tơ { })(),...,( 1 ne f e f . Mặt khác theo chươ ng 3-(1.3), nếu

{ }mω ,...,' 1= B là một cơ sở của W thì hệ { })(),...,( 1 ne f e f hoàn toàn đượ c xác định bở i

ma tr ận cỡ có cột là các toạ độ của các véc tơ trong cơ sở . Vìvậy vớ i hai cơ sở , cho tr ướ c thì ánh xạ tuyến tính

nm × n )(),...,( 1 ne f e f ' B B ' B f hoàn toàn đượ c xác định bở i ma

tr ận , trong đó[ ]nmija A

×=

(6.8)n jae f m

iiij j ,...,1;)(

1

== ∑=

ω

97

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Định ngh ĩ a 6.6: Ma tr ận có các phần tử xác định bở i (6.8) đượ c gọi là ma tr ận của ánh

xạ tuyến tính

ija

f trong cơ sở của B V và của W .' B

Như vậy ma tr ận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở của B V và của W là ma tr ận có

các cột là toạ độ của { } viết trong cơ sở ' .

' B

)(),...,( 1 ne f e f B

Ví dụ 6.2: Xét ánh xạ 23: → f

)53,42(),,( z x z y x z y x +−+a

)1,0(3)0,1(2)3,2()0,0,1( +== f .

)1,0(0)0,1(1)0,1()0,1,0( +== f .

)1,0(5)0,1(4)5,4()1,0,0( +−=−= f .

Vậy ma tr ận của f trong cơ sở chính tắc của và là3

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

503

412 A

Nếu là toạ độ của),...,( 1 n x x V v ∈ trong cơ sở . B

là toạ độ của),...,( 1 m y y W v f ∈)( trong cơ sở thì' B

(6.9)[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

nnmij

m x

x

a

y

y

MM

11

hay (6.10)⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

++=

nmnmm

nn

xa xa y

xa xa y

.......................................

...

11

11111

(6.10) đượ c gọi là biểu thức toạ độ của ánh xạ tuyến tính f .

Giả sử W V , là hai không gian véc tơ vớ i hai cơ sở lần lượ t và{ }nee ,...,1= B

{ m}ω ω ,...,' 1= . Vớ i ánh xạ tuyến tính W V f →: thì có ma tr ận tươ ng ứng [ ]nmija A

×=

xác định bở i ( 6.8).

98

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ngượ c lại, cho ma tr ận [ ]nmija A

×= , biểu thức toạ độ (6.9) xác định ánh xạ W V f →:

có ma tr ận là

nm

A ×∈ M . Vậy có tươ ng ứng 1 - 1 giữa ),(Hom W V vànm

× M . Hơ n nữa, ta dễ

dàng chứng minh đượ c r ằng nếu B, là ma tr ận của g f , thì B+ là ma tr ận của f + và

là ma tr ận của , vớ i mọikA kf ∈k .

Định lý 6.11: Tươ ng ứng nmW V ×→ M ),(Hom

f a

xác định bở i (6.8) là một đẳng cấu tuyến tính và )()( r r = .

Chứng minh: Hạng )(r của ma tr ận là hạng của hệ các véc tơ cột { } do đó

)(),...,( 1 ne f e f )()(dim)( r V f r == .

Cho hai ánh xạ tuyến tính :, g "' V V V g f →→ . ",', V V V có cơ sở lần lượ t

là , ,{ }nee ,...,1= B { }mee ',...,'' 1= B { }",...,"" 1 l ee= B . Giả sử là ma tr ận của f

trong cơ sở B , và' B là ma tr ận của g trong cơ sở , thì' B " B BA là ma tr ận của

g o trong cơ sở , (xem thêm (3.1)). Thật vậy: B " B

, trong đó[ ]nmija A

×= ∑

=

= m

iiij j eae f

1

')( ; n j ,...,1=

, trong đó[ ] ml kib B ×= ∑=

=l

k k kii ebe g

1

")'( ; mi ,...,1=

Ta có ∑∑==

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

m

i

iij

m

i

iij j e g aea g e f g

11

)'(')(o

.∑ ∑∑ ∑= == =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

l

k k

m

iijki

m

ik

l

k kiij eabeba

1 11 1

""

Điều này chứng tỏ BA là ma tr ận của g o .

Khi "' V V V == và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tươ ng ứng 1-1 giữa các tự

đồng cấu của V và các ma tr ận vuông cấ p n.

99

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Định lý 6.12: Tươ ng ứng nV M →)(End

f a

là một đẳng cấu vành, trong đó là ma tr ận của f trong một cơ sở cố định của V xác

định bở i (6.8).

Chú ý: Nếu ta ký hiệu ma tr ận , tươ ng ứng vớ i ánh xạ tuyến tính , g trong một cơ

sở cố định của V xác định bở i (6.8) là ↔ , g ↔ thì:

g f +↔+

kAkf ↔

B f ↔o

)()( r f r =

6.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

Giả sử W V f →: là ánh xạ tuyến tính.

Gọi là ma tr ận chuyển cơ sở T { }nee ,...,11 = B sang cơ sở của

không gian

{ }nee ',...,'' 11 = B

V .

Gọi P là ma tr ận chuyển cơ sở { }m,...,12 = B sang cơ sở { }m',...,'' 12 = B

của W .

là ma tr ận của f trong cơ sở ,21, B B

' là ma tr ận của trong cơ sở 21 ',' B B

Thì T P 1' −= (6.11)

Thật vậy: Giả sử ,[ ] nmkia A ×= [ ] nmkia A ×= '' , [ ] mmki p P ×= , .[ ] nmijt T ×

=

∑=

=m

ik kii ae f

1

)( ω ; ∑=

=m

iiij j ae f

1

'')'( ω

∑=

=m

ik kii p

1

' ω ω ; ∑=

=n

iiij j et e

1

'

100

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ta có ∑ ∑ ∑∑∑= = ===

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ==

m

i

m

k k

m

iijki

m

k k kiij

m

iiij j a p paae f

1 1 111

'''')'( ω ω ω

Mặt khác:

∑ ∑∑ ∑ ∑∑= == = ==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

m

k k

n

iijki

n

i

n

i

m

k k kiijiij

n

iiij j t aat e f t et f e f

1 11 1 11

)()'( ω ω

Do đó ∑ vớ i mọi

=

m

iijkia p

1

' ∑=

=n

iijkit a

1

n,...,1= ; mk ,...,1= .

Suy ra T PA =' . Vậy T P 1' −= .

Đặc biệt nếu là tự đồng cấu của không gian véc tơ V . Gọi ', là ma tr ận của f

trong hai cơ sở và T là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang thì:', B B B ' B

T T 1' −= (6.12)

Chú ý: Nếu T là ma tr ận chuyển cơ sở sang cơ sở thì B ' B 1−T là ma tr ận chuyển cơ

sở sang cơ sở (xem chú ý 4.12 chươ ng 4 trang 114).' B B

Định ngh ĩ a 6.7: Hai ma tr ận , đượ c gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma tr ận không suy

biến T sao cho T T 1−= .

Từ (6.12) cho thấy hai ma tr ận của một tự đồng cấu bất k ỳ trong hai cơ sở khác nhau là

đồng dạng. Nếu B, đồng dạng thì detdet = . Vì vậy ta có thể định ngh ĩ a định thức của

một tự đồng cấu là

detdet = (6.13)

trong đó là ma tr ận của f trong một cơ sở nào đó.

6.4.3 Ánh xạ tuyến tính và hệ phươ ng trình tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính f có biểu thức toạ độ xác định bở i (6.7), (6.8). Khi đó hệ phươ ng

trình tuyến tính (5.1-5.4) tươ ng ứng (trang 130-131) có nghiệm khi và chỉ khi

f b Im∈ (6.14)

và ( là nghiêm khi và chỉ khi)n x x ,...,1 ( ) b x x f n =,...,1 .

101

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



( )n x x ,...,1 là nghiêm của phươ ng trình tuyến tính thuần nhất (5.9) (trang 137) khi và

chỉ khi

( ) f x x n Ker ,...,1 ∈ (6.15)

Nhận xét: Từ hai định lý 6.11 và 6.12 ta thấy r ằng một bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toán ma tr ận, hệ phươ ng trình tuyến tính và ngượ c lại. Chẳng hạn để chứng minh

định thức của ma tr ận khác 0 ta chỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính có ma tr ận là làđơ n cấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phươ ng trình tuyến tính tươ ng ứng có duy nhất nghiệm.

6.5 CHÉO HOÁ MA TR ẬN

Trong phần này ta giải quyết bài toán: Vớ i tự đồng cấu tuyến tính của không gian V ,

hãy tìm một cơ sở của V để ma tr ận của trong cơ sở này có dạng chéo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nλ

λ

O

1

(6.16)

Bài toán trên cũng tươ ng đươ ng vớ i bài toán: Cho ma tr ận tìm ma tr ận không suy biến

sao choT T T 1−có dạng chéo.

Ta sẽ chỉ ra khi nào bài toán này có lờ i giải, cách tìm ma tr ận và tìm cơ sở để ma tr ận

của

T trong cơ sở này có dạng chéo.

6.5.1 Không gian con bất biến

Định ngh ĩ a 6.8: Không gian con W của không gian V đượ c gọi là bất biến đối vớ i tự đồng

cấu trên V nếu W W f ⊂)( .

Giả sử { }k ee ,...,1 là một cơ sở của W , ta bổ sung để { }nk k eeee ,...,,,..., 11 + là cơ sở

của V . Vớ i cơ sở này ma tr ận của f có dạng

k n

k

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

k k n −

102

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Nếu , bất biến đối vớ i21 W W V ⊕= 21,W W f thì có thể chọn cơ sở để ma tr ận của f có dạng

k n

k

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

k k n −

6.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng

Định ngh ĩ a 6.9: Nếu tồn tại véc tơ V v ∈ , 0≠v sao cho vv f λ =)( thì λ đượ c gọi là

một giá tr ị riêng và v là véc tơ riêng ứng vớ i giá tr ị riêng λ của tự đồng cấu .

Vớ i mỗi ∈λ , ký hiệu

{ } ( )V id f vv f V vV λ λ λ −==∈=

Ker )( (6.17)

Rõ ràng r ằng là không gian con củaλV V .

Định ngh ĩ a 6.10: Nếu là giá tr ị riêng thìλ λ V đượ c gọi là không gian riêng ứng vớ i giá tr ị

riêng λ .

Định lý 6.13: 1) λ là giá tr ị riêng của khi và chỉ khi { }0≠λ V .

2) Nếu là giá tr ị riêng củaλ f thì mọi véc tơ 0≠v của λ V đều là véc tơ riêng ứng vớ i

giá tr ị riêng λ .

3) Vơ i mọi λ , không gian con λ V bất biến đối vớ i f .

Chứng minh: Ta chứng minh 3)

a) Tr ườ ng hợ p { }0=λ V là hiển nhiên.

b) Tr ườ ng hợ p λ V là không gian riêng:

Vớ i mọi vv f V v λ λ =⇒∈ )(

103

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



λ λ λ V v f v f v f v f f ∈⇒==⇒ )()()())(( (6.18)

Định ngh ĩ a 6.11:λ

đượ c gọi là giá tr ị riêng của ma tr ận

[ ] nnija A ×= nếu tồn tại

không đồng thờ i bằng 0 sao chon x x ,...,1

hay ( ) (6.19)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn x

x

x

x

A MM

11

λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

0

01

MM

n x

x

I A λ

Khi đó đượ c gọi là véc tơ riêng ứng vớ i giá tr ị riêngnn x xv ∈= ),...,( 1 λ .

6.5.3 Đa thứ c đặc trư ng

Định ngh ĩ a 6.12: Giả sử là một tự đồng cấu trong không gian véc tơ chiềun V có ma

tr ận trong một cơ sở nào đó của V . Khi đó:

( ) )det(det:)( I Aid f P V λ λ λ −=−= (6.20)

là một đa thức bậc củan λ không phụ thuộc vào cơ sở của V đượ c gọi là đa thức đặc

tr ưng của f và của .

Định lý 6.14: là giá tr ị riêng của0λ f khi và chỉ khi 0λ là nghiệm của đa thức đặc tr ưng.

