7 存储论教学目的与要求

通过对本章的学习，使学生对存储问题的产生、发展和研究现状有较全面的了解，对存储论在现代物流管理中的重要作用有较全面的认识，掌握存储论的基本概念、特点和类型，掌握存储论几种常用预测方法的原理；熟悉确定性和随机性，最佳订货周期和订货数量的方法；能够运用存储论的方法对物流仓储管理问题进行分析、建模并求解。

存储论也称库存论（ Inventor theory ），是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。即在各种供应和需求条件下，在恰当的时间，提出适宜的订货批量来补充库存，使得用于采购、贮存和可能发生短缺的费用损失的总和最少。它是运筹学最早研究的领域之一，是运筹学的一个重要分支。其模型简单，原理也容易掌握，因而从一开始就得到了广泛的应用。随着现代物流的不断发展以及人们对存储认识的不断提高，存储论的研究和运用都在不断地深入和发展。

7 存储论

7.1 存储问题的提出

7.2 存储论基本概念

7.3 确定型存储模型

7.4 随机型存储模型

◎ 知识归纳

◎ 习题与思考题

7.1 存储问题的提出7.1.1 存储问题概述

为了使生产和经营活动有条不紊的进行，一般的工商企业总需要一定数量的储备物资来支持。例如，一个工厂为了连续进行生产，就需要企业物流储备一定数量的原材料或半成品；一超市为了满足顾客的需求，就必须有足够的商品库存；一个银行为了进行正常的业务，需要有一定的资金储备。此外，人们还建立了各种数据库和信息库，存储大量的信息以备检索等等。可见，存储问题是人类社会活动，特别是生产活动中一个普遍存在的问题。通过物资存储，不仅可以支持正常的生产经营活动，还可以有效地调节对物资需求的波动。此外，有时大批量的订货或利用物资季节性价格的波动，可以得到价格上的优惠。 但是，存储物资需要占用大量的人力、财力和物力以及仓储技术，有时甚至造成资源的严重浪费。据有关资料显示， 1976 年美国制造业与贸易业的库存账面值高达2769 亿美元，相当于当年美国国民生产总值的 17% 。到 1993 年底，我国全民库存积压产品达 2700 亿元，到 1995 年初，我国国有企业闲置资产和积压产品高达 5000亿元。可见，大量的库存物资所占用的资金，无论从相对数值还是绝对数值上来看都是十分惊人的。此外，大量的库存物资还会引起某货物劣化变质，造成巨大损失。例如，药品、水果、蔬菜等，长期存放就会引起变质，特别是在市场经济条件下，过多地存储物资还将承受市场价格波动的风险。

那么，一个企业究竟应存放多少物资为最适宜的呢？对于这个问题，很难笼统地给出准确的回答，必须根据企业自身的实际情况和外部的经营环境来决定。若能通过科学的手段，建立一套控制库存的有效方法，使物资的存储保持最高的资源利用率和最低的资金占用量，这对一个企业乃至一个国家来讲，所带来的经济效益无疑是十分可观的。这正是现代存储论所要研究的问题。 早在 1915 年，哈李斯就针对银行货币的储备问题进行了详细的研究，建立了一个确定性的存储费用模型，并求得了最佳批量公式。 1934 年威尔逊重新推导了该公式，并被后人称为经济订购批量公式（简称为 EOQ公式）。 进入 70 年代，人们更加注意到存储问题在促进工业发展中的重要作用。特别是现代物流的发展，把与生产相关的，包括存储、运输等问题在内的物料需求及供应有机地结合起来，使得存储问题的研究进入了一个崭新的时代。这期间出现了 MRP 、MRPⅡ等物流新技术，它通过生产周期、生产批数和生产批量，来计算生产过程的资源需要量，这就大大地简化了按反方向对各个子过程的时间及资源需要量的计算，使存储模型更接近于生产的实际需要。 70 年代末， 80 年代初，在高利率和日本一些成功公司实例的刺激下，物流管理又掀起了一个新的高潮。由于高利率意味着对过量存储的经济惩罚，所以适时生产（ JIT ）这一概念在当时相当流行。 20世纪 80 年代中后期，随着计算机技术的发展和应用，相继出现了条码、射频、专家系统等物流新技术，为供应链一体化管理创造了条件，企业也有了自营与外包的选择。今天，类似“仓储外包”这样的存储案例已经层出不穷了。

