Click here to load reader

681.511 - jurnal.vniiem.rujurnal.vniiem.ru/text/129/33-36.pdf · распределения. Вторую большую группу составляют методы, ос-

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of 681.511 - jurnal.vniiem.rujurnal.vniiem.ru/text/129/33-36.pdf · распределения....

  • А.С. Фадеев, В.Н. Арсеньев Определение начальных параметров...

    33

    УДК 681.511.4

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ОТДЕЛЯЮЩИХСЯ ОТ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ

    ПО ОГРАНИЧЕННОМУ ЧИСЛУ ПУСКОВ

    Введение Область рассеивания точек падения отделяющих-

    ся от ракеты-носителя (РН) частей (ОЧ) на земной поверхности существенно зависит от разброса пара-метров движения РН относительно расчётных значе-ний в момент разделения. Отклонения параметров движения центра масс от расчётных значений и раз-брос параметров углового движения связаны, в первую очередь, с работой системы управления РН на активном участке траектории и обусловлены, в основном, погрешностями системы управления.

    Оценить характеристики разброса параметров движения РН в момент разделения, которые одно-временно определяют начальные условия движе-ния ОЧ, можно путём моделирования возмущённо-го движения РН на активном участке траектории. Однако в процессе модельного эксперимента не-возможно учесть все факторы, влияющие на рассе-ивание фазовых координат РН относительно номи-нальной траектории. Получаемая таким образом область рассеивания начальных параметров дви-жения ОЧ является достаточно приближённой.

    Объективные данные о рассеивании параметров движения ОЧ в момент отделения от РН можно получить только по результатам пусков РН. При этом должны выполняться два условия:

    – число пусков должно быть достаточно большим; – условия проведения пусков должны быть иден-

    тичными. Условия пусков полагаются идентичными при

    совпадении граничных значений (точек старта и орбит выведения), программ управления, вероят-ностных характеристик параметров системы управления (СУ) РН и массогабаритных характе-ристик полезной нагрузки.

    Число пусков РН в одних и тех же условиях

    может быть ограниченным (например в настоящее время имеются результаты только нескольких пус-ков РН «Союз-2», причём условия их проведения отличаются).

    Для повышения точности оценивания характери-стик разброса начальных параметров движения ОЧ в некоторых заданных условиях пусков необходимо:

    – получить модельные оценки характеристик разброса; – объединить результаты моделирования и ре-

    альных пусков РН и получить апостериорные оценки характеристик разброса начальных пара-метров движения ОЧ.

    Постановка задачи Полагается, что p – мерный вектор вариаций

    фазовых координат РН в момент отделения ОЧ ˆX распределён по нормальному закону

    ˆ ˆ 1/2Δ /2Δˆ

    1φ ; ,2π p

    X X XX

    X M KK

    1ˆ ˆ ˆ

    1exp ,2

    T

    X X XX M K X M

    с математическим ожиданием

    ΔX

    M и ковариаци-

    онной матрицей Δ

    X

    K .

    По результатам моделирования возмущённого движения РН на активном участке траектории полу-чены априорные (расчётные) оценки pM , pK пара-метров

    ΔX

    M , Δ

    X

    K , а по результатам Nс пусков, ко-

    торые представлены выборкой c, 1,iX i N , рассчи-таны опытные (статистические) оценки

    Рассматривается задача оценивания характеристик разброса начальных параметров движения отделяющихся от ракеты-носителя составных частей по ограниченному числу пусков и результатам модельных экспериментов. Предложен новый подход к её решению, позволивший повысить точность оценивания характеристик разброса. Ключевые слова: ракета-носитель, отделяющаяся часть, область рассеивания, разброс начальных параметров, априор-ная информация, ограниченное число пусков, методы оценивания, отношение правдоподобия, апостериорные оценки, точ-ность оценивания.

    А.С. Фадеев(ФГУП «ЦЭНКИ»), В.Н. Арсеньев

    (Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского)

  • Вопросы электромеханики Т. 129. 2012 .