Chứng minh: là giá tr ị riêng khi và chỉ khi0λ { }00

≠λ V . Điều này tươ ng đươ ng vớ i các điều

tươ ng đươ ng sau: ánh xạ V id f 0λ − không đơ n cấu, hệ phươ ng trình tuyến tính thuần nhất (5.9) có

nghiệm không tầm thườ ng. Vậy ( ) nid f r V <− 0λ ; ( ) 0det 0 =− V id f λ , ( ) 0det 0 =− I A λ .

Ví dụ 6.3: Tìm véc tơ riêng và giá tr ị riêng của tự đồng cấu trong có ma tr ận chính tắc

là .

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−= 01

23 A

Phươ ng trình đặc tr ưng

0)2)(1(20

21

1

21

1

23)( =−−=

−

−=

−−

−=

−−

−= λ λ

λ

λ

λ λ

λ

λ

λ λ P

có các nghiệm 2 ,1 21 == λ λ .

104

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



* Véc tơ riêng ),( y xv = ứng vớ i giá tr ị riêng 11 =λ là nghiệm của hệ

hay .( ) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− 0

0

1 y

x

I A λ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−− 0

0

11

22

y

x

Hệ phươ ng trình tươ ng đươ ng vớ i phươ ng trình 0=+ y .

Vậy 0 ),1,1(),( ≠−=−= x x xv .

* Véc tơ riêng ),( y xv = ứng vớ i giá tr ị riêng 22 =λ là nghiệm của hệ

hay .( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

0

02 y

x I A λ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−− 0

0

21

21

y

x

Hệ phươ ng trình tươ ng đươ ng vớ i phươ ng trình 02 =+ y .

Vậy 0);1,2(),2( ≠−=−= y y y yv .

Định lý 6.15: Mọi tự đồng cấu trong không gian thực chiều đều có ít nhất

một không gian con bất biến một chiều hoặc hai chiều.

n )1( ≥n

Chứng minh: Giả sử là ma tr ận của tự đồng cấu trong cơ sở { }nee ,...,1 . Đa thức đặc

tr ưng I A P λ λ −=)( là đa thức bậc củan λ . Nếu phươ ng trình 0)( =λ P có nghiệm thực

0λ thì theo Định lý 6.14 và Định ngh ĩ a 6.9 tồn tại 0≠v sao cho vv f 0)( λ = . Không gian conmột chiều sinh bở i { bất biến đối vớ i}v f . Nếu phươ ng trình 0)( =λ P không có nghiệm thực

thì có ít nhất một nghiệm phức iba +=1λ (xem phụ lục). Xét hệ phươ ng trình tuyến tính phức

(6.21)[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

0

01

1 MM

n z

z

I A λ

Tươ ng tự như tr ườ ng hợ p hệ phươ ng trình thuần nhất thực (5.9), vì ( ) 0det 1 =− I A λ nên

hệ phươ ng trình (6.21) tồn tại nghiệm không đồng thờ i bằng 0, nghiệmkhông thể là nghiệm thực.

),...,( 1 n z z ),...,( 1 n z z

Giả sử nnn iy x ziy x z +=+= ,...,111 thì và không tỉ lệ. Thật

vậy, nếu thì

n x x ,...,1 n y y ,...,1

nn ky xky x == ,...,11

[ ] [ ]( ) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

0

0

0

0

11

1

1

1

1

1 MMMMM

nnn x

x

I A

x

x

ki I A

z

z

I A λ λ λ

105

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



điều này trái vớ i giả thiết 1λ là một số phức nên (6.21) không thể có nghiệm thực khác 0.

Đặt ,nne xe xv ++= ...11 nne ye yu ++= ...11 , vì và không tỉ

lệ nên hệ hai véc tơ độc lậ p. Mặt khác bằng cách đồng nhất phần thực và phần ảo của số

phức ta suy ra

n x x ,...,1 n y y ,...,1

{ uv, }

;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnn y

y

b

x

x

a

x

x

A MMM

111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnn y

y

a

x

x

b

y

y

A MMM

111

Vậy

⎩

⎨⎧

+=

−=

aubvu f

buavv f

)(

)((6.22)

Do đó là không gian con hai chiều bất biến đối vớ i{ uvW ,span= } f .

6.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đượ c

Định ngh ĩ a 6.13: Tự đồng cấu f trong không gian véc tơ V chéo hoá đượ c nếu tồn tại một

cơ sở của V để ma tr ận của f trong cơ sở này có dạng chéo.

Từ định ngh ĩ a này ta thấy r ằng f chéo hoá đượ c khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của

V gồm các véc tơ riêng của .

Một cách tươ ng đươ ng, ta nói ma tr ận chéo hoá đượ c nếu tồn tại ma tr ận không suy biến

sao choT T T 1−là ma tr ận chéo.

Định lý 6.16: Giả sử là các véc tơ riêng ứng vớ i các giá tr ị riêng phân biệtmvv ,...,1

mλ λ ,...,1 của tự đồng cấu thì hệ véc tơ { }mvv ,...,1 độc lậ p tuyến tính.

Chứng minh: Ta chứng minh quy nạ p theo k r ằng hệ { }k vv ,...,1 độc lậ p tuyến tính vớ i

mk ≤≤1 .

* Khi 1=k hệ một véc tơ là độc lậ p tuyến tính.01 ≠v* Giả sử hệ { }k vv ,...,1 vớ i 11 −≤≤ mk độc lậ p tuyến tính. Ta chứng minh hệ

độc lậ p. Thật vậy, giả sử { 11 ,,..., +k k vvv }

0... 1111 =+++ ++ k k k k v xv xv x (6.23)

0)...( 1111 =+++⇒ ++ k k k k v xv xv x f

0... 11!111 =+++⇒ +++ k k k k k k v xv xv x λ λ λ (6.24)

106

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Nhân 1+k λ vào (6.23) r ồi tr ừ cho (6.24) ta đượ c

0)(...)( 11111 =−++− ++ k k k k k v xv x λ λ λ λ

Vì { }k vv ,...,1 độc lậ p và các mλ λ ,...,1 khác nhau từng đôi một suy ra

00... 11 =⇒=== +k k x x x .

Hệ quả 6.17: Nếu đa thức đặc tr ưng của tự đồng cấu f trong không gian chiềun V có

đúng nghiệm thực phân biệt thìn chéo hoá đượ c.

Chứng minh: Vì đa thức đặc tr ưng có nghiệm phân biệt nên véc tơ riêng tươ ng ứng

vớ i giá tr ị riêng này là một hệ độc lậ p, do đó là một cơ sở của

n nn V gồm các véc tơ riêng của .

Vậy f chéo hoá đượ c.

Hệ quả 6.18: Giả sử đa thức đặc tr ưng của tự đồng cấu f chỉ có các nghiệm thực:

k mk

mn P )...()()1()( 11 λ λ λ λ λ −−−= vớ i nmm k =++ ...1 và các k λ λ ,...,1 khác

nhau từng đôi một. Khi đó f chéo hoá đượ c khi và chỉ khi vớ i mọi k i ,...,1= :

imV i

=λ dim . (6.25)

Chứng minh: Trong mỗi ta chọn một cơ sở gồm véc tơ . Hệ véc tơ gộ p

lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lậ p tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở của

:)(⇐i

V λ im n

V gồm các véc tơ riêng của . Vậy f chéo hoá đượ c.

)(⇒ : Giả sử chéo hoá đượ c, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ riêng để ma tr ận f có dạng chéo

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nμ

O

1

))...(()1()( 1 nn P μ λ μ λ λ −−−=⇒

Suy ra các giá tr ị riêng nμ ,...,1 phải trùng vớ i k λ λ ,...,1 .

Vậy có đúng giá tr ị riêng trong cácim n,...,1 bằng iλ , k i ,...,1= . Do đó có đúng

véc tơ riêng ứng vớ i giá tr ị riêngim iλ , ngh ĩ a là imV i

=λ dim .

107

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



6.5.5 Thuật toán chéo hoá

Bài toán 1: Cho tự đồng cấu trên không gian V . Hãy tìm cơ sở của V để ma tr ận

f trong cơ sở này có dạng chéo.

Bài toán 2: Cho ma tr ận vuông cấ p . Tìm ma tr ận không suy biến sao chon T

T T 1−có dạng chéo.

Cho tự đồng cấu f trong không gian véc tơ V . Giả sử { }nee ,...,1= B là một cơ sở

trong V và ma tr ận của trong cơ sở là B . Khi đó bài toán 1 tr ở thành bài toán 2. Ngượ c

lại, cho ma tr ận vuông ta xét ánh xạ tuyến tính có ma tr ận trong cơ sở chính

tắc là

nn f →:

. Khi đó bài toán 2 tr ở thành bài toán 1.

Vì vậy, để giải hai bài toán này ta cần tìm cơ sở { }nee ',...,'' 1= B gồm các véc tơ riêng

của và ma tr ận cần tìm T chính là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang . Vậy ta cần thực hiện

các bướ c sau:

B ' B

Bướ c 1: Tìm nghiệm của phươ ng trình đặc tr ưng:

( ) 0)det(det:)( =−=−= I Aid f P V λ λ λ

k mk

mn P )...()()1()( 11 λ λ λ λ λ −−−=⇒ .

Bướ c 2: Vớ i mỗi giá tr ị riêng iλ ta tìm các véc tơ riêng nne xe xv ++= ...11 có

là nghiệm của hệ phươ ng trình( n x x ,...,1 )

[ ] (6.26)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

0

01

MM

n

i

x

x

I A λ

Tậ p hợ p nghiệm là không gian con chiều;id ( ) I Ar nd ii λ −−= .

Nếu vớ i i nào đó,ii md < k i ≤≤1 thì f không hoá chéo đượ c.

Nếu thì ta chọn véc tơ độc lậ p tuyến tính ứng vớ i giá tr ị riêngii md = im iλ , vớ i mọi

k i ,...,1= . Hệ gồm các véc tơ riêng này là cơ sở cần tìm.nmm k =++ ...1 ' B

Ví dụ 6.4: Chéo hóa ma tr ận

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

308

649

012

A

108

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Đa thức đặc tr ưng của

)1)(1)(3(

588

359

001

)3(

308649

333

308649

012

)(

+−−=

−−

−−−−=

−−−−

−−−

=−−−

−

−−

=

λ λ λ

λ

λ λ

λ

λ

λ λ λ

λ

λ

λ

λ P

Do đó có các giá tr ị riêng 3,1,1 321 ==−= λ λ λ .

*) Giá tr ị riêng 1−=λ có véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ phươ ng trình

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

0

0

0

208

659

013

z

y

x

Ta có:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

↔

−−

↔

−−

−

14

00

013

00

013

0

0

208

0

208

659

013

Vậy hệ phươ ng trình trên tươ ng đươ ng vớ i hệ:

⎩⎨⎧

−=

=⇒

⎩⎨⎧

=+

=−

x z

x y

z x

y x

4

3

04

03

( ) )4,3,1(4,3, −=−= x x x xv chọn )4,3,1('1 −=e .

**) Giá tr ị riêng 1=λ có véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ phươ ng trình

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

0

0

0

408

639

011

z

y

x

Ta có:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

↔

−−

−

102

011

408

639

011

000

109

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2




⎩⎨⎧

−=

=⇒

⎩⎨⎧

=+

=−

x z

y x

z x

y x

2

02

0

( ) )2,1,1(2,, −=−= x x x xv chọn )2,1,1('2 −=e .

***) Giá tr ị riêng 3=λ có véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ phươ ng trình

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

0

0

0

608

619

011

z

y

x

Ta có

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

↔

−−

−−

304

000011

608

619011


⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=

⇒⎩⎨⎧

=+

=+

x z

y x

z x

y x

3

4 03 4

0

)4,3,3(33

4,, −−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

x x x xv chọn )4,3,3('3 −−=e .

Cơ sở mớ i gồm các véc tơ riêng { }321 ',','' eee= B . Ma tr ận chuyển cơ sở

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

424

313

311

T .

Do đó .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

300

010

0011 AT T


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

100

032

023

A

110

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2




.)1)(5(

100

050

021

100

031

021

100

032

023

)(

2−−=

−

−

−−

=

−

−−

−−

=

−

−−

−−

=

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ P

Do đó có các giá tr ị riêng 51 =λ và 12 =λ (kép).

