Н.Г. Баженова, И.Г. Одоевцева

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ КУРС ПО ВЫБОРУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

СПЕЦИАЛЬНОСТИ 050201-МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

3-е издание, стереотипное

Москва Издательство «Флинта»

2012

2

УДК 51:37 ББК 74.262.21я73

Б16

Р е ц е н з е н т ы: канд. физ.-мат. наук, доц. каф. высш. математики

Тихоокеан. гос. ун-та Н.В. Маркова; канд. физ.-мат. наук, д-р пед. наук, доц.,

Дальневост. гос. гуманитар. ун-т А.Е. Поличка; канд. физ.-мат. наук, доц. каф. высш. математики и методики обучения математике Дальневост. гос. социально-гуманитар. акад. Н.В. Эйрих

Баженова Н.Г.

Б16

Теория и методика решения текстовых задач : курс по выбору для студентов специальности 050201-Математика [Электронный ресурс] : учеб. пособие/ Н.Г. Баженова, И.Г. Одоевцева. – 3-е изд., стер. – М. : Флинта, 2012. – 89 с.

ISBN 978-5-9765-1411-9 Учебно-методическое пособие представляет комплекс теоретико-

методического материала по дисциплине «Теория и методика решения текстовых задач», включающий календарно-тематическое планирование курса, краткий курс лекций, примеры решения типовых задач, подбор заданий для практических за-нятий и индивидуальных работ, вопросы для самопроверки.

Пособие адресовано студентам, обучающимся по специальности 050201-Математика, и может быть интересным преподавателям теории и методики обу-чения математики педагогических вузов и учителям математики общеобразова-тельных школ.

УДК 51:37 ББК 74.262.21я73

ISBN 978-5-9765-1411-9 © Издательство «Флинта», 2012

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.........................................................................................................4

ТЕМА 1. ЗАДАЧА. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ. РОЛЬ И МЕСТО ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ

МАТЕМАТИКЕ.........................................................................................................7

ТЕМА 2. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ И ПРИЕМЫ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ................................20

ТЕМА 3. СПОСОБЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ .....................................28

ТЕМА 4. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5 – 6 КЛАССЕ ........39

ТЕМА 5. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ

УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В 6 – 9 КЛАССАХ ..............................................................44

ТЕМА 6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С НЕРАВЕНСТВАМИ ..........................................................52

ТЕМА 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОГРЕССИИ ..............................................................56

ТЕМА 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО

ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ВЫРАЖЕНИЙ ......................................................................59

ТЕМА 9. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ, ИХ КЛАССИФИКАЦИИ ...................................63

ТЕМА 10. ЗАДАЧИ СТРАТЕГИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА, ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ ....................73

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАБОТЫ.........................................................................82

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .............................................................................83

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ .....................................................................................84

УЧЕБНО–МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.........................87

4

ВВЕДЕНИЕ

Одной из ведущих целей математического школьного образования являет-ся обучение учащихся решению системы разнообразных задач.

Задачи пронизывают весь курс школьной математики, и их решение игра-ет значимую роль не только в математическом образовании, но и в развитии ученика в целом, в формировании отдельных общеучебных умений.

Обучение решению текстовых задач в школе можно выделить в отдель-ную содержательную линию школьного курса математики, которая выполняет множество функций, в частности: вводно-мотивационную, сопровождающую изучение математических понятий; практико-ориентированную, предназна-ченную для отработки и закрепления теоретического материала; контрольно-оценочную и др.

Генеральной целью решения задач в школьном курсе является формиро-вание общего подхода и умений решать любые задачи.

Несмотря на очевидную важность линии текстовых задач в школьной ма-тематике, содержательно материал разрознен по классам, темам, что не позво-ляет отработать, создать целостное системное восприятие. Это впоследствии создает проблемы у учащихся – не сформированность общих способностей ре-шения любых задач, отсутствие подходов к поиску способа решения математи-ческих задач.

При подготовке специалистов с высшим профессиональным образовани-ем по специальности 050201 Математика, квалификация «учитель математики» в рамках содержания стандарта по дисциплине «Теория и методика обучения математике» и часов отведенных на изучение этой дисциплины невозможно де-тально подготовить студента — потенциального учителя к преподаванию тек-стовых задач в школе.

Поскольку у студента — вчерашнего школьника, в свое время не вырабо-таны отдельные умения, навыки в элементарных действиях, входящих в слож-ную деятельность по решению задач (в проведении анализа текстовой задачи, в построении вспомогательной модели задачи, в освоении отдельных приемов и методов решения задач и др.), то и вопросы методики обучения решению задач вызывают двойное затруднение.

В этой связи введение в учебный план курса по выбору «Методика обу-чения школьников решению текстовых задач» представляется разумным и обоснованным ходом.

В учебно-методическом пособии представлено календарно-тематическое планирование курса; в содержательном плане – краткий вариант лекций; прак-тические задания, предлагаемые для решения на семинарских занятиях; инди-видуальные задания, предусмотренные для самостоятельного выполнения; кон-трольные вопросы для самоконтроля; образцы контрольных работ, тестовых за-даний; вариант балльно-рейтинговой системы оценки знаний студента.

Пособие адресовано студентам специальности 050201 Математика, пре-подавателям педагогических вузов, учителям математики.

5

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Текстовые задачи представляют собой традиционный раздел элементар-ной математики. Умение решать задачи является одним из основных показате-лей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Учителя используют задачи для развития логического мышления и наблюда-тельности своих учеников, формирования умений строить математические мо-дели реальных явлений. При решении различных задач осуществляется под-линно активная математическая деятельность, в ходе которой учащиеся не про-сто «усваивают» готовые истины, а самостоятельно «вырабатывают их».

Существуют различные методические подходы к обучению школьников решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни выбрал учитель, ему надо знать, как построены такие задачи, и уметь их решать различными способами.

Изучение данного курса тесно связанно с такими дисциплинами, как тео-рия и методика обучения математики, элементарная математика. Данный курс преследует следующие цели: ознакомить студентов с понятием текстовой зада-чи, рассмотреть различные классификации задач и методы их решения.

В ходе ее достижения необходимо решить следующие задачи: - Познакомить с понятием текстовой задачи; - Сформировать представление о различных классификациях задач; - Изучить основные методы решения текстовых задач; - Раскрыть особенности использования задач на уроках математики. В результате изучения курса студент должен знать определение тексто-

вой задачи, виды задач, структуру текстовой задачи, различные методы и спо-собы решения задач. Уметь классифицировать задачи, решать задачи разными методами и способами, использовать задачи на уроках математики.

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Тематический план

Аудиторные часы № п/п

Наименование темы Лекции Семинарские

занятия Всего

1. Задача. Классификация задач. Роль и место задач в обучении математики. Структура текстовой задачи.

2 2 4

2. Этапы решения задачи и приемы их выполнения 2 4 6 3. Способы и методы решения текстовых задач. 4 6 10 4. Особенности обучения решению текстовых задач в

5-6 классе. 2 2 4

5. Особенности обучения решению задачи на состав-ление уравнений и их систем в 6-9 классе.

2 4 6

6. Решение задач с неравенствами. 2 2 4 7. Решение задач на составление прогрессий. 4 4 8. Решение задач на нахождение наибольшего и наи-

меньшего значений некоторых выражений. 4 6

Итого: 14 28 42

Общая трудоемкость 90 часов

6

Содержание и организация СРС

№ п/п

Задание по самостоятельной работе студентов

Форма контроля самостоятельной работы студентов

Кол-во часов

1. Выполнение домашних заданий, получаемых на каждом практи-ческом занятии

Внешний контроль, проверяет препо-даватель

16

2. Решение заданий индивидуаль-ных работ

Внешний контроль, проверяет препо-даватель

24

3. Выполнение контрольных работ по темам

Внешний контроль, проверяет препо-даватель

4

4. Подготовка к тестированию Внешний контроль, проверяет препо-даватель

6

Итого: 48

Балльно-рейтинговая оценка знаний студентов

Модули Характеристика КТ Максимальное количество баллов

1. Теория решения текстовых задач Индивидуальная работа 12

2. Методы решения текстовых задач Аудиторная контрольная работа

12

3. Индивидуальная работа 16

4.

Текстовые задачи в школьном курсе

Аудиторная контрольная работа

12

5. Текущая работа студента на парах - до 10 баллов 6. Итоговое тестирование - 10 баллов.

Пересчет рейтинговой оценки студента в аттестационную оценку выпол-

няется следующим образом: 43 балл (или менее) – «не зачтено»; 44 балла (или более) – «зачтено».

7

ТЕМА 1. ЗАДАЧА. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ. РОЛЬ И МЕСТО ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

План лекции: 1) Структура задачи; 2) Классификация задач; 3) Цели решения текстовых задач; 4) Дидактические функции решения задач.

1) Рассмотрим определение задачи. По определению Г.А.Балла, в самом

общем виде задача - это система, обязательными компонентами которой явля-ются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии (исходный пред-мет задачи); б) модель требуемого состояния предмета задачи (требование за-дачи) [16].

Л.М.Фридман и Е.Н.Турецкий понятие «задача» трактуют как «требова-ние или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче» [12].

Подход к понятию «текстовая задача» неоднозначен. Согласно первому подходу если в задаче хотя бы один объект реальный, то она называется тек-стовой (практической, житейской, сюжетной). В соответствии со вторым под-ходом под текстовой задачей понимают задачу, условие и требование которой представлены связным текстом, состоящим из повествовательных и вопроси-тельных предложений. Если в текстовой задаче описаны геометрические или физические объекты, математические отношения или физические процессы, то получаем геометрическую или физическую задачу.

В качестве необходимых элементов текстовой задачи можно выделить следующие:

• числовые данные, характеризующие мощность множеств, значения ве-личин, о которых идее речь в задаче, или их отношения, а также просто являю-щиеся отвлеченными числа;

• словесные пояснения зависимости, имеющейся между данными числа-ми и между данными и искомыми, которая может быть представлена в виде не-которого сюжета;

• вопрос задачи, для ответа на который требуется выполнить решение. Каждая текстовая задача есть модель проблемной или познавательной си-

туации, в которой рассматривается некоторый объект (предмет, явление, про-цесс). Каждый объект описан в задаче. Своеобразие описания объектов задачи проявляется в том, что в ней описывается лишь количественная сторона объек-та [3].

Текст любой задачи состоит из условия и требования. Условие задачи - это описание ситуации особого типа. Анализируя усло-

вия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объ-ектов и некоторой их характеристики. В условии математической задачи опи-

8

сывается ситуация, в которой неизвестна какая-либо характеристика (или ха-рактеристики) того или иного объекта (или объектов) [3].

Пример. Выделить в задаче объекты и указать их характеристики В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой корзины во вторую пе-

реложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. По сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Таблица 1 Объекты Характеристики Корзины Количество корзин Яблоки Количество яблок в каждой корзине;

Количество яблок всего.

Требование задачи состоит в том, чтобы описать с необходимой полно-той так называемые искомые характеристики, т. е. все или некоторые неизвест-ные характеристики. Для этого следует использовать связи между известными и неизвестными характеристиками. Количество известных и неизвестных ха-рактеристик в задаче может быть различным [3].

Требование математической задачи может выражаться как вопроситель-ным предложением, так и повествовательным с глаголом в повелительном на-клонении. Предложение, которым чаще всего завершается текст задачи, может, кроме требования, содержать в себе и часть условия.

Пример. Выделить условия и требования задачи. Собака погналась за лисицей, которая была от нее на расстоянии 30 м.

Скачок собаки 2 м, скачок лисицы 1 м. В то время, как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка. Сколько скачков должна сделать со-бака, чтобы догнать лисицу? Какое расстояние пробежит собака?

Условия: 1. Собака бежит вдогонку за лисицей (т.е. движение в одном направлении). 2. Первоначально расстояние между собакой и лисицей 30 м. 3. Скачок собаки равен 2 м. 4. Скачок лисицы равен 1 м. 5. За то время, как лисица делает три скачка, собака делает только два

скачка. 6. Собака догнала лисицу. Требования: 1. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу? 2. Какое расстояние пробежит собака? Решить задачу - это значит выполнить ее требование. Трудность задачи является психолого-дидактической категорией и пред-

ставляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности, таких, как степень ее новизны, интеллектуальные воз-можности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задач, уро-вень владения интеллектуальными и практическими умениями и др. Однако основными компонентами трудности задачи являются степень ее проблемности и сложность задачи. Сложность задачи является объективной характеристикой,

9

не зависящей от субъекта, она определяется числом элементов, связей и видов связей, которые образуют внутреннюю структуру задачи. Элементы - это такие минимальные компоненты задачи (системы), на которых реализовано основное отношение.

По мнению Л.М.Фридмана, значение величин (известные и неизвестные), заданные в текстовых задачах, связанны между собой [11].

Первая группа соотношений – это соотношения между значениями одной и той же величины.

Вторая группа соотношений – это соотношения между значениями раз-ных величин.

Если в текстовой задаче задано одно соотношение между значениями од-ной и той же величины или разных величин, то такая задача называется про-стой; если же в задаче задано два или более взаимосвязанных соотношений, то такая задача называется сложной.

Графовое моделирование текстовых задач позволяет выявить структуры решений задач.

Чтобы определить коэффициент уровня сложности структуры решения задачи (σ ) необходимо, во-первых, составить граф структуры решения задачи, во-вторых, пройти корень и все вершины решения полученного бинарного де-рева. Существующую для дерева числовую характеристику – сложность дерева, Н.А.Жигачева отождествляет со сложностью структуры решения задачи.

Для этого фиксируем корень дерева, считаем количество всех вершин, учитывая и корень; получившееся число умножаем на число входящих в вер-шину дуг; полученное число будет первым слагаемым в сумме, значение кото-рой и будет являться величиной σ . Таким образом, обходим все вершины ре-шения графа, учитывая, что попадая в некоторую вершину n, не являющуюся листом, рассматриваем соответствующий подграф-дерево, корнем которого бу-дет вершина n. В итоге получаем исходный коэффициент σ , который и будет показателем уровня сложности структуры решения задачи

Пример Из двух городов, расстояние между которыми 150 км, одновре-менно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного авто-мобиля 65 км/ч, а второго 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Обозначим, V1 – скорость первого автомобиля; V2 – скорость второго ав-томобиля; V – скорость сближения автомобилей; S – расстояние между города-ми; t – время встречи автомобилей.

Рисунок 1 - Граф, соответствующий структуре решения задачи

10

При графовом моделировании арифметические операции (сложение, ум-ножение, вычитание, деление) считаются равносложными и не оказывают влияния на коэффициент сложности структуры решения.

Листья графа соответствуют исходным данным задачи, вершины реше-ния – промежуточные результаты, полученные в процессе решения, корень – искомая величина.

Для рассмотренной задачи σ = 3252 ⋅+⋅ = 16 В задачах, решаемых алгебраическим методом, принцип конструирова-

ния графа структуры решения будет несколько иным. Сложность задач данного типа будет определяться сложностью уравнения, связывающего данные, поэто-му составлять граф решения таких задач удобно исходя из соответствующего уравнения.

2) В литературе существуют различные подходы к классификации тек-стовых задач. Рассмотрим некоторые из них.

По отношению между условиями требованиями различают: • определенные задачи – условий столько, сколько необходимо и доста-

точно для выполнения требований; Пример. У Васи было 46 марок. На день рождения ему подарили 12 ма-

рок. Сколько марок стало у Васи? • недоопределенные – условий недостаточно для получения ответа; Пример. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сес-

тер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 го-да. Сколько лет каждой из сестер?

• переопределенные – имеются лишние условия. Пример. Представьте, что вы водитель автобуса. На 1-й остановке к

вам вошло 2 мужчин и 1 женщина; на 2-й - 1 мужчина вышел, 3 женщины во-шли; на 3-й – 1 женщина вышла, и вошли 3 мужчины. Сколько лет водителю?

Л. М.Фридман, Е. Н.Турецкий предлагают классифицировать задачи по характеру объекта, отношению к теории и характеру требований, следующим образом [12].

Рисунок 2 - Классификация задач Л.М.Фридмана, Е.Н.Турецкого

Задачи

По характеру объектов

По отношению к теории

По характеру требования

математические

стандартные нестандартные

нахождение искомых

преобразование (построение)

доказательство (объяснение)

практические (реальные)

11

Задачи, решаемые в школе, различаются в первую очередь характером своих объектов. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других - все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.д.). Первые задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называют практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными); вторые, все объекты которых математические - математическими задачами.

Пример. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепи-ли на высоте 20 м. Найти расстояние между домом и столбом, если проволока не провисает.

Объектами приведенной задачи являются вполне реальные предметы: проволока, столб, дом - это практическая задача. Чтобы ее решить надо постро-ить соответствующую математическую задачу, которая получается путем от-влечения от конкретных особенностей реальных предметов и заменой их мате-матическими объектами. В данном случае проволоку, столб и дом (точнее, сте-ну дома) можно рассматривать как отрезки. Считая, что поверхность земли есть прямая, а отрезки, изображающие столб и дом, перпендикулярны к этой пря-мой, получаем следующую математическую задачу: отрезки длиной 8 м и 20 м перпендикулярны к прямой, соединяющей их концы, и расположены по одну сторону от этой прямой. Отрезок, соединяющий другие концы этих отрезков, имеет длину 15 м. Найти расстояние между отрезками.

В курсе математики решаются лишь такие практические задачи, которые сводимы к математическим.

Математические задачи, для решения которых в школьном курсе матема-тики имеются готовые правила (в любой форме) или эти правила следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, назовем стандартными. При этом предполагается, что для выполнения отдельных шагов решения стандартных задач в курсе математики также имеются вполне определенные правила.

Рассмотрим характерные особенности процесса решения стандартных за-дач на примере.

Пример. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии, если а1 =10, d = 4.

В самой задаче указан ее вид: это задача на нахождение членов арифме-тической прогрессии. Используем определение арифметической прогрессии: числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом (это число на-зывается разностью прогрессии), называется арифметической прогрессией. На основе этого определения составляем алгоритм решения задач указанного вида:

1) определить, какой (по номеру) член прогрессии предшествует искомому; 2) установить значение этого предшествующего члена; 3) найти разность прогрессии; 4) к значению предшествующего члена прибавить разность прогрессии;

полученная сумма и будет искомым членом. В соответствии с алгоритмом решение данной задачи будет таким: нужно

12

найти первые пять членов арифметической прогрессии, у которой а1 = 10 и d = 4 (а2, а3, а4 и а5). Начнем с а2. Предшествующим для него членом явля-

ется а1. Его значение дано в задаче. Известно также и значение разности прогрессии. Поэтому а2 = а1 + d = 10 + 4 = 14. Аналогично найдем а3, а4 и а5. Получим: а3 = а2 + d = 14 + 4 = 18, а4 = а3 + d = 18 + 4 = 22, а5 = а4 + d = 22 + 4 = 26. Ответ: 10,14,18,22,26. Приведенный пример показывает, что процесс решения стандартных за-

дач имеет следующие особенности: 1) анализ задач сводится к установлению (распознаванию) вида задач; 2) поиск решения состоит в составлении на основе общего правила (фор-

мулы, тождества) или общего положения (определения, теоремы) алгоритма - последовательности шагов решения задач данного вида. Нет надобности эту программу формулировать в письменной форме, достаточно ее наметить;

3) решение стандартной задачи состоит в применении общего алгоритма к условиям данной задачи. Если некоторые шаги решения требуют для своего выполнения использования каких-то программ, то в отношении их производят-ся те же операции (распознавание вида задачи, составление программы реше-ния и осуществление решения на основе этой программы).

Отсюда следует, что, для того чтобы легко решать стандартные задачи (а они являются основными математическими задачами, ибо все другие в конеч-ном итоге сводятся к ним), нужно:

1) помнить все изученные в курсе математики общие правила (формулы, тождества) и общие положения (определения и теоремы).

2) уметь развертывать свернутые общие правила, формулы, тождества, а также определения и теоремы в программы - последовательности шагов реше-ния задач соответствующих видов.

Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не име-ется общих правил и положений, определяющих точный алгоритм их решения.

Рассмотрим пример таких задач, с тем, чтобы выяснить особенности про-цесса их решения.

Пример. Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ ч и в результате опоздали на турбазу на 30 мин. С какой скоростью шли туристы первоначально?

Для подобных задач никакого общего правила, определяющего точную программу их решения, не существует. Однако это не значит, что вообще нет каких-то общих подходов к решению таких задач.