7.1.2 现代物流管理中的存储问题

在现代物流管理实践中，企业决策者们为了谋求自身的不断发展，保持自身的竞争优势，必须不断地审时度势，不停地进行选择和做出决定，减少物流成本，特别是存储费用、采购费用和缺货费用。 物流管理中，对物流库存管理一方面要尽量减少物资的存储量，以减少存储费用；另一方面又要尽量减少库存的补充次数，以减少采购费用。然而，这二者是相互矛盾的，对于年需要量一定的物资而言，物流存储量越少补充次数就越多；同时补充次数越少也意味着存储量越多。如何在矛盾双方寻求平衡与统一，是物流库存管理所要解决的关键问题。 值得强调的是研究问题的出发点是揭示存储系统的最基本的方面，以对其关键因素之间的联系有一定的理解。建立一些基本的存储模型并不是要为解决实际问题提供直接可用的结论或计算公式，尽管实际情况偶尔也会很好地适合于某一基本模型，但这毕竟是罕见的。研究这些基本模型是为了从中获取对存储系统的认识与理解，从而获得针对具体系统开发具体模型的能力，更好地解决存储实际问题。 （ 1 ）物流市场仓储外包 物流外包增加、专业化程度提高，第三方物流进一步发展。根据 2006 年全国物流统计调查资料，制造业物流外包特别是销售物流外包明显加大，增长速度在 5%～ 10% ，仓储外包与运输外包的增长速度在 10%～ 15% 。其中， 2005 年企业运输业务委托第三方的比例为 67.1% ，比 2005 年同期提高 2.5 个百分点。由于专业化分工加快，第三方物流市场逐步细分，专业化程度提高。产业细分，形成专业化物流市场、专门化物流公司。如超市物流、家电物流、服装物流、汽车物流、钢铁物流、烟草

物流、医药品物流、粮食物流、冷饮物流、图书物流等。根据 2006 年全国企业物流调查， 2005 年物流业务收入比 2004 年增长 29.2% ，其中，仓储型物流企业增长 43.4% ，运输型物流企业增长 28.8% ，综合服务型物流企业增长 24.9% 。 选择仓储外包，节省物流存储成本，把仓储外包给物流公司的情况日益增多。 （ 2 ）物流仓储优化策略 某超市需要夏季饮料，饮料生产企业根据产品订单情况对原料的需求，分别有淡季、旺季和正常三种情况。问在生产企业对超市的需求没有确定预知的条件下，此时应采购多少吨原料才能使仓储供应中心的总成本最少（不计存储费用）？ 这个问题可看成一个存储问题。即物流仓储中心针对可能出现的三种不同的饮料需求状况，运用三种储量策略来进行应对，通过对各种情况下成本费用的计算，找出最佳的策略来。在现代物流管理中，存储非常看重策略管理。

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7.2 存储论基本概念

为了对存储问题有一个概括性的了解，下面说明存储论中常用的几个基本概念。存储系统是由存储、补充和需求三个基本要素所构成的资源动态系统，其基本形态如图 7.1所示。

图 7.1 存储系统示意图

一般来说，存储量因需求而减少，因补充而增加。

7.2.1 需求

需求即存储的输出，它反映生产经营活动对资源的需要，即从存储中提取的资源量。需求可以是间断式的，也可以是连续式的。

图 7.2 图 7.3

图 7.2 和图 7.3 分别表示 t 时间内的输出量皆为 S W ，但两者的输出方式不同。图 7.2表示输出是间断的，图 7.3表示输出是连续的。 有的需求是确定性的，如物流公司每月按合同出货 10吨。有的需求是随机性的，如超市每日卖出的书可能是 1000 本，也可能是 800 本。但是经过大量的统计以后，会发现每日售书数量的统计规律，称之为有一定的随机分布的需求。随机性需求，要求我们了解需求发生的时间和数量的统计规律。