*) Giá tr ị riêng 5=λ có véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ phươ ng trình:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−

0

00

400

022 022

z

y x

có hệ phươ ng trình tươ ng đươ ng:

⎩⎨⎧

=

−=⇒

⎩⎨⎧

=

=+

0

0

0

z

y x

z

y x

( ) )0,1,1(0,, −=−= y y yv chọn )0,1,1('1 −=e .

**) Giá tr ị riêng 1=λ có véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ phươ ng trình

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

0

0

0

000

022

022

z

y

x

Hệ phươ ng trình trên tươ ng đươ ng vớ i phươ ng trình: 0=− y , z tuỳ ý.

( ) )1,0,0()0,1,1(,, z x z x xv +== chọn )0,1,1('2 =e , )1,0,0('3 =e .

Ma tr ận chuyển cơ sở và .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

100

011

011

T

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

100

010

0051 AT T

111

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2




⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

111

111

111

A


111

111

111

111

111

111

)(

λ λ

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

−−−

−−−

−

=

−−

−−

−−

= P

2)2)(1(

200

020 111)1( +−=

−−

−−−= λ λ

λ

λ λ .

Đa thức đặc tr ưng có nghiệm 11 =λ và 22 −=λ (kép).

*) Giá tr ị riêng 11 =λ có véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ phươ ng trình

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

0

0

0

201

121

112

z

y

x

Ta có

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

↔−↔

−

−

−

000

1

1

3

211

121

112

01

10

000

03

112

Vậy hệ phươ ng trình trên tươ ng đươ ng vớ i:

⎩⎨

⎧

=

=

⇒⎩⎨

⎧

=−

=+−

y x

z x

y x

z x

0

0

( ) )1,1,1(,, x x x xv == chọn )1,1,1('1 =e .

**) Giá tr ị riêng 22 −=λ có véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ phươ ng trình

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0

0

111

111

111

z

y

x

112

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Hệ phươ ng trình trên tươ ng đươ ng vớ i phươ ng trình: 0=++ z y .

( ) )1,0,1()0,1,1(,, −+−=−−= z y z y z yv .

Chọn ,)0,1,1('2 −=e )1,0,1('3 −=e .

Ma tr ận chuyển cơ sở

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

=

101

011

111

T và .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=−

200

020

0011 AT T


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

776

874

431

A


λ

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

−−

−−+

−−

=

−−

−−

−−

=

776

0122

431

776

874

431

)( P

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

−−−−

−−−−

+=

−−−

−−−−

+=

771

010431

)1(

778

010435

)1(

2)1)(3(

340

010

431

)1( +−=

−−

−

−−−

+= λ λ

λ

λ

λ .

Đa thức đặc tr ưng có nghiệm 31 =λ và 12 −=λ (kép).

Giá tr ị riêng 12 −=λ có véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ phươ ng trình

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

0

0

0

876

864

432

z

y

x

113

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Biến đổi ta đượ c hệ phươ ng trình tươ ng đươ ng:

⎩⎨⎧

=

=⇒

⎩⎨⎧

=−

=+−

z x

z y

z y

z y x 2

02

0432 ⇒ ( ) )1,2,1(,2, x x x xv ==

Vậy không gian riêng { }∈= x xV )1,2,1(2λ

có 21dim2

<=λ V nên ma tr ận không

chéo hoá đượ c.

114

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


Chươ ng 7: Không gian véc t ơ Euclide d ạng toàn phươ ng

7. CHƯƠNG 7: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

7.1 TÍCH VÔ HƯỚ NG, KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE

7.1.1 Các định ngh ĩ a và tính chất

Định ngh ĩ a 7.1: Một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V là một ánh xạ

: →×V V η

),( ),( vuvu η a

sao cho khi cố định mỗi biến thì nó tr ở thành ánh xạ tuyến tính đối vớ i biến kia.

Ngh ĩ a là vớ i mọi ∈2121 ,,, y y x x , vớ i mọi V vvuvuu ∈2121 ,,;,, thì

),(),(),(22112211

vu xvu xvu xu x η η η +=+

),(),(),( 22112211 vu yvu yv yv yu η η η +=+ . (7.1)

Định ngh ĩ a 7.2: Dạng song tuyến tính η đượ c gọi là có tính:

i) Đối xứng: Nếu ),(),( uvvu η η = vớ i mọi V vu ∈, ; (7.2)

ii) Không âm: Nếu 0),( ≥uuη vớ i mọi V u ∈ ; (7.3)

iii) Không dươ ng: Nếu 0),( ≤uuη vớ i mọi V u ∈ ; (7.4)

iv) Xác định: Nếu 0),( =uuη khi và chỉ khi 0=u . (7.5)

Ta dễ dàng thấy r ằngη xác định dươ ng khi và chỉ khi 0),( >uuη vớ i mọi .0≠u

Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dươ ng đượ c gọi là tích vô hướ ng. Ta thườ ng

ký hiệu tích vô hướ ng của vàu v là vu, thay cho ),( vuη .

Một không gian véc tơ V vớ i một tích vô hướ ng <,> đượ c gọi là không gian véc tơ

Euclide.

115

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 7.1: Trong không gian véc tơ các véc tơ tự do trong mặt phẳng và không gian véc

tơ các véc tơ tự do trong không gian, ta xét tích vô hướ ng của hai véc tơ theo ngh ĩ a thông

thườ ng

2 R

3 R

),cos( vuvuvu ⋅=⋅ .

Ta dễ dàng kiểm chứng đượ c tích vô hướ ng (theo tên gọi thông thườ ng) là một dạng song

tuyến tính xác định dươ ng, do đó nó là tích vô hướ ng theo định ngh ĩ a trên. Vậy , là hai

không gian véc tơ Euclide.

2 R 3 R

Ví dụ 7.2: Xét không gian véc tơ { }ni x x x inn ,...,1;),...,( 1 =∈=

Vớ i , , ta định ngh ĩ a:),...,( 1 n x x x =n

n y y y ∈= ),...,( 1

nn y x y x y x ++= ..., 11 (7.6)

thì ,,n là một không gian véc tơ Euclide.

Giả sử ( ),,V là một không gian véc tơ Euclide.

Định ngh ĩ a 7.3: Vớ i mỗi véc tơ V v ∈ ta định ngh ĩ a và ký hiệu chuẩn hay môđun của véc

tơ v qua biểu thức

vvv ,= . (7.7)

Nếu 1=v thì v đượ c gọi là véc tơ đơ n vị.

Tính chất 7.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Vớ i mọi V vu ∈, thì vuvu ⋅≤, (7.8)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi vu , tỉ lệ.

Chứng minh: Nếu một trong hai véc tơ bằng thì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều bằng 0 , do đó bất đẳng thức nghiệm đúng.

0

Giả sử 0≠v thì vớ i mọi ∈t ta có: 0, ≥++ tvutvu .

Mặt khác222 ,2, uuvt vt tvutvu ++=++ là một tam thức bậc hai đối vớ i t

và luôn luôn không âm. Vì vậy 0,' 222≤−=Δ uvuv . Từ đó suy ra bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz.

116

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Khi kvu = thì vuvkvvk vkvvu ⋅=⋅=⋅== 2,, .

Ngượ c lại: nếu vuvu ⋅=, thì 0'=Δ . Suy ra tồn tại sao cho∈0t vt uvt uvt u 000 0, −=⇒=++ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào không gian ta có bất đẳng thứcBunnhiacopsky:

n

( ) 221

221

211 ......... nnnn y y x x y x y x ++++≤++ (7.9)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nn ty xty x == ,...,11 .

7.1.2 Trự c giao - trự c chuẩn hoá Gram-Shmidt

Định ngh ĩ a 7.4: Hai véc tơ V vu ∈, gọi là tr ực giao nhau, ký hiệu vu ⊥ , nếu 0, =vu .

Hệ các véc tơ { nvvS ,...,1 }= của V đượ c gọi là hệ tr ực giao nếu hai véc tơ bất k ỳ của hệ

S đều tr ực giao nhau.

Hệ tr ực giao các véc tơ đơ n vị đượ c gọi là hệ tr ực chuẩn.

Định lý 7.2: Mọi hệ tr ực chuẩn là hệ độc lậ p tuyến tính.

Chứng minh: Nếu hệ tr ực chuẩn và{ nvvS ,...,1= } 0...11 =++ nnv xv x thì0,...11 =++= inni vv xv x x vớ i mọi ni ,...,1= .

Định lý 7.3: Giả sử là một hệ độc lậ p tuyến tính các véc tơ của không

gian Euclide

{ nuuS ,...,1= }

.V Khi đó ta có thể tìm đượ c hệ tr ực chuẩn { nvvS ,...,' 1 }= sao cho

vớ i mọi{ } { ;,...,span,...,span 11 k k uuvv = } nk ,...,1= .

Chứng minh: Ta xây dựng hệ tr ực chuẩn 'S theo các bướ c quy nạ p sau đây mà đượ c gọi là

quá trình tr ực chuẩn hoá Gram-Shmidt.

♦) 1=k : Vì hệ S độc lậ p nên 01 ≠u . Đặt1

11

u

uv = .

♦) 2=k : Xét 21122 , uvvuv +−= , ta có 02 ≠v (vì nếu 02 =v thì 12 kvu = ,

điều này trái vớ i giả thiết hệ S độc lậ p). Đặt2

22

v

vv = , hệ { }21, vv tr ực chuẩn và

{ } { }2121 ,span,span uuvv = .

117

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



♦) Giả sử đã xây dựng đượ c đến 1−k . Tức có { }11,..., −k vv tr ực chuẩn sao cho

{ } { 1111 ,...,span,...,span }−− = k k uuvv . Tươ ng tự trên ta xét

∑−

=

+−=1

1

,k

i

k iik k uvvuv (7.10)

ta cũng có 0≠k v ( vì nếu 0=k v thì là tổ hợ p tuyến tính của , do đó là

tổ hợ p tuyến tính của

k u 11,..., −k vv

11,..., −k uu , điều này mâu thuẩn vớ i giả thiết hệ S độc lậ p). Đặt

k

k k

v

vv = (7.11)

thì 1,...,1; −=⊥ k ivv ik . Vậy hệ { }k vv ,...,1 tr ực chuẩn và

{ } { } { }k k k k k uuuvvvvv ,,...,span,,...,span,...,span 11111 −− == .

Ví dụ 7.3: Hãy tr ực chuẩn hoá hệ { }321 ,, uuuS = trong3

vớ i , ,)1,1,1(1 =u )1,1,1(2 −=u )1,2,1(3 =u .

Bướ c 1: 31 =u ⇒ ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ == 3

1,3

1,3

1

111 u

uv .

Bướ c 2: 21122 , uvvuv +−=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=3

2,

3

2,

3

4)1,1,1(

3

1,

3

1,

3

1

3

1

6

3

22 =v ⇒ ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −=

6

1,

6

1,

6

22v .

Bướ c 3: 32231133 ,, uvvuvvuv +−−=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=2

1,

2

1,0)1,2,1(

6

1,

6

1,

6

2

6

1

3

1,

3

1,

3

1

3

4

2

13 =v ⇒ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=2

1,

2

1,03v .

118

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



{ 321 ,, vvv } là hệ véc tơ tr ực chuẩn hoá của hệ { }321 ,, uuu .

7.1.3 Cơ sở trự c chuẩn

Định ngh ĩ a 7.5: Một cơ sở của không gian véc tơ V mà là hệ tr ực chuẩn đượ c gọi là một cơ

sở tr ực chuẩn.

Định lí 7.4: Mọi hệ tr ực chuẩn của V đều có thể bổ sung thêm để tr ở thành cơ sở tr ực

chuẩn.

Chứng minh: Hệ gồm k véc tơ tr ực chuẩn S là hệ độc lậ p tuyến tính nên ta có thể bổ sung

thêm để đượ c một cơ sở của V .Tr ực chuẩn hoá Gram-Shmidt cơ sở này để đượ c một cơ sở tr ực

chuẩn của V . Trong quá trình tr ực chuẩn hoá k véc tơ của hệ S không thay đổi vì vậy thực chất

ta đã bổ sung vào hệ S để có cơ sở tr ực chuẩn của V .

Hệ quả 7.5: Mọi không gian véc tơ Euclide đều tồn tại cơ sở tr ực chuẩn.