Сначала определяем вид задачи и, исходя из этого, возникает идея реше-ния («составить уравнение»). Для этого, пользуясь весьма общими указаниями и образцами решения подобных задач, полученных в школьном курсе матема-тики («надо обозначить одно из неизвестных буквой, например х, и выразить

13

остальные неизвестные через х, затем составить равенство из полученных вы-ражений»), составляется уравнение. Указания, которые использованы, не явля-ются правилами, ибо в них ничего не сказано, какое из неизвестных обозначить через х, как выразить остальные неизвестные через х, как получить нужное ра-венство и т. д.

Полученное уравнение представляет собой уже стандартную задачу. Ре-шив ее, мы тем самым решили и исходную нестандартную задачу. Процесс ре-шения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

• сведение (путем преобразования или переформулирования) нестан-дартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче;

• разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач. Общих правил для решения нестандартных задач нет (поэтому-то эти за-

дачи и называются нестандартными) и нет каких-то точных правил использова-ния операций по сведению решения нестандартных задач к решению стандарт-ных, однако существуют общие указания-рекомендации, которыми следует ру-ководствоваться при решении нестандартных задач. Которые называются эври-стическими правилами или эвристиками.

В отличие от математических правил эвристики носят характер необяза-тельных рекомендаций, советов, следование которым может привести (а может и не привести) к решению задачи.

По характеру требования Л.М.Фридман и Е.Н.Турецкий все задачи делят на три основных класса [12]:

Задачи на нахождение искомого. В задачах этого класса требование со-стоит в том, чтобы найти, разыскать, распознать какое-то искомое. При этом искомым могут быть величина, отношения, какой-либо объект, предмет, его положение или форма и т. д.

Примерами задач этого класса являются задачи на вычисление различных выражений, значений функций, задачи на установление характера функции и т. д. Задачи на решение различных уравнений, систем уравнений, неравенств и их сис-тем также принадлежат к этому классу задач, ибо в каждой из них нужно найти значения некоторых переменных, удовлетворяющих определенным условиям.

Этот класс задач многочисленный и разнообразный. Задачи на доказательство или объяснение. В задачах этого класса требо-

вание состоит в том, чтобы убедиться в справедливости некоторого утвержде-ния, или проверить верность или ложность этого утверждения, или, наконец, объяснить, почему имеет место то или иное явление, тот или иной факт.

Все задачи, требование которых начинается со слов «доказать», «прове-рить» или содержащие вопрос «Почему?», относятся к этому классу задач.

Задачи на преобразование или построение. К этому классу относятся за-дачи, в которых требуется преобразовать какое-либо выражение, упростить его, представить в другом виде, построить что-либо (например, геометрическую фигуру или выражение), удовлетворяющее указанным условиям.

Класс этих задач также весьма обширен. Характерной особенностью за-дач этого класса является то, что в каждой из них заданы какие-то объекты

14

(элементы, выражения), из которых требуется создать, построить, сконструиро-вать другой какой-то объект с заранее известными свойствами.

Т.Е.Демидова и А.П.Тонких предлагают классифицировать задачи по их типу и виду, понимая под типом задачи классификацию по содержанию: задачи на движение, задачи на части, задачи на проценты и т.п. Внутри каждого типа в зависимости от логической структуры задачи различают виды задач. Так, на-пример, различают вид задач на встречное движение, в одну сторону; различа-ют задачи на нахождение части числа, нахождение числа по заданной его части, нахождение отношения чисел; различают задачи на нахождение нескольких процентов числа, нахождение числа по его проценту, нахождение процентного отношения или выражение частного в процентах и т. д. [3].

3) Роль и место задач в обучении математике претерпевает изменения.

Если прежде задачи в методике рассматривались как цель обучения, то сейчас задачи рассматриваются как средство организации учебной деятельности уча-щихся на всех этапах обучения математике [11].

Если раньше задачи применялись преимущественно на этапе закрепления знаний, то сейчас их функции в обучении математике значительно многообраз-нее, они используются на каждом из трех звеньев, составляющих структуру учебной деятельности: мотивационно-ориентировочном, исполнительно-операционном, контрольно-оценочном.

Л.М.Фридман выделяет основные цели решения текстовых задач: • формирование у учащихся общего подхода, общих умений и способно-

стей решения любых задач; • познание и более глубокое овладение изучаемыми математическими

понятиями и некоторыми общенаучными и общежитейскими понятиями; • овладение понятиями модели и моделирования и особенно математи-

ческим моделированием. 4) Решение задач выполняет в учебном процессе ряд дидактических

функций [11]. 1. Вводно-мотивационная функция. Предварение изучения математиче-

ской теории постановкой задач представляет хорошие возможности для ис-пользования на уроках математики элементов проблемного обучения. Задачи проблемного характера для достижения целей обучения математике весьма значимы. Их использование обеспечивает более осознанное овладение матема-тической теорией, учит школьников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мысли-тельным операциям, выделению существенных свойств математических объек-тов. Для создания проблемных ситуаций целесообразно использовать наряду с другими и задачи с практическим содержанием.

Задачи должны быть подобраны так, чтобы их постановка привела к осознанию учащимися необходимости приобретения новых знаний по матема-тике, а приобретенные знания позволили решить не только поставленную, но и ряд других задач прикладного характера. Для создания проблемной ситуации

15

можно использовать и отдельные фрагменты прикладных задач, а полный вари-ант задачи рассмотреть впоследствии при закреплении и углублении знаний школьников.

Для постановки проблемы перед изложением нового учебного материала следует использовать задачи с практическим содержанием, отличающиеся яс-ностью и простотой решения.

Пример. Перед введением понятия «линейная функция» можно предло-жить следующую задачу: «Основной месячный заработок рабочего совхоза 1600 р. За производство сверхплановой продукции стоимостью в 10 р. ему до-полнительно выплачивается 5 р. Какой вид зависимости общего месячного за-работка рабочего от стоимости произведенной им сверхплановой продукции?»

Здесь существенно подчеркнуть, что рассмотренный пример является конкретной моделью линейной функции, имеющий все те свойства, которыми эта функция обладает.

Такой подход к введению математических понятий позволяет обусловить необходимость их введения потребностями практики.

2. Иллюстративная и конкретизирующая функция. В качестве иллюстра-ций и конкретизаций различных математических понятий целесообразно ис-пользовать текстовые задачи, в которых раскрываются особенности изучаемых понятий. Примеры из окружающей действительности позволяют раскрывать перед учащимися практическую значимость математики. Эти примеры должны быть простыми, убедительными, доступными пониманию школьников. Поня-тие линейной функции представляется возможным иллюстрировать многочис-ленными примерами из физики, химии, повседневной жизни.

Немаловажное значение имеет привлечение школьников к самостоятель-ному отысканию примеров применения математических знаний в известных им жизненных явлений и к использованию этих примеров в своих ответах.

3. Функция формирования математических и общеучебных умений и на-выков. В школьном курсе математики учащиеся приобретают ряд специальных и общеучебных математических умений и навыков. Все эти умения и навыки формируются не только при решении специальных примеров, но, и главным образом, в процессе решения простейших задач.

Различны формы использования текстовых задач для закрепления и уг-лубления знаний учащихся по математике. Эти задачи могут быть применены и в работе со всем классом, и для индивидуальной работы с отдельными учени-ками.

Для закрепления знаний можно использовать задачи: • решение которых ориентировано на применение изучаемого материала; • фабула которых раскрывает характерные применения математики в

производственной деятельности; • методы и результаты решения которых могут найти применение на

практике. В систему упражнений, предназначенных для закрепления знаний, целе-

сообразно в числе других включать задачи с недостающими значениями дан-ных величин, а в отдельных случаях и недостающими данными. Это создает

16

условия для выработки у учащихся таких полезных умений, как выполнение измерений, использование таблиц и справочников, из которых они смогут взять значения тех или иных величин либо выяснить, какие данные нужны для реше-ния той или иной задачи.

4. Функция воспитания характера и воли. Решение текстовых задач, осо-бенно сложных, требует от учащихся настойчивости, последовательности и ар-гументации рассуждений, сосредоточенности волевых качеств. Целесообразнее дать учащимся достаточное время для решения каждой задачи, нежели гнаться за количеством решенных задач.

5. Функция развития творческого мышления и воображения. В матема-тике разработаны многочисленные так называемые «задачи на смекалку и со-образительность», требующие для решения каких-то особых приемов. Такие задачи можно давать учащимся для самостоятельного решения на дом на дли-тельный срок.

Задавая систему задач, упорядоченных в соответствии с определенными принципами, учитель тем самым определяет систему действий обучаемых.

Необходимо, чтобы предлагаемая система задач была построена «пра-вильно», т.е. удовлетворяла дидактическим принципам.

Г.И.Саранцев утверждает, что задания, предлагаемые школьникам, должны: • быть носителем действий, адекватных содержанию обучения матема-

тике; • являться средством целенаправленного формирования знаний, умений

и навыков; • быть способом организации и управления учебно-познавательной дея-

тельностью учащихся; • являться одной из форм реализации методов обучения; • служить средством связи теории и практики. Я.И.Груденов выдвигает ряд требований к построению системы упраж-

нений: • оптимальное количество однотипных упражнений; • наличие задач, не имеющих решения; • применение принципа сравнения; • способ решения очередной задачи не обязательно должен совпадать со

способом решения предыдущей; • чередование новых упражнений с упражнениями уже пройденных ра-

нее тем; • выстраивание задач по нарастанию трудности; • наличие задач, допускающих «изящные решения»; • доступность задач. В.И.Крупич сформулировал общие требования к системам задач школь-

ного курса математики. Система задач должна: • состоять из конкретных учебных задач, направленных на достижение

обобщенной цели учебной деятельности, т.е. на решение учебной задачи; • обладать свойством структурной полноты, т.е. быть построенной с уче-

17

том принципа целостности; • содержать учебные цели по формированию у учащихся теоретических

знаний и способов действий на каждом из четырех этапов процесса решения задачи;

• включать учебные цели по осуществлению действий по самоконтролю и самооценки для формирования у школьников способов самостоятельного приобретения знаний и приемов самообразования;

• обеспечить на основе их систематизации постепенное нарастание сложности задач, а на каждом уровне сложности – по степени возрастания про-блемности.

Одним из действенных средств обучения учащихся решению задач явля-ется самостоятельное составление задач.

Л.М.Фридман предложил виды и характер оснований для составления за-дач [11].

1) Какой должна быть задача? Таким основанием могут быть следую-щие требования: она должна быть по определенному разделу или теме курса математики; в ней должен содержаться сюжет и т.д.

2) Что должна содержать составляемая задача? Таким основанием мо-гут быть следующие требования: она должна содержать определенный объект; данные задачи должны быть числами определенного вида; она должна содер-жать определенный вопрос или соотношения определенного вида и т.д.

3) Какими свойствами (признаками) должна обладать составляемая за-дача? Она должна иметь определенное решение (это решение приводится); она не должна иметь решений или иметь конечное (бесконечное) число решений; она должна быть аналогичной ранее решенной задаче; она должна быть обрат-ной решенной задаче и т.д.

Составление задач производится в результате каких-то наблюдений, из-мерений, на основе какого-то рисунка, чертежа, рассказа, уравнения или систе-мы уравнений и т.д.

Л.М.Фридман выделяет следующие положения, на основании которых следует строить обучение учащихся составлению задач:

• у учащихся имеются нужные знания о текстовых задачах, их структуре, составных элементах, сущности и механизмах их решения;

• в процессе составления текстовой задачи ученик выполняет ряд дейст-вий и операций, характер, особенности и число этих действий в первую очередь зависят от того основания, которое указано в задании на составление задачи.

Задания для практических занятий

1. Выделите условия и требования в задаче. Определите, в какой форме представлено требование в задаче.

а) На первом складе было 135 м3 дров, на втором - 114 м3. Ежедневно с первого склада вывозят по 7,5 м3, со второго – 6,5 м3 дров. Через сколько дней на складе дров станет поровну?

18

б) Два автобуса отправились одновременно из города в село, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в село на 15 мин. Раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км/ч больше скорости другого?

в) Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 см2. Доску распили-ли на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая - прямо-угольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна 120 см.

г) В лагерь привезли 100

27 ц пшеничного хлеба, 50

9 ц ржаного хлеба и 20

3 ц

сухарей. На сколько центнеров меньше привезли сухарей, чем пшеничного и ржаного хлеба вместе?

2. Выделите в задаче объекты и их характеристики. В 12 одинаковых мешках и 9 одинаковых коробках храниться 645 кг мор-

кови. В мешок вмещается моркови на 10 кг больше, чем в коробку. Сколько моркови храниться в одном мешке и одной коробке?

3. Дано условие задачи: Предельный возраст липы 400 лет, а предельный возраст яблони 120 лет. Закончите следующие вопросы и найдите на них ответы. а) Сколько процентов составляет...? б) Какую часть составляет...? в) Насколько...? г) Во сколько раз …?

4. Дано условие задачи: Из деревни вышел пешеход, а через 2 часа вслед за ним выехал велосипе-

дист. Скорость велосипедиста равна 10 км/ч, скорость пешехода 5 км/ч. Сформулируйте всевозможные требования к условию задачи.

5. Какие данные необходимы для ответа на требование задачи. а) Какова масса слона? б) Определите какова скорость птицы, если…

6. Можете ли вы дать ответ на требование задачи? К какому виду отно-сится задача? Дополните условие задачи и решите ее.

Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного 62 км/ч, скорость другого 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся?

7. Определите, есть ли лишние данные в задаче. К какому виду относится задача? Исключите лишнее условие и решите задачу.

Объем комнаты равен 72 м 3 . Высота комнаты 3 м. Найдите площадь пола, если его длина 6 м.

8. Переформулируйте реальную задачу в математическую. В библиотеке на полке располагались 200 томов фантастики и 300 то-

мов сказок. Сколько книг находилось на полке?

19

9. Переформулируйте математическую задачу в реальную. Дано: ΔАВС, МN||АС. Найдите: х

10. Подберите пример стандартной и нестандартной задачи. Ответ обос-нуйте.

11. Приведите пример задачи по характеру требования «на нахождение искомого», где искомое а) величина, б) отношение.

12. Приведите пример текстовой задачи на доказательство.

13. Подберите задачу на любой тип (по содержанию) и выстроить «клю-чевые» виды задач выбранного типа, подкрепив каждый примером.

14. Подобрать задачи на каждую цель решения текстовых задач (по Л.М.Фридману). Подбор аргументировать.

15. Подобрать задачу, отражающую вводно-мотивационную функцию.

16. Используя межпредметные связи, подобрать текстовую задачу на ил-люстративную и конкретизирующую функцию.

17. На примере любой из задач пояснить формирование у учащихся спе-циальных и общеучебных умений и навыков.

18. Составить задачу, при решении которой ученикам необходимо обра-титься к справочному материалу (справочным таблицам, дополнительным дан-ным из справочников, энциклопедий и др.).

19. Подберите две задачи и проиллюстрируйте «работу» принципа срав-нения (Я.И.Груденову). Обоснуйте методическую эффективность подбора.

20. На примере любого параграфа учебника Математика (5, 6, 7 кл.) про-анализировать применительно к системе задач общие требования , сформули-рованные В.И.Крупичем.

20

ТЕМА 2. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ И ПРИЕМЫ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ

План лекции: 1) Анализ задачи; 2) Схематическая запись; 3) Поиск способа решения; 4) Осуществление решения; 5) Проверка решения; 6) Исследование задачи; 7) Формулирование ответа; 8) Анализ выполненного решения. Решить математическую задачу (по определению Л.М.Фридмана и

Е.Н.Турецкого) - это значит найти такую последовательность общих положе-ний математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), при-меняя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным ре-зультатам решения), получаем то, что требуется в задаче, - ее ответ [12].

Под решением задачи Г.А.Балл понимает воздействие на предмет задачи, обусловливающее ее переход из исходного состояния в требуемое. Решенная задача, т. е. задача, предмет которой приведен в требуемое состояние, перестает быть задачей [16].

Процесс решения задачи включает ряд этапов, начинающихся с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, одним из кото-рых и является изложения решения.

Рассмотрим этапы процесса решения задачи [12]. 1) Анализ задачи составляет первый этап процесса решения задачи. Ос-

новное назначение этапа – осмыслить ситуацию, описанную в задаче; выде-лить условия и требования, выделить все отношения между объектами задачи.

Анализ задачи может проводиться по двум направлениям: • предметно-содержательный анализ – это декодирование условия зада-

чи в целом, воссоздание той реальной задачной ситуации, моделью которой является данная задача. Такой анализ обычно проводят устно, и создаваемая на основе этого анализа задачная ситуация образует у решающего мыслительный образ сюжета задачи.

• логико-семантический анализ – это анализ текста задачи для установ-ления величин, их значений и соотношений между ними, заданных в тексте за-дачи, разбиения тем самым текста задачи на отдельные элементарные условия и требования. Таким образом, выявляется структура задачи.

На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы: • представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче –

выполняется при чтении или слушании задачи. • постановка специальных вопросов:

21

- о чем задача? - что известно в задаче? - что в задаче неизвестно? - что требуется найти? - что обозначают те или иные слова в задаче? • перефразировка текста – заключается в замене данного в задаче описа-

ния некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения.

2) Для оформления результатов анализа используются разного рода схе-

матические записи задач, построение которых составляет второй этап про-цесса решения. Основное назначение – оформление анализа.

Схематическая запись – это вспомогательная модель, помогающая пере-вести текст задачи со словесного языка в математический.

Схематическая запись может быть представлена в виде: • схемы; • таблицы; • чертежа; • рисунка; • ключевых слов. К выполнению чертежей предъявляются требования: они должны

быть наглядными, четкими, соответствовать тексту задачи; на них должны быть отражены по возможности все данные, входящие в условие задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию за-дачи и общепринятым обозначениям.

После построения вспомогательной модели необходимо проверить: • все ли объекты задачи показаны на модели; • все ли отношения между объектами отражены; • все ли числовые данные приведены; • есть ли требование. 3) Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимы

главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. По-иск этого способа составляет третий этап процесса решения. Назначение этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей (составить план реше-ния).

Поиск пути решения можно осуществлять от вопроса задачи к данным – аналитический путь, или от данных к вопросу – синтетический путь.

Анализ в форме рассуждения от искомого к данным подразделяется на два вида: восходящий и нисходящий.

Общая схема восходящего анализа заключается в следующем: пусть тре-буется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого

22

следует А. Затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В, и т. д. до тех пор, пока находим путь решения задачи.

Обычно восходящий анализ применяют совместно с синтезом. Исполь-зуемый при этом метод называют аналитико-синтетическим или методом попе-ременного движения с двух сторон - от данных задачи к искомому и обратно. Сначала стараются получить ряд следствий из данных, а затем - такие утвер-ждения, из которых следовало бы искомое. Далее опять возвращаются к дан-ным и т. д. Особенности данного метода:

1) при восходящем анализе не требуется обратимости рассуждений, так как возможность обратного перехода проверяется на каждом шаге поиска ре-шения;

2) применяя восходящий анализ, мы фактически пользуемся аналитико-синтетическим методом;

3) общая схема восходящего анализа несколько отличается от формы, словесных рассуждений при его использовании. Учащиеся должны хорошо ус-воить эту форму: «Чтобы доказать..., достаточно доказать...» На первых порах учащиеся обычно заменяют термин «достаточно» словом «надо». Разъясняем, что здесь более подходит термин «достаточно», поскольку мы можем подоб-рать несколько различных утверждений, для каждого из которых искомое явля-ется следствием;

4) в общей схеме восходящего анализа (в отличие от нисходящего) не разъясняется, как получить утверждение, из которого следует искомое. Такое утверждение подыскивается, исходя из конкретных условий решаемой задачи.

Сходство восходящего анализа с нисходящим заключается в том, что у них одна и та же форма анализа - рассуждения от искомого к данным.

В.А.Далингер предлагает разбор задачи от ее вопроса к ее условию изо-бразить в виде схемы – «дерево рассуждений». Построение этого «дерева» на-зывается анализом, а решение задачи по данной схеме – синтезом.

4) Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить, - это

будет уже четвертый этап процесса решения - этап осуществления (изложе-ния) решения. Назначение этапа – найти ответ на требование задачи, выпол-нив все действия в соответствии с планом.

Немаловажную роль играет запись решения. 5) После того как решение осуществлено и изложено (письменно или

устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовле-творяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

Проверка решения текстовых задач может быть прямой или косвенной, в свою очередь, каждая из них может быть полной или неполной (частичной).

Прямая полная проверка решения состоит в том, что мы убеждаемся в выполнении всех условий задачи при найденных значениях искомых.

Неполная проверка состоит в том, что мы проверяем выполнение не всех условий, а лишь некоторых.

23

Косвенную проверку задачи можно произвести с помощью составления и решения обратной задачи. Обратная задача составляется путем обмена роля-ми одного из искомых с каким-либо из данных, т.е. найденное значение одного из искомых принимают за данное, а одно из данных считают искомым. Если в результате решения обратной задачи получают значение, совпадающее с вы-бранным данным, то это показывает, что проверка «сошлась».