7.2.2 补充

补充即存储的输入。由于后续生产经营活动的不断进行，原来建立起来的存储逐步减少，为确保生产经营活动不间断，存储必须得到及时的补充。补充的办法可以是企业外采购，也可以是企业内生产。若是企业外采购，从订货到货物进入“存储”往往需要一定的时间，这段时间称为采购时间或备货时间。有时也形象地把这一滞后时间称为拖后时间。从另一个角度看，为了使存储在某一时刻能得到补充，由于滞后时间的存在，必须提前订货，那么这段提前的时间称为提前期。拖后时间可能很长，也可能很短；可能是随机性的，也可能是确定性的。存储论主要解决的问题就是“存储系统多长时间补充一次和每次补充的数量是多少？”对于这一问题的回答便构成了所谓的存储策略。

7.2.3 存储 企业的生产经营活动总是要消耗一定的资源，由于资源供给与需求在时间和空间上的矛盾，使企业储存一定数量的资源成为必然，这些为满足后续生产经营需要而储存下来的资源就称为存储。 存储系统所发生的费用包括存储费用、采购费用和缺货费用，此外还有生产费用等。 （ 1 ）存储费用 存储费用是指储存资源占用资本应付的利息，以及使用仓库、保管物、保管人力、货物损坏变质等支出的费用。 （ 2 ）采购费用 采购费用包括两项费用。一项是订购费用，即每次采购所需要的手续费、电信往来、派人员外出采购等费用，它的大小与采购次数有关而与每次采购的数量无关；另一项是货物的成本费用，它与订货数量有关，如货物本身的价格、运费等。 （ 3 ）缺货费用 缺货费用是指当存储供不应求时所引起的损失，如机会损失、停工待料损失，以及不能履行合同而缴纳的罚款等。它与缺货的数量、时间都有关系。 （ 4 ）生产费 补充存储时，如果不需向外厂订货，由本厂自行生产，这时仍需要支出两项费用。一项是与生产产品有关的费用如材料费、加工费等（可变费用）；另一项是装配费用（或称准备、结束费用，是固定费用），如更换模、夹具需要工时，或添置某些专用设备等属于这项费用。在研究存储问题时，通常也仅考虑装配费用。

7.2.4 策略

所谓存储策略是指决定何时对存储进行补充，以及补充多少数量的方法。存储策略 通常有以下四种类型。 （ 1 ） t循环策略 即不论实际存储状态如何，每隔一个固定时间 t 补充一个固定的存储量 Q 的策略。 （ 2 ）（ t ， S ）策略 即每隔固定时间 t 补充一次，每次补充数量以补足一个固定的最大存储量 S 为准的策略。因此每次的补充量不固定，当实际存储量为 I 时，每次补充量为 Q＝ S－ I 。 （ 3 ）（ s ， S ）策略 即每当存储量 I＞ s 时不补充；当 I≤s 时补充存储，补充量以补足一个固定的最大存储量 S 为准的策略。其每次补充量仍为 Q＝ S－ I 。其中， s 称为订货点或安全存储量、保险存储量、警戒点等。 （ 4 ）（ t ， s ， S ）策略 即每隔固定时间 t盘点一次，查明实际存储量 I ，当存储量 I＞ s 时不补充；当 I≤s 时补充存储，补充量以补足一个固定的最大存储量 S 为准的策略。由于具体条件有差别，因此制定存储策略时，我们要根据实际情况，选择适合自身的存储策略。一个好的存储策略，既可以使总费用小，又可以避免因缺货而影响生产（或对顾客失去信用）。

存储论确定存储策略时，首先是把实际问题抽象为数学模型，在形成模型过程中，对一些复杂的条件要尽量加以简化，只要模型能反映问题的本质就可以了。然后对模型用数学方法加以研究，得出数量的结论，这些结论是否正确，还要拿到实践中去加以检验。如结论与实际不符，则要对模型重新加以研究和修改，存储问题经过长期研究，已得出一些行之有效的模型。从存储模型来看大体上可分为两类：一类叫做确定性模型，即模型中的数据皆为确定的数值；另一类叫做随机性模型，即模型中含有随机变量，而不是确定的数值。

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7.3 确定型存储模型 在存储系统中，如果需求的速度是确定的，就称这类存储模型为确定性存储模型。下面介绍确定性存储模型的几种类型。