    34

    c

    c1c

    1 ;N

    ii

    M XN

    c T

    c c c1c

    1 .N

    i ii

    K X M X MN

    Число пусков Nc ≥ p. Необходимо получить апостериорные оценки

    Mа и Kа математического ожидания Χ

    M и ковари-

    ационной матрицы Δ

    X

    K вектора вариаций фазовых

    координат РН в момент отделения ОЧ. Существуют различные способы апостериорно-

    го оценивания характеристик СУ [1 – 8]. Группа методов [2, 4, 7, 8], основанная на фор-

    муле Байеса, предполагает знание закона распре-деления априорных оценок. В настоящее время нет универсальных рекомендаций по выбору этого распределения.

    Вторую большую группу составляют методы, ос-нованные на использовании коэффициента значимо-сти априорной информации, определяющего её вес в апостериорной оценке [1, 3, 5, 6]. Проблема выбора этого коэффициента, в общем случае, не решена.

    В основе предлагаемого метода апостериорного оценивания характеристик разброса начальных па-раметров движения ОЧ лежат два опирающиеся на здравый смысл положения. Во-первых, априорная информация не должна противоречить результатам пусков РН. И, во-вторых, вес априорной информа-ции в апостериорной оценке не может превышать значения опытных данных.

    Общий подход к определению апостериор-

    ных оценок. Объединение априорной информации и опытных данных позволяет повысить точность оценивания неизвестных характеристик в том слу-чае, когда результаты модельных исследований, проведенных до пусков РН, не противоречат дан-ным, полученным по результатам пусков. В про-тивном случае привлечение априорной информа-ции может не только не повысить качество оцени-вания, а, наоборот, исказить опытные данные.

    Поэтому полагается, что априорная и опытная информация о характеристиках разброса началь-ных параметров движения ОЧ является однород-ной. Это означает, что априорные оценки Мр и Кр могут рассматриваться как оценки, полученные по некоторой не реальной, а гипотетической выборке из совокупности с законом распределения

    Δ Δ

    ,N X X

    M K . По аналогии с опытными данными

    её можно представить в виде pг , 1,i i N , где Np – неизвестное число гипотетических пусков РН, а в качестве весовых коэффициентов, определяющих доли априорной и опытной информации в апосте-риорных оценках, использовать числа Np и Nc соот-ветственно. Чем ближе априорная информация к результатам пусков, тем больше её вес. При этом всегда Np ≤ Nc.

    Множества результатов реальных пусков РН c, 1,iX i N и гипотетических пусков pг , 1,iX i N

    рассматриваются как выборки из одной генеральной совокупности с нормальным законом распределения.

    Вводится общая функция правдоподобия

    pc гΔ Δ Δ Δ1 1

    φ ; , φ ; , .NN

    i ii i

    L X X

    Χ X X Χ X X

    M K M K (1)

    Поскольку можно представить

    c cc

    c c /2Δ Δ Δ Δ /21

    1φ ; , ( , ; , )(2π)

    N

    i NNi

    X L M K

    Χ X X X X

    Χ

    M K M KΚ

    1 1c c cexp ( ) ;2T

    cN tr K M M

    Χ Χ Χ ΧK Μ Κ Μ

    p pp

    г p p /2Δ Δ Δ Δ /21

    1φ ; , ( , ; , )(2π)

    N

    i NNi

    X L M K

    Χ X X X X

    Χ

    M K M KΚ

    p 1 1p p pexp ( ) ,2TN

    tr K M M

    Χ Χ Χ ΧΚ Μ Κ Μ

    где введены обозначения

    p

    p г1p

    1 ;N

    ii

    M XN

    p T

    p г p г p1p

    1 N

    i ii

    K X M X MN

    , то

    c pc pc c p p /2Δ Δ Δ Δ /2

    1( , ; , ) ( , ; , )(2π)

    N NX N NL L M K L M K

    X X X

    Χ

    M K M KΚ

    1 1c c c cexp ( )2TN tr K M M

    Χ Χ Χ ΧΚ Μ Κ Μ

    p 1 1p p p( ) .2TN

    tr K M M

    Χ Χ Χ ΧΚ Μ Κ Μ (2)

  • А.С. Фадеев, В.Н. Арсеньев Определение начальных параметров...