Косвенную проверку решения задачи можно выполнить и с помощью решения этой же задачи каким-либо другим способом.

6) При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произ-

вести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом, сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т. д. Все это со-ставляет шестой этап процесса решения.

Для уточнения математических моделей текстовых задач нужно, исходя из реального смысла неизвестных и связей между ними и данными, определить область возможных, допустимых значений для каждого из неизвестных.

7) Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя иссле-

дование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи, - это бу-дет седьмой этап процесса решения

8) Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произве-

сти анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие вы-воды можно сделать из этого решения и т. д. Это составляет последний восьмой этап решения.

Пример. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя при-станями за 3 ч, а обратный путь она совершила за 4 ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

1. Анализ задачи.

Таблица 2 Специальные вопросы Предполагаемые ответы

О чем задача? В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Что известно в задаче о лодке? Лодка совершает путь между пристанями по тече-

нию реки за меньшее время (3 ч), чем против тече-ния (4 ч), т.к. имеет какую-то собственную ско-рость.

Что известно в задаче о плоте? Плот, двигается со скоростью реки 3 км/ч. Что в задаче неизвестно? Собственная скорость лодки, расстояние между

пристанями, время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями.

Что требуется найти? Время, за которое плот проплывет расстояние ме-жду пристанями.

24

2.Схематическая запись задачи Лодка А 3 ч В Плот ? ч Лодка 4 ч

3. Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В Для того чтобы найти это вре-мя, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Скорость течения реки равна 3 км/ч, а расстояние АВ обозначим буквой s (км). Чтобы связать эти не-известные с данными задачи (время движения лодки по и против течения реки), нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна V км/ч. Отсюда возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

4. Осуществление решения задачи. Итак, пусть расстояние АВ равно s км, собственная скорость лодки V км/ч, а искомое время движения плота на пути в s км равно х ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна (v + 3) км/ч. За 3 ч лодка, идя с этой скоростью, прошла путь АВ в s км. Следовательно,

3 (v + 3) = s (1) Против течения эта лодка идет со скоростью (v-3) км/ч и путь АВ в s км

она проходит за 4 ч, поэтому 4 (v - 3) = s (2)

Наконец, плот, плывя со скоростью 3 км/ч, покрыл расстояние s км за х ч, следовательно,

sх =⋅3 (3) Уравнения (1) и (2) образуют систему уравнений относительно неизвест-

ных s и V. Решим ее и найдем s = 72 км и v = 21 км/ч. Выразим х из (3) уравнения и подставим известное расстояние, таким об-

разом мы найдем неизвестное х:

х = 3

s , x = 3

72 .

Найдем: x = 24. 5. Проверка решения. Итак, мы нашли, что плот проплывает расстояние

между пристанями за 24 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна

24

s (км/ч). Скорость же лодки по течению равна 3

s (км/ч), а против течения

4

s (км/ч). Для того чтобы убедиться в правильности решения, достаточно

25

проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:

1) от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки, т. е.

3

s - 24

s ,

2) к скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения ре-

ки, т.е. 4

s + 24

s .

Произведя вычисления, получаем верное равенство. Значит, задача ре-шена правильно.

6. Исследование задачи. В данном случае этот этап решения не нужен. 7. Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 24 ч. 8. Анализ решения. Мы свели решение этой задачи к решению систе-

мы двух уравнений с двумя неизвестными. Нашли их и воспользовались одним из найденных неизвестных, а именно расстоянием. Можно предло-жить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 3 ч, а

против - за 4 ч, найдем, что в 1 ч лодка, идя по течению, проходит 3

1 часть

этого расстояния, а против течения 4

1 . Тогда разность между ними

(12

1

4

1

3

1 =− ) есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1

ч. Значит, плот за 1 ч проплывет 24

1 часть расстояния АВ, следовательно,

все расстояние АВ он проплывет за 24 ч. Из указанных восьми этапов пять являются обязательными, и они

имеются (в том или ином виде) в процессе решения любой задачи. Это эта-пы анализа задачи, поиска способа ее решения, осуществления решения, проверки решения и формулирования ответа. Остальные три этапа (схема-тическая запись задачи, исследование задачи и заключительный анализ ре-шения) являются не обязательными и в процессе решения многих задач не используются.

Задания для практических занятий

1. Выполните анализ задачи, используя различные приемы, и оформите его различными вспомогательными моделями.

а) Первая швея сшила 5 платьев, вторая – 7 таких платьев. Вторая швея истратила на 6,8 м полотна больше, чем первая. Сколько метров полотна истра-тили они вместе?

б) В первом бидоне краски в два раза больше, чем во втором. Если из первого бидона взять 2 л краски, а во второй добавить 5 л краски, то в обоих бидонах краске станет поровну. Сколько краски было в каждом бидоне перво-начально?

26

в) Одна машинистка тратит на печатание 12 страниц текста столько же времени, сколько вторая машинистка не печатание 16 страниц. Сколько време-ни первая машинистка тратит на печатание одной страницы, если вторая печа-тает одну страницу за 12 мин.?

г) Двое рабочих получили 18 тыс. руб. Один работал 3 дня по 8 ч., другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за час работы они получали поровну?

2. Сформулировать задачу по ее вспомогательной модели.

а) х

10 б) х 6х 15 145 в) Было-124 р. Дали - ? р. Истратил - 55 р., что составляет 2/5 от всей суммы

3. Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, оставшуюся работу вторая бригада выполнила за 7 дней. За сколько дней выполнила бы всю работу каждая бригада?

Восстановите последовательность вопросов. 1) Какую часть задания выполнили две бригады вместе за 8 дней? 2) Какую часть задания выполнила вторая бригада за 7 дней? 3) Какова совместная производительность бригад? 4) Какова производительность 1-й бригады? 5) Сколько дней потребовалось бы 2-й бригаде для выполнения всего за-

дания? 6) Какова производительность 2-й бригады? 7) Сколько дней потребовалось бы 1-й бригаде для выполнения всего за-

дания?

4. Выполните поиск пути решения задачи, используя анализ и синтез. а) В столовую привезли карпов, сазанов, судаков и лещей. Карпов было

46 кг, сазанов – 30 кг, а судаков – в 3 раза больше, чем лещей. Когда половину всей рыбы израсходовали, осталось еще 90 кг. Сколько кг судаков привезли?

б) У трех братьев была некоторая сумма денег. У первого и второго вме-сте 600 руб., у второго и третьего вместе 500 руб., у третьего и первого 700 руб. Сколько денег было у каждого брата в отдельности?

5. Составьте обратные задачи к предложенным и решите их. а) Число непроданных на сеанс билетов в кинотеатре составляет 15% от

числа проданных билетов. Сколько проданных билетов на сеанс, если всего в кинотеатре 460 мест?

27

б) Водитель приехал 36,6 км, что составляет 6% пути. Каков весь путь? Сколько процентов составляет оставшийся путь?

в) На первый танкер было погружено 94% того количества нефти, кото-рое было погружено на второй танкер. Всего на оба танкера было погружено 97001 нефти. Сколько тонн нефти было погружено на каждый танкер? На сколько тонн нефти больше погружено на второй танкер, чем на первый?

г) Скорость электровоза равна 180 км/ч, что составляет 0,2 скорости са-молета. Какова скорость реактивного самолета?

д) Матери 78 лет. Возраст дочери составляет 2/3 возраста матери. Сколь-ко лет дочери?

6. Решите задачу и выполните проверку различными способами. Рабочему поручено изготовить 30 деталей за 10 часов. Но рабочий, эко-

номя время, успевал делать одну деталь за 15 минут. Сколько деталей сверх за-дания может сделать рабочий за счет сэкономленного времени?

7. Поэтапно разберите задачу. а) Из города А в город Б, расстояние между которыми 347,5 км, вышел

автобус со скоростью 50 км/ч. Часом позже вышел навстречу ему из города Б грузовик. Скорость грузового автомобиля составляет 70% скорости автобуса. Через сколько часов после своего выхода грузовик встретит автобус?

б) Катер прошел по реке 76,5 км за 2 ч и по озеру 93 км за 3 ч. Найти среднюю скорость движения катера.

28

ТЕМА 3. СПОСОБЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

План лекции: 1) Арифметический метод; 2) Алгебраический метод; 3) Графический метод; 4) Геометрический метод. Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметиче-

ский, алгебраический, графический, геометрический. Следует отметить, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение различными способами, т.е. решение с помощью различных моделей.

1) Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на тре-бование задачи посредством выполнения арифметических действий над значе-ниями указанными в задаче.

В методике преподавания отличают типы задач, для которых наиболее целесообразным является арифметический метод решения [11]:

• все простые задачи, решаемые одним из четырех арифметических дей-ствий;

• задачи на нахождение дроби (части) числа и числа по известному зна-чению его дроби (части), отношения одного числа и другого и соответствую-щие им задачи на проценты.

В задачах указанных типов нет необходимости вводить переменную для нахождения искомого.

При арифметическом методе формы записи решения могут быть: - вопрос с последующим действием; - действие с последующим объяснением; - запись решения с предшествующим пояснением; - числовое решение без текста. Пример. Три школьника купили одинаковые тетради. Один из них купил

5 тетрадей, второй – 3 тетради, третий – 4 тетради. Всего они уплатили 13 р.56 к. Сколько денег заплатил каждый?

Решение: 1-й способ (вопрос с последующим действием). 1) Сколько всего тетрадей купили? 5 + 3 + 4 = 12 2) Сколько стоит одна тетрадь? 13,56 : 12 = 1,13 3) Сколько денег заплатил первый школьник?

513,1 ⋅ = 5,65 4) Сколько денег заплатил второй школьник?

313,1 ⋅ = 3,39

29

5) Сколько денег заплатил третий школьник? 413,1 ⋅ = 4,52

2-й способ (действие с последующим объяснением) 1) 5 + 3 + 4 = 12 (т) – всего куплено тетрадей; 2) 13,56 : 12 = 1,13 (р) – стоимость одной тетради; 3) 513,1 ⋅ = 5, 65 (р) – заплатил первый школьник; 4) 313,1 ⋅ = 3,39 (р) – заплатил второй школьник; 5) 413,1 ⋅ = 4,52 (р) – заплатил третий школьник. 3-й способ (запись решения с предшествующим пояснением) Чтобы узнать, сколько заплатил за тетради каждый школьник, надо знать,

сколько тетрадей купил каждый из них (дано в условии) и сколько стоит одна тетрадь (неизвестно). Чтобы узнать, сколько стоит одна тетрадь, надо знать, сколько уплачено за все тетради (дано в условии) и сколько было куплено всего тетрадей.

1) 5 + 3 + 4 = 12 (т); 2) 13,56 : 12 = 1,13 (р); 3) 513,1 ⋅ = 5, 65 (р); 4) 313,1 ⋅ = 3,39 (р); 5) 413,1 ⋅ = 4,52 (р). На практике, для оформления записей чаще других применяется второй

способ. 2) Решить задачу алгебраическим методом - значит найти ответ на требо-

вание задачи, составив и решив уравнение (неравенство) или систему уравне-ний (неравенств).

При обучении решению алгебраическим методом целесообразно требо-вать от школьников проговаривать мотивировки составления уравнений. Жела-тельно одну и ту же задачу решать, составляя различные уравнения при выборе за неизвестное различные величины.

Задача. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справиться с зада-нием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение: 1-й способ Пусть х (дет./день) – первоначальная производительность рабочего. Тогда

(х + 10) (дет./день) – новая производительность, 3х (дет.) – число деталей, ко-торые он должен сделать, )10(2 +⋅ х (дет.) – число деталей которые он сделал с новой производительностью. Т.к. число деталей, которые рабочий должен сде-лать равно числу деталей, которые он сделал, получим уравнение

3х = 2(х + 10), х = 20.

203 ⋅ = 60 2-й способ Пусть х (дет.) – число деталей, которые должен сделать рабочий. Тогда

30

3

х (дет./день) – первоначальная производительность, (3

х + 10) (дет./день) – но-

вая производительность, 2 (3

х + 10) (дет). - число деталей которые он сделал с

новой производительностью.

х = 2(3

х + 10)

х = 20. 203 ⋅ = 60

Ответ: первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

Методы построения алгебраической модели сюжетных задач

По Л.М.Фридману, всякая сюжетная задача представляет собой систему взаимосвязанных соотношений. В каждом из них имеется не менее одного не-известного члена. Если каждый из этих неизвестных членов соотношений обо-значить буквой, то каждое соотношение можно будет представить как уравне-ние, а всю задачу как систему уравнений. Эта система уравнений является ал-гебраической моделью задачи.

Пример. В трех классах 119 учащихся. В первом классе учащихся на 4 че-ловека больше, чем во втором, и на 3 человека меньше, чем в третьем классе. Сколько учащихся в каждом классе?

Можно расчленить эту задачу на следующие соотношения: 1. Соотношение сложения между неизвестным количеством учащихся в

каждом классе и их общим количеством (119). 2. Соотношение разностного сравнения между количеством учащихся в

первом классе и во втором, если известно значение разностного сравнения (в первом классе учащихся на 4 человека больше, чем во втором).

3. Соотношение разностного сравнения между количеством учащихся в первом классе и в третьем, если известно значение разностного сравнения (в первом классе учащихся на 3 человека меньше, чем в третьем).

Если обозначить каждое из трех неизвестных членов этих соотношений буквой (х – количество учащихся в первом классе, у – во втором, z – в третьем), то получим систему уравнений:

=−=−

=++

3

4

119

xz

yx

zух

Алгебраическая модель задачи в виде системы уравнений содержит столько уравнений, сколько соотношений содержит задача, с таким количест-вом неизвестных букв, сколько неизвестных содержат все эти соотношения. Решение такой системы осуществляется обычно путем ее свертки в одно урав-нение с одним неизвестным.

Разработкой методов непосредственного составления по условию задачи одного уравнения занимались многие математики и методисты. Рассмотрим не-которые из них.

31

Метод Ньютона

Этот метод сформулировал Ньютон «нужно обозначит неизвестное (как правило - искомое) буквой, а затем, пользуясь этой буквой, перевести условия задачи на алгебраический язык».

Пример. (Задача Ньютона). Некий торговец каждый год увеличивал на одну треть свое состояние, уменьшая его на 100 фунтов, которые ежегодно затрачивал на свою семью. Через три года он обнаружил, что его состояние удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег в начале?

Процесс составления уравнения Ньютон показывает следующим образом:

Таблица 3 Словесный текст Алгебраический язык

У торговца имеется состояние х Из которого он в первый год истра-тил 100 фунтов

х – 100

Остаток он увеличил на одну треть х – 100 + 3

1(х - 100) =

3

1 (4х - 400)

Во второй год он опять тратит 100 фунтов 3

1 (4х - 400) – 100 =

3

1 (4х - 700)

Остаток снова увеличивает на одну треть 3

1 (4х - 700) +

9

1 (4х - 700) =

9

1 (16х - 2800)

В третий год он снова тратит 100 фунтов 9

1 (16х - 2800) – 100 =

9

1 (16х - 3700)

Остаток также увеличивает на одну треть 9

1 (16х - 3700) +

27

1 (16х - 3700) =

27

1 (64х - 14800)

Причем оказывается вдвое богаче, чем был вначале 27

1 (64х - 14800) = 2х

Метод одной вспомогательной задачи

Суть этого метода заключается в следующем: примем одно из неизвест-ных данной задачи (не обязательно искомое) за главное неизвестное и обозна-чим его буквой, затем одно из условий примем за основное. После этого соста-вим новую задачу – вспомогательную, в которой главное неизвестное исходной задачи становится известным, а искомым становится основное условие.

Так как выбор главного неизвестного и основного условия для одной и той же задачи может быть произведен несколькими способами, то можно со-ставить много разных уравнений, которые являются лишь разными математи-ческими моделями этой задачи.

Пример. На пришкольном участке было собрано 360 кг овощей. Карто-феля было собрано в 5 раз больше, чем свеклы, а капусты – на 80 кг больше, чем свеклы. Сколько килограммов каждой культуры было собрано?

В этой задаче три неизвестных и три условия: картофеля в 5 раз больше, чем свеклы; капусты на 80 кг больше, чем свеклы; всего собрали 360 кг.

За главное неизвестное нужно выбрать одно из трех неизвестных, а за главное условие – одно из трех условий, такой выбор можно осуществить 9 способами.

32

1. Примем за главное неизвестное вес собранной свеклы, обозначим его за х, а за основное условие - общий вес собранных овощей. Тогда получим та-кую вспомогательную задачу:

«Свеклы собрали х кг, капусты на 80 кг больше, чем свеклы, а картофеля в 5 раз больше, чем свеклы. Сколько всего собрали овощей? »

Решать ее будем следующим образом: 1) капусты собрали х + 80 (кг); 2) картофеля 5х (кг); 3) всего овощей х + х + 80 + 5х (кг). Приравниваем полученную вычислительную формулу вспомогательной

задачи значению основного условия, получаем уравнение: х + х + 80 + 5х = 360. 2. Примем за главное неизвестное вес собранного картофеля, обозначим

его у, а за основное условие - капусты на 80 кг больше, чем свеклы. Тогда вспомогательная задача будет следующей:

«Картофеля собрали у кг, свеклы в 5 раз меньше, чем картофеля. Всего картофеля, свеклы и капусты собрали 360 кг. На сколько капусты собрали больше чем свеклы?»

Решение вспомогательной задачи: 1) свеклы собрали у : 5 (кг); 2) капусты собрали 360 – у – у : 5 (кг); 3) Капусты собрали больше, чем свеклы на 360 – у – у : 5 – у : 5 (кг). Приравниваем полученную вычислительную формулу вспомогательной

задачи значению основного условия, получаем уравнение: 360 – у – у : 5 – у : 5 = 80. Разные способы выбора главного неизвестного и основного условия не

равноценны: при первом способе вспомогательная задача более простая и более простое уравнение, чем при втором способе. При некоторых способах выбора главного неизвестного и основного условия могут получиться задачи, не веду-щие к решению исходной.

3. Примем за главное неизвестное вес собранного картофеля, обозначим его у, а за основное условие - картофеля в 5 раз больше, чем свеклы.

При таком выборе вспомогательная задача будет не разрешимой.

Метод двух вспомогательных задач

Суть этого метода описал С.С.Бронштейн. Он утверждал, что «надо про-анализировать, какие величины, находящиеся во взаимной зависимости, равны между собой. Соединив такие два выражения знаком равенства, составляют уравнение».

Анализ механизма составления уравнения данным способом показывает, что составляются и решаются две вспомогательные задачи, искомыми которых являются значения величин, равные между собой.

Пример. В первой бригаде было в 4 раза меньше людей, чем во второй. После того как из второй бригады 6 человек ушло, а 12 перевели в первую, лю-дей в бригадах стало поровну. Сколько человек было в первой бригаде?

33

Примем за главное неизвестное первоначальное число человек в первой бригаде, обозначим его за х. Составим теперь две вспомогательные задачи:

1. Первоначально в первой бригаде было х человек. А во второй бригаде в 4 раза больше людей, чем в первой. Затем из второй бригады 6 человек уш-ло, а 12 перевели в первую. Сколько человек стало во второй бригаде?

2. Первоначально в первой бригаде было х человек. Затем 12 человек пе-ревели в первую бригаду. Сколько человек стало в первой бригаде?

Решим обе вспомогательные задачи: 1.1) 4х (чел) – столько было во второй бригаде; 1.2) 4х – 6 (чел) – столько человек стало, после того как 6 ушли; 1.3) 4х – 6 – 12 (чел) – столько человек стало во второй бригаде, после то-

го как 12 перевели. 2.1) х + 12 (чел) – стало в первой бригаде. Так как в бригадах человек стало поровну, то получаем уравнение: х + 12 = 4х – 6 – 12. Метод одной вспомогательной задачи, так же как и метод двух вспомога-

тельных задач не является всеобщим. 3) Л.М.Фридман выделяет в отдельный метод решения текстовых задач –

графический метод. Для которого достаточно знать только график прямой про-порциональности. При графическом решении задач удобнее пользоваться пе-ременной системой, а именно иметь на одном и том же чертеже несколько раз-личных систем координат для построения заданных в условии задачи зависи-мостей, причем каждая зависимость изображается в своей системе координат.

Пример. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго – 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (ч), по вертикали – расстояние (км).

Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Дви-жение первого туриста определяется функцией у = 20х, второго – у = 250 – 30х. Абсцисса точки пересечения графиков функций указывает, через сколько часов туристы встретятся. Ордината указывает, на каком расстоянии от п.А произой-дет встреча.