7.3.1 不允许缺货存储模型

7.3.1.1 模型一：不允许缺货，补充时间较短 该模型又称为古典经济采购批量模型。为使模型简单、易于理解、便于计算，首先对该类问题做一些假设： （ 1 ）缺货费用无穷大； （ 2 ）当存储降至零时，可立即得到补充，即生产时间或拖后时间很短，近似看作零； （ 3 ）需求是连续、均匀，即单位时间的需求量为常数； （ 4 ）每次订货量不变，订购费不变，或每次生产量不变，装配费不变； （ 5 ）单位存储费不变。

存储量随时间变化情况如图 7.4所示。

图 7.4

一开始的库存量为 Q ，随着均匀的输出，即输出速度 d 为常数，库存量 Q逐渐降为 0 （从 A 到达 B点），此时通过订货，库存可以立即得到补充，达到 Q ，不会出现缺货。这样再继续输出，不断重复。 T 就是以速率 d消耗掉 Q 单位库存所需的时间， 因此 T=Q/d 。 那么，每次订货量应该是多少，相邻两次的订货时间又是多少，才能使总费用最低呢？为此我们引入存储费用函数 C(Q) 的概念。对于无缺货，补充时间为零的存储模型，费用函数中无缺货损失和装配费用。则 C(Q)＝订货费＋存储费＝每次订货费 × 订货次数＋单周期存储费 × 存储次数 假定每隔 T 时间补充一次存储，每次订货量为 Q ，单位货物的存储费用为 C1 ，每次订货费用为 C3 。则在 t 时间内，订货次数 n 应该为总输出量与每次订货量的比值，即 n=t/(dQ)

由图 7.4 可知，在一个存储周期内存储量为 12QT 。则 C(Q)=C3·n+C1·(1/2)QT·n=C3·td/Q+C1·(Q2/2d)·td/Q=C3td/Q+C1

tQ/2 上式中 C 为 Q 的函数。求导，有：

331

23 2

)('';2

)('Q

tdCQC

tC

Q

tdCQC

令 C′(Q)=0 ；且 C″(Q)>0 ；故 C(Q) 有最小值，得

1

32

C

dCQ

式（ 7.1 ）就是著名的经济批量模型（ EOQ ），该式还被称为威尔逊 哈利斯公式或平方根法则等。由此可以得到经济订货周期 t 、计划期内的经济订货次数 n和计划期内最小费用 C(Q) 公式。

1

32

dC

C

d

QT

3

1

2C

dCt

Q

tdn

dCCttQC

Q

CQC td

3113 22

)(

（ 7.2 ）

（ 7.3 ）

（ 7.4 ）

7.3.1.2 模型二：不允许缺货，补充需要一定时间

该模型假设与古典经济采购批量模型相似，只是补充时间不同，即需要一定的时间。这与实际更近了一步。仓储中心实际的库存补充并非总是能在瞬间完成的，有时它是一点点逐渐进行的。如果库存的货物不是从外部一起买入的，而是自己内部生产，情况也是如此。因此，该模型常称为生产批量模型。存储动态如图 7.5所示。

图 7.5

图中 Tp线段表示生产持续的时间，当然在此期间需求也在连续而稳定地进行，生产的产品一部分满足需求，一部分作为存货进入存储过程。设 p表示生产率，且有 p>d 。不失一般性，假设分析过程从“ 0” 库存开始，由于此时生产与需求同时进行，所以库存的净增长率为 p-d ，库存将连续增加 Tp这么长时间，它是生产完一批货物所需的时间。如果仍然用 Q表示生产批量，那么有 Tp=Q/p ，所以最大库存量

S=Tp(p-d)=Q(1-d/p) 。由于生产批量 Q 就是时间 Tp内的生产量 pTp ，同时也是一个存储周期 T内货物的销售量 Td,故有： Q＝ pTp＝ Td ，而存储量为 (1/2)ST ，按前小节求解的方式，利用最大的库存量表达式，即可进一步建立起平均存储量的表达式及费用率方程。将费用率方程对生产批量 Q 求导并令该导数为“ 0” ，可求得经济生产批量 Q 及最低的费用率 C：

)(

2

1

3

dpC

pdCQ

pC

dpdC

p

QdpS

1

3 )(2)(

（ 7.5 ）

(7.6)