Định lý 7.6: Giả sử { là một cơ sở tr ực chuẩn của}nee ,...,1 V thì vớ i mọi V vu ∈, , ta có

i) .,..., 11 nn eeveevv ++= (7.12)

ii) .,,...,,, 11 nn eveueveuvu ++= (7.13)

iii) .,...,22

12

nevevv ++= (7.14)

Chứng minh: Các đẳng thức trên đượ c suy ra từ các khẳng định sau:

Nếu nne xe xv ++= ...11 , nne ye yu ++= ...11

thì iinni xee xe xev =++= ,..., 11 vớ i mọi ni ,...,1=

và nnnnnn y x y xe ye ye xe xuv ++=++++= ......,..., 111111 .

7.1.4 Không gian con trự c giao, phần bù trự c giao

Định nghiã 7.6: Véc tơ V v ∈ đượ c gọi là tr ực giao vớ i tậ p con V S ⊂ , ký hiệu S v ⊥ ,

nếu uv ⊥ vớ i mọi S u ∈ .

Tậ p con tr ực giao vớ i tậ p con , ký hiệu1S 2S 21 S S ⊥ , nếu uv ⊥ vớ i mọi

.21, S uS v ∈∈

Tính chất 7.7:

1) Nếu S v ⊥ thì S v span⊥ .

119

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



2) Giả sử { }k ee ,...,1 là một cơ sở của thìW W v ⊥ khi và chỉ khi , vớ i mọiiev ⊥

k i ,...,1= .

3) Vớ i mọi tậ p con V S ⊂ . Ta ký hiệu { }S uuvV vS ∈∀⊥∈=⊥ , .

Tậ p⊥

S là không gian véc tơ con của V .

4) Vớ i mọi không gian con W của V . Ta có:

⊥⊥⊕= W W V , ( ) W W =

⊥⊥

Hai không gian con đượ c gọi là phần bù tr ực giao của nhau.⊥W W ,

Chứng minh: 1) Vớ i mọi S u span∈ , k k u xu xu ++= ...11 , S uu k ∈,...,1

0,...,...,, 1111 =++=++=⇒ k k k k uv xuv xu xu xvuv .

2) Hiển nhiên từ 1).

3) φ ≠⇒∈ ⊥⊥ S S 0 . Vớ i mọi ⊥∈ S vv 21, , ∈ β α , , S u ∈ :

0,,, 2121 =+=+ uvuvuvv β α β α ⊥∈+⇒ S vv 21 β α .

4) Giả sử { }k ee ,...,1 là một cơ sở tr ực chuẩn của W .

V v∈∀ , đặt W k k eeveevu ∈++= ,..., 11 .

Ta có: ⊥∈−⇒=∀=− W uvk ieuv i ...,,1,0, .

Vậy⊥+= W W V .

Ngoài ra thì⊥∩∈∀ W W u 00, =⇒= uuu , do đó

⊥⊕= W W V .

Theo định ngh ĩ a ta dễ dàng có ( )⊥⊥⊂ W W .

Ngượ c lại vớ i mọi ( ) V W v ⊂∈⊥⊥ 21 uuv +=⇒ ,

⊥∈∈ W uW u 21 ,

22222 ,,,,,0 22121 uuuuuuuuuuv =+=+==⇒

W uvu ∈=⇒=⇒ 12 0 ⇒ ( ) W W ⊂⊥⊥ .

120

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Nếu hệ véc tơ { }mk k ee ++ ,...,1 là một cơ sở tr ực chuẩn của ⊥W thì { }mk k k eeee ++ ,...,,,..., 11

là cơ sở tr ực chuẩn của V .

7.2 MA TR ẬN TR Ự C GIAO VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TR Ự C GIAO

7.2.1 Ma trận trự c giao

Định ngh ĩ a 7.7: Ma tr ận vuông đượ c gọi là ma tr ận tr ực giao nếu I t = .

Nếu thì[ ]ija A = là ma tr ận tr ực giao khi

; (7.15)⎩⎨⎧

≠===∑

= k jk jaa

n

i jk ik ij

nÕu

nÕu

01

1δ

jk δ là ký hiệu Kronecker.

Như vậy ma tr ận tr ực giao là khả nghịch và có t =−1. Mặt khác từ (7.15) ta cũng

thấy r ằng ma tr ận tr ực giao khi và chỉ khi các véc tơ cột và các véc tơ hàng của tạo thành

hai hệ tr ực chuẩn.

Ta có 11 ±=⇒== A I A At .

Ví dụ 7.4: Ma tr ận

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

216131

216131

06231

A là ma tr ận tr ực giao.

Ví dụ 7.5: Mọi ma tr ận vuông cấ p 2 tr ực giao đều có dạng

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡−=

ϕ ϕ ϕ ϕ

cossinsincos A hay ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ −=

ϕ ϕ ϕ ϕ

cossinsincos A . (7.16)

Thật vậy, ta dễ dàng kiểm chứng hai ma tr ận ở trên thoả mãn I t = .

Ngượ c lại nếu và⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

d c

ba A I t = thì ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡10

01

d c

ba

d b

ca

121

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Suy ra

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

=+

)3( 1

)2( 0

)1( 1

22

22

d b

cd ab

ca

Mặt khác từ 1±= A và (2) & (3) suy ra là nghiệm duy nhất của hệ phươ ng trình

Cramer

d b,

⎩⎨⎧

=+

=+

1

0

dybx

cyax

⇒ A

cb −= ,

A

ad = .

♦) Nếu 1= A thì và⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=ab

ba A 122 =+ ba ⇒ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=ϕ ϕ

ϕ ϕ

cossin

sincos A .

♦) Nếu 1−= A thì ,⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=ab

ba A 122 =+ ba ⇒ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=ϕ ϕ

ϕ ϕ

cossin

sincos A .

Định lý 7.8: Ma tr ận của một hệ tr ực chuẩn viết trong cơ sở tr ực chuẩn là một ma tr ận tr ựcgiao. Đặc biệt mọi ma tr ận chuyển từ cơ sở tr ực chuẩn sang cơ sở tr ực chuẩn là ma tr ận tr ực giao.

Chứng minh: Gọi là ma tr ận của hệ tr ực chuẩn[ ]ija A = { }nvv ,...,1 viết trong cơ sở

tr ực chuẩn .{ }nee ,...,1= B

Từ (7.12) ta có ∑ ∑= =

==n

i

n

i

i jiiij j eveeav

1 1

,

Từ (7.13) ta có ∑=

==n

i

jk k jik ij vvaa

1

, δ

Vậy là ma tr ận tr ực giao.

7.2.2 Ánh xạ tuyến tính trự c giao

Định ngh ĩ a 7.8: Giả sử V

V ,, và ',,'V

V là hai không gian véc tơ Euclide. Ánh

xạ tuyến tính ': V V → đượ c gọi là ánh xạ tr ực giao nếu vớ i mọi V vu ∈, :

V V vuv f u f ,)(),( ' = (7.17)

122

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ta dễ dàng thấy r ằng mọi ánh xạ tuyến tính tr ực giao đều đơ n cấu. Vì vậy mọi tự đồng cấutuyến tính tr ực giao là đẳng cấu.

Định lý sau chỉ ra r ằng, nếu điều kiện (7.17) thoả mãn đối vớ i mọi véc tơ của một cơ sở tr ựcchuẩn nào đó thì f cũng là ánh xạ tuyến tính.

Định lý 7.9: Giả sử f là tự đồng cấu tuyến tính của không gian véc tơ Euclide V .

là một cơ sở tr ực chuẩn của{ nee ,...,1= B } V . Khi đó f tr ực giao khi và chỉ khi

là một cơ sở tr ực chuẩn của{ )(),...,( 1 ne f e f } V .

Chứng minh: (⇒): Hiển nhiên vì ji ji eee f e f ,)(),( = .

(⇐): Giả sử { là cơ sở tr ực chuẩn thì vớ i mọi})(),...,( 1 ne f e f V vu ∈, :

,nne xe xv ++= ...11 nne ye yu ++= ...11

⇒ )(...)(),(...)()(),( 1111 nnnn e f ye f ye f xe f xu f v f ++++=

.,...11 uv y x y x nn =++=

7.2.3 Ma trận của tự đẳng cấu trự c giao

Giả sử là ma tr ận của tự đẳng cấu[ ]ija A = f trong không gian Euclide V vớ i cơ sở tr ực chuẩn . Theo định lý 7.8 và định lý 7.9 thì tự đẳng cấu{ nee ,...,1= B } là tr ực giao khi

và chỉ khi là một ma tr ận tr ực giao.

Vậy ma tr ận của tự đẳng cấu tr ực giao trong một cơ sở tr ực chuẩn là một ma tr ận tr ực

giao. Ngượ c lại, nếu là ma tr ận tr ực giao và là tự đồng cấu tuyến tính có ma tr ận trong cơ

sở tr ực chuẩn là thì f là ánh xạ tr ực giao.

Định lý 7.10: Mọi ma tr ận tr ực giao chỉ có các giá tr ị riêng là 1− hay 1.

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu tr ực giao có ma tr ận trong một cơ sở tr ực chuẩn nào

đó là . Nếu λ là một giá tr ị riêng của thì tồn tại véc tơ riêng 0≠v sao cho vv λ =)( .

Khi đó vvvvv f v f ,,)(),( 2λ λ λ == .

Mặt khác vvv f v f ,)(),( = ⇒ vvvv ,,2 =λ

0, ≠vv ⇒ 12 =λ . Vậy 1±=λ .

123

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



7.3 CHÉO HOÁ TR Ự C GIAO MA TR ẬN - TỰ ĐỒNG CẤU ĐỐI XỨ NG

7.3.1 Bài toán chéo hoá trự c giao

Cho ma tr ận tìm ma tr ận tr ực giao T sao cho T T t là ma tr ận chéo.

Định lý 7.11( điều kiện cần): Nếu chéo hoá tr ực giao đượ c thì là ma tr ận đối xứng.

Chứng minh: Nếu T T t là ma tr ận chéo thì =t t AT T T T t . Do đó =T T t t

T T t ,

vì T khả nghịch nênt = .

Ngượ c lại, ta sẽ chứng minh nếu đối xứng thì chéo hoá tr ực giao đượ c. A

7.3.2 Tự đồng cấu đối xứ ng

Định ngh ĩ a 7.9: Tự đồng cấu V V →: đượ c gọi là đối xứng nếu vớ i mọi V vu ∈, :

)(,),( v f uvu f = (7.18)

Tính chất 7.12: Nếu là một cơ sở của{ nee ,...,1= B } V thì tự đồng cấu f là đối xứng

khi và chỉ khi vớ i mọi ni ,...,1, = ,

)(,),( ji ji e f eee f = (7.19)

Thật vậy, nếu có (7.19) thì ∀ nne xe xv ++= ...11 , nne ye yu ++= ...11 :

)(,)(,),(

...),(...)(),(

1 11 1

1111

u f ve f e y xee f y x

e ye ye f xe f xuv f

ji

n

i

n

j

ji ji

n

i

n

j

ji

nnnn

===

++++=

∑ ∑∑ ∑= == =

Như vậy để chứng minh một tự đồng cấu là đối xứng thì thay vì chứng minh công thức

(7.18) đúng vớ i mọi V uv ∈, ta chỉ cần chứng minh công thức (7.19) đúng vớ i một cơ sở nào đó.

7.3.3 Ma trận của một tự đồng cấu đối xứ ng trong một cơ sở trự c chuẩn

Giả sử là ma tr ận của tự đồng cấu[ ]ija A = trong một cơ sở tr ực chuẩn { }nee ,...,1=

⇒ i

n

i

i j

n

i

iij j eee f eae f ∑∑==

==11

),()( (7.20)

Vậy vớ i mọi ni ,...,1, = : i jij ee f a ),(= .

124

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Từ tính chất 7.12, k ết hợ p vớ i (7.20) ta có:

Định lý 7.13: đối xứng khi và chỉ khi ma tr ận của f trong một cơ sở tr ực chuẩn nào

đó là ma tr ận đối xứng.

Định lý 7.14: Các giá tr ị riêng của một ma tr ận đối xứng là các số thực. Nói cách khác,

phươ ng trình đặc tr ưng của ma tr ận đối xứng vuông cấ p n có nghiệm thực.n

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu đối xứng có ma tr ận trong một cơ sở tr ực chuẩn nào

đó là ma tr ận đối xứng cấ p . Giả sử n iba +=λ là nghiệm của đa thức đặc tr ưng

I A P λ λ −=)( . Khi đó theo Định lý 6.15 tồn tại hai véc tơ độc lậ p tuyến tính V vu ∈, sao

cho⎩⎨

⎧

+=

−=

aubvu f

buavv f

)(

)(

Do đó uubuvauv f ,,),( −= , vvbuvau f v ,,)(, += .