34

4) Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на тре-бование задачи, используя геометрические построения или свойства геометри-ческих фигур.

Пример. Расстояние от города А до города В мотоциклист проехал за 4 ч. Если бы его скорость была на на 20 км/ч меньше, то он проехал бы это рас-стояние за 5 ч. Определите расстояние между городами и скорость мотоцик-листа.

Решение: Пусть время движения мотоциклиста (4 ч) изображается отрез-ком ОТ 1 , а скорость - отрезком ОS1. Тогда площадь прямоугольника OS1O1T1 соответствует расстоянию между городами А и В. Пусть во втором случае ско-рость мотоциклиста изображается отрезком ОS 2 , а соответствующее время (5 ч) – отрезком ОТ 2 . В этом случае то же расстояние между городами А и В оп-ределяется площадью прямоугольника ОS 2 О 2 Т 2 , равновеликому прямоуголь-нику OS1O1T1. Прямоугольник OS 2 O 3 T1 - общая часть прямоугольников OS1O1T1 и ОS 2 О 2 Т 2 , поэтому равновеликими будут прямоугольники S 2 S1O1O 3 и Т 2 Т 1O 2 O 3 . Значит, S 2 S1 * S 2 O 3 = Т 2 Т 1 * O 3 T1. Учитывая, что S 2 S1 = 20 км/ч, S 2 O 3 = 4 ч, Т 2 Т 1 = 1 ч, находим O 3 T1 = 80 км/ч. Следователь-но, ОS 2 = O 3 T1 = 80 км/ч, ОS1 = 80 + 20 = 100 км/ч, а расстояние между горо-дами равно 100 * 4 = 400 км.

Для развития учащихся, представляется целесообразным показать, что та

или иная задача может быть решена несколькими различными методами. В ка-честве примера рассмотрим несколько вариантов решение одной задачи.

Пример. Чтобы доставить письмо за 2 ч 40 мин из А в В, расстояние между которыми 70,5 км, почтальон ехал сначала на велосипеде со скоростью 12,75 км/ч, а затем на мотоцикле со скоростью 67,5 км/ч. Сколько времени ехал почтальон на велосипеде и сколько на мотоцикле?

I (арифметический метод)

1) 343

22

4

312 =⋅ (км) – проехал бы почтальон, если бы все 2 ч 40 мин. Ехал

на велосипеде; 2) 70,5 – 34 = 36,5 (км) – расстояние, которое осталось бы проехать на мо-

тоцикле;

35

3) 67,5 – 12,75 = 54,75 (км/ч) – разность скоростей мотоцикла и велосипеда;

4) 36,5 : 54,75 = 3

2 (ч) – он ехал на мотоцикле;

5) 3

2

3

22 − = 2 (ч) – ехал на велосипеде.

II (алгебраический метод)

Пусть х часов почтальон ехал на велосипеде, тогда ( х−3

22 ) – время движе-

ния на мотоцикле. Путь, пройденный на велосипеде х⋅75,12 км, а путь, пройден-

ный на мотоцикле )3

22(5,67 х−⋅ . Так как весь путь 70,5 км, составим уравнение:

5,70)3

22(5,6775,12 =−+ хх

Решая данное уравнение, получаем х = 2 (ч). III (графический метод) На оси абсцисс откладывается время, на оси ординат - расстояние. В та-

ком случае абсцисса любой точки графика движения указывает момент време-ни, а ордината той же точки – в каком месте пути в этот момент находится точ-ка. Если на одном чертеже построены два графика движения, причем графики движения пересекаются в некоторой точке, то абсцисса точки пересечения по-казывает время встречи движущихся объектов, а ордината – место встречи.

Движение на велосипеде задается графиком функции ts 75,12= , на мото-

цикле bts += 5,67 . Учитывая, что график проходит через точку ( 5,70;3

22 ), на-

ходим b = -109,5. Точка пересечения графиков находится решением системы уравнений: t = 2, s = 25,5.

Рисунок 3

36

АВ = 70,5 км. АN = 3

22 ч.

IV (геометрический метод) Ot – ось времени, Ov – ось скорости; 12,75 – скорость велосипедиста, 67,5

– скорость мотоциклиста; t- время, затраченное почтальоном на движение на велосипеде.

Путь, пройденный почтальоном, можно представить в виде суммы пло-щадей прямоугольников 1S и 2S или площадью прямоугольника со стороной 67,5 и без площади прямоугольника 3S , то есть 1S + 2S = S = 70,5 (км) или S =

33

225,67 S−⋅ . 3S = (67,5 – 12,75) t, имеем 5,70)75,125,67(

3

225,67 =⋅−−⋅ t . t = 2.

Рисунок 4

Задания для практических занятий

1. Решите задачу различными арифметическими способами и оформите решение в виде вопроса с последующим действием:

а) Ученик затратил на подготовку уроков 1 ч 50 мин. Занятия русским языком заняли на 15 мин больше, чем географией, и на 20 мин меньше, чем ма-тематикой. Сколько времени ушло на подготовку каждого предмета?

б) Вася посчитал, что если каждая девочка принесет по 3 руб, а каждый мальчик – по 5 руб, то все 30 учащихся класса соберут 122 руб. Сколько в клас-се мальчиков?

2. Предприятие выпускало 155 телевизоров, а выпуск магнитофонов составляет 3/5 от выпуска телевизоров. Сколько магнитофонов выпускает предприятие? Какой метод можно предложить для решения данной задачи? Можно ли использовать другой метод?

3. Дайте пояснение к решению задачи. В первый час своего движения автобус прошел 2/5 всего пути, во второй

– 1/3 всего пути, а в третий – остальную часть. Какое расстояние прошел авто-бус за три часа, если за третий час он прошел на 20 км меньше, чем за первый.

1) 15

11

3

1

5

2 =+ , 3) 15

2

15

4

5

2 =− ,

2) 15

4

15

111 =− , 4) 150

15

2:20 = .

37

4. Решите задачу арифметически а) Три свеклоуборочные бригады убрали 1485 т свеклы. Вторая бригада

убрала 0,8 того, что убрала первая, а третья – в 3

22

раза больше того, что убра-ли первая и вторая бригады вместе. Сколько машин потребовалось для пере-возки свеклы, убранной второй бригадой, если свеклу перевозили в течение трех дней, причем каждая машина делала по четыре рейса в день, перевозя при каждой поездке в среднем по 2,5 т свеклы?

б) В двух вузах 12300 студентов. Когда число студентов в первом вузе

увеличилось в 7

21 раза, а число студентов второго вуза уменьшилось на 0,16

своего числа, в первом вузе оказалось в 7

12 раза студентов больше, чем во вто-

ром. Определите первоначальное число студентов в каждом вузе.

5. Решите задачу арифметически и графически. а) Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу с двух стан-

ций, расстояние между которыми 710 км. Скорый поезд вышел на час раньше пассажирского и идет со скоростью 110 км/ч. Через сколько часов он встре-титься с пассажирским, и на каком расстоянии от станции (отправной), если скорость пассажирского поезда 90 км/ч?

б) Вода вливается в бак через два крана. Если открыть правый кран, то бак наполниться за 12 мин, а через один второй кран бак наполниться за 20 мин. За сколько минут наполниться бак, если открыть одновременно оба крана?

6. Решите графически а) Из города А в направлении города В вышел пешеход со скоростью 6

км/ч. Одновременно с ним в том же направлении из города В вышел второй пешеход со скоростью 4 км/ч. Через сколько часов и на каком расстоянии от города А первый пешеход догонит второго, если расстояние между городами А и В равно 18 км?

б) Два туриста выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов А и В. При встрече оказалось, что первый проехал на 15 км больше второго и что через 2 ч он будет в пункте В. Второй попадет в пункт А через 4,5 ч после встречи. Найдите расстояние между пунктами и скорости движения ту-ристов.

7. Решите задачу геометрически Для перевозки груза использовали 30 машин, которые могли справиться с

работой за 25 дней. Через 10 дней добавили еще несколько машин и работа бы-ла закончена на 6 дней раньше. Сколько машин добавили?

8. В первый час своего движения автобус прошел 2/5 всего пути, во второй – 1/3 всего пути, а в третий – остальную часть. Какое расстояние прошел автобус за три часа, если за третий час он прошел на 20 км меньше, чем за первый.

а) Рассмотрите решение задачи и поставьте вопросы к каждому действию.

38

1) 5

2 + 3

1 = 15

11 , 3) 5

2 - 15

4 = 15

2 ,

2) 1 - 15

11 = 15

4 , 4) 20 : 15

2 = 150.

б) Можно ли было эту задачу решить с помощью уравнения

205

2)

3

1

5

2( −=+− хххх ?

в) Измениться ли ход решения задачи, если будет сказано, что: - за третий час автобус прошел на 10 км меньше; на 20 км больше; - за третий час он прошел 100 км; - за третий час он прошел столько же, сколько за первые два часа вместе? г) Решите задачу с новыми условиями, если это возможно.

9. Пользуясь указаниями Ньютона, составьте уравнения по условиям сле-дующих задач.

а) Два товарища купили за 480 руб. радиоприемник, и при этом один из них отдал все свои деньги, а другой - только ¾ своих денег. Если бы первый дал ¾ своих денег, а второй – все свои деньги, то для уплаты за приемник не хватило бы 15 руб. Сколько денег было у каждого?

б) За 10 ч пароход прошел 175 км по течению реки и потом еще 45 км против течения; в другой раз также за 10 ч он прошел 200 км вниз и 30 км вверх по реке. Какова собственная скорость парохода?

10. Составьте всевозможные уравнения при всех различных выборах главного неизвестного и основного условия.

а) Два туриста выходят одновременно из одного города в другой. Первый проходит в час 4 км, второй – 5 км и поэтому приходит в другой город на 1 час раньше. Каково расстояние между городами?

б) Ваня, Коля и Петя нашли вместе 63 гриба. Коля нашел на 8 грибов мень-ше, чем Ваня, а Петя – в 3 раза больше, чем Коля. Сколько грибов нашел Ваня?

11. Составьте уравнение методом двух вспомогательных задач. В двух сараях сложено сено, причем в первом сарае сена в 3 раза больше,

чем во втором. После того как из первого сарая взяли 20 тонн сена, а во второй

добавили 20 тонн, оказалось, что во втором сарае число тонн сена равно 7

5 чис-

ла тонн сена, оставшегося в первом сарае. Сколько тонн сена было первона-чально в каждом сарае?

12. Решите задачу с помощью системы уравнений У четырех братьев 45 руб. Если деньги первого увеличить на 2 руб., день-

ги второго уменьшить на 2 руб., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги чет-вертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько денег было у каждого?

39

ТЕМА 4. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5 – 6 КЛАССЕ

Особенностью мышления учащихся 5 – 6 классов является оперирование наглядными образами, а не абстрактными моделями. Поэтому в 5 – 6 классах, как и в начальной школе, арифметический метод решения задач имеет преиму-щество перед алгебраическим. Потому что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкова-ние, не выходящее за рамки опыта учащихся.

В первом полугодии 5-го класса нужно обеспечить качественное повто-рение материала, изученного в начальной школе. При этом необходимо убе-диться, что все учащиеся правильно связывают с соответствующими арифме-тическими операциями отношения «больше (меньше) на…», «больше (меньше) в…», слова «всего», «вместе», «осталось поровну» и т.п. При этом начинать на-до с простых задач и на их базе формировать умение внимательно читать текст задачи; умение проводить первичный анализ текста задачи – выделять усло-вие и вопрос задачи; умение оформлять краткую запись текста задачи; умение выполнять, чертежи (рисунки) по тексту задачи.

В методике обучения математике разработаны соответствующие прие-мы работы учителя по формированию выделенных умений [7].

Приемы, формирующие умение читать текст задачи • показ образцов правильного чтения задачи; • проведение специальной работы над текстом задачи по усвоению ее

содержания. Здесь имеются в виду различные формы предъявления задачи: текстом,

краткой записью текста, рисунком. Приемы работы над усвоением содержания задачи включают: изменение числовых данных задачи; изменение сюжета зада-чи; изменение сюжета и числовых данных задачи.

Приемы, формирующие умения выделять условие и вопрос задачи • обращение внимания на точность, ясность формулировки вопроса за-

дачи; переформулировка вопроса задачи, выявление роли вопроса в нахожде-нии способа решения задачи.

• формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи; • нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи; • составление задачи по вопросу; формулирование одной или нескольких

задач по данному вопросу. Приемы обучения оформлению краткой записи текста задачи • оформление краткой записи в виде таблицы, схемы, • оформление краткой записи в строку (столбец); • составление задачи по ее краткой записи. Приемы обучения выполнению чертежей (рисунков) по тексту задачи. • предъявление заданий, требующих только выполнения соответствую-

щего рисунка;

40

• чтение рисунка, выполненного по тексту задачи; • составление задачи по рисунку или чертежу. Формирование умения выполнять чертеж задачи будет успешным, ес-

ли учащиеся будут уметь читать соответствующий чертеж. В связи с этим важным моментом является составление текста задачи по чертежу, рисунку. В результате выполнения таких упражнений формируются навыки перевода графических данных на словесный текст.

Решение задач в 5 – 6 классе предполагает мысленные эксперименты с величинами.

Пример. В двух пачках 70 тетрадей. В первой на 10 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей во второй пачке?

.70.?

,10.,?т

тпачкаII

IIвочемнатпачкаI

−−

Решение: а) уравняем число тетрадей в пачках, переложив половину разницы из

большей пачки в меньшую. 10 : 2 = 5. Тогда тетрадей в пачках будет поровну. 70 : 2 = 35.

Вернем 5 тетрадей назад, получим 35 – 5 = 30. б) если известна сумма и разность двух неизвестных чисел, то чтобы их

найти. Нужно из суммы вычесть разность – получиться удвоенное меньшее число.

1) 70 – 10 = 60 (т) – удвоенное кол-во тетрадей во второй пачке. 2) 60 : 2 = 30 (т) – кол-во тетрадей во второй пачке. Для закрепления понимания взаимосвязи операций сложения и вычита-

ния можно продемонстрировать учащимся способ решения задач «с конца». Чтобы определить неизвестное, надо с конечным результатом выполнить об-ратные операции в обратном порядке.

Пример. На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого было на второй полке, то книг стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на каждой полке.

Решение: 1) 12 : 2 = 6 (кн.) – стало на каждой полке, когда с первой переставили

книги на вторую; 2) 6 : 2 = 3 (кн.) – переставили с первой полки на вторую; 3) 6 + 3 = 9 (кн.) – стояло на первой полке. Один из видов задач, решаемых в 5 – 6 классах – задачи «на части». Уча-

щиеся знакомятся с задачами на нахождение части числа, числа по его части и какую часть одна величина составляет от другой. В результате работы с зада-чами «на части» учащиеся должны научиться принимать подходящую величи-ну за 1 часть, определять, сколько таких частей приходиться на др. величину, на их сумму (разность).

Сначала необходимо подготовить учащихся к самостоятельному введе-нию «частей», когда о них не говориться явно. Нужно наглядно представлять условие задачи, выполнять схематический рисунок или чертеж.

41

Пример. Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего сорвали 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности?

ореховдевочкиразавореховМальчик

ореховДевочка120

2,?

?

−−

Решение: Пусть орехи собранные девочкой составляют 1 часть, тогда орехи, соб-

ранные мальчиком составляют 2 части. 1) 120 : 3 = 40 (орехов) – приходиться на 1 часть, т.е. орехи собранные де-

вочкой; 2) 40 * 2 = 80 (орехов) – приходиться на 2 части, т.е. орехи собранные

мальчиком. Решение задач на нахождение части от числа и числа по его части нужно

начинать с задач, в которых встречаются слова «половина», «треть», «чет-верть».

Пример. В тетради 24 страницы. Сколько чистых страниц осталось в тет-ради, если исписали четверть всех страниц?

Решение: 24 – 24 : 4 = 18 Затем в задачах встречаются обозначение дробей.

Пример. Петя готовил уроки 1ч 40 мин. На математику он потратил 5

1

этого времени, а на историю 4

1 оставшегося времени. Сколько минут Петя

готовил урок по математике и сколько по истории? Решение: 1ч 40 мин. = 100 мин 1) 100 : 5 = 20 (мин) – потратил на подготовку по математике; 2) 100 – 20 – 80 (мин) – осталось; 3) 80 : 4 = 20 (мин) – потратил на подготовку по истории. Другой вид задач, с которыми познакомятся учащиеся в 5 – 6 классах –

задачи, решаемые с помощью пропорций. При решении задач на прямую и об-ратную пропорциональность (задачи на тройное правило) используются свой-ства прямой и обратной пропорциональности.

Пример. За 8 ч токарь изготовил 16 дет. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 дет., если он будет работать с той же произво-дительностью?

Решение: Количество сделанных деталей и время работы – величины прямо про-

порциональные. 1 способ 2 способ 1) 16 : 8 = 2 (дет.); 2) 48 : 2 = 24 (ч)

1) 48 : 16 = 3 (раза); 2) 8 * 3 = 24 (ч)

42

Для развития учащихся целесообразно включать в курс обучения задачи на «сложное тройное правило», в которых рассматривается n прямо или обрат-но пропорциональных величин.

Пример. 52 лошади за 15 дней съедают 3900 кг сена. Сколько кг сена съедят 8 лошадей за 2 дня?

52 л 15дн. 3900кг 8 л 2дн. ?кг

Решение: Разобьем данную задачу на две. Допустим, что в условии не учитывается

число лошадей, тогда значение искомого кол-ва сена завесила бы только от из-менения числа дней.

15дн. 3900кг 2дн. ?кг

15: 2 = 7,5 (раза)

Допустим, что в условии не учитывается число дней, тогда значение ис-комого кол-ва сена завесила бы только от изменения числа лошадей.

52 л 3900кг 8 л ?кг

52 : 8 = 6,5 (раза) 3900 : 7,5 : 6,5 = 80 (кг)

Задания для практических занятий

1. Сделайте подборку заданий к следующим задачам. а) Первая машинистка печатает 10 страниц в час, а вторая за 5 часов печа-

тает столько же страниц, сколько первая за 4 часа. Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 часа совместной работы?

б) Отец купил сыну костюм за 24 р., на что израсходовал 3

1 своих денег.

После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги?

в) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 часов, а через вто-рую – за 15 часов. За сколько часов можно наполнить бассейн через обе трубы?

2. Решите задачу «обратным ходом» а) У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько

яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколь-ко было у Светы. После этого у девочек оказалось яблок поровну. Сколько яб-лок первоначально было у каждой?

б) Крестьянка принесла на рынок несколько яиц. Первому покупателю она продала половину имеющихся яиц и еще пол-яйца, второму – половину то-го, что осталось, и еще пол-яйца, третьему – половину нового остатка и еще пол-яйца, четвертому – половину того, что осталось от прежней продажи и еще

43

пол-яйца. После последней продажи у нее ничего не осталось. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

в) Трое посетителей пришли к парикмахеру. Побрив первого, парикмахер сказал: «Посмотри, сколько денег в ящике стола, положи еще столько и возьми двадцать рублей сдачи». То же сказал парикмахер и второму, и третьему посе-тителю. После того как посетители ушли, оказалось, что в кассе 100 руб. Сколько денег было в кассе перед тем, как заплатил первый посетитель?

3. Обоснуйте, используя определение прямой или обратной пропорцио-нальности и их свойства, решение различными арифметическими способами следующих задач:

а) С участка собрали 6 мешков картофеля по 40 кг в каждом. Этот карто-фель разложили в ящики по 20 кг в каждый. Сколько ящиков потребовалось?

б) За работу, выполненную за 15 часов, рабочий получит 19,5 р. Сколько рублей он получит за 8 часов, если темп работы такой же?

в) Из 6 кг муки выходит 8 кг печеного хлеба. Сколько печеного хлеба выйдет из 30 кг муки?

4. Решите задачи а) Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12

дней? б) За 15 дней 12 машин производят 14400 м проволоки. Сколько метров

проволоки произведут 16 таких же машин за 25 дней? в) 3 кошки съедают 5 мышек за 2 часа. За сколько часов 6 кошек съедят 9

мышек? г) Три маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько маляров надо

поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна? д) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина,

причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

44

ТЕМА 5. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ

УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В 6 – 9 КЛАССАХ

Выделим основные этапы, которые должно пройти формирование умения решать текстовые задачи с помощью уравнений. Прежде всего, учащиеся должны научиться решать задачи, готовящие их к использованию букв в со-ставлении уравнения (составлять буквенное выражение, обозначать подходя-щую величину через х и выражать через х другие величины в соответствии с условием задачи).