)(

2

1

3

dpdC

pC

d

QT

pC

dpdCt

Q

tdn

3

1

2

)(

p

dpdCCt

dptQC

Q

tdCQC

)(2

2

)()( 3113

（ 7.7 ）

（ 7.8 ）

（ 7.9 ）

7.3.2 允许缺货存储模型

7.3.2.1 模型三：允许缺货，补充时间较短

允许缺货且补充时间较短的存储模型，其假设与古典经济采购批量模型的假设基本相同，唯一的区别就在于缺货不是绝对禁止的，而仅仅是规定了一定的损失。由于这一区别的存在，一般来说，当缺货不受损失或损失较小时，最优策略就有可能是发生短缺的策略。当存储水平降为“ 0” 时，如果不是立即订货而是延迟一定时间，这就意味着追加一定量的缺货费用以换取更大的存储费用的节约。 这种存储模型的图形虽然仍为“锯齿”形，但它的图形已部分地出现在水平线以下，如图 7.6所示。这里的负库存代表“售出”但未“交付”的货物。

图 7.6 假设 C2 为单位缺货在单位时间里的损失， d 为输出货物的速度， Q 为订货量，S 为刚刚得到补充后的存储量，即最大存储量， S′ 为缺货量， t＝ nT 为计划期，其中 T 为存储周期， n 为计划期内的周期次数。由图 7.6 可知， T 分为 T1 和 T2 ，在T1段上不缺货，以速度 d均匀地输出货物，直至库存为 0 ，但不马上补充，要停一段时间 T2 ，即 T2 为缺货期，然后在下个周期通过订货补充，先补充 S′ ，再补充 S ，这样完成一个存储过程。然后重复下去。此时仍有 T=Qd ，而 T1=Sd ， T2=(Q-S ）/d=S’/d ，计划期内周期次数 n=tdQ ，其费用函数为C(Q ， S)＝订货费＋存储费＋缺货费 ＝每次订货费 × 订货次数＋单周期存储费 × 存储次数＋单周期缺货费 ×周期次数

Q

SQtC

Q

tSC

Q

tdC

Q

td

d

SQC

Q

td

d

SC

Q

tdC

nTSCnSTCnC

2

)(

2

2

)(

2

'2

1

2

1

22

223

2

2

2

13

22113

式中 C 为 Q 和 S函数。分别对 Q 和 S 求偏导并令为“ 0” ，求解方程组可得：

21

213 )(2

CC

CCdCQ

)(

2

211

23

CCC

dCCS

（ 7.10 ）

（ 7.11 ）

进一步求得

21

213 )(2

CdC

CCC

d

QT

21

2312)(

CC

dCCCtQC

(7.12)

(7.13)

7.3.2.2 模型四：允许缺货，补充需要一定时间

该模型的假设条件除允许缺货外，其余条件皆与模型二：相同。其存储动态如图7.7所示。

图 7.7

取［ 0 ， t］为一个周期；［ t1 ， t3］为生产期（即一批产品生产所持续的时间）；［ 0 ， t2］时间里存储量为“ 0” ， S′ 为最大缺货量；［ t1 ， t2］时间内除满足需求外，还要补足［ 0 ， t1］时间内的缺货；［ t2 ， t3］时间内满足需求后的产品进入存储，存储量以（ p-d ）速度增加；［ t3 ， t］时间存储量以需求速度d减少。 S表示存储量， t3 时刻存储量达到最大，并停止生产。由图 7.7 容易知道： S′=d×t1=(p-d)(t2-t1)即 t1=(t1=(p-d)/p)t2

S=(p-d)(t3-t2)=d(t-t3)即 t3=(d/p)t+(1-d/p)t2 或 t3-t2=(d/p)(t-t2) 设单位货物的存储费用为 C1 ，单位缺货在单位时间里的损失为 C2 ，每次订货费用为 C3 。存储周期各种费用为： 存储费用； (1/2)(p-d)(t3-t2)(t-t2)C 或 dC2/[2p(p-d)(t-t2)2] 缺货费用； (1/2)dC2t1t2 或 (dC2/2p)(p-d)t2