Vì đối xứng suy ra 0,, ≥=− vvbuub ⇒ 0=b . Nói cách khác, mọi nghiệm của

đa thức đặc tr ưng là nghiệm thực.

Định lý 7.15: Hai véc tơ riêng ứng vớ i hai giá tr ị riêng khác nhau của một tự đồng cấu đối

xứng là tr ực giao nhau.

Chứng minh: Giả sử 111)( vv f λ = , 222 )( vv f λ = ; 0, 21 ≠vv ; 21 λ λ ≠

thì 2122121211 ,)(,),(, vvv f vvv f vv λ λ ===

⇒ 0,)( 2121 =− vvλ λ ⇒ 0, 21 =vv .

Định lý 7.16: Nếu là tự đồng cấu đối xứng trong V thì tồn tại một cơ sở tr ực chuẩn của

V gồm các véc tơ riêng của f .

Chứng minh: Theo Định lý 7.14 có véc tơ riêng ứng vớ i giá tr ị riêng1u

∈1λ ,11 =u . Đặt { } { }111 span uuW =∈= λ λ .

,⊥∈∀ 1W v 0,)(,),( 1111 === uvu f vuv f λ ⇒ .

⊥∈ 1)( W v f

Vậy bất biến đối vớ i⊥1W f và ⊥⊕= 11 W W V nên ta có thể xét:

⊥⊥ →= ⊥ 111 :1

W W f f W

, 1dimdim 1 −=⊥V W .

125

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Quy nạ p theo số chiều của không gian thì có cơ sở tr ực chuẩn { }nuu ,...,2 của gồm

các véc tơ riêng của . Do đó là cơ sở tr ực chuẩn của

⊥1W

1 f { nuuu ,...,, 21 } V gồm các véc tơ

riêng của .

Hệ quả 7.17: Mọi ma tr ận đối xứng đều chéo hoá tr ực giao đượ c.

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu đối xứng có ma tr ận trong cơ sở tr ực chuẩn

. Theo Định lý 7.16 tồn tại cơ sở tr ực chuẩn{ nee ,...,1= B } { }nee ',...,'1'= B gồm các véc

tơ riêng của f . Gọi T là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang thì T tr ực giao và B ' B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

n

t AT T

λ

λ

O

1

(7.21)

trong đó nλλ ,...,1 là các giá tr ị riêng của .

7.3.4 Thuật toán chéo hoá trự c giao

Muốn chéo hoá tr ực giao một ma tr ận đối xứng , ngh ĩ a là tìm ma tr ận tr ực giao T sao

cho T T t có dạng chéo, ta thực hiện các bướ c sau:

Bướ c 1: Tìm các giá tr ị riêng của (nghiệm của đa thức đặc tr ưng).

Bướ c 2: Trong mỗi không gian riêng tìm một cơ sở và tr ực chuẩn hoá Gram-Shmidt cơ sở

này.

Bướ c 3: Gộ p các cơ sở đã đượ c tr ực chuẩn hoá ở bướ c 2 ta có một cơ sở tr ực chuẩn của V .

Ma tr ận các véc tơ của cơ sở này là ma tr ận tr ực giao T cần tìm.

Ví dụ 7.6: Chéo hoá tr ực giao ma tr ận đối xứng

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−=

312

132

220

A

Đa thức đặc tr ưng

λ λ

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

−−−

−−−

−

=

−−

−−

−

=−

314

134

224

312

132

22

I A

126

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



)2()4(

0

2

40

320

22)4(

130

310

22)4(

+−−==

−

−−−

−

−−

−−

−

= λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

♦Vớ i giá tr ị riêng 21 −=λ , véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

0

0

0

512

152

222

z

y

x

ta có

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−↔

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−↔

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−↔

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

000

110

021

000

110

111

330

330

111

512

152

222

Hệ phươ ng trình trên tươ ng đươ ng vớ i hệ

⎩⎨⎧

=−

=+

0

02

z y

y xcó nghiệm

⎩⎨⎧

=

−=

z y

y x 2

⇒ )1,1,2(),,2( −=−= y y y yv . Chọn )1,1,2(1 −=v .

Tr ực chuẩn hoá đượ c )61,61,62(1 −=u .

♦ Vớ i giá tr ị riêng 42 =λ (nghiệm kép), véc tơ riêng ),,( z y xv = là nghiệm của hệ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

0

0

0

112

112

224

z

y

x

ta có

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−↔

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

000

000112

112

112224

Hệ phươ ng trình trên tươ ng đươ ng vớ i phươ ng trình 02 =−− z y x

⇒ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +== 1,0,

21

0,1,21

,,22

),,( z y z y z y

z y xv .

127

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Chọn ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ = 1,0,

2

1 ,0,1,

2

132 vv .

Tr ực chuẩn hoá hai véc tơ này ta có

)0,52,51(2 =u , )305,301,302(3 −=u .

Vậy

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

305061

3015261

3025162

T và

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

400

040

002

AT T t .

7.4 DẠNG TOÀN PHƯƠ NG

7.4.1 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phươ ng

Giả sử →×V V :η là một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V .

là một cơ sở của{ nee ,...,1= B } V

Ma tr ận ,[ ]ija A = ),( jiij eea η = (7.22)

đượ c gọi là ma tr ận của dạng song tuyến tính η trong cơ sở . B

nne xe xuV u ++=∈∀ ...;v, 11 và nne ye yv ++= ...11

∑∑==

==

++++=n

ji

jiij

n

ji

ji ji

nnnn

y xa y xee

e ye ye xe xvu

1,1,

1111

),(

)...,...(),(

η

η η

(7.23)

(7.23) đượ c gọi là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính η trong cơ sở . B

Ngượ c lại ta có thể chứng minh đượ c r ằng ánh xạ →×V V :η xác định bở i

là một dạng song tuyến tính có ma tr ận thoả mãn (7.22) và (7.23).∑=

=n

ji

jiij y xavu

1,

),(η

Định ngh ĩ a 7.10: Giả sử →×V V :η là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ

V . Ánh xạ : →V Q

),()( vvvQv η =a

đượ c gọi là một dạng toàn phươ ng trên V .

128

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Nếu là một cơ sở của{ nee ,...,1= B } V , nne xe xvV v ++=∈∀ ...; 11

theo (7.23) ta có

∑∑==

===n

ji

jiij

n

ji

ji ji x xa x xeevvvQ

1,1,

),(),()( η η

Ngượ c lại ánh xạ có biểu thức toạ độ trong cơ sở : →V Q B

, vớ i∑=

=n

ji

jiij x xavQ

1,

)( ∑=

=n

i

iie xv

1

(7.24)

là một dạng toàn phươ ng ứng vớ i dạng song tuyến tính η sao cho ),( jiij eea η = .

Nói cách khác một dạng toàn phươ ng là một hàm số xác định trong không

gian véc tơ

: →V Q

V có công thức xác định ảnh )(vQ là một đa thức thuần nhất bậc hai đối vớ i các toạ

độ của véc tơ v trong cơ sở bất k ỳ.

Chú ý r ằng trong biểu thức ta có thể thay∑=

=n

ji

jiij x xavQ

1,

)(

bở ii j ji jiij x xa x xa + i j ji jiij x xa x xa '' + thoả mãn jiij jiij aaaa '' +=+ .

Vì vậy cùng một dạng toàn phươ ng có nhiều dạng song tuyến tínhQ η sao cho

),()( vvvQ η = . Nhưng nếu ta thêm điều kiện

jiij aa = ngh ĩ a là ),(),( i j ji eeee η η =

thì vớ i mỗi dạng toàn phươ ng chỉ có duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứngQ η

thỏa mãn ),()( vvvQ η = . Dạng song tuyến tính đối xứngη này đượ c gọi là dạng cực của .Q

Nếu ma tr ận xác định bở i (7.22) thoả mãn thêm điều kiện jiij aa = (ma tr ận đối

xứng) thì cũng còn đượ c gọi là ma tr ận của dạng toàn phươ ng trong cơ sở .Q B

Ví dụ 7.7: Tìm ma tr ận của dạng toàn phươ ng Q có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc

của ,3

332211321 ),,( e xe xe x x x xv ++== là

322

3312

2212

1 2442)( x x x x x x x x xvQ ++++−=

129

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



2332

2

313

312

212212

1

42

2)(

x x x x x x x

x x x x x x x xvQ

++++

++−−=

Do đó ma tr ận của cơ sở chính tắcQ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

412

111

211

A .

7.4.2 Biểu thứ c toạ độ của dạng toàn phươ ng trong các cơ sở khác nhau

Giả sử Q là dạng toàn phươ ng trong không gian véc tơ V có dạng cực tươ ng ứng là η .

[ ]ija A = , là hai ma tr ận của trong hai cơ sở .

của

[ ]ija A ''= Q { }nee ,...,1= B

{ }nee ',...,'1'= B V : ),( jiij eea η = , )','(' jiij eea η = .

Gọi là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang :[ ]ijt T = B ' B ∑=

=n

iiij j et e

1'

Khi đó

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ==

∑ ∑= =

n

k

n

l l ljk ki jiijet et eea

1 1,)','(' η η

∑ ∑∑ ∑= == =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟

⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ =

n

k

n

l ljkl ki

n

k

n

l ljl k ki t at t eet

1 11 1),(η

Vậy T T t =' (7.25)

Nếu ta ký hiệu toạ độ của các véc tơ dướ i dạng ma tr ận cột:

nne xe xv ++= ...11 , nn e xe xv ''...''' 11 ++=

Đặt , thì

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

n x

x

X M

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

n x

x

X

'

'

'1

M 'TX X =

Xét ma tr ận một hàng một cột

[ ] '''''')(1,1,

X A X x xa AX X x xavQ t n

ji

jiijt

n

ji

jiij =⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡==

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡= ∑∑

==

.

130

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



. (7.26)[ ] '''')(')'()'()( X A X X AT T X TX ATX AX X vQt t t t t ====

7.4.3 Biểu thứ c toạ độ dạng chính tắc của một dạng toàn phươ ng

Ta cần tìm một cơ sở của V để trong cơ sở này ma tr ận của dạng toàn phươ ng là ma tr ậnchéo, ngh ĩ a là biểu thức toạ độ có dạng chính tắc:

22222

2111 ...)( nnn xa xa xavQ +++= (7.27)

7.4.4 Đư a về chính tắc bằng chéo hoá trự c giao

Giả sử là dạng toàn phươ ng trong không gian EuclideQ V vớ i cơ sở tr ực chuẩn

có ma tr ận (ma tr ận đối xứng). Theo Hệ quả (7.17) ta có thể hoá

chéo tr ực giao ma tr ận , ngh ĩ a là ta tìm đượ c ma tr ận tr ực giao T để

{ nee ,...,1= B } [ ]ija A =

[ ]ija A = T T t là ma

tr ận chéo. T là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang cơ sở tr ực chuẩn gồm các véc tơ riêng

của

B ' B

.Vì vậy biểu thức (7.24) trong cơ sở có dạng chính tắc (7.27).' B

Ví dụ 7.8: : 3 →Q

),,( 321 x x xv = 3231212

32

2 24433)( x x x x x x x xvQ −+++=a

Ma tr ận của Q cơ sở chính tắc của là:

3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

312

132

220

A

Theo Ví dụ 7.6 tồn tại cơ sở { }321 ',','' eee= B :

)61,61,62('1 −=e , )0,52,51('2 =e ,

)305,301,302('3 −=e .

),,( 321 x x xv = 332211 '''''' e xe xe x ++=

23

22

21 '4'4'2)( x x xvQ ++−= .

7.4.5 Đư a về dạng chính tắc theo phươ ng pháp Lagrange

Giả sử trong cơ sở của không gian véc tơ { nee ,...,1= B } V (không giả thiết không gian

Euclide) biểu thức toạ độ của dạng toàn phươ ng có dạng:Q

131

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



,∑=

=n

ji

jiij x xavQ

1,

)( jiij aa = , ∑=

=n

i

iie xv

1

.