    35

    Тогда в качестве апостериорных оценок, учитыва-ющих априорную и опытную информацию, берутся

    a a , ,, arg max arg max lnM K L L

    Χ Χ Χ Χ

    Μ K Μ Κ.

    Поскольку функция плотности нормального

    распределения является регулярной в смысле пер-вой и второй производных [9, 10], то апостериор-ные оценки Мa и Ka математического ожидания

    Χ

    M и ковариационной матрицы Χ

    K вектора ва-

    риаций фазовых координат РН в момент отделения ОЧ могут быть определены из необходимых усло-вий максимума L (или lnL)

    a aΔ Δ

    Δ ,

    ln 0;M K

    L

    X X

    X M KM

    a aΔ Δ

    Δ ,

    ln 0.L

    X X

    X M M K KK

    (3)

    Решения этих уравнений имеют вид:

    c c p pac p

    ;+

    N M N MM

    N N

    (4)

    T

    c p c p c pc c p pa 2

    c p c p

    .+ +

    N N M M M MN K N KK

    N N N N

    (5)

    Найденные таким образом апостериорные оценки

    характеристик разброса начальных параметров дви-жения ОЧ фактически являются оценками максималь-ного правдоподобия, полученными по объединённой выборке c, 1,i i N , pг , 1,iX i N и обладают всеми положительными свойствами этих оценок.

    Входящая в формулы (4), (5) величина Np опреде-ляет вес априорной информации, полученной методом моделирования, в апостериорных оценках Мa и Ka.

    Определение числа гипотетических пусков Np. Поскольку априорная информация не должна про-тиворечить результатам пусков РН, а её вес в апо-стериорной оценке не должен превышать значения опытных данных, то полагается

    Np = v*Nc, (6)

    где 0 < v* ≤ 1 – отношение правдоподобия для про-верки гипотезы об однородности априорной и опыт-ной информации (H:

    ΧM = Мр,

    ΧK = Кр) [11]

    c/2* 1 1 1cc p c p c p p c pν= exp .2N TNKK p tr KK M M K M M

    (7)

    Если для заданного уровня значимости γ вели-

    чина z*= –2lnv* меньше критического значения zy (или v* ≥ /2yze ), то принимается решение о воз-можности совместной обработки априорных и опытных данных. Порядок определения критиче-ской границы zy для различных законов распреде-ления подробно рассмотрен в [11].

    Из (6) видно, что вес априорной информации в апостериорных оценках не больше веса опытных данных, т. е. всегда выполняется условие Np ≤ Nc.

    Можно показать, что при ограниченном чис-ле пусков Nc точность апостериорных оценок (4), (5) характеристик разброса начальных па-раметров движения ОЧ выше точности оценок, полученных только по результатам реальных пусков, в среднем в = 1 + v* раз. Чем ближе априорная информация к результатам пусков, тем больше величина отношения правдоподобия (7) и выигрыш в точности оценивания. Повышение точ-ности за счёт использования априорной информа-ции будет максимальным ( = 2) при v* = 1, т. е. при полном совпадении априорных и опытных оценок (Мс = Мр, Кс = Кр).

    Иллюстративный пример

    Рассматривается двумерный вектор

    Χ изо-хронных вариаций фазовых координат СУ РН, распре-делённый по нормальному закону с математическим ожиданием

    ΧM и ковариационной матрицей

    ΧK .

    Известны априорные оценки Мр = [1,2 1,2]T,

    p

    1,44 0,72

    0,72 1,44K

    параметров

    ΧM ,

    ΧK и

    опытные оценки Мс = [1 1]T, c1 0,5

    0,5 1K

    , полу-

    ченные методом максимального правдоподобия по результатам Nc = 11 пусков РН. Необходимо найти апостериорные оценки математического ожидания

    Χ

    M и ковариационной матрицы Χ

    K .

    Значение отношения правдоподобия для про-верки гипотезы об однородности априорной и опытной информации, рассчитанное по формуле (7), v* = 0,4259, а z* = 1,7073.

    При уровне значимости γ = 0,05 граничное зна-чение zy = 14,3446 [11]. Поскольку z* < zy, то гипо-теза об однородности априорной и опытной ин-формации принимается и Np = 0,4259, Nc = 4,6844.