2

固定费用： C3 则存储周期内的平均费用率：

t

C

t

tCCtCtCdp

p

d

Ctdpp

dCttdp

p

dC

tttC

322

211

322

22

12

)21(2)(2

)(2

))((2

1),(

0)21(1)()2,(

03

)21(1)(2

)2,(

2

2

22

t

tCCCdp

p

d

t

ttC

t

C

t

tCCCdp

p

d

t

ttC

令

求解可得

))(21(

12,

)(

)21(2

2

32

21

3

dpCCdC

pCCt

dpCdC

CCpCt

相应有

,)(

)21(2

21

3

dpCC

CCdpCQ

（ 7.14 ）

,)(

)(2

211

23

CCpC

dpdCCS

,)(

)(2'

212

12

CCpC

dpdCCS

,)(

)(2)(

22

213

dpdCC

CCpCtQC

(7.15)

(7.16)

(7.17)

7.3.3 有折扣的存储模型

以上所讨论的模型都假设货物的单价是一个常数，所以得出的存储策略都与货物单价无关。现在介绍货物单价（或生产成本）随订购（或生产）数量而变化时的存储策略。我们常看到一种商品有所谓零售价、批发价和出厂价，购买同一种商品的数量不同，商品单价也不同。一般情况下购买数量越多，商品单价越低。 以 k(Q)表示货物单价，设 k(Q)按三个数量等级变化，如图 7.8所示。此外，其余条件皆与模型一的假设相同时，我们来讨论如何制定存储策略。 当订货量为 Q 时，一个采购周期内所发生的费用为： (Q/2)·C1·(Q/d)+C3+K(Q)Q 当 Q∈［ 0,Q1) 时，周期费用为 :(Q/2)·C1·(Q/d)+C3+K1Q 当 Q∈［ Q1 ， Q2) 时，周期费用为： (Q/2)·C1·(Q/d)+C3+K2Q 当 Q∈［ Q2 ， +∞) 时，周期费用为： (Q/2)·C1·(Q/d)+C3+K3Q 平均单位货物所需要的费用为（如图 7.9所示）： 当 Q∈［ 0 ， Q1) 时：C （ 1 ） (Q)=(C1Q/2d)+C3/Q+K1

当 Q∈［ Q1 ， Q2) 时：C (2) (Q)=(C1Q/2d)+C3/Q+K2

当 Q∈［ Q2 ， +∞) 时：C (3) (Q)=(C1Q/2d)+C3/Q+K3

图 7.8 图 7.9

如果不考虑 C (1) (Q) 、 C (2) (Q) 和 C (3)(Q) 的定义域，它们之差是一个常数，因此它们的导数函数具有相同的形式。对图 7.9 的直观观察，可以启发我们考虑 C (2)

(Q1) 和 C (3)(Q2) 中哪一个更小的问题。设经济批量为 Q* ，对 C(1)(Q) 在不考虑定义域的情况下求其极小点 Q0 。若 Q0<Q1 ，求 C(1)(Q0) 、 C(2)(Q1) 和 C(3)(Q2) ，由min{C(1)(Q0),C(2)(Q1),C(3)(Q2)}决定 Q* 的取值；若 Q1<Q0<Q2 ，求 C(2)(Q0) 和 C(3)(Q2) ，由min{C(2)(Q0),C(3)(Q2) }决定 Q* 的取值；若 Q0≥Q2 ，则取 Q*＝ Q0 。以上步骤不难推广到单价折扣具有 m 个等级的情况。

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7.4 随机型存储模型 上述各类模型都假定各时期的需求量是确定的。但实际问题中需求量往往是一个不确定的值，这就需要用到随机的存储模型。随机性存储模型的重要特征是需求为一个随机变量，对于需求而言，已知的信息只是它的概率或概率分布。以下我们仅讨论单阶段需求模型而不考虑多阶段随机存储模型。

7.4.1 需求为离散型随机变量存储模型 有这样一类存储问题，在全部的需求过程中对采购决策仅有一次，也就是说随着库存的减少甚至耗竭并且没有补充库存的机会。由于在这个阶段里的需求是一个不确定的量，这就可能使决策者处于进退两难的境地。为了使全部潜在的收益得以实现，要求批量足够大；而为了避免过剩造成的损失，又要求批量不能太大。街角卖报的报童问题是这类问题的代表。报童每天售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸可获利 k 元，如报纸未能售出，每份赔 h 元。每日售出报纸份数 r 的概率 p(r) 根据以往的经验是已知的，那么报童每日最好准备多少份报纸 Q ，才能使赚钱的期望值最大？或者说是因不能售出报纸的损失及因缺货失去销售机会的损失之和最小？现在用计算损失期望值最小的办法求解。