Пример. а) Решите задачу, составив числовое выражение. Купили 7 тетрадей по 2 руб. и 4 ручки по 3 руб. Сколько заплатили? б) Решите задачу, составив буквенное выражение. Купили 10 тетрадей по х руб. и 3 ручки по 2 руб. Сколько заплатили? в) Когда Маша прочитала несколько страниц, то ей осталось прочитать

на 40 страниц больше, чем она уже прочитала. Сколько страниц в книге? Важным моментом здесь является обучение пониманию учащимися

способов словесного выражения изменения величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений. Достигается это с помощью со-ответствующих упражнений. Например, при изучении действий умножения натуральных чисел учащиеся рассматривают одно из применений умноже-ния – увеличение числа в несколько раз. Здесь для достижения указанной цели возможны следующие упражнения:

1) Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну t лет? (4t) 2) На первых двух полках стоит по n книг на каждой, а на третьей – m

книг. Сколько книг на трех полках? (2n + m) 3) Сравните а и с, если а = 5с. (а больше с в 5 раз или с меньше а в 5 раз) 4) Составьте равенство, исходя из условия: х больше у в n раз. (х = ny) 5) Составьте задачу по уравнению 2х=28. (Например: «В корзине было

несколько грибов. После того, как в нее добавили столько же, в ней стало 28 грибов. Сколько грибов было в корзине?»)

В методике обучения решению задач предлагаются также другие системы упражнений для достижения поставленной цели. Например, рассматриваются конкретные текстовые задачи, и после прочтения их текстов учащимся предла-гается ответить на ряд вопросов. Раскроем содержание этого приема на не-скольких задачах.

Задача 1 Теплоход «Метеор» за час проходит расстояние в 5 раз большее, чем катер. Сколько километров в час проходит каждый из них, если сумма их скоростей равна 90 км/ч?

Задания: 1) назовите величины, которые связаны зависимостями: а) одна больше

другой в 5 раз, б) одна меньше другой в 5 раз;

45

2) если катер проходит х км/ч, то как можно истолковать выражения: 5х; 5х+х? Значение какой из представленных здесь величин известно по условию задачи?

Задача 2 Футбольная команда школьников выиграла на … состязаний …. чем проиграла Число проигранных состязаний в … числа состязаний, прове-денных вничью. Сколько проведено состязаний, если ничьих было на …, чем проигрышей?

Задание Используя справочный материал, заполните пропуски в тексте задачи Справочный материал: команда школьников выиграла 16 состязаний, проиграла 6 и свела вничью 2.

Задача 3 На школьной математической олимпиаде было предложено 8 за-дач За каждую решенную задачу засчитывалось 5 очков, а за каждую нерешен-ною задачу списывалось 3 очка Сколько задач правильно решил ученик, если он получил 24 очка?

Задание. Установите, к решению каких из приведенных ниже уравнений сводится решение предложенной задачи:

а)5х-3(8-х)=24; б) 5х=24; в) 5(8-х)-Зх=24; г) 5х-3(8+х)=24; д)3у=24: е) 5х+3(8-х)=24. Задача 4. С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу

друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м/с, а другой 6 м/ с?

Задание. Дополните приведенные ниже выражения до уравнения, к кото-рому сводится решение задачи:

а) 9х -… = 180; б) 180… = 6х; в) …9х = … Задания к задачам не требуют решения исходных задач. Причем четко

выделяются две группы заданий: первая группа (задачи 1 и 2) направлена на формирование умения видеть всевозможные зависимости между величинами, входящими в задачу; вторая группа (задачи 3 и 4) формируют умение видеть в математическом выражении или формуле определенное содержание, т. Е. ма-тематическую модель.

Изложенная система пропедевтической работы учителя по обучению ре-шению текстовых задач показывает, что эти задачи выступают не только как цель и средство, но и как предмет изучения. Это соответствует той важной ро-ли, которая отводится им в курсе математики.

Затем научиться решать некоторые из уже известных им типов задач с помощью уравнений. При этом лучше начать с задач «на части», решение кото-рых мало изменяется от замены «частей» на «иксы». Это может послужить гиб-ким переходом от арифметического метода решения текстовых задач к алгеб-раическому.

46

Пример. В книге 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколько страниц прочитали и сколько осталось прочи-тать?

Арифметический метод Алгебраический метод 1) 60: 3 = 20 (стр); 2) 20 * 2 = 40 (стр).

Пусть х стр. осталось прочитать, тогда 2х стр. прочитали, т.к. в книге всего 60 страниц, то х + 2х = 60

При решении такого типа задач учащиеся будут отдавать предпочтение арифметическому методу. Следующим шагом в развитии умения решать задачи должно стать появление таких задач, решение которых арифметическим мето-дом затруднительно.

Пример. У Васи Было на 10 марок меньше, чем у Коли. Каждый мальчик подарил Саше по 15 марок. У Васи осталось марок в 2 раза меньше, чем у Коли. По сколько марок было у мальчиков первоначально?

В 7 классе учащиеся изучают линейную функцию. И могут решать задачи с помощью графиков. Для этого они должны научиться выражать формулой за-висимость одной величины от другой; строить графики функций; определять значения по графику.

Пример. Книга стоит 20 руб. Выразить формулой зависимость между купленным числом n экземпляров книги и уплаченной суммой y, выраженной в рублях. Построить график полученной функции, по графику определить чему равно у (6), у (11)?

Системы уравнений в процессе решения текстовых задач могут приме-нять учащиеся в 7-м классе.

На первых этапах с помощью системы учащиеся решают задачи, которые можно решить и без системы.

Пример. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься? – сказал мул. – Если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Было сначала Станет 1-й раз Станет 2-й раз мул 2х - 1 2х 2х - 2 ослица х + 1 х х + 2

2х – 2 = х + 2; х = 4. У ослицы было 4 + 1 = 5 мешков, а у мула 7. Также можно решить эту задачу с помощью системы уравнений.

+=−−=+.11

);1(21

xy

xy

Пример. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Из-вестно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

47

5 класс 6 класс 7 класс 1) 35 * 2 = 70; 2) 94 – 70 = 24; 3) 24 : 2 = 12 4) 35 – 12 = 23

Пусть х – количество кроликов, тогда 35 – х – количество фазанов, 4х – количество ног у кро-ликов, 2(35 - х) – ног у фазанов. 4х + 2 (35 - х) = 94

=+=+

9442

35

ух

ух

Кроме того, учащиеся могут решать задачи, приводящие к большему чис-лу уравнений.

Пример. Лошадь вместе с седлом стоит 235 руб., лошадь вместе со сбруей стоит 250 руб., сбруя же с седлом стоит 135 руб. Что стоит лошадь, седло и сбруя в отдельности?

Решение. Пусть х руб. – стоит лошадь, у – седло, z – сбруя, тогда

=+=+=+

.135

;250

;235

zy

zx

yx

В 8-м классе учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и решают текстовые задачи, приводящие к составлению квадратного уравнения.

Решая задачи, приводящие к квадратным уравнениям, всегда приходится определять, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условию задачи.

Пример. Несколько подруг решили обменяться фотографиями. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потре-бовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?

Решение. Пусть х (чел.) – количество подруг, тогда каждая девочка полу-чит (х - 1) фотографию. Общее количество фотографий будет )1( −⋅ хх . По усло-вию задачи общее количество фотографий известно, тогда составим уравнение

)1( −⋅ хх = 30. Решая уравнение получаем два корня х1 = 6 и х2 = -5. Но х2 не удовлетворяет условию задачи, т.к. число подруг есть число натуральное. Сле-довательно, задача имеет одно решение.

Иногда оказывается, что оба корня удовлетворяют условиям, тогда задача имеет два решения.

Пример. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил?

Решение. Пусть некто купил лошадь за х пистолей. Продав ее за 24 пис-толя, он потерял на этой продаже (х – 24) пистоля. Выразим убыток в процен-

тах: 10024 ⋅−х

х . По условию задачи он равен стоимости лошади, значит

10024 ⋅−х

х = х. Решив уравнение, получим корни 40 и 60. Оба корня удовлетво-

ряют условию задачи, следовательно, задача имеет два решения. Рассмотрим примеры задач, решение которых может привести к рацио-

нальному уравнению. Пример. Первая бригада может выполнить некоторую работу на 10

дней быстрее, чем вторая, а работая вместе они могли бы выполнить ту же

48

работу за 12 дней. За сколько дней каждая бригада могла бы выполнить ту же работу?

Решение. Пусть первая бригада может выполнить работу за х дней. Тогда

вторая – за (х + 10) дней. При этом в день первая бригада выполняет х

1 , а вто-

рая 10

1

+х всей работы. Так как, работая вместе, они могли выполнить ту же ра-

боту за 12 дней, то в день они выполняли бы 12

1 всей работы. Составим уравне-

ний х

1 + 10

1

+х =

12

1 .

Для проверки ответа составим обратную задачу, считая известными най-денные значения величин 20 и 30, а неизвестной величиной – время выполне-ния совместной работы.

Обратная задача. Первая бригада может выполнить работу за 20 дней, а вторя – за 30. За сколько дней они могли бы выполнить ту же работу, работая вместе?

Решив ее мы получим ответ 12 дней – значит задача решена верно. Учащиеся должны понимать, что проверка найденных корней подстанов-

кой в составленное уравнение позволяет проверить только правильность реше-ния уравнения, но не правильность его составления.

Среди задач на составление уравнений и их систем существует целый класс задач, в которых число неизвестных превышает число уравнений систе-мы. А.В.Шевкин предлагает методы решения задач с недоопределенными неиз-вестными [15].

1. Комбинация неизвестных Если выбирать неизвестные для составления уравнений, руководствуясь

принципом наибольшего удобства, то та величина, которую необходимо найти, может не войти в их число. Следовательно, однозначное определение всех не-известных из системы уравнений невозможно, тем не менее, комбинация этих неизвестных находится однозначно.

Пример. Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку порт-феля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка – в 2 раза дешевле, а книга – в 2,5 раза дешевле, чем на самом деле, то та же по-купка стоила бы 8 руб. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле, ручка - в 4 раза дешевле, а книга – в 3 раза дешевле, то за всю покупку школьник бы упла-тил 12 руб. Сколько стоит вся покупка и за что было уплачено больше: за портфель или авторучку?

Решение: Пусть х руб. – стоит портфель, у руб. – авторучка, z руб. – кни-га, тогда из условий задачи можно составить систему

=++

=++

12342

85

2

25zух

zух

или

=++=++

144436

80452

zyx

zух.

49

Таким образом, мы располагаем системой двух уравнений, в которой со-держится три неизвестных. Определить все три неизвестных однозначно из та-кой системы нельзя. Однако, необходимо найти стоимость всей покупки, т.е. х + у + z. А такая комбинация легко находится.

8х + 8у + 8z = 224 или х + у + z = 28, т.е. вся покупка стоит 28 руб. Сравним между собой величины х и у. Исключая величину z из системы

уравнений, находим 2х – у = 32 или х + (х - у) = 32. Поскольку х 0, у 0, z 0 и х + у + z = 28, то ясно, что х 28. Значит,

х – у 4, т.е. х у. Таким образом, центральным местом рассматриваемой задачи явилось

вычисление определенной комбинации неизвестных, на основе системы урав-нений, из которой сами неизвестные однозначно не находятся.

2. Использование «лишних» неизвестных. Пример. Каждый из 77 родственников Кролика имеет от одного до че-

тырех платков, так что всего имеется 195 платков. Известно, что количест-во родственников, имеющих 4 платка, равно количеству родственников, имеющих 2 платка. Чему равно количество родственников с одним платком?

Решение: Пусть х родственников имеют по 1 платку, у родственников имеют по 2 платка, тогда у родственников имеют по 4 платка, а 77 – х – 2у род-ственников имеют по 3 платка. Тогда, х + 2у + 3(77 – х – 2у) + 4у = 195, откуда х = 18.

3. Использование делимости (задачи с целочисленными неизвестными). Решение данного типа задач получается только при использовании того

обстоятельства, что неизвестное в задаче – целое число. Пример. Иван Петрович приобрел в начале года k акций банка «Надеж-

да», часть которых простые, а другая часть – привилегированные. За год до-ход по одной простой акции составил 16 условных денежных единиц, а доход по одной привилегированной акции – 21 условную денежную единицу. Сколько привилегированных акций приобрел Иван Петрович, если доход за год по куп-ленным акциям составил 269 условных денежных единиц?

Решение: Пусть И.П. приобрел в начале года х привилегированных ак-ций, тогда простых акций он приобрел (k – x) штук. Тогда, 21х + 16(k – x) = 269

х = 5

k16269 − .

13 ≤ k ≤ 16, только при k = 14 х – натуральное число. Пример. Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каж-

дых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждых двух горлиц – также 1 мо-нета и, наконец, за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Решение: Пусть купили х воробьев, у горлиц, тогда голубей купили (30–х– у)

30)ух30(2у2

1х

3

1 =−−++ .

Умножим обе части уравнения на 6 и упростим, получается 10х + 9у = 180. По смыслу задачи х и у натуральные числа. Так как 10 и 180 делятся на 10,

50

то 9у тоже должно делиться на 10, значит у делится на 10. Пусть у = 10у 1 , где у 1 - натуральное число, тогда справедливо равенство х + 9у 1 = 18. Аналогично х делится на 9, следовательно, х = 9х 1 , где х 1 - натуральное число. Уравнение примет вид х 1 + у 1 = 2. Это уравнение имеет единственное решение в нату-ральных числах х 1 = 1 и у 1 = 1. Тогда х = 9, у = 10. а 30 – х – у = 11.

Задания для практических занятий

1. В чем особенности текстовых задач, решаемых учащимися в 6 – 9 классах?

2. Составьте схему поэтапного усложнения задач от 6 класса к 9 классу. Указать вариант ключевой задачи на каждом этапе.

3. Проанализируйте альтернативные учебники 6 класса (7, 8, 9 классов) на предмет сопоставимости:

а) типологии задач; б) сложности задач; в) объема содержания текстовых задач.

4. Выделите общее и единичное в авторских концепциях линии текстовых задач в 6 классе (7, 8, 9 классах).

5. Соотнесите требования к уровню подготовки учащихся в содержатель-ной линии «текстовые задачи», определенные Программой и содержание учеб-ников. Сделайте сравнительный анализ. Разработайте рекомендации учителю.

6. Дневная норма выработки для бригады а кубических метров грунта. Бригада работала 5 дней. Какую зависимость между данными величинами можно сформулировать? Запишите ее в виде выражения. Составьте задачу по данному выражению.

7. Чайный стакан стоит а рублей, чайная ложка стоит b рублей. Истол-куйте следующие выражения: а + b; а - b; а : b; b • 4; (а + b) • 2; 4а-2b

8. Стол в 9 раз дороже стула. Вместе они стоят 400 рублей. Сформули-руйте несколько зависимостей и запишите их с помощью выражения.

9. Решите задачу с помощью уравнения и системы уравнений а) Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои две сливы, тогда

у нас слив будет поровну», на что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы – тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого?

б) Три брата делили мешок яблок. Старший оставил себе на 12 яблок больше, чем дал среднему, и в три раза больше, чем дал младшему. Из своих яблок средний брат съел ровно в 2 раза больше, чем было дано младшему, но на 9 яблок меньше, чем съел старший. Сколько яблок съел старший брат, если

51

известно, что младший съел на 42 яблока меньше, чем было дано среднему, и у него еще осталось 6 яблок?

10. Решите задачу, составив уравнение. а) За 4 лимона нужно заплатить столько рублей, сколько лимонов можно

купить на 25 рублей. Сколько стоит 1 лимон? б) Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто–то из

них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по 1 партии. То всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?

в) Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?

11. Решите задачу с помощью системы уравнений. а) Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая труба наполняет

резервуар за 40 мин, вторая, третья и четвертая работая одновременно – за 10 мин, вторая, третья и пятая – за 20 мин, и наконец, пятая и четвертая – за 30 мин. За сколько времени наполняют резервуар все пять труб при одновремен-ной работе?

б) Если продать 20 коров, то заготовленного сена хватит на 10 дней дольше, если же прикупить 30 коров, то запас сена исчерпается 10 днями рань-ше. Сколько было коров и на сколько дней заготовлено сена?

в) Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль. Через час из пунк-та А в пункт В выехал легковой автомобиль, который прибыл в пункт В одно-временно с грузовым автомобилем. Если бы грузовой и легковой автомобили одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу, то они встрети-лись бы через 1 ч 12 мин. после выезда. Сколько времени в пути от А до В про-вел грузовой автомобиль?

12. Решите задачу с недоопределенными неизвестными. а) Имеется 9 пустых больших коробок. В некоторые из них положили по

10 пустых средних коробок, а в некоторые средние – по 10 пустых маленьких. Всего оказалось 109 коробок. Сколько среди них было пустых коробок?

б) Двенадцать человек несут 12 хлебов; каждый мужчина несет по 2 хле-ба, женщина по половине хлеба, ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

13. Подберите текстовые задачи на каждый из методов решения задач с недоопределенными неизвестными.

52

ТЕМА 6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С НЕРАВЕНСТВАМИ

План лекции: 1) Задачи на сравнение двух выражений; 2) Задачи, которые решаются с помощью неравенств, систем неравенств, систем неравенств и уравнений. Существует целый класс задач, рассчитанных на умение составлять не

только уравнения, но и неравенства. Анализ действующих учебников показыва-ет, что таких задач крайне мало и предлагаются они преимущественно в 8 клас-се при изучении темы «Неравенства».

Различают два типа задач, связанных с неравенствами: 1) задачи на сравнение двух выражений; 2) задачи, которые решаются с помощью неравенств, систем неравенств,

систем неравенств и уравнений.

Задачи на сравнение двух выражений

При решении задач данного типа используют либо определение нера-венств, либо свойства неравенств.

Пример. Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В до А против ветра, причем скорость ветра не менялась. В другой раз самолет со-вершил рейс по тому же маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь по-лет ушло меньше времени?

Пусть v - собственная скорость самолета, вv - скорость ветра, а S - рас-

стояние от А до В, тогда время, затраченное самолетом на путь от А до В и об-

ратно в безветренную погоду можно найти v

St 21

= . На этот же путь в ветреную

погоду самолету понадобилось времени

cvv

S

cvv

St−

++

=2

.

Для того, чтобы определить в каком случае затрачено меньше времени, сравним t1 и t2. Для этого составим разность

0

)22(

2221

−

−=

−−

+−=−

âvvv

âvS

cvv

S

cvv

S

v

Stt.

Значит, t1 < t2 . Пример. Куплены 4 общие тетради и 8 блокнотов. Цена тетради мень-

ше 45 к., а блокнота меньше 40 к. Показать, что стоимость всей покупки меньше 5 р.

Задачи, которые решаются с помощью неравенств, систем неравенств, систем неравенств и уравнений

Особенность данных задач является то, что ответ на требование задачи

53

может быть каким-то конкретным значением, а может быть любым значением из некоторого промежутка. И особое значение при решении имеет анализ и ис-следование задачи.

Пример. Группа учащихся решила собрать общую коллекцию марок. Каждый из них внес по одинаковому числу марок, и было собрано всего 40 ма-рок. Если бы учащихся было на 3 меньше, и каждый внес бы на 1 марку больше, то было бы собрано меньше 35 марок. Сколько учащихся в группе?

Решение: Пусть в группе х учащихся, тогда из условия задачи каждый

внес по х

40 марок. Если бы учащихся было на 3 меньше, т.е (х - 3), то они бы

собрали (х - 3)( х

40 + 1) марок, из условия задачи составим неравенство

(х - 3) (х

40 + 1) 35

Решая данное неравенство, получаем -12 х 10, но т.к. из условия зада-чи х 3 и должно являться делителем 40, то задача имеет три решения х = 4; 5; 8.

Пример. Если бы путешественник проезжал в день на 20 км больше, чем он проезжает, то он бы за 8 дней проехал расстояние меньшее 1000 км. А если бы он проезжал в день на 2 км меньше, чем он проезжает, то за 10 дней он бы проехал более 1000 км. Какова его дневная скорость?

Обозначив дневную скорость путешественника через х км/день, получаем систему неравенств:

−+1000)2(10

1000)20(8

х

х

Решив систему неравенств, получаем: 102 х 105. Любое значение х из указанной области удовлетворяет всем условиям задачи.

Приведем другой пример. Пример. Школьник, переклеивает все свои марки в новый альбом. Если

он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист окажется пустым. Если школь-нику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Пусть в альбоме m листов, а у школьника имеется N марок. Тогда урав-нение и неравенства этой задачи составляются следующим образом.

Условие задачи Уравнение, неравенство Если школьник наклеит по 20 марок на лист, то ему не хва-тит альбома (марки останутся) Если школьник наклеит по 23 марки на один лист, то, по крайней мере, один лист окажется пустым (марок не хватит) Если школьнику подарить такой же альбом, в котором на каждом листе по 21 марке, то всего у него будет 500 марок

20m N

23(m-1) ≥ N

21m + N = 500

54

Таким образом, в этой задаче имеется одно уравнение и два неравенства. Выразим N из уравнения и подставим в каждое из неравенств:

20m 500 – 21m, 23(m - 1) ≥ 500 – 21m.

Учитывая, что m – целое число, из первого неравенства этой системы на-ходим, m ≤ 12, а из второго, что m ≥ 12.

Сравнивая между собой результаты, получаем m = 12. Значит в альбоме 12 листов.

Решение данной задачи получается не только при помощи неравенств, но и с существенным использованием того факта, что неизвестное в задаче – целое число. Только это условие позволило получить единственное решение.

Это объясняется тем, что построенная алгебраическая модель зачастую отражает задачу лишь приближенно и для правильного решения ее требуется уточнить.

Задачи на составление неравенств целесообразно вводить сразу после то-го, как учащиеся изучили решение неравенств, систем неравенств. Подобные задачи мощный инструмент развития учащихся, который учителю необходимо всеобъемлюще использовать и не ограничиваться лишь задачами из учебника.

Задания для практических занятий

1. Записать, используя знаки неравенства, предложения: а) Сегодня в Москве 0 0С, а в Биробиджане температура (t 0С) не выше; б) Вода поднялась на высоту (h м), не меньшую 5 м; в) Завод получил прибыль за год (р руб.) не менее m руб.; г) Длина разбега (s м) самолета при взлете более 80 м; д) Скорость (v км/ч) движения автомобиля в городе не более 60 км/ч; е) Стоимость покупки (k руб.) менее 1000 руб.

2. Решите задачу на сравнение двух выражений Два мальчика купили одинаковое число марок. Первый выбрал все марки

по 5 коп. Второй половину марок купил по 3 коп., а остальные – по 6 коп. Ка-кой мальчик истратил денег больше?

3. Какие свойства числовых неравенств используются при решении задачи? а) Сколько стоит книга, если 10 таких книг дороже 11 руб. а 9 книг де-

шевле 10 руб.? б) За 8 рейсов автобус перевез больше 185 пассажиров, а за 15 рейсов –

меньше 370 пассажиров. Сколько мест в автобусе, если при каждом рейсе авто-бус перевозил ровно столько пассажиров, сколько мест в автобусе?

4. Решите задачи при помощи неравенств. а) Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 кон-

тейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров? б) Для перевозки животных было выделено некоторое число вагонов, из

расчёта разместить в каждом по 12 животных. На станции часть животных сда-

55

ли, а оставшихся разместили так, что 2 вагона оказались лишними, при этом число животных в каждом вагоне стало простым и на 14 больше нового числа вагонов. Сколько животных было первоначально?

в) Прибывших на парад солдат планировали поставить так, чтобы в каж-дом ряду стояло по 24 человека. Но в действительности не все прибывшие смог-ли участвовать в параде, и их перестроили так, что число рядов стало на два меньше, а число человек в ряду на 26 больше нового числа рядов. Если бы все солдаты участвовали в параде, то их можно было бы построить так, что бы число рядов было равно числу человек в ряду. Сколько солдат прибыло на парад?

г) Бригады рабочих получали одежду на складе по два комплекта на каж-дого человека. Каждая бригада получила на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой выдавали по 12 комплек-тов, то одежды на всех не хватило бы. Сколько комплектов было на складе?

д) Токарю необходимо сделать 90 дет., ученику – 35. Первые 30 дет. То-карь сделал с производительностью, вдвое больше производительности учени-ка. Изготавливая остальные 60 дет., он делал еще на 2 дет. в час больше и за-кончил свою работу более чем на час позже ученика. Однако, если бы токарь и первые 30 дет. делал с такой же производительностью как оставшиеся 60, то он закончил бы работу не ранее чем за 30 мин. после ученика. Какова производи-тельность ученика?

е) В контейнере находятся коробки и ящики общим числом более 16. Ес-ли вдвое увеличить количество коробок и на 20 – количество ящиков, то ящи-ков будет больше, чем коробок. Если же, не меняя количество коробок. Удво-ить количество ящиков, то их будет все-таки меньше, чем коробок. Сколько ко-робок было в контейнере?

56

ТЕМА 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОГРЕССИИ

План лекции: 1) Арифметическая прогрессия; 2) Геометрическая прогрессия; 3) Смешанные задачи на прогрессии. 1. Арифметическая прогрессия. - решение задач, в которых используются определение и свойства ариф-

метической прогрессии; Пример. Курс воздушных ванн начинают с 15 мин в первый день и увели-

чивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы дос-тичь их максимальной продолжительности 1ч 45мин?

Решение: а 1 = 15; d = 10; а n = 105; n = ? а n = а 1 + (n - 1)d; 105 = 15 + (n - 1)10; n = 10 - решение задач на сумму n первых членов арифметической прогрессии. Пример. (ЕГЭ - 2004) Группа туристов в первый день путешествия

прошла 10 км. Далее туристы решили ежедневно преодолевать на 5 км боль-ше, чем в предшествующий день. В результате они преодолели расстояние 450 км. Сколько дней туристы были на маршруте, если в течение этого времени 8 дней отдыхали?

Решение: а 1 = 10; d = 5; S n = 450; n = ?

S n = naa n

21 +

; а n = а 1 + (n - 1)d; S n = ndna

2

)1(2 1 −+;

450 = nn

2

5)1(102 −+⋅ ;

900 = (20 + (n - 1)5)n; 5n 2 + 15n – 900 = 0; n 2 + 3n – 180 = 0; положительный корень уравнения = 12 12 + 8 = 20 – дней туристы были на маршруте. 2. Геометрическая прогрессия - решение задач, в которых используются определение и свойства гео-

метрической прогрессии; Пример. Вкладчик 1 января 1991г. внес в сберегательный банк 3000 р.

Какой станет сумма его вклада на 1 января 1993 г., если сбербанк начисляет ежегодно 5% от суммы вклада?

Решение: 1b = 3000; q = 1,05; 3b = ?

nb = 1b 1−nq ; 3b = 1b 2q ; 3b = 205,13000 ⋅ = 3307,5

57

- решение задач на сумму n первых членов геометрической прогрессии; Пример. Почтальон заметил, что за 5 дней до праздника число разноси-

мых им писем увеличивается ежедневно в 1,5 раза. Сколько всего писем разне-сет почтальон за 5 предпраздничных дней, если в первый из них он разнес 32 письма?

Решение: 1b = 32; q = 1,5; S 5 = ?

q

qbS

n

n −−

=1

)1(1 ; 5,11

)5,11(32 5

5 −−=S = 422

3. Смешанные задачи на прогрессии (задачи, при решении которых ис-пользуется свойства арифметической и геометрической прогрессии)

Пример. Коля, Петя, Миша и Ваня ловили рыбу. Оказалось, что количе-ства рыб, пойманных Колей, Петей и Мишей, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Если бы Коля поймал на две рыбы меньше, а Ваня – на двенадцать рыб меньше, то количество рыб пойманных Колей, Петей, Мишей и Ваней, образовали бы в указанном порядке арифметическую прогрес-сию. Сколько рыб поймал Миша, если известно, что он поймал на восемна-дцать рыб меньше Вани?

Решение: Обозначим через х, у, z, u количества рыб, пойманных соответ-ственно Колей, Петей, Мишей и Ваней. По условию задачи числа х – 2, у, z, u – 12 образуют арифметическую прогрессию и u = z + 18; разность арифметиче-ской прогрессии равна (z + 18) -12 – z = 6. Следовательно, у = х – 2 +6 = х + 4 и z = у + 6.

Так как первые три числа образуют геометрическую прогрессию, то хzу =2 . Итак (z - 6) 2 = z(z - 10). Отсюда находим, что z = 18. Ответ: Миша поймал 18 рыб.

Задания для практических занятий

1. Решите задачи на нахождение суммы n первых членов арифметической прогрессии

а) Два путешественника, расстояние между которыми 168 км, движутся навстречу друг другу. Первый проходит в первый день 3 км, во второй 5 км и т.д. каждый день на 2 км больше, чем в предыдущий. Второй проходит в пер-вый день 4 км, во второй 6 км и т.д., каждый день на 2 км больше, чем в преды-дущий. Определите через сколько путешественники встретятся.

б) Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предпри-ятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Да-лее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану 11000 приборов?

2. Решите задачи, в которых используется определение геометрической прогрессии

а) Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 90%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800 руб.?

58

б) Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

в) Алеша, Боря и Вася покупали блокноты и карандаши. Алеша купил 4 карандаша и 2 блокнота, Боря – 6 карандашей и блокнот, Вася – 3 карандаша и блокнот. Сколько стоит блокнот, если известно, что карандаш стоит 3 к., а сум-мы денег, потраченные Алешей, Борей и Васей, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию?

3. Решите задачи на нахождение суммы n первых членов геометрической прогрессии

а) При поступлении на работу будущий сотрудник был ознакомлен с ус-ловиями оплаты: в первый год его заработок составит 12 000 руб, а затем каж-дый год будет увеличиваться на 20% по сравнению с предыдущим. Сотрудник планирует проработать на этом предприятии не менее 10 лет. Сколько он зара-ботает?

б) Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, потом передумал и возвратил ее продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь». Тогда продавец предложил другие условия: «Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди; лошадь по-лучишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь

дай мне всего 4

1

коп., за второй 2

1

коп., за третий – 1 коп и т.д.» Покупатель со-гласился. Насколько покупатель проторговался?

4. Решите смешанные задачи на прогрессии а) Между работником и работодателем должен быть заключен трудовой

договор. Предлагаются три варианта оплаты труда: - работнику в первый день работы выплачивают 4 р., во второй – 5 р., в

третий – 6 р. и т.д.; - работник получает в первый день 2 р., во второй – 4 р., в третий – 6 р., в

четвертый – 8 р. и т.д.; - работник в первый день получит 2 коп., во второй 4 коп., в третий 8

коп., в четвертый 16 коп. и т.д. На какие условия выгодно согласиться работнику, а на какие работодателю? б) Три брата, числа лет которых образуют геометрическую прогрессию,

делят между собой некоторую сумму денег пропорционально возрасту. Если бы ту же сумму денег они разделили пропорционально своему возрасту через три года, то младший брат получил бы на 105 р. больше, а средний - на 15 р. боль-ше, чем теперь. Сколько лет каждому из братьев, если известно, что разница в возрасте между старшим и младшим равна 15 годам?

59

ТЕМА 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ

НЕКОТОРЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

В особую группу можно выделить задачи, для решения которых необхо-димо найти экстремум той или иной функции, т.е. определить, при каких зна-чениях неизвестного функция достигает наибольшего или наименьшего значе-ния. Отличительная особенность каждой такой задачи состоит в том, что одно или несколько условий в ее формулировке, позволяющие получить либо до-полнительное уравнение, либо выделить единственное решение из многих воз-можных, составляют задачу на отыскание наибольшего или наименьшего зна-чения некоторой функции.

Впервые с задачами на нахождение наибольшего и наименьшего значе-ния выражения учащиеся знакомятся в 8 классе при изучении темы «Квадра-тичная функция». Но в учебниках таких задач недостаточно. Позже в 11 классе задачи данного вида встречаются при изучении темы «Применение производ-ной к исследованию функции».

Рассмотрим задачу, которая может быть решена двумя способами. Пример. Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада дела-

ет в день 200 деталей, вторая – на m деталей меньше, чем первая, а третья – на 5m деталей больше чем первая. Сначала первая и вторая бригада, работая

вместе, выполняют 5

1 всей работы, а затем все три бригады, работая вме-

сте, выполняют оставшуюся часть. На сколько деталей в день меньше долж-на делать вторая бригада, чем первая, чтобы вся работа была выполнена ука-занным способом как можно скорее?

Из условия задачи понятно, что вторая бригада делает в день (200 – m) деталей (0 m 200), а третья бригада: (200 + 5m) деталей. Если обозначить че-рез Q общее количество деталей, которое нужно сделать, то время всей работы t слагается из двух частей t 1 - времени работы отдельно первой и второй бригад и t 2 - времени совместной работы бригад.

t = t1 + t 2 t1 =

mQ

−+2002005/ , t 2 =

mmQ

52002002005/4

++−+

t = 225060000

110

5200200200

5/4

200200

5/

mm

Q

mm

Q

m

Q

−+=

++−++

−+

Таким образом, время всей работы является функцией только одной пе-ременной m.

Найдем, при каком значении m функция t (m) достигает минимума. Это можно сделать двумя способами.

1-й способ: Поскольку числитель дроби t (m) не зависит от m, то значение этой функции определяется величиной знаменателя, являющегося квадратич-ной функцией t (m) будет наименьшим, если знаменатель дроби будет наи-

60

большим, т.е в вершине параболы при m = 125, причем это значение находится в допустимом для данной задачи интервале.

2-й способ: Найдем производную функции t (m) и приравняем ее к нулю. t / (m) =

2)225060000(

)125(220

mm

mQ

−+

− = 0

Из этого уравнения находим m = 125. При m 125 t / (m) 0, при m 125 t / (m) 0, значит при m = 125 функция t (m) достигает минимума.

Итак, работа будет выполнена за наименьшее время, если вторая бригада будет делать на 125 деталей в день меньше, чем первая.

Ответ: m = 125. Рассмотрев данную задачу, можно определить общую закономерность ре-

шения. Сначала надо составить выражение, изменение которого позволит дать ответ (в рассмотренной задаче – время выполнения работы). Затем вводится пе-ременный параметр, от которого это выражение зависит. Таким образом, полу-чаем функцию, для которой находим наибольшее или наименьшее значение.

Отдельно можно выделить задачи, условие которых приводит к уравне-нию, связывающему вводимые неизвестные с их производными. Задачи такого вида так же встречаются в школьном курсе 11 класса.

Например, скорость )(/ tm размножения бактерий связана с массой )(tm бактерий в момент времени t уравнением )(/ tm = k )(tm , где k - положительное число, зависящее от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого урав-нения являются функции

ktСetm =)( . Постоянную С можно найти из условия, что в момент t = 0 масса бакте-

рий 0m известна. Тогда CCemm k === 00

)0( , поэтому

ktemtm0

)( = .

Рассмотрим пример такой задачи. Пример. Студентка биологического факультета проводила экспери-

менты, по выращиванию бактерий в питательной среде. При этом она заме-тила, что скорость увеличения числа бактерий в любой момент времени про-порциональна числу бактерий, которое имеется в этот момент времени, при-чем коэффициент пропорциональности равен 0,5 (время измеряется в часах). По заданию необходимо вырастить колонию бактерий численностью более 20 000 единиц. Каково наименьшее время выращивания колонии бактерий ука-занной численности, если известно, что первоначально в питательную среду было помещено 200 бактерий?

Обозначим численность колонии бактерий в произвольный момент вре-мени t через N (t). Тогда скорость роста колонии определяется производной N / (t) числа бактерий по времени. Условие задачи приводит к уравнению

N / (t) = 0,5 N(t), которому должна удовлетворять функция N (t).

61

В это уравнение входит неизвестная функция и ее производная. Такое уравнение является примером дифференциального уравнения, решением кото-рого будет функция

N (t) = Се t5,0 , где С – произвольный постоянный коэффициент. Для определения неизвестного коэффициента С используется начальное

условие, имеющееся в задаче, а именно при t = 0 число помещенных в среду бактерий N(0) = 200. Откуда находим, что С = 200. Таким образом, число бак-терий в питательной среде меняется по закону N (t) = 200е t5,0 .

По условию задачи необходимо найти наименьшее время t такое, что N (t) ≥ 20000. Следовательно, 200е t5,0 ≥ 20000, t ≥ 2ln100.

Ответ: 2 ln100 ≈ 9,2ч. Другим примером применения дифференциального уравнения является

задача о радиоактивном распаде вещества. Если )(tm ′ - скорость радиоактив-

ного распада в момент времени t , то )(tm ′ = )(tkm− , где k - постоянная, за-висящая от радиоактивности вещества. Решением этого уравнения являются функции ktСetm −=)( .

Если в момент времени t масса равна 0

m , то 0

mC = и поэтому

ktemtm −=0

)( .

На практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, т.е промежутком времени, в течение которого распада-ется половина исходного вещества.

Пусть Е – период полураспада, тогда при t = Т получаем ktemm −=

00

2,

откуда T

k2ln= .

Приведенные примеры задач являются типовыми школьными задачами на наибольшее и наименьшее значение.

Задания для практических занятий

1. Используя условие задачи, составьте функцию, для отыскания наи-большего или наименьшего значения, определите промежуток изменения ее ар-гумента и решите задачу.

а) В контейнер упакованы изделия двух типов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тыс.руб. и 12 кг для первого типа и 600 тыс.руб. и 15 кг для второго типа. Общий вес изделий равен 321 кг. Определить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере изделий.

б) На странице текст должен занимать 384 см 2 . Верхние и нижние поля должны быть по 3 см, а правые и левые – по 2 см. Если принять во внимание только экономию бумаги, то каковы быть должны оптимальные размеры страницы?

62

в) Некто нанял пароход для перевозки грузов на расстояние 1000 км. Он предлагает плату хозяину парохода в размере 1500 золотых монет, но требует вернуть 9 золотых монет за каждый час пребывания парохода в пути. Предпо-лагается, что пароход будет двигаться с постоянной скоростью. Если эта ско-рость будет равна υ км/ч, то в конце пути хозяин обязан выплатить команде премию, равную 10υ золотых. С какой скоростью хозяин должен вести паро-ход, чтобы заработать максимальное число золотых?

2. Решите задачу. а) Бригада рыбаков отправляется на катере из пункта А вниз по течению

реки в пункт В, находящийся от А на расстоянии 144 км, а затем поднимается против течения реки в пункт С, расположенный на расстоянии 81 км от пункта В. При какой скорости течения реки время поездки будет наименьшим, если собственная скорость катера равна 35 км/ч?

б) Расстояние от песчаного карьера до кирпичного завода, расположенного на прямолинейной магистрали, равно 30 км. Песчаный карьер удален от магист-рали на 24 км. Строительный кооператив взял подряд на строительство подъезд-ной дороги от карьера до автомагистрали. На каком расстоянии от кирпичного завода должна находиться развилка дорог, чтобы время доставки грузов от карь-ера до завода было наименьшим, если известно, что автомашины могут разви-вать на магистрали скорость 52 км/ч, а на подъездной дороге – 20 км/ч?

в) Между двумя портами, удаленными друг от друга на расстоянии 1200 км, с постоянной скоростью курсирует теплоход. Затраты на рейс в одном на-правлении слагаются из двух частей. Первая часть, связанна с обслуживанием пассажиров, пропорциональна времени нахождения теплохода в пути, а другая, обусловлена стоимостью топлива, пропорциональна кубу скорости движения. Найти скорость, с которой должен идти теплоход, чтобы затраты на рейс были минимальны, если известно, что при скорости 90 км/ч затраты равны 11,61 тыс.руб., причем стоимость обслуживания пассажиров составляет 16/27 стои-мости топлива.

г) Требуется построить некоторое количество одинаковых жилых домов с общей площадью 40000 м 2 . Затраты на постройку одного дома складываются из стоимости фундамента, пропорционально корню квадратному из величины жилой площади. Строительство дома на 1000 м 2 обходится в 184,8 тыс. руб., причем в этом случае стоимость наземной части составляет 32 % стоимости фундамента. Определить, какое количество домов нужно построить, чтобы стоимость затрат была наименьшей, и найти эту стоимость.

3. Приведите пример практической задачи сводящейся к решению диф-ференциального уравнения.

4. Решите задачу, сводящуюся к решению дифференциального уравнения Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась до 0,999 г. Через

сколько лет масса радия уменьшится до 0,5 г?

63

ТЕМА 9. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ, ИХ КЛАССИФИКАЦИИ

Проблему обучения исследовательской деятельности школьников можно рассматривать через обучение решению специальных исследовательских задач или через дополнительную работу над задачей, вследствие чего подготовка к исследовательской деятельности учащихся может продуктивно проходить на задачной основе, так как задача является единицей учебной деятельности. [8]

По мнению Г.Д.Бухаровой задача – это объект мыслительной деятельно-сти, в котором в дидактическом единстве представлены составные элементы (предмет, условие и требование), а также получение некоторого познавательно-го результата возможного при раскрытии отношения между известными и не-известными элементами задачи [5].

Представим определение исследовательской деятельности через подход, предложенный Г.А. Баллом, который предлагает различать следующие понятия:

• задача как ситуация, требующая от субъекта некоторого действия; • задача как ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, на-

правленного на нахождение неизвестного на основе использования его связи с известным (мыслительная задача);

• задача как ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, на-правленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным в условиях, когда субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия [8].

К учебно-исследовательским задачам В.И. Андреев относит те задания, которые представляют собой, систему логически связанных учебных проблем, позволяющими в совокупности с указаниями и минимумом учебной информа-ции открыть новые знания об объекте исследования, способе, приеме или сред-стве исследовательской деятельности [4].

По определению В.В. Успенского, исследовательская задача- «...это такие вопросы и задания учителя или вопросы, вытекающие из личных познаватель-ных побуждений ученика, которые вызывают его активную творческую позна-вательную деятельность, направленную на решение познавательных проблем, на самостоятельное открытие, осуществляемое путем постановки опытов, сбора фактов, анализа и обобщения знаний. Наличие поисковой ситуации, требующей от учащегося самостоятельного разрешения, обоснования и доказательства, явля-ется главным признаком исследовательской задачи» [8].

Обобщая данные определения исследовательских задач, мы можем сфор-мулировать общее определение данного понятия.

Исследовательская задача – это тип задачи, направленный на разрешение проблемы, определенной в ходе анализа возникших познавательных или прак-тических трудностей, основанных на обосновании и доказательстве гипотезы, требующей самостоятельного поиска решения задачи.

Главным отличительным признаком исследовательской задачи от обыч-ной задачи является отсутствие алгоритма ее решения, а так же максимальная

64

самостоятельность при выполнении учащимися. Различают несколько степеней проблемности исследовательской задачи: 1) первая степень проблемности задачи свидетельствует о том, что способ

решения задачи ученику известен, поскольку подобные задачи им решались и известен алгоритм их решения;

2) вторая степень проблемности означает, что способ решения необхо-димо вывести из известных способов, например, комбинированием;

3) третья степень проблемности характеризуется тем, что способ ее реше-ния неизвестен учащимся; поиск решения представляет собой творческий про-цесс, но результат обладает субъективной новизной;

4) четвертая степень проблемности означает, что способ решения неиз-вестен в пределах области научных знаний; поисковая деятельность приобрета-ет в этом случае истинно исследовательский характер и результаты решения задачи обладают объективной новизной [4].

Существуют различные классификации исследовательских задач, в дан-ной работе приведем две классификации.

И.П. Калошина [4] классифицирует творческие исследовательские задачи на основе деятельного подхода:

• задачи на разработку неизвестного предмета деятельности; • задачи на разработку орудия деятельности; • задачи на разработку операций деятельности; • задачи на разработку характеристик продукта деятельности; • различные виды комплексных задач на совместную разработку всех

указанных компонентов или нескольких. Другую классификацию предлагает И.И. Ильясов [4] он отмечает, что в по-

знании решаются пять видов задач и тем самым, получается, пять видов знаний: • познание внешних, атрибутных свойств предметов; • познание зависимости между свойствами; • познание связей или функций предмета в более сложном целом; • познание зависимости между связями или функциями предметов; • познание внутреннего строения объекта, состава элементов и структу-

ры связи элементов как детерминант внешних свойств объектов (качественных и количественных) [4].

При сравнении данных классификаций исследовательских задач, можно отметить, что классификация, предложенная И.И. Ильясовым является наибо-лее наглядной и полной и лучшим образом ей можно воспользоваться на уроках математики при развитии исследовательских умений учащихся. Так же можно отметить, что если под вторую классификацию на уроках математики подби-рать последовательно задачи, то будет организованна познавательно-исследовательская и учебно-исследовательская деятельность.

Проведем подбор задач исследовательского характера под классифика-цию, предложенную И.И.Ильясовым. Под каждый вид исследовательских задач будет подобрано по два задания. Одну из задач разберем поэтапно по схеме: постановка проблемы (на данном этапе проводится работа над текстом задачи,

65

учащиеся анализируют условие и требование, после чего определяются с тем, что им нужно найти или доказать) – выдвижение гипотезы (этот этап предпо-лагает предложения учащимися способов решений или доказательств задачи) – доказательство или опровержение гипотезы (школьники выполняют отбор ги-потез, т.е. проверяют их). При такой работе над задачей учитель выступает ор-ганизатором самостоятельной поисковой деятельности учащихся.

1. Познание внешних, атрибутных свойств предметов: Задача №1. На рис. 5 приведены четырехугольники с диагоналями у не-

которых из них. Равные элементы (углы, отрезки) и прямые углы отмечены. Установите, о каких четырехугольниках (по данным характеристикам опреде-лить название фигуры) можно с уверенностью сказать, что у них: 1) противоположные стороны попарно параллельны; 2) все стороны равны; 3) все углы прямые; 4) все углы прямые и все стороны равны.

Рисунок 5

Постановка проблемы. Нужно указать геометрические фигуры на рисунке обладающие

определенными свойствами. Выдвижение гипотезы. При выполнении данного задания ученикам потребуется обобщить все

знания по теме четырехугольники. Ученики будут выдвигать гипотезы, у каких геометрических фигур все углы равны, или все стороны равны и т.д., исходя из этого, будут устанавливать названия для каждой из приведенных геометриче-ских фигур.

Данное задание развивает такие исследовательские умения как: умение выдвинуть гипотезу, умение подобрать контрпример для опровержения невер-ного общего утверждения и подтверждающий пример для доказательства част-ного утверждения.

Задача №2. Если на сторонах параллелограмма ABCD вне его построить равносторонние треугольники ABK, BCL, CDM и DAN, то четырехугольник KLMN окажется параллелограммом.

66

Выясните, какой вид будет иметь полученный параллелограмм KLMN, если данный параллелограмм ABCD будет: 1) прямоугольником; 2) ромбом; 3) квадратом.

При решении данной задачи развиваются такие исследовательские уме-ния как: умение выдвинуть гипотезу, умение интерпретировать полученный математический результат, умение применять полученные знания и способы действия в дальнейшей работе.

2. Познание зависимости между свойствами: Задача №1. Все ли правильно в рассуждениях при решении задачи? В

прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН (рис.6). Катет ВС на 3 больше, чем ВН, а отрезок АН равен 12. Найдите катеты АС и ВС.

Решение. Обозначим длину BC через x. Тогда 3−= xBH . Так как HBAHCH ⋅=2 , то )3(122 −= xCH . Из треугольника ВСН имеем:

( ) 663612)3(123 22222 −=−=+−=−−=−==− xxxxxxCHBCBHx . Итак, получили уравнение 63 −=− xx . Оно не имеет корней. Следова-

тельно, такого треугольника не существует.

Рисунок 6

Постановка проблемы. Необходимо исправить ошибку в решении. Выдвижение гипотезы. Учащиеся анализируют приведенное решение задачи, опираясь на имею-

щиеся знания, теоретический и практический опыт, на интуицию и предлагают варианты, где могла быть, допущена ошибка.

Рассмотрим примеры гипотез: 1) ошибка в чертеже – анализируем чертеж; 2) арифметическая ошибка – проверяем вычисления; 3) в применении свойств, теорий – проверяем, правильно ли применена в

данной задаче теорема Пифагора, правильно ли использовались свойство моду-ля или определение модуля, правильно ли использовалось утверждение о высо-те прямоугольного треугольника проведенной из вершины прямого угла к ги-потенузе;

4) ошибка в проведенных преобразованиях. Доказательство (опровержение) гипотезы. На данном этапе необходимо выбрать из всех предложенных вариантов

правильный. В нашем случае выполнено преобразование с неверным примене-

67

нием свойств. Ошибка состоит в том, что: ( ) 66 2 −=− xx . Нужно

( ) 66 2 −=− xx . Тогда нужно рассмотреть и уравнение xx −=− 63 , откуда

5.4=x . Следовательно, ВС=4,5, а 162=AC . При решении поставленной задачи в первую очередь развивается умение

осуществлять самоконтроль, умение анализировать, рассматривать объект под разными углами зрения, выдвигать гипотезы и умение проводить доступное до-казательство общих утверждений.

Задача №2. Даны две окружности, касающиеся одной прямой в общей точке (рис. 7). Что можно сказать об отрезках касательных, проведенных из произвольной точки этой прямой к данным окружностям?

А если построить третью окружность, касающуюся двух прежних внеш-ним образом (рис.8), то какие гипотезы можно выдвинуть?

Рисунок 7 Рисунок 8

Примеры гипотез: 1) Если соединить прямыми точки касания окружностей, то получим рав-

носторонний треугольник; 2) Отрезки касательных заключенные между точками касания окружно-

стей и точкой пересечения касательных с окружностями равны; 3) Меньшие дуги, заключенные между точками касания окружностей

равны; 4) Точка пересечения касательных проведенных к окружностям равно-

удалена от точек касания этих окружностей. Главной целью этого задания является развитие умений выдвигать гипо-

тезы и доказывать их. Так же в данной задаче не малую роль играет развитие умений анализировать условие задачи, выполнять наглядные построения, чи-тать чертеж.

3. Познание связей или функций предмета в более сложном целом. Задача №1: Разрезать фигуру, изображенную на рис. 9а), на три части так,

чтобы из них можно было бы получить квадрат. Изображенная фигура состоит из дуги АМВ, которая представляет собой

4

3 окружности радиуса 5 см; дуги CD, AC, BD равны 4

1 той же окружности. На

68

рис. 9 б) пунктиром показана линия разреза. Искомый квадрат показан на рис. 9 в).

Рисунок 9

Постановка проблемы. Каким образом разделить данную фигуру, а затем соединить полученные

части, чтобы получить квадрат. Выдвижение гипотезы. • необходимо проанализировать условие задачи: • учащиеся самостоятельно ищут способы решения данного задания, а

затем предлагают свой вариант. Рассмотрим примеры гипотез: - возможно, диаметр окружности связан со стороной квадрата; (вариант рассмотрен выше) - возможно, фигуру необходимо разделить так (рис. 10)

Рисунок 10

Следует рассмотреть соотношение элементов вновь созданных фигур. Доказательство (опровержение) гипотезы. Для выполнения данного задания каждому ученику можно раздать по не-

сколько шаблонов данной фигуры, чтобы они могли на практике проверить верно, ли они выполнили данное задание.

На данном этапе ведется отбор из всех предложенных вариантов, пра-вильного.

Задача №2. 1) Фигуру изображенную на рис. 11, разрежьте: а) на шесть равных треугольников;

69

б) на две равные фигуры, каждая из которых составлена из трех равных треугольников.

2) Докажите, что фигура, изображенная на рис. 11, равносоставлена с ромбом, один из углов которого равен 1200, а большая диагональ равна 3a.

Рисунок 11

Представленные задачи на познание связей или функций предмета в бо-лее сложном целом направлены на развитие умений работы с чертежом, разви-тие умения выявлять связи между фигурами, попадающие под данный элемент задачи.

Познание зависимости между связями или функциями предметов

Задача №1. На рис. 12 диаграммой Эйлера показаны соотношения между множествами: четырехугольников (Ч), параллелограммов (Па), прямоугольни-ков (П), ромбов (Р) и квадратов (К). Подпишите на рисунке каждое из назван-ных множеств многоугольников.

Рисунок 12

Постановка проблемы. Необходимо соотнести данные множества геометрических фигур и выде-

лить множество, в которое входят все остальные фигуры и т.д. Выдвижение гипотезы. На данном этапе учащимся необходимо вспомнить все свойства четырех-

угольников: параллелограмма, ромба, квадрата, прямоугольника, на основе, ко-торых необходимо расставить на рисунке название каждого множества. Уча-щиеся самостоятельно исследуют каждую геометрическую фигуру из предло-женных, соотносят у каких фигур одинаковые свойства у каких разные и пред-лагают свой вариант решения данного задания.

Доказательство (опровержение) гипотезы. На данном этапе проводится выделение правильного варианта решения

задания.

70

При выполнении данного задания развиваются такие умения как: умение интерпретировать полученный математический результат, умение выдвинуть гипотезу, умение применять полученные знания и способы действия в даль-нейшей работе.

Задача №2. Исследуйте вопрос, на какие шесть треугольников (по площа-ди) делят треугольник его медианы. Ответ: Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольника.

В данной задаче сделан акцент на развитие таких исследовательских умений как умение работать с текстом задачи. Так же при решении представленной зада-чи будет отрабатываться умение выдвигать гипотезы, то есть исследовать вопрос с разных точек зрения, приводить аргументы в пользу своих рассуждений.

Д.В.Клименченко считает, что формировать исследовательские умения можно в процессе решения задач, требующих анализа условий и чертежа. При-ведем примеры таких задач.

Задача №1. Хорды АВ и CD данной окружности пересекаются в точке S. Докажите, что AS:BS = CS:DS.

Рисунок 13

Дано: Из условия задачи имеем: Окружность (O,r); АВ и CD хорды, пересекающиеся в точке S; Отрезки хорд: AS, BS, CS, DS; Доказать: AS:BS = CS:DS. Доказательство:

AS, BS, CS, DS (рис. 13a) могут быть сторонами треугольников. Чтобы вклю-чить эти отрезки в соответствующие треугольники, нужно выполнить дополни-тельное построение. Соединим точки A и C, D и B (рис. 13б). Получим допол-нительный элемент треугольник: –ΔASD, ΔBSD.

Чтобы доказать AS:BS = CS:DS, следует доказать подобие построенных треугольников.

∠=∠∠=∠

BDCCAB

ABDDCA ;

(свойство вписанных углов опирающихся на одну дугу). ΔASD∼ΔBSD (по двум углам, признак подобия треугольников), следова-

тельно DSCSBSAS :: = . Если обратиться к классификации исследовательских умений предложен-

ной В.А. Гусевым, то можно отметить, что при решении данной задачи будут

71

развиваться такие исследовательские умения как: умение выделять элементы задачи, то есть умение работать над текстом задачи, умение находить фигуры, попадающие под данный элемент задачи, умение устанавливать связи между свойствами.

Задача №2. По разные стороны от данной прямой a даны две точки A и B на расстоянии 10 и 4 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до данной прямой.

Дано: А и В лежат по разные стороны от прямой a; BM=AM;

aBC ⊥ , (BC = 4см); aAD ⊥ , AD = 10см

Найти: расстояние от точки М до прямой а. Построим чертеж (рис. 14a):

Рисунок 14а

Проведем aMO ⊥ , и требование задачи сводится к нахождению отрезка MO (рис. 14б).

Рисунок 14б

Для решения данной задачи нужна идея – анализ. Нам нужно найти МО. Что для этого нужно найти (доказать). Ответа на этот вопрос учащимся будет найти сложно. Идея данной задачи заключается в том что: МО является частью средней линии MN треугольника ABK, где aBK // (рис. 14в).

72

Рисунок 14в

Было бы полезнее не подсказывать эту идею учащимся, а подвести уча-щихся к ней. Иногда идея настолько нестандартна, что трудно подобрать наво-дящие вопросы или предваряющую задачу. В данной задаче сформулировать какой-то вопрос, подводящий к идее, трудно. Но можно подвести ученика к идее, попросив построить треугольник с вершинами в точках А и В, где МО бу-дет частью его средней линии.

Дальнейшее решение выглядит так: Построим прямоугольный треугольник АВК со средней линией MN (ри-

сунок 9в). MN = 7см (свойство средней линии треугольника). MO = MN – ON = 7-4=3 см. При построении чертежа, учащиеся еще раз анализируют условие задачи.

При выполнении чертежа у учащихся уже складывается наглядный образ текста задачи, т.е. возникает соответствие между элементами задачи и геометрически-ми фигурами, полученными на чертеже. При решении таких задач, сложность будет заключаться в том, чтобы правильно построить чертеж, увидеть какие дополнительные построения необходимо выполнить. Для учителя, при такой работе над задачей, затруднения будет вызывать, то, как без подсказки напра-вить учеников на правильную идею, как организовать самостоятельный поиск гипотез и проверку их.

При решении данной задачи будут развиваться такие исследовательские умения как: умение выделять элементы задачи, умение находить фигуры, попа-дающие под данный элемент задачи, умение устанавливать связи между свой-ствами, умение интерпретировать полученный математический результат, уме-ние выдвинуть гипотезу, умения применять полученные знания и способы дей-ствия в дальнейшей работе.

Задачи исследовательского характера способствуют активной познаватель-ной деятельности учащихся. При решении таких задач на уроках у обучаемых раз-виваются умения ставить цели, организовывать свою деятельность для их дос-тижения и оценивать результаты своих действий.

73

ТЕМА 10. ЗАДАЧИ СТРАТЕГИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА, ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

В связи с расширением целей обучения и повышением роли задач в их обеспечении в школьный курс математики начали включать задачи, не уклады-вающиеся в традиционную классификацию. К ним можно отнести задачи стра-тегического характера.

Стратегические задачи всегда относили к разделу занимательной матема-тики. Как правило, ученики испытывают затруднения при решении задач стра-тегического характера, выходящие за рамки привычных алгоритмов, даже если для их решения не нужны дополнительные знания. Решение таких задач требу-ет интеграции знаний из различных образовательных областей, конструирова-ния новых способов аргументации, опровержения гипотез, прогнозирования ре-зультатов, планирования исполнения, коррекции, оценки. Задачи стратегиче-ского характера часто бывают включены в тексты олимпиад по математике.

В методической литературе стратегические задачи можно встретить в разделе занимательной математики (С.Ф.Быльцов, Ю.Ф.Фоминых и др.), в ком-бинаторике задачи стратегического характера называются комбинаторными иг-рами (М.И.Башмаков, Б.М.Беккер, В.М.Гольховой, Ю.И.Ионин). Большое чис-ло стратегических задач публикуется в журналах «Математика в школе», «Ма-тематика для школьников». Но разработанной методики обучения учащихся решению стратегических задач нет.

Решение стратегических задач вносит эмоциональный момент в умствен-ную работу, позволяет рассматривать ситуацию решения как проблемную. В процессе решения стратегических задач формируются умения использовать и подмечать общее в частном, выявлять закономерности, развиваются воображе-ние, интуиция, смекалка. Стратегические задачи способствуют формированию у учащихся умения прогнозировать и контролировать ход решения, критически оценивать результаты деятельности.

Стратегическая задача – это игровая ситуация, для которой можно про-считать выигрышную стратегию, т.е. гарантирующую победу за конечное чис-ло ходов при любых соображениях противника. В первую очередь необходимо уяснить, что стратегическая задача заключается в том, чтобы рассчитать все возможные ходы противника, и на каждый его ход найти правильную игру.

За долгие годы деятельности человечества накоплено много игр, которые имеют математическую направленность, являясь одним из богатейших резервов развития учащихся. Хотя в практике школы игры с математическим содержа-нием, как правило, или совсем не используются или используются эпизодиче-ски, чего явно не достаточно для развития учащихся. Поэтому в школьном кур-се обучения математике целесообразно рассматривать различные игровые си-туации.

С точки зрения математики под понятием «игра» понимается упрощенная математическая модель рассматриваемой конфликтной ситуации. В отличие от реального конфликта такая игра ведется по определенным правилам, которые

74

включают возможность выигрыша или проигрыша каждого из участников. По мнению О.К.Тихомирова, участники конфликта пытаются «мыслить за друго-го», что необходимо для предвидения действий противника и планирования собственного поведения. Результат решения мыслительной задачи в условиях конфликтной ситуации «немедленно проверяется критически настроенным противником, который с максимальным старанием стремиться найти ошибку в замыслах другой стороны, чтобы использовать ее своих целях» [8, с. 274].

В стратегической задаче изначально известны цель и условия, наклады-ваемые на процесс достижения цели (правила преобразования ситуации, кото-рые регламентируют перемещение элементов), требуется установить какие дей-ствия надо совершить, чтобы достигнуть цели, необходимо спланировать и описать этот процесс.

Обратимся к характеристике условия стратегической задачи. О.К.Тихомиров выделяет одним из параметров условия – элементы ситуации. По мнению автора, ситуация состоит из набора директивных элементов. Эле-менты условия могут находиться между собой в различных соотношениях. К их числу относятся пространственные отношения (далеко – близко, справа – слева) и функциональные. Последние отношения определяются допустимыми прави-лами преобразования ситуации.

В основе поиска оптимальной стратегии лежит положение о том, что про-тивник также активен и предпринимает все меры для того, чтобы достичь успе-ха.

В любой стратегической задаче есть начальная позиция (ситуация). После каждого хода образуется новая позиция. Позиция, в которой нет ходов, называ-ется заключительной. В задаче стратегического характера определены условия игры:

а) невозможна бесконечная последовательность ходов; б) набор ходов, возможных в любой конкретной позиции, не зависит от

того, чья очередь хода и каким образом ирга пришла к данной позиции. В стратегической задаче никакая последовательность ходов не приведет к

позиции, встречавшейся ранее [1]. В системе функциональных и пространственных отношений проявляются

ситуационные свойства каждого элемента, система характеризует ситуацию в целом.

Среди задач стратегического характера можно выделить следующие ти-пы:

• задачи на симметричную стратегию; • задачи на парную стратегию; • задачи на стратегию непрерывной угрозы; • задачи на стратегию построения числовой последовательности; • задачи на комбинированные стратегии. Приведем примеры решения задач различных типов.

Пример. Две девочки играют в игру – отрывают лепестки у ромашки, имеющей 9 лепестков. За один ход можно отрывать либо один лепесток, либо

75

два лепестка, расположенные рядом друг с другом. Побеждает та девочка, которая оторвала последний лепесток. Кто выигрывает при правильной игре?

Задачи такого типа решаются с помощью симметричной стратегии. Существует класс игр, в которых победителем объявляется игрок, де-

лающий заключительный ход. Правила таких игр таковы, что соперникам при-ходится бороться за то, чтобы общее число ходов оказалось нужной им четно-сти. Если оно четно – выигрывает 2-й игрок, если же нечетно – победит начи-нающий. Здесь и приходит на помощь симметричная стратегия. В ее основе лежит идея копирования ходов противника чаще всего вдоль оси симметрии.

Примерная схема рассуждений по решению задачи приведена в табл. 4.

Таблица 4 Примерная схема вопросов и ответов учителя и ученика

Учитель: Ученик: Итак, у первой девочки есть два возможных варианта своего хода. Какие это варианты? Верно! Давайте рассмотрим случай, когда первая девочка оторвала один лепесток:

Как необходимо оторвать лепестки второй девочке, чтобы все оставшиеся лепестки раз-бить на симметричные части?

Первый вариант – это оторвать один лепе-сток и второй – оторвать два лепестка. Необходимо сделать так:

Верно! И теперь, при любом ходе первой де-вочки, вторая копирует ходы вдоль оси сим-метрии. То есть как? Это мы рассмотрели вариант, когда первая девочка оторвала один лепесток. А если она оторвет два лепестка:

И получим три неоторванных лепестка слева и еще симметричные им справа. Если первая девочка отрывает один лепесток, то вторая также отрывает один лепесток, причем симметрично первой. Если же первая девочка отрывает два лепестка, то вторая также два, и в итоге вторая девочка победит.

76

Как нужно ходить второй?

Вторая девочка применит тогда симметрич-ную стратегию:

И в итоге при любом ходе первой девочки победит вторая девочка.

Пример. Фишка стоит в углу шахматной доски размером 44 × клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на соседнее поле (имею-щее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз на поле, где фишка уже побывала ходить нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре?

Данная задача решается с помощью парной стратегии. Вся игра при такой стратегии разбивается на парные ходы. Если один из

участников сделал какой-либо ход, то ход противника (не обязательно симмет-ричный) должен принадлежать той же паре.

Опишем деятельность учителя и учащихся по решению задачи (табл.5).

Таблица 5 Примерная схема вопросов и ответов учителя и ученика

Учитель: Ученик: В самом начале игры, сколько вариантов хо-да может сделать первый игрок, если фишка стоит в верхнем левом углу? Итак, давайте рассмотрим первый случай, когда первый игрок поставил свою фишку в соседнюю правую:

Первый игрок может поставить фишку либо в соседнюю с угловой правую клетку, либо в нижнюю.

77

Теперь сколько вариантов есть у второго иг-рока?

Второй тоже имеет два варианта, можно так:

Вот теперь и вступает в силу парная страте-гия. Необходимо все клетки игрового поля объединить в какие-то пары. Как это воз-можно сделать? Верно, теперь игрок должен сделать ход, принадлежащий той же, что сделал второй игрок, то есть

И теперь как бы второй игрок не ходил, пер-вый будет делать ходы, которые принадле-жат той же паре. В конечном счете, выиграет начинающий игру.

Рассмотрим случай, когда второй игрок по-ставил фишку следующим образом:

Как необходимо вести себя первому игроку?

Это можно сделать так:

Аналогично, что и в первом случае, все клет-ки игрового поля объединим в пары.

В итоге также выигрывает первый игрок.

Далее рассмотрим случай, когда первый иг-рок ставит фишку на нижнюю клетку, то есть следующим образом:

78

Тогда какие варианты есть у второго игрока? И в том и другом случае, мы сможем разбить на пары, значит и в этом случае победит пер-вый игрок.

Либо так:

Либо так:

Пример. Игра «Морской бой» происходит в квадрате 55× клеток. Какое наименьшее количество выстрелов необходимо сделать, чтобы наверняка ра-нить трехпалубный корабль, вида .

Задачи такого типа решаются с помощью стратегии непрерывной угрозы. Это стратегия, использующая средство создания угроз, требующих не-

медленного отражения. Ее цель – навязать противнику развитие игры в нужном направлении.

Примерная схема рассуждений по решению задачи приведена в табл. 6.

Таблица 6 Примерная схема вопросов и ответов учителя и ученика

Учитель: Ученик: Сначала необходимо выяснить какое количе-ство кораблей данного вида может размес-титься? Верно! Теперь как необходимо выполнять выстрелы?

В квадрате 55× может поместиться кораблей такого типа 8 штук. Так как всего клеток в квадрате 25, а корабль состоит из трех кле-ток, значит, таких кораблей поместиться в квадрате ровно 8. Выстрелы можно выполнять так:

Всего выстрелов 8.

79

Есть еще варианты возможного расположе-ния выстрелов?

Да, есть, но выстрелов будет больше. Вот так:

То есть, получаем 9 выстрелов.

Пример. Играют двое. Они поочередно кладут в кучу любое кол-во кам-ней от 1 до 10. Выигрывает тот, кто доведет количество камней до 200. Кто победит – первый или второй? И как надо играть, чтобы выиграть (т.е. надо найти выигрышную стратегию)?

Для решения данной задачи необходимо найти числовую зависимость, приводящую к выигрышу, т.е. использовать стратегию построения числовой последовательности.

Примерная схема вопросов и ответов учителя и ученика приведена в табл.7.

Таблица 7 Примерная схема вопросов и ответов учителя и ученика

Учитель: Ученик: В данной задаче начнем рассуждать с конца. Какое количество камней мне необходимо ос-тавить, чтобы поставить и победить? Верно! Теперь рассуждая аналогично, получим числовую последовательность. Какую? Значит, какое количество камней необходимо положить первому игроку, чтобы выиграть? А как потом должен вести себя первый игрок?

Если можно ставить любое количество камней от 1 до 10, то в конце необходимо оставить 189 (200-10-1) камней. 189, 178, 167, 156, 145, 134, 123, 112, 90, 79, 68, 57, 46, 35, 24, 13, 2 Необходимо поставить 2 камня. Ему необходимо постоянно ставить такое количество камней, чтобы составить чи-словую последовательность.

Рассмотрим еще одну задачу. Пример. Две девочки отрывают поочередно лепестки у ромашки, за один

ход от 1 до 7 лепестков; выигрывает та, которая отрывает последний или по-следние лепестки. Какой должна быть выигрышная стратегия игры при 13, 14, 16, 17, 20, 25, 30 лепестках?

В процессе рассуждений учащиеся легко замечают, что при 13 лепестках первой девочке необходимо оторвать 5 лепестков. В этом случае у ромашки ос-тается 8 лепестков и сколько бы раз вторая девочка не оторвала, выигрывает первая. При рассмотрении ромашки с 16 лепестками выясняется, что выигрыш-ная стратегия принадлежит второй девочке, поскольку после хода первой, она оставляет у ромашки 8 лепестков. Подробно анализируются и другие случаи,

80

которые для выигрышной стратегии первой девочки могут быть представлены в виде схемы.

Рисунок 15

Учащиеся замечают, что числа 8, 16, 24, 32 и т.д. являются как бы «роковы-ми» для выигрышной стратегии первой девочки. Определяется закономерность и устанавливается, что при значениях чисел, кратных восьми, при правильной стра-тегии игры побеждает второй игрок, какой бы ход ни сделал первый.

Данная закономерность распространяется и на другие задания. Аналогич-ная задача может быть рассмотрена на примере конфет – задача 4.3. В процессе рассуждений устанавливается, что при значениях чисел, кратных восьми, при правильной стратегии игры побеждает второй игрок, какой бы ход ни сделал первый. Выигрышная стратегия первого игрока представляется в виде схемы.

Рисунок 16

В дальнейшем вырабатывается общий алгоритм М: (n + 1) = q (остаток r), )1(0 +≤ nr ; М – общее количество предметов; от 1 до n предметов можно взять за 1

ход; r – количество предметов для 1 хода первому игроку. Заметим, что остаток r показывает выигрышную стратегию первого игро-

ка в начале игры. Если r = 0, то выигрышная стратеги; принадлежит второму иг-року.

81

На занятии предусматривается разбор аналогичных заданий по различным правилам для двух игроков, рассматривается вариант не только с одной сово-купностью предметов, но и с несколькими.

Пример. На шахматной доске 88× двое играют в игру «кошки-мышки». У первого одна фишка – мышка, у второго несколько фишек – кошек. Все фиш-ки ходят одинаково: вправо, влево, вверх или вниз на одну клетку. Если мышка оказалась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с доски. Если кошка и мышка попадают на одну и ту же клетку, то кошка съедает мышку. Играющие ходят по очереди, причем второй передвигает своим ходом всех своих кошек сразу (разных кошек можно при этом сдвигать в разных направ-лениях). Начинает мышка. Она старается спрыгнуть с доски, а кошки стара-ются до этого ее съесть.

а) Пусть кошек всего две. Мышка уже поставлена на какую-то клетку не на краю. Можно ли так поставить кошек на краю доски, чтобы они сумели съесть мышку?

б) Пусть кошек три, но зато мышка имеет лишний ход: в первый раз она делает два хода подряд. Докажите, что мышка сможет убежать от кошек, каково бы ни было начальное расположение фишек.

Чтобы решать данную задачу, воспользуемся принципами различных стратегий, т.е. комбинированной стратегией.

Предложим решение данной задачи: а) Ответ: можно. При любом поло-жении мышки следует поместить кошек так, чтобы мышка находилась на от-резке между ними, параллельном одной из диагоналей доски, и в ответ на лю-бой ход мышки перемещать кошек так, чтобы мышка по-прежнему была между ними на прямой, параллельной диагонали.

б) Проведем через мышку два отрезка, параллельных диагоналям, и ис-ключим клетки этих отрезков. В одной из четырех оставшихся частей доски кошек нет, и мышка должна идти в эту часть по направлению к краю. Ясно, что кошки не смогут ее поймать, так как после любого хода кошек перед мышкой в направлении ее движения будет свободная от кошек часть доски.

82

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Тема: Текстовая задача и процесс ее решения

1. Классификация задач Проанализируйте задачи одного параграфа школьного учебника - по характеру требования; - по характеру объектов. 2. Роль и место задач в обучении математики. Рассмотрите дидактические функции текстовых задач и для каждой под-

берите по три задачи из школьных учебников. 3. Этапы решения задачи. Выберите одну задачу из школьного учебника, укажите объекты данной

задачи и их характеристики, выделите условия и требования, проведите по-этапное решение данной задачи.

4. Методы решения текстовых задач. Выберите задачу из учебника и решите ее несколькими методами.

Тема: Текстовые задачи в школьном курсе

1. Особенности преподавания текстовых задач в 5 – 6 классах. а) Напишите конспект «История использования текстовых задач». б) Подберите и решите три «исторических» задачи. 2. Задачи на составление уравнений и их систем. а) Подберите и решите три задачи из школьных учебников, которые мож-

но решить арифметически, с помощью уравнения и системы уравнений. б) Подберите и решите три задачи с недоопределенными неизвестными. 3. Задачи на составление неравенств и их систем. а) Проанализируйте учебники алгебры 8 класса разных авторов (не менее

трех) в соответствии с классификацией текстовых задач с неравенствами. б) Решите по одной задаче каждого класса. 4. Составьте сюжетную задачу, при решении которой будут использованы

свойства арифметической и геометрической прогрессии 5. Составьте сюжетную задачу на нахождение наименьшего значения

функции, условие которой можно записать в виде функции 652 +−= хху .

83

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется задачей? 2. Каковы основные цели решения текстовых задач в школьном курсе

математики? 3. Какие функции задачи выполняют в учебном процессе? 4. Какова структура текстовой задачи? 5. Что называется условием задачи? 6. В какой форме могут быть сформулированы требования к задаче? 7. Какие задачи различают по отношению между условиями и требова-

ниями? 8. Какая задача называется сложной? 9. В чем различие сложной задачи и трудной? 10. Какие задачи выделяют по характеру объектов? 11. Чем отличается практическая задача от математической? 12. Какие задачи бывают по отношению к теории? 13. В чем различие между стандартными и нестандартными задачами? 14. Как можно классифицировать задачи по характеру требований? 15. Что называется «решением задачи»? 16. Какие этапы решения задачи выделяют? 17. Каково назначение каждого этапа? 18. Какие приемы можно использовать при анализе задачи? 19. Чем является схематическая запись задачи? 20. В каких направлениях может проходить поиск способа решения? 21. Какие виды проверки решения задачи существуют? 22. Что значит решить задачу арифметическим методом? 23. Что значит решить задачу алгебраическим методом? 24. Что значит решить задачу комбинированным методом? 25. Что значит решить задачу графически? 26. Как определить уровень сложности текстовой задачи? 27. Как составить задачу? 28. В чем сущность метода составления уравнений? 29. В чем сущность метода Ньютона? 30. В чем сущность метода одной вспомогательной задачи? 31. В чем сущность метода двух вспомогательных задач? 32. Какие выделяют виды задач, связанных с неравенствами? 33. Какова отличительная особенность задач на нахождение наибольшего

и наименьшего значения? 34. Какова общая закономерность решения таких задач?

84

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

В тесте 20 заданий, которые распределены на 2 блока. Блок 1 содержит 10 заданий (А.1 – А.10). Каждому из них даны 4 варианта

ответа, из которых только один верный. Блок 2 содержит 6 заданий практического характера (В.1 – В.6).

Блок 1

А.1. По характеру объектов задачи классифицируются на: а) математические и реальные; б) стандартные и нестандартные; в) простые и сложные; г) на вычисление и построение.

А.2. Определите, в какой форме сформулировано требование задачи. Бутылка «Кока-колы» стоит 20 р., а бутылка «Лимонада» в два раза

меньше. Сколько стоит бутылка минеральной воды, если известно, что ее цена на 3 р. меньше «Лимонада»?

а) утвердительная форма; б) вопросительная форма; в) утвердительная с условием; г) вопросительная с условием

А.3. Решить задачу алгебраическим методом значит: а) найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или

систему уравнений; б) найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифмети-

ческих действий; в) найти ответ на требование задачи составив рекуррентные соотношения; г) выделить предмет задачи и обрисовать модель состояния этого предмета.

А.4. Укажите метод решения задачи 1) 420 – 60 = 360 2) 360 : 2 = 180 3) 180 : 30 = 6

а) синтетический; б) алгебраический; в) геометрический; г) арифметический

А.5. Укажите основное назначение анализа задачи. а) выделить условия и требования; б) наметить последовательность действий; в) найти ответ на требование задачи; г) установить правильность решения.

85

А.6. Первым этапом решения задачи является: а) специальные вопросы; б) анализ задачи; в) схематическая запись задачи; г) исследование задачи.

А.7. Установите, что в результате логико-семантического анализа задачи не устанавливается.

а) какие величины характеризуют количественную сторону явлений, про-цессов;

б) сколько и какие значения каждой величины заданы явно или неявно в задаче;

в) какими соотношениями связанны между собой величины; г) сколько решений имеет задача.

А.8. Укажите структуру текстовой задачи. а) проблема и решение; б) условие и требование; в) данные и неизвестное; г) вопрос и ответ.

А.9. Класс фиксированных объектов, о которых идет речь в задаче опре-деляет:

а) условие задачи; б) предметную область задачи; в) вопрос задачи; г) основное отношение задачи.

А.10. Стандартная задача – это: а) математическая задача, которая решается по аналогии; б) математическая задача, решение которой можно записать в одно дей-

ствие; в) математическая задача, для решения которой имеется готовое правило,

определяющее программу решения; г) математическая задача, которая быстро решается учащимися.

Блок 2

В.1. Постройте схематическую запись задачи. Выделите условия и требо-вания. Задайте другие вопросы к задачи.

Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновре-менно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного – 40 км/ч, дру-гого – 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?

В.2. Предложите пример практической задачи. Переформулируйте ее в математическую.

86

В.3. Составьте обратную задачу к предложенной ниже задаче. На первый танкер было погружено 94% того количества нефти, которое

было погружено на второй танкер. Всего на оба танкера было погружено 97001 нефти. Сколько тонн нефти было погружено на каждый танкер? На сколько тонн нефти больше погружено на второй танкер, чем на первый?

В.4. Составьте всевозможные уравнения при всех различных выборах главного неизвестного и основного условия.

Две бригады должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание. Поэтому вторая бригада закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней могла бы убрать урожай каждая бригада работая отдельно?

В.5. Расставьте этапы решения задачи в порядке их выполнения: 1) поиск способа решения, 2) схематическая запись, 3) анализ задачи, 4) осуществление плана решения, 5) анализ решения, 6) исследование задачи, 7) проверка решения, 8) формулировка ответа. Проиллюстрируйте указанные этапы на примере задачи. Из города А в город Б, расстояние между которыми 347,5 км, вышел ав-

тобус со скоростью 50 км/ч. Часом позже вышел навстречу ему из города Б гру-зовик. Скорость грузового автомобиля составляет 70% скорости автобуса. Че-рез сколько часов после своего выхода грузовик встретит автобус?

В.6. Используя условие задачи, составьте функцию, для отыскания наи-большего или наименьшего значения и определите промежуток изменения ее аргумента.

Из пункта А, находящегося в лесу в 5 км от прямолинейной дороги, пе-шеходу нужно попасть в пункт В, расположенный на этой дороге в 13 км от А. По дороге пешеход может двигаться с максимальной скоростью 5 км/ч, а по ле-су – 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход сможет добраться из пункта А в пункт В?

87

УЧЕБНО–МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература

1. Баженова Н.Г., Диченко И.Г. Классификация и методика решения тек-стовых задач. Учебное пособие. – Биробиджан: Изд-во ДВГСГА, 2005. – 83 с.

2. Далингер В.А. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступи-тельных экзаменах по математике. Выпуск 2. Текстовые задачи решаемые ме-тодом составления уравнений: Учебное пособие. – Омск: Изд-во Омского педу-ниверситета, 1996. – 195 с.

3. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач: Учеб. Пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 288 с.

4. Задачи как цель и как средство обучения математике учащихся сред-ней школы. - Л.: Изд-во Ленинградского пединститута, 1981. - 147с.

5. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I, II. – М.: Просве-щение, 1977.

6. Лурье М.В. Задачи на составление уравнений. Техника решения. Учебное пособие. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 124 с.

7. Методика преподавания математики в средней школе. Частная мето-дика / Сост. В.И.Мишин. - М.: Просвещение, 1975.

8. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2003. – 474 с.

9. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. - М.: Наука, 1970. - 452 с.

10. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов отделений и фа-культетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заве-дений. – М.: Академия, 1997. – 464 с.

11. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, ме-тодика. Учеб.пос. для учителей и студентов педвузов и колледжей. – М.: Школьная Пресса, 2002. – 208 с.

12. Фридман Л. М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. -М.: Просвещение, 1989. -192 с.

13. Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5 – 6 классах: Книга для учителя. – М.: ТИД «Русское слово - РС», 2002. – 208 с.

14. Шевкин А.В. Сборник задач по математике для учащихся 5 – 6 кл. – М.: ТИД «Русское слово - РС», 2003. – 128 с.

15. Шевкин А.В. Текстовые задачи: 7 – 11 классы: Учебное пособие по математике. –М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2003. – 184 с.

88

Дополнительная литература

1. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М.: Педагогика, 1990. -184 с.

2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя матема-тики. - М.: Просвещение, 1990.

3. Далингер В.А., Загородных К.А. Методика организации и проведения самостоятельных работ учащихся в процессе обучения их решению текстовых задач: Книга для учителя. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 1996. -101 с.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания мате-матики / Под ред. Лященко Е. И. - М.: Просвещение, 1988.

5. Методика обучения математике в средней школе: Учеб.пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И.Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

6. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1990. -96 с.

7. Фоминых Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7 – 9 классов: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1999. – 112 с.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Н.Г. Баженова, И.Г. Одоевцева

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ КУРС ПО ВЫБОРУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

СПЕЦИАЛЬНОСТИ 050201-МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Подписано в печать 20.02.2012. Электронное издание для распространения через Интернет.