  • Вопросы электромеханики Т. 129. 2012 .

    36

    По формулам (3), (4) определяются апостериор-ные оценки математического ожидания

    ΧM и ко-

    вариационной матрицы Χ

    K :

    Мa =[ 1,06 1,06]T; 1,14 0,570,57 1,14a

    K

    .

    При бóльшем отличии априорных данных от

    опытных, например, при Мр = [0,8 1,2]T,

    p

    0,9 0,6,

    0,6 0,8K

    получаются следующие значе-

    ния: v* = 0,0290, z* = 7,0819, Np = 0,3188. По-скольку условие z*< zy выполняется, то можно положить, что априорные и опытные данные принадлежат к одной совокупности. Однако из-за малого значения величины v* влияние апри-орной информации на апостериорные оценки будет незначительным. Действительно, в дан-ном случае апостериорные оценки параметров

    Χ

    M и Χ

    K имеют вид Мa = [0,99 1,01]T;

    a

    1,00 0,500,50 1,00

    K

    и практически совпадают с

    опытными оценками.

    Заключение Предложенный подход к оцениванию характери-

    стик разброса начальных параметров движения ОЧ позволяет объединить априорную (полученную в процессе моделирования) и опытную (полученную в процессе пусков РН) информацию, и повысить точ-ность оценок соответствующих характеристик.

    При ограниченном числе пусков Nc и некото-

    рых распределениях

    Χ возникают трудности, связанные с определением граничного значения zy, необходимого для проверки однородности априорной и опытной информации. Следует за-метить, что процедура проверки принадлежности всей имеющейся информации к одной генераль-ной совокупности может быть опущена, посколь-

    ку при наличии больших расхождений в данных, полученных до и после проведения пусков РН, величина отношения правдоподобия v*, фактиче-ски определяющая вес априорной информации в апостериорных оценках, близка к нулю. Малое значение отношения правдоподобия и, как след-ствие, числа гипотетических испытаний Np практически исключает влияние априорной ин-формации на результат. Этот момент достаточ-но наглядно продемонстрирован в приведённом примере.

    Литература

    1. Пугачев В. Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик / В. Н. Пугачев. – М. : Сов. радио, 1973. – 256 с. 2. Шаракшанэ А. С. Испытания сложных систем / А. С. Шаракшанэ, И. Г. Железнов. – М. : Высшая шко-ла, 1974. – 184 с. 3. Элементы теории испытаний и контроля технических систем / под ред. Р.М. Юсупова. – Л. : Энергия, 1978. – 192 с. 4. Кринецкий Е. И. Лётные испытания ракет и космиче-ских аппаратов / Е. И. Кринецкий [и др.]. – М. : Маши-ностроение, 1979. – 464 с. 5. Щербаков П. С. Использование априорной информа-ции для уточнения опенок параметров / П.С. Щербаков // Изв. АН СССР. Автом. и телемех. – 1988. – № 5. – С. 80 – 89. 6. Арсеньев В. Н. Метод апостериорного оценивания показателей качества системы при ограниченном объе-ме информации / В. Н. Арсеньев // Изв. вузов СССР. Приборостроение. – 1991. – № 11. – С. 16 – 22. 7. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход / У. Моррис. – М. : Мир, 1971. – 304 с. 8. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их при-менения / С. Р. Рао. – М. : Наука, 1968. – 548 с. 9. Леман Э. Проверка статистических гипотез / Э. Ле-ман. – М. : Наука, 1979. – 408 с. 10. Уилкс С. Математическая статистика / С. Уилкс. – М. : Наука, 1967. – 632 с. 11. Арсеньев В. Н. Новые методы принятия реше-ний при ограниченных экспериментальных данных / В. Н. Арсеньев. – СПб. : ВКА имени А. Ф. Можайского, 1999. – 90 с.

    Поступила в редакцию 02.10.2012

    Александр Сергеевич Фадеев, канд. техн. наук, генеральный директор, т. (495) 631-82-89,

    e-mail: [email protected] Владимир Николаевич Арсеньев, д-р техн. наук, профессор,

    т. (911) 262-02-22, e-mail: [email protected]