设售出报纸数量为 r ，概率 p(r)已知，有

0

1)(r

rp

供过于求时（ r≤Q ），这时报纸因不能售出而承担的损失，其期望值为

Q

r

rprQh0

)()(

供不应求时（ r＞ Q ），这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为：

1

)()(Qr

rpQrk

综合上述两种情况，当订货量为 Q 时，损失的期望值为：

10

)()()()())((Qr

Q

r

rpQrkrprQhQCE

10

)()()()())((Qr

Q

r

rpQrkrprQhQCE

现在的问题就是确定 Q 值，使 E(C (Q)) 最小。 由于报童订购报纸的份数只能取整数， r 是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值。为此设报童每日订购报纸份数最佳量为 Q ，其损失期望值应有： （ 1 ） E(C(Q) )≤E(C(Q＋ 1)) （ 2 ） E(C(Q) )≤E(C(Q－ 1)) 从（ 1 ）出发进行推导有：

2

1

010

)()1()()1()()()()(Qr

Q

rQr

Q

r

rpQrkrprQhrpQrkrprQh

经化简整理后得：

hk

krp

Q

r

0

)(

从（ 2 ）出发进行推导有：

Qr

Q

rQr

Q

r

rpQrkrprQhrpQrkrprQh )()1()()1()()()()(1

010

经化简整理后得：

hk

krp

Q

r

1

0

)(

报童应准备的报纸最佳数量 Q 应按下列不等式确定：

Q

r

Q

r

rphk

krp

0

1

0

)()( (7.18)

7.4.2 需求为连续型随机变量存储模型

在实际中，除了上面提到的需求为离散型随机变量的存储模型外，还经常会遇到需求为连续型随机变量的存储模型。如水电站对水库水的需求就是连续的。 设货物单位成本为 K ，货物单位售价为 P ，单位存储费为 C1 ，需求 r 是连续的随

机变量，其密度函数为 f （ r ），分布函数 a

adrrfaF0

)0()()(

由概率论的知识可知 F(a)表示随机变量 r 在区间 (0 ， a ) 上取值的概率。那么订购或生产货物量 Q 为多少，才能使赢利的期望值最大，或损失的期望值最小？ 当 r≤Q 时，这时因商品供过于求造成积压所应承担的存储费用的期望值为：

当 r＞ Q 时，这时因订货量过少造成缺货所带来的少赚钱的机会损失的期望值为：

Q

drrfrQC0 1 )()(

Q

drrfQrP )()(

综合上述两种情况，当订货量为 Q 时，其总支出的期望值为：

KQdrrfQrPdrrfrQCQCEQ

Q

)()()()())((

0 1

因 Q 是连续型随机变量，所以可以用微分法求 E(C(Q)) 的最小值：

KQdrrfrQCdrrfQrP

dQ

d

dQ

QCdE Q

Q 0 1 )()()()())((

令上式为 0 ，解得：

Q

PC

KPdrrfQF

01

)()((7.19)

根据式 (7.19) 和微积分的知识，我们可以求得最优订货数量 Q 。由密度函数的性质知 F(Q)＞ 0 ，若 P＜ K ，可知等式 (7.19) 不成立，此时取 Q＝ 0 ，这表示当销售价格小于单位成本时不能订货。 如果不考虑存储成本则式 (7.19) 可变为：

Q

hm

mdrrfQF

0)()( (7.20)

其中， m 为利润， h 为损失。 如果考虑缺货损失 C2 ，式 (7.19) 可变为：

Q

CC

KCdrrfQF

021

2)()( (7.21)

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知识归纳

1. 库存问题有供、存、销三个环节。通过订货或安排生产，以及到货后的库存，最后由销售来满足顾客的需求。决策者通过控制订货时间的间隔及订货量来调节系统的运行，使得在某种准则下系统达到最优，常用的准则有平均总费用最小或利润最大。 2. 存储策略主要有 t循环策略、（ t， S）策略、（ s， S）策略和（ t，s， S）策略四种。