Ta thực hiện các phép đổi toạ độ sau:

♦ Tr ườ ng hợ p 1: Giả sử có 0≠iia , chẳng hạn 011 ≠a thì ta có thể sắ p xế p lại:

∑∑==

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

n

ji

jiij

n

i

ii x xa x

a

a x xavQ

2,2 11

11

2111 2)(

2

2 11111

2,

2

2 111111 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−+⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+= ∑∑∑ ===

n

ii

n

ji jiij

n

iii xia

aa x xa xa

a xa (7.28)

∑∑==

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

n

ji

jiij

n

i

ii x xa x

a

a xa

2,

2

2 11

1111 '

Đặt

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

+= ∑= n j x y

xa

a x y

j j

n

i

ii

,...,2 ; 211

111

thì

∑=

+=n

ji

jiij y ya yavQ

2,

2111 ')(

Tiế p tục quá trình này vớ i biểu thức .∑=

n

ji

jiij y ya

2,

'

♦ Tr ườ ng hợ p 2: Nếu mọi thì tồn tại0=iia 0≠ija , chẳng hạn .012 ≠a

Đặt (7.29)⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−=

+=

n j y x

y y x

y y x

j j ,...,3 ; 212211

thì ∑∑==

==n

ji

jiij

n

ji

jiij y ya x xavQ

1,1,

')(

có , vì vậy ta có thể đưa về tr ườ ng hợ p 1.0' 1211 ≠= aa

132

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ví dụ 7.9: Cho dạng toàn phươ ng có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc của ,

:

Q 3

),,( 321 x x xv =

322

3312

2212

1 24422)( x x x x x x x x xvQ ++++−= ,

Ta có 322

32

23212

1 242)2(2)( x x x x x x x xvQ ++++−+=

322

32

22

322

321 242)2()2( x x x x x x x x x ++++−−+−=

322

22

321 6)2( x x x x x x +++−=

232322321 9)3()2( x x x x x x −+++−=

Đặt ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

+−=

3

2

33

322

3211

x y

x x y

x x x y

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

−+=

3

5

33

322

3211

y x

y y x

y y y x

2

32

22

1 9)( y y yvQ −+=

⇒ ma tr ận chuyển cơ sở .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ =

3

21

3

21

100

310 511

y

y y

x

x x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−=

100

310 511T

Vậy trong cơ sở mớ i ,)0,0,1('1 =e )0,1,1('2 =e , )1,3,5('3 −−=e ;

332211321 '''),,( e ye ye y x x xv ++== có .2

32

22

1 9)( y y yvQ −+=

Chú ý r ằng khi sử dụng phươ ng pháp Lagrange thì ma tr ận T nhận đượ c nói chung không

phải là ma tr ận tr ực giao và cơ sở { không phải là cơ sở tr ực chuẩn.}321 ',',' eee

Ví dụ 7.10: Cho dạng toàn phươ ng Q có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc

.3231212

32

22

1 2244)( x x x x x x x x xvQ +++++=

Ta có 322

32

23212

1 24)2(2)( x x x x x x x xvQ +++++=

322

32

22

322

321 24)2()2( x x x x x x x x x ++++−++=

133

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



322

321 2)2( x x x x x −++=

Đặt hay⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

++=

2

33

22

3211

x y

x y

x x x y

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

−−=

2

33

22

3211

y x

y x

y y y x

thì 322

1 2)( y y yvQ −=

Đặt thì⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=

=

323322

11

z z y z z y

z y2

32

22

1 22)( z z z vQ +−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

2

1

3

2

1

110

110

131

110

110

001

100

010

121

z

z

z

z

z

z

x

x

x

Vậy trong cơ sở mớ i ,)0,0,1('1 =e )1,1,3('2 −=e , )1,1,1('3 −−=e ;

332211321 '''),,( e z e z e z x x xv ++== thì .232221 22)( z z z vQ +−=

7.4.6 Đư a về dạng chính tắc theo phươ ng pháp Jacobi

Cho dạng toàn phươ ng trong không gian véc tơ Q V (không giả thiết không gian Euclide)

vớ i dạng cực tươ ng ứng η và có ma tr ận trong cơ sở { }nee ,...,1= B là [ ]ija A = :

),( jiij eea η = ; n ji ,...,1, = .

Nếu các định thức con chính của đều khác không

0111 ≠= a D , 02221

12112 ≠=

aa

aa D , ... , 0

...

...

1

111

≠=

nnn

n

n

aa

aa

D MOM (7.30)

thì vớ i mỗi n j ,...,1= các hệ phươ ng trình Cramer sau

134

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



(7.31)

1...

.............................................

0...

0...

2211

2222121

1212111

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

j jj j j

j j

j j

xa xa xa

xa xa xa

xa xa xa

luôn có nghiệm duy nhất ký hiệu là jj j j α α α ,....,, 21 .

Xét hệ véc tơ (7.32)

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+=

=

nnnnnn eee f

ee f

e f

α α α

α α

α

....

.........................................

2211

2221122

1111

Ta quy ướ c , từ điều kiện (7.30) và hệ (7.31) thì10 = D 01

≠=−

j

j jj

D

Dα

n j ,...,1=∀ . Định thức của hệ { }n f f ,...,' 1= B trong cơ sở là{ }nee ,...,1

0....2211 ≠nnα α α nên hệ ' độc lậ p tuyến tính vì vậy là một cơ sở của B V .

Từ (7.31) và (7.32) ⇒ 0...),( 2211 =+++= jjij ji jii j aaae f α α α η vớ i mọi

1,...,1 −= ji và 1...),( 2211 =+++= jj jj j j j j j j aaae f α α α η . Do đó ta cũng có

0),( =i j f f η vớ i mọi và ji <

jj j j jj j jj j j j j e f ee f f f α η α α α η η ==++= ),()...,(),( 11 .

Mặt khác dạng song tuyến tính η đối xứng nên 0),( =i j f f η vớ i mọi ji > .

Vậy⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠

= − ji

D

D

ji

f f

j

j ji nÕu

unÕ

1

0

),(η vớ i n ji ,...,1, = (7.33)

Gọi ' là ma tr ận của trong cơ sở . là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang

thì :

Q ' B T B ' B

135

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn

n

n

T

α

α α

α α α

MO

222

11211

[ ] ⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡===

nn ji

t f f A AT T

α

α

η O

11

),('

Vậy biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở có dạng chính tắc:' B

nn f y f yv ++= ...11 ⇒ 2122

2

121

1...

1)( n

n

n y D

D y

D

D y

DvQ −+++= .

Ví dụ 7.11: Xét dạng toàn phươ ng trong Ví dụ 7.9

322

3312

2212

1 24422)( x x x x x x x x xvQ ++++−=

Ma tr ận của Q trong cơ sở chính tắc

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

412

121

211

A

có các định thức con chính 9 ,121

11 ,1

321−===

−

−== A D D D .

♦) 1=k ta có 11

111 ==

Dα ; (7.34)

♦) 2=k : Hệ phươ ng trình (7.31) có dạng

⇒ nghiệm⎩⎨⎧

=+−

=−

12

0

21

21

x x

x x121 == x x (7.35)

♦) 3=k : Hệ phươ ng trình (7.31) có dạng

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++−

=+−

142

02

02

321

321

321

x x x

x x x

x x x

9

51 = x ,

31

2 = x ,9

13 −= x . (7.36)

Ta chọn cơ sở dạng (7.32)

(7.34) )0,0,1(11 ==⇒ e f

136

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



(7.35) )0,1,1(212 =+=⇒ ee f

(7.36) )91,31,95(913195 3213 −=−+=⇒ eee f .

Trong cơ sở mớ i này biểu thức toạ độ của Q có dạng:

332211321 ),,( f y f y f y x x xv ++==

⇒ 2

32

22

12

33

222

2

121

1 9

11)( y y y y

D

D y

D

D y

DvQ −+=++= .

Các ví dụ 7.9, 7.11 cho thấy r ằng cùng một dạng toàn phươ ng ta có thể đưa về các dạngchính tắc vớ i các hệ số khác nhau. Tuy nhiên số các hệ số dươ ng và hệ số âm là như nhau. Ta sẽ

chứng minh điều này qua luật quán tính.

7.4.7 Luật quán tính

Giả sử là hai ma tr ận của Q trong hai cơ sở ,

của

[ ] ,ija A = [ ]ija A ''= { }nee ,...,1= B

{ nee ',...,'' 1= B } V . Gọi [ ]ijt T = là ma tr ận chuyển từ cơ sở sang thì B ' B

T T t =' . Theo tính chất hạng của ma tr ận ta có . Mặt khác T

khả nghịch nên

)()()' =( Ar AT T r Ar t ≤

( ) 11

' −−

= T AT A t ⇒ )'()( r r ≤ . Vậy )'()( r r = . Do đó ta có thể

định ngh ĩ a hạng của dạng toàn phươ ng là hạng của ma tr ận của nó trong một cơ sở nào đó.Q

Định lý 7.18 (Sylvester - Jacobi): Số các hệ số dươ ng và số các hệ số âm trong dạng chính

tắc của một dạng toàn phươ ng Q là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc

lựa chọn cơ sở ).

Chứng minh: Giả sử trong cơ sở { }nee ,...,1= B (không giả thiết tr ực chuẩn) biểu thức

toạ độ của dạng toàn phươ ng Q có dạng:

∑=

=∀n

iiie xv

1, ,∑

=

=n

ji

jiij x xavQ

1,

)( jiij aa = .

Giả sử ,{ }nee ',...,'' 1= B { }nee ",...,"" 1= B là hai cơ sở sao cho biểu thức toạ độ của

có dạng chính tắc:Q ∑=

=n

i

iie xv

1∑=

=n

i

iie y

1

' ∑=

=n

i

iie z

1

" ;

137

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



2211

2211 ......)( r r p p p p yk yk yk yk vQ −−−++= ++

(7.37)22112211 ...... r r qqqq z l z l z l z l −−−++= ++

vớ i )(r r = là hạng của , các hệ số 0,...,;,..., 11 >r r l l k k .

Ta chứng minh q= bằng phươ ng pháp phản chứng.

Giả sử q< (tr ườ ng hợ p q < đượ c chứng minh hoàn toàn tươ ng tự).

Ta có , (7.38)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

++=

nnnnn

nn

xb xb y

xb xb y

...

..................................

...

11

11111

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

++=

nnnnn

nn

xc xc z

xc xc z

...

..................................

...

11

11111

(7.37) ⇒ 2211

2211 ...... r r qq p p z l z l yk yk +++++ ++

(7.39)22

1122

11 ...... r r qqqq yk yk z l z l +++++= ++

Ta sẽ chứng minh r ằng tồn tại một véc tơ ,V v ∈ ∑=

=n

i

iie xv

1∑=

=n

i

iie y

1

' 0"1

≠= ∑=

n

i

iie z

thoả mãn điều kiện:

⎪⎩

⎪⎨⎧

======

===

++ 0......

0...

11

1

nr r q

p

z z z z

y y(7.40)

Thật vậy, các điều kiện (7.40) k ết hợ p vớ i (7.38) xác định một hệ phươ ng

trình tuyến tính thuần nhất ẩn . Vì số phươ ng trình ít hơ n số ẩn nên tồn tại

nghiệm không đồng thờ i bằng .

n pqn <+−

n n x x x ...,,, 21

001 ,..., n x x 0

Xét véc tơ .01

00 ≠= ∑

=

n

i

ii e xv

Mặt khác từ (7.39) và (7.40) ⇒ 0...... 11 ====== + nqq z z z z

⇒ , mâu thuẩn. Vậy0"1

0 == ∑=

n

i

iie z v q= .

138

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Định ngh ĩ a 7.11: Số các hệ số dươ ng đượ c gọi là chỉ số quán tính dươ ng và số các hệ số âmđượ c gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phươ ng.

Giả sử ),( q là cặ p chỉ số quán tính dươ ng và âm của dạng toàn phươ ng Q trong khônggian chiềun V thì r q p =+ (hạng của ).Q

Nếu nr = thì đượ c gọi là không suy biến;Q

n= thì đượ c gọi là xác định dươ ng;Q

nq = thì đượ c gọi là xác định âm.Q

Rõ ràng xác định dươ ng khi và chỉ khiQ 0)( >vQ , vớ i mọi 0≠v ;

Q xác định âm khi và chỉ khi 0)( <vQ , vớ i mọi 0≠v .

Nếu η là dạng cực của dạng toàn phươ ng Q thì:

xác định dươ ng khi và chỉ khiQ η xác định dươ ng;

xác định âm khi và chỉ khiQ η xác định âm;

không suy biến khi và chỉ khiQ η xác định.

Dạng toàn phươ ng ở Ví dụ 7.11 có chỉ số quán tính dươ ng là 2 và âm là 1. không

suy biến.

Q Q

Định lý 7.19 (Sylvester): Giả sử dạng toàn phươ ng Q có ma tr ận là trong một cơ sở nào

đó của V . Khi đó:

(i) Q xác định dươ ng khi và chỉ khi các định thức con góc trái của luôn dươ ng.

(ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con góc trái cấ p chẵn là dươ ng và cấ p lẻ là

âm.

Chứng minh: (i) Giả sử là ma tr ận của dạng toàn phươ ng trong cơ sở

. Xét thì[ ]ija A = Q

{ }nee ,...,1= B { }k k eeV ,...,span 1= →k V V Qk

: có ma tr ận trong cơ sở

{ }k k ee ,...,1= B là ma tr ận con k A cấ p k nằm ở góc trái của ma tr ận . Nếu xác định

dươ ng thì

Q

k V Q cũng xác định dươ ng. Mặt khác theo luật quán tính ta suy ra r ằng các giá tr ị trên

đườ ng chéo của ma tr ận dạng chính tắc của dạng toàn phươ ng xác định dươ ng là luôn luôn dươ ng

nên định thức của nó cũng dươ ng. Vây , vớ i0det >k A nk ,...,1= .

139

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Ngượ c lại, giả sử 0det >= k k A D , vớ i nk ,...,1= . Theo phươ ng pháp Jacobi (4.3.3)

tồn tại cơ sở sao cho biểu thức toạ độ của trong cơ sở có dạng chính

tắc:

{ n f f ,...,' 1= B } Q ' B

nn f y f yv ++= ...11 ⇒ 2122

2

121

1...

1)( n

n

n y D

D y

D

D y

DvQ −+++= .

Vậy Q xác định dươ ng.

Tr ườ ng hợ p (ii) đượ c chứng minh tươ ng tự.

7.5 ĐƯỜ NG BẬC 2 TRONG MẶT PHẲNG VÀ MẶT BẬC 2 TRONG KHÔNG GIAN7.5.1 Mặt phẳng vớ i hệ toạ độ trự c chuẩn

7.5.1.1 H ệ toạ độ tr ự c chuẩ n trong mặt phẳ ng

Trong mặt phẳng ta xét hai tr ục vuông góc Ox x' và cắt nhau tại O theo chiều

dươ ng, tạo nên một hệ tr ục gọi là hệ tr ục toạ độ vuông góc Đề các trong mặt phẳng. Trên

Oy y'

Oxy

Ox , Oy ta chọn hai véc tơ đơ n vị lần lượ t là i và j . Hệ { } ji , là một cơ sở tr ực chuẩn.

7.5.1.2 Toạ độ của một véc t ơ , toạ độ của một đ i ể m trong mặt phẳ ng

Cho véc tơ v trong mặt phẳng vớ i hệ toạ độ Oxy . Cặ p đượ c gọi là toạ độ của

véc tơ

),( y x vv

v nếu là hình chiếu của y x vv , v xuống hai tr ục .OyOx,

Theo các phép toán cộng véc tơ (theo quy tắc hình bình hành), nhân một số vớ i một véc tơ

và tính vô hướ ng của hai véc tơ ),cos( vuvuvu ⋅=

thì j jviiv jvivv y x ,, +=+= .

Nếu j yi xOM += thì ),( y x đượ c gọi là toạ độ của điểm , ký hiệu ),( y x . Nói

cách khác toạ độ của véc tơ OM là toạ độ của điểm . Hai điểm B,

có toạ độ ),();,( B B A A y x y x thì véc tơ B có toạ độ ),( A B A B y y x x −− .

140

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



y y

yv

y

j j

O i xv x O i x x

7.5.1.3 Các đườ ng bậc 2 trong mặt phẳ ng

Trong mặt phẳng, ta xét 3 đườ ng bậc 2 sau:

a) Đườ ng Ellipse (Êlíp)

Cho cố định. Đườ ng ellipse nhận tiêu điểm vớ i độ dài tr ục lớ n là tậ p

hợ p:21, F F 21, F F a

{ }aMF MF M E 2)( 21 =+= ; vớ ica > c F F 221 = .

Nếu , thì phươ ng trình của ellipse)0,(1 c F − )0,(2 c F )( E có dạng:

12

2

2

2=+

b

y

a

xvớ i

222cba += . (7.41)

a là độ dài tr ục lớ n, b là độ dài tr ục bé.

Khi ⇒ ba = 0=c : ellipse )( E tr ở thành đườ ng tròn tâm bán kính .O a

b) Hyperbol

{ }aMF MF M H 2 )( 21 =−= , ca < .

Phươ ng trình )( H : 12

2

2

2=−

b

y

a

xvớ i

222acb −= (7.42)

c) Parabol:

Cho đườ ng thẳng và điểm)(Δ F . Parabol có tiêu điểm F , đườ ng chuẩn là tậ p hợ p:)(Δ

{ }),()( Δ== M d MF M P

141

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



trong đó ),( Δd là khoảng cách từ đến đườ ng thẳng )(Δ .

Nếu )0,2( p F , :)(Δ 2 p x −= thì )( P có phươ ng trình:

px y 22 = (7.43)

(7.41), (7.42), (7.43) là phươ ng trình chính tắc của 3 đườ ng cônic

y y )(Δ y

b F

a x x 2

p−

2

p x

Ellipse Hyperbol Parabol

7.5.1.4 Phân loại đườ ng bậc 2 trong mặt phẳ ng

Trong mặt phẳng cho hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy . Một đưòng cong bậc 2 có

phươ ng trình tổng quát:

0222 0212

22122

11 =+++++ a ya xa ya xya xa (7.44)

trong đó , , không đồng thờ i bằng không.11a 12a 22a

Ta tìm một hệ tr ục toạ độ Descartes vuông góc mớ i để trong hệ toạ độ này đườ ng cong(7.44) có dạng chính tắc.

Đặt ,

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=

2221

1211

aa

aa A

2112aa = .

Ma tr ận đối xứng nên chéo hóa tr ực giao đượ c, ngh ĩ a là tồn tại ma tr ận tr ực giao T sao

cho 1det =T và .⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

0

0

λ

λ AT T t

Theo ví dụ 7.5 và (7.16) ta có thể chọn ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

ϕ ϕ

ϕ ϕ

cossin

sincosT .

142

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Đặt ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡'

'

cossin

sincos

y

x

y

x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Như vậy hệ toạ độ mớ i '' yOx có đượ c bằng cách quay hệ tr ục Oxy quanh gốc một

góc

O

ϕ .

Phươ ng trình đườ ng bậc 2 (7.44) trong hệ toạ độ '' yOx là:

(7.45)0''2''2'' 0212

22

1 =++++ a ya xa y x λ λ

(nếu thì không cần bướ c này).012 =a

1) Nếu phươ ng trình (7.45) viết đượ c thành021 ≠λλ

0''

''

' 0

2

2

22

2

1

11 =+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + a

a y

a x

λ λ

λ λ

Tịnh tiến hệ toạ độ '' yOx đến hệ toạ độ XY Ω :

1

1''λ

a x X += ,

2

2''λ

a yY += , ta đượ c:

0'02

22

1 =++ aY X λ λ . (7.46)

a) ,0'0 ≠a 021 >λλ , 0'01 <λ a : (7.46) là phươ ng trình một Ellipse;

b) ,0'0 ≠a 021 >λλ , : (7.46) là phươ ng trình một Ellipse ảo;0'01 >λ a

c) ,0'0 ≠a 021 <λλ : (7.46) là phươ ng trình một Hyperbol;

d) ,0'0 =a 021 <λλ : Phươ ng trình (7.46) có dạng 02

2

2

1 =− Y X λ λ là phươ ngtrình cặ p đườ ng thẳng cắt nhau.

e) , : Phươ ng trình (7.46) có dạng0'0 =a 021 >λλ 022

21 =λ+λ Y X là

phươ ng trình một cặ p đườ ng thẳng ảo.

2) Có một trong hai giá tr ị 21,λ λ bằng :0

a) ,01 =λ 02 ≠λ , : Phươ ng trình (7.44) có thể viết lại:0'1 ≠a

143

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



0)"'('2'

' 01

2

2

22 =++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + a xa

a y

λ λ (7.47)

đặt ,0"' a x X +=2

2''λ

a yY += ta có: X

aY

2

12 2λ

−= .

Vậy (7.47) là một Parabol nhận tr ục X Ω làm tr ục đối xứng.

b) 02 =λ , 01 ≠λ , : Đườ ng cong (7. 44) là một Parabol nhận tr ục làm

tr ục đối xứng.

0'2 ≠a Y Ω

c) 01 =λ , 02 ≠λ , hay0'1 =a 01 ≠λ , 02 =λ , 0'2 =a : Đườ ng cong (7.44) là

một cặ p đườ ng thẳng thực hoặc ảo.

Ví dụ 7.12: Cho đườ ng bậc 2 có phươ ng trình )(G : .36845 22 =+− y xy x

Ma tr ận có giá tr ị riêng⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

82

25 A 9,4 21 == λ λ chéo hoá tr ực giao ta đượ c:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+=

ji j

jii

52

51'

5

1

5

2'

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+=

Y X y

Y X x

52

51

5

1

5

2

phươ ng trình của )(G trong hệ toạ độ mớ i:

3694 22 =+ Y X ⇒ 149

22=+

Y X .

x

y Y

O

144

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



7.5.2 Hệ toạ độ trự c chuẩn trong không gian

7.5.2.1 Toạ độ của một véc t ơ và toạ độ của một đ i ể m trong không gian

Trong không gian ta xét ba tr ục vuông góc chung gốc :O Ox' , Oy y' , ; Tạo

thành một hệ tr ục gọi là hệ tr ục toạ độ vuông góc Descartes trong không gian, viết tắt

Oz z 'Oxyz .

Trên ba tr ục toạ độ này ta chọn các véc tơ đơ n vị lần lượ t là ,i j , k . Ta chỉ xét hệ tr ục Oxyz

là hệ thuận, ngh ĩ a là nếu đứng theo chiều véc tơ k ta sẽ thấy i quay sang j theo ngượ c chiều

kim đồng hồ. Vớ i mọi véc tơ v ta có thể viết

k k v j jviivk v jvivv z y x ,,, ++=++=

trong đó lần lượ t là hình chiếu của z y x vvv ,, v xuống các tr ục Oz OyOx ,, .

),,( z y x vvv đượ c gọi là toạ độ của véc tơ v , ký hiệu ),,( z y x vvvv = . Toạ độ của véc

tơ ),,( z y xOM = đượ c gọi là toạ độ của điểm , ký hiệu ),,( z y x .

7.5.2.2 M ột số mặt bậc 2 thườ ng g ặ p trong không gian

a) Ellipsoid (Êlípxôít) là mặt )( bậc 2 có phươ ng trình 12

2

2

2

2

2=++

c

z

b

y

a

x.

*) Nếu 2 trong 3 số bằng nhau thì ta có mặt ellipsoid tròn xoay. Chẳng hạn nếu

thì ta có mặt tròn xoay quanh tr ục . Nếu

cba ,,ba = Oz z ' cba === thì ta có mặt cầu tâm O

bán kính ;

*) Gốc là tâm đối xứng, các mặt phẳng toạ độ là mặt phẳng đối xứng;O

*) Giao tuyến vớ i các mặt phẳng song song vớ i các mặt phẳng toạ độ là các ellipse.

b) Hyperboloid một tầng (Hyperbôlôít) có phươ ng trình :)( 1 H 12

2

2

2

2

2=−+

c

z

b

y

a

x.

*) Gốc là tâm đối xứng;O

*) Các tr ục toạ độ là tr ục đối xứng;

*) Các mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng đối xứng;

*) Giao của vớ i mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục là một ellipse;)( 1 H Oz z '

145

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



*) Giao của vớ i mặt phẳng chứa tr ục là một Hyperbol.)( 1 H Oz z '

Tươ ng tự có các Hyperboloid một tầng:

12

2

2

2

2

2=+−

c

z

b

y

a

x, 1

2

2

2

2

2

2=++−

c

z

b

y

a

x.

c) Hyperboloid hai tầng có phươ ng trình :)( 2 H 12

2

2

2

2

2−=−+

c

z

b

y

a

x.

*) Mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục có phươ ng trìnhOz z ' h z = sao cho ch > cắt

theo một elippse;)( 2 H

*) Giao của vớ i mặt phẳng chứa là một Hyperbol.)( 2 H Oz z '

Ellisoid Hyperboloid một tầng Hyperboloid hai tầng

d) Paraboloid elliptic (Parabôlôít êlíptíc) :)( 1 P z b

y

a

x2

2

2

2

2=+ .

*) Giao tuyến của vớ i mặt phẳng vuông góc tr ục nằm phía trên mặt phẳng)( 1 P Oz z 'Oxy là một ellipse;

*) Giao tuyến của vớ i mặt phẳng chứa tr ục là Parabol.)( 1 P Oz z '

e) Paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) có phươ ng trình

)( 2 P : z b

y

a

x2

2

2

2

2=− .

y

z

x

y

z

x

y

z

146

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



*) Giao của vớ i mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục là một Hyperbol;)( 2 P Oz z '

*) Giao của vớ i mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục)( 2 P Ox x' là một Parabol;

*) Giao của vớ i mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục)( 2 P Oy y' là một Parabol.

Paraboloid elliptic Paraboloid hyperbolic

g) Các mặt tr ụ bậc 2

Các mặt tr ụ bậc 2 đối xứng qua mặt phẳng xOy

*) Tr ụ elliptic: 12

2

2

2

=+b y

a x .

*) Tr ụ Hyperbolic: 12

2

2

2=−

b

y

a

x.

*) Tr ụ Parabolic: . py x 22 =

Tr ụ elliptic Tr ụ Hyperbolic Tr ụ Parabolic

y

z

x

y

z

x y

z

x

y

z

x

y

z

147

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



h) Các mặt nón

Các mặt nón đối xứng qua mặt phẳng Oy có phươ ng trình

02

2

2

2

2

2=−+

c

z

b

y

a

x.

*) Giao vớ i mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục là một ellipse;Oz z '

*) Giao vớ i mặt phẳng chứa tr ục cặ p đườ ng thẳng.Oz z '

y

z

7.5.3 Phân loại các mặt bậc 2

Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz xét mặt bậc 2 có phươ ng trình:)(Q

.0222

222

321

231312332211222

=++++

+++++

c z b yb xb

yz a xz a xya z a ya xa(7.48)

Ma tr ận [ ]3,1, =

= jiija A vớ i jiij aa = là ma tr ận đối xứng nên tồn tại ma tr ận tr ực giao

sao choT 1det =T (để hệ tr ục toạ độ mớ i tạo thành tam diện thuận) và

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

00

00

00

λ

λ

λ

AT T t . Tươ ng ứng vớ i ma tr ận chuyển cơ sở T là phép quay quanh gốc toạ

độ.

148

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Công thức đổi toạ độ .

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

'

'

'

z

y

x

T

z

y

x

Mặt bậc 2 có phươ ng trình trong tọa độ mớ i:)(Q

0''2''2''2''' 3212

32

22

1 =++++++ c z b yb xb z y x λ λ λ (7.49)

Tùy theo các giá tr ị của cbbb ,',',',,, 321321 λ λ λ mặt có các dạng sau:)(Q

a) Các giá tr ị riêng 321 ,, λ λ λ khác 0 ( 0321 ≠λ λ λ )

Bằng cách tịnh tiến hệ toạ độ ta có thể đưa phươ ng trình (7.49) về dạng:

. (7.50)'23

22

21 C Z Y X =++ λ λ λ

*) Nếu 0'≠C

• ',,, 321 C λ λ λ cùng dấu: là Ellipsoid;)(Q

• 321 ,, λ λ λ cùng dấu, 'C trái dấu: là Ellipsoid ảo;)(Q

• 321 ,, λ λ λ chỉ có hai số cùng dấu: là Hyperboloid một tầng hoặc hai tầng.)(Q

*) Nếu 0'=C

• 321 ,, λ λ λ chỉ có hai số cùng dấu: là nón bậc 2.)(Q

• 321 ,, λ λ λ cùng dấu: là nón ảo (một điểm).)(Q

Các tr ườ ng hợ p còn lại sau đây ta chỉ xét mỗi tr ườ ng hợ p một loại đại diện, các loại khác cók ết quả tươ ng tự.

b) Cóđúng một giá tr ị trong ba giá tr ị 321 ,, λ λ λ bằng .0

Chẳng hạn 03 =λ , 021 ≠λ λ

*) : Tịnh tiến hệ toạ độ ta đượ c: .0'3 ≠b 0'2 32

22

1 =++ Z bY X λ λ

Đây là phươ ng trình Paraboloid elliptic nếu 021 >λ λ và Paraboloid hyperbolic nếu

021 <λ λ .

*) : Tịnh tiến toạ độ ta đượ c: .0'3 =b '22

21 C Y X =+ λ λ

149

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Đây là phươ ng trình các mặt tr ụ nếu 0'≠C và các cặ p mặt phẳng cắt nhau nếu 0'=C .

c) Có đúng hai giá tr ị trong ba giá tr ị 321 ,, λ λ λ bằng 0 .

Chẳng hạn 03 =λ , 02 =λ , 01 ≠λ

*) không đồng thờ i bằng 0. Giả sử 32 ',' bb 0'2 ≠b : Tịnh tiến toạ độ ta đượ c

: là mặt tr ụ Parabolic.0"22

1 =+ Y b X λ )(Q

*) : Tịnh tiến hệ toạ độ ta có: . Do đó (7.49) là phươ ng trình

cặ p mặt phẳng song song nếu

0'' 32 == bb '21 C X =λ

0'≠C và trùng nhau nếu 0'=C .

Ví dụ 7.13: Trong không gian vớ i hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc 2 có phươ ng trình

247212124421077:)( 222 =++−+++++ z y x yz xz xy z y xQ

Ma tr ận của dạng toàn phươ ng tươ ng ứng .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1022

271

217

A

Đa thức đặc tr ưng )12()6( 2 λ λ λ −−=− I A .

Tìm cơ sở của các không gian riêng và tr ực chuẩn hoá Gram-Shmidt ta có ma tr ận tr ực giao

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

62310

613121

613121

T có 1det =T và

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1200

060

006

AT T t

Đổi toạ độ thì phươ ng trình của mặt trong toạ độ mớ i:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

'

'

'

z

y

x

T

z

y

x

)(Q

24'6

2'

3

172'

6

1'

3

1'

2

112

'6

1'

3

1'

2

112'12'6'6 222

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−−++

z y z y x

z y x z y x

⇒ 2462'12'34'6'22'6 222 =+++++ z y y x x

150

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2



Tịnh tiến toạ độ: 2'+= X , 32'+= yY , 6'+= z Z ,

suy ra 1153030:)(

222

=++ Z Y X Q .

Vậy là một Ellipsoid tròn xoay theo tr ục)(Q Z Z Ω' , Ω có toạ độ ( )6,32,2 −−− .

Ví dụ 7.14: Trong không gian vớ i hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc 2 có phươ ng trình

0666222:)( =+−−++ z y x yz xz xyQ .

Ma tr ận của dạng toàn phươ ng tươ ng ứng .

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡=

011

101

110

A

Đa thức đặc tr ưng )2()1( 2 λ λ λ −+=− I A .

Tìm cơ sở của các không gian riêng và tr ực chuẩn hoá Gram-Shmidt ta có ma tr ận tr ực giao

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

31620

316121

316121

T có 1det =T và

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

200

010

001

AT T t

Đổi toạ độ thì phươ ng trình của mặt trong toạ độ mớ i:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

'

'

'

z

y

x

T

z

y

x

)(Q

.0'3

1

'6

2

6'3

1

'6

1

'2

1

6

'3

1'

6

1'

2

16'2'' 222

=⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

++⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

+−−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−−+−−

z y z y x

z y x z y x

⇒ 0'3'2'64'' 222 =−+−−− z z y y x

Tịnh tiến toạ độ: ' x X = , 62'−= yY , 23'−= z Z ,

suy ra 145

4

45

2

45

2:)(

222

=−+ Z Y X

Q .

Vậy là một Hyperboloid một tầng.)(Q

151

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


M ục l ụcTài liệu tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tậ p 1,2,3. Nauka,

Moskva, 1969. (tiếng Nga)

2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tậ p 1,2,3. NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệ p, Hà nội, 1977.

3. K. MAURIN, Analiza, PWN, Warszawa, 1976..1,,cCzes

4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991.

5. NGUYỄ N ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấ p ,Tậ p 1,2,3. NXB Đại học và Giáo

dục chuyên nghiệ p, Hà nội, 1990.

6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tậ p 1,2,3,4. NXB Giáo dục, Hà nội, 1999

(dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999)

152

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


M ục l ục

môc lôc

Lờ i nói đầu .......................................................................................................................................3

Ch− ¬ng 1: Më ®Çu vÒ l«gÝc mÖnh ®Ò, tËp hîp ¸nh x¹ vμ çc cÊu tróc ®¹i sè.............................................................................................................5

1.1. S¬ l− îc vÒ l«gÝc mÖnh ®Ò ......................................................................................................5

1.2. TËp hîp.................................................................................................................................7

1.3. ¸nh x¹ ................................................................................................................................15

1.4. Gi¶i tÝch tæ hîp - NhÞ thøc Newton.....................................................................................19

1.5. Çc CÊu tróc ®¹i sè .............................................................................................................25

1.6. §¹i sè Boole .......................................................................................................................29

Ch− ¬ng 2: Kh«ng gian vÐc t¬......................................................................................37

2.1. Kh¸i niÖm kh«ng gian vÐc t¬ ..............................................................................................37

2.2. Kh«ng gian vÐc t¬ con ........................................................................................................402.3. §éc lËp tuyÕn tÝnh, phô thuéc tuyÕn tÝnh............................................................................42

2.4. H¹ng cña mét hÖ h÷u h¹n çc vÐc t¬ ..................................................................................44

2.5. C¬ së, sè chiÒu cña kh«ng gian vÐc t¬................................................................................45

Ch− ¬ng 3: Ma trËn..............................................................................................................51

3.1. Kh¸i niÖm ma trËn ..............................................................................................................51

3.2. Çc phÐp to¸n ma trËn ........................................................................................................52

3.3. Ma trËn cña mét hÖ vÐc t¬ trong mét c¬ së nµo ®ã.............................................................563.4. H¹ng cña ma trËn................................................................................................................57

Ch− ¬ng 4: §Þnh thøc..........................................................................................................61

4.1. Ho¸n vÞ vµ phÐp thÕ ............................................................................................................61

4.2. §Þnh thøc ............................................................................................................................63

4.3. Çc tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®Þnh thøc .....................................................................................66

4.4. Çc çch tÝnh ®Þnh thøc ......................................................................................................68

153

8/3/2019 63058403-ToanCaoCapA2


M ục l ục

4.5. ø ng dông ®Þnh thøc ®Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o..................................................................74

4.6. T×m h¹ng cña ma trËn b»ng ®Þnh møc ................................................................................77

Ch− ¬ng 5: HÖ ph− ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ................................................................81

5.1. Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph− ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ...........................................................................81

5.2. §Þnh lý tån t¹i nghiÖm........................................................................................................82

5.3. Ph− ¬ng ph¸p Cramer ..........................................................................................................82

5.4. Ph− ¬ng ph¸p ma trËn nghÞch ®¶o........................................................................................84

5.5. Gi¶i hÖ ph− ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng ph− ¬ng ph¸p khö Gauss..........................................85

5.6. HÖ ph− ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt...............................................................................89

Ch− ¬ng 6: ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh .......................................................................................91

6.1. Kh¸i niÖm ̧ nh x¹ tuyÕn tÝnh...............................................................................................91

6.2. Nh©n vµ ¶nh cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.....................................................................................94

6.3. Toµn cÊu, ®¬n cÊu, ®¼ng cÊu...............................................................................................95

6.4. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn..............................................................................................97

6.5. ChÐo hãa ma trËn..............................................................................................................102

Ch− ¬ng 7: Kh«ng gian vÐc t¬ Euclide d¹ng toμn ph− ¬ng.....................115

Documents

63058403-ToanCaoCapA2