3. 对于不允许缺货，补充时间较短模型有：

1

32

dC

CT

1

32

C

dCQ

dCCtQC 312)(

4. 对于不允许缺货，补充需要一定时间模型有：

)(

2

1

3

dpC

pdCQ

pC

dpdCS

1

3 )(2

)(

2

1

3

dpdC

pCT

p

dpdCCtQC

)(2)( 31

5. 对于允许缺货，补充时间较短模型有：

21

213 )(2

CC

CCdCQ

)(

2

211

23

CCC

dCCS

21

213 )(2

CdC

CCCT

21

2312)(

CC

dCCCtQC

6. 对于允许缺货，补充需要一定时间模型有：

,)(

)21(2

21

3

dpCC

CCdpCQ

,)(

)(2

211

23

CCpC

dpdCCS

,)(

)(2'

212

12

CCpC

dpdCCS

)(

)21(2

21

3

dpCdC

CCpCt

,)(

)(2)(

22

213

dpdCC

CCpCtQC

7. 对于批量折扣库存模型 当货物单价随订购数量变化时，与前面几个模型相比，其目标函数应加上货物价值一项。原则上是求出各分段区间上的最优平均总费用，然后比较得到总体的最优平均总费用及最优订货批量。然而考虑到一般货物单价随订购数量增大而减少这一特点，可以对区间段从右到左逐步分析及比较，当某一区间段的极小值在驻点或右端点达到时，剩下左边的若干区间段就不必再考虑了。 8. 对于需求为离散型随机变量存储模型：

Q

r

Q

r

rphk

krp

0

1

0

)()(

9. 对于需求为连续型随机变量存储模型：

Q

PC

KPdrrfQF

01

)()(

Q

hm

mdrrfQF

0)()(

Q

CC

KCdrrfQF

021

2)()(

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习题与思考题 7.1 仓储中心为超市存储高级红酒的消费速度是每周 3箱，每箱每周的存储费用是 2元，与采购数量无关的每次采购费用是 12元。问该超市的经济采购批量是多少？采购的时间间隔是多少？ 7.2 假设某企业物流部门获知工厂生产某种零件，年产量为 18000 件，该厂每月可生产 3000 件，每批生产的固定费为 500元，每个零件的年度存储费为 1.8 元，请为物流部门分析计算每次生产的最佳批量。 7.3 某汽车公司采用无安全存量的存储策略，每年需汽车装饰件 5000 件，每次订货的采购费为 50元，每只每年的保管费用为 1元，不允许缺货。若采购少量装饰件，每只单价为 3元，若一次采购 1500 只以上，则每个单价为 1.8 元，问该公司装饰件的经济采购批量是多少只？ 7.4 仓储配送中心为某厂仓储自行生产某种装配零件，该零件的年度需要量为 18000 件，该厂每月的生产能力是 3000 件，每批生产的固定费用为 500元，当月过剩的零件可以以每件每月 0.15 元的费用进行存储，允许缺货，单位缺货在单位时间内的费用为 1.85 元，求最大存储量、最大缺货量和每次生产的最佳批量。 7.5 某手机制造厂负责生产一款年度销量为 120 万部的手机，要求按批量完成任务。该厂有充分的生产能力，每年的产量可达 300 万部。完成每批任务，需要换版制造其他的款式手机，假设由于换版所产生的每批固定费用为 2000 万元。如果每万部每年的存储费用为 250 万元，试分别求在不允许缺货和允许缺货两种不同情况下的经济批量。允许缺货时，每万部手机缺货一年的费用为 5000 万元。

7.6 某大型超市销售面包，其进价为 1元，零售价为 1.5 元，如果当日的面包过剩，可以以 0.3 元的价格返销给面包厂。假设需求服从正态分布，期望值为 200，标准差为 250，试确定该超市最佳进货批量。 7.7 物流公司为全市的自动售货机配送三明治，店主每天早晨放入新的并取出前一天的剩货。三明治的购入价为 1.35 元，售出价为 1.85 元，隔夜三明治只能以 0.62 元的价格销售给流浪者食堂。假设三明治的日需求量服从泊松分布，期望值为 100。试确定每日放入自动售货机中三明治的最佳数量